新平面几何100题1-60

1、设I是△ABC的内心，D是边BC上的一点，E是BC延长线上一点，且满足BDDC =BEEC.设H是D到直线IE的垂足，证明：∠AHE=∠IDE.B2、设O、H分别是△ABC的外心和垂心，点A关于直线OH的对称点是P，点P和点A不在直线BC的同侧，E、F分别在AB和AC上，满足BE=PC，CF=PB，直线AP、OH相交于点K，证明：EK⊥FK.B CP3、设正△ABC的外接圆和内切圆分别是Γ、ω，P为ω上一动点，P1、P2、P3分别为P在BC、CA、AB上的射影，圆ω1、ω2、ω3分别与BC、CA、AB切于P1、P2、P3且与Γ内切（它们的圆心与A、B、C分别在BC、CA、AB的异侧）.证明：圆ω1、ω2、ω3两两外公切线的长度之和是一个定值.A4、设正△ABC内接于⊙O，E、F分别是AC，BC上一点，使得AE=2CE，BF=2CF. P为⊙O上的一点，PD⊥EF于D，交AB于K，作PS⊥BC于S，连接SK并交AO于T.证明：DS=DT.T5、设E、F分别位于△ABC的AC，AB边上，BE、CF交于D，△AEF的外接圆交△ABC的外接圆于点A、P，△AEF的外接圆在A处的切线交△ABC于A、Q两点，设N、M分别为AQ、BC的中点.证明：∠APD=∠MNQ.Q6、已知△ABC的外心为O，A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB上的点，且满足A、B′、C′、O共圆，C、A′、B′、O共圆.以B′为圆心，B′C为半径的圆和以C′为圆心，BC′为半径的圆的根轴为l a.类似定义l b、l c.证明：直线l a、l b、l c交出的三角形垂心与△ABC的垂心重合.7、设凸四边形ABCD顶点不共圆，记点A在直线BC、BD、CD上的射影分别为P、Q、R，其中P、Q分别在BC、BD内，R在CD的延长线上.记点D在直线AC、BC、AB上的射影分别为X、Y、Z，其中X、Y分别在线段AC、BC内，Z在BA的延长线上，设△ABD的垂心为H，证明：BH的中点在△PQR外接圆和△XYZ外接圆的根轴上.8、在圆内接四边形ABCD中，AB>BC，AD>DC，I、J分别为△ABC、△ADC的内心.以AC为直径的圆与线段IB交于点X、与JD的延长线交于点Y.证明：若B、I、J、D四点共圆，则点X、Y关于直线AC对称.9、设△ABC的外接圆和内切圆的圆心分别为O、I，点M和点Q分别在边AB和AC上，点N和点P分别在边BC上（N在线段BP上），且满足五边形AMNPQ的五条边长相等.记点S为直线MN和QP的交点，l为∠MSQ的角平分线.证明：l和OI平行.S11、凸四边形ABCD中，P、Q、R、S分别是线段AB、BC、CD、DA上的点.若相交的线段PR、QS把四边形ABCD分为4个四个对角线互相垂直的凸四边形.证明：P、Q、R、S四点共圆.B12、不等腰三角形ABC的外接圆为Ω，内心为I，射线AI与BC交于D，与Ω交于除A以外的另一点M，以DM为直径的圆与Ω交于除M以外的另一点K，直线MK与BC交于点S，设N为IS的中点，L1、L2为△KID的外接圆与△MAN的外接圆的交点.证明：IL1或IL2的中点在Ω上.S113、在非等腰△ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点.过D作△ABC的内切圆的切线（不同于直线BC），交直线EF于点X.类似定义Y和Z.证明：X、Y、Z三点共线.ZBD14、圆外切四边形ABCD的内切圆⊙I分别切DC、DA于E、F，K为BD上一点，KA、KC分别交⊙I于M、N，MF与NE交于L.证明：L在直线BD上.L15、四边形ABCD内接于⊙O，∠A、∠C的角平分线相交于点I，∠B、∠D的角平分线相交于点J，直线IJ不经过点O，且与边AB、CD的延长线分别交于点P、R，与边BC、DA分别交于点Q、S.线段PR、QS的中点分别为M、N.证明：OM⊥ON.R16、在圆内接四边形ABCD中，M、N分别是线段BC、AD的中点，对角线AC、BD交于点E. P是边BC上的点，满足PBPC =(BDAC)2.设E在PN上的投影是H，证明：△BEC的外接圆与△MPH的外接圆相切.17、圆内接四边形ABCD的对角线相交于P，存在一个圆Γ与AB、BC、AD、DC的延长线切于点X、Y、Z、T.过A、B的圆Ω与圆Γ外切于S.证明：SP⊥ST.18、对于平面上的凸四边形ABCD，设直线l交直线AB于X，交直线CD于X′，交直线BC于Y，交直线DA于Y′，交直线AC于Z，交直线BD于Z′.已知以上六点在l上按照X、Y、Z、X′、Y′、Z′的顺序排列.证明：以XX′、YY′、ZZ′为直径的三个圆共点.19、设O是三角形ABC的外心，D是AB上一点，作与⊙O内切，与线段CD、BD相切的⊙I；作与⊙O内切，与线段CD、AD相切的⊙J.证明：若A、B、I、J四点共圆，则D是三角形ABC中的∠ACB内旁切圆在AB上的切点.20、设⊙O 1与⊙O 2交于P 、Q 两点，过P 作两条割线AB 、CD ，过Q 作两条平行割线A′B′、C′D′，取△PAC 、△PBD 、△QB′D′、△QA′C′的九点圆圆心F 1、F 2、F 3、F 4.证明：四边形F 1F 2F 3F 4是矩形.D'A'C21、设⊙O是四边形ABCD的内切圆. AC、BD交于P，I、J分别是△ABC、△ADC的内心，OP，IJ交于K，T是K在BD上的射影.证明：I、J、P、T四点共圆.B22、设O、I B、I C分别是锐角三角形ABC的外接圆圆心，∠B内的旁切圆圆心和∠C内的旁切圆圆心.在AC边上取点E和Y，使得∠ABY=∠CBY，BE⊥AC，在AB边上取点F和Z，使得∠ACZ=∠BCZ，CF⊥AB，直线I B F和I C E交于点P.证明：PO⊥YZ.I B I C23、四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD交于点P，直线AB、CD交于点Q. K是P在QO上的射影，KP、BC交于X，M是BC的中点，P′是P关于BC的对称点，K′是K关于M的对称点. P′K′分别交BC于Y，交KP于Z.证明：△XYZ的外接圆与△QBC的外接圆相切.D24、对边不平行的凸四边形ABCD中，BA延长线与CD延长线交于点E，AD延长线与BC延长线交于点F，K是△CDF的外接圆与△ADE的外接圆的交点(K≠D).设∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的外角平分线分别为l A、l B、l C、l D，l A和l B、l B和l C、l C和l D、l D和l A分别交于点G、H、I、J.△CDF的外接圆中，弧DF（不含C）的中点为Q，直线EH与△AED的外接圆交于另一点M.设GJ中垂线与IH中垂线（不重合）交于点P.证明：P、M、Q、K四点共圆.25、设D是△ABC外接圆⊙O上任意一点，过D作⊙O的切线l.证明：l关于△ABC三边对称的直线围成的三角形的外接圆与⊙O相切.26、设O为△ABC内一点，O在BC、CA、AB上的射影分别为U、V、W.X、Y、Z分别在BC、CA、AB上，X′、Y′、Z′分别是X关于U、Y关于V，Z关于W的对称点，点X、Y、Z关于△ABC的密克点为S，点X′、Y′、Z′关于△ABC的密克点为T.证明：OS=OT.B CX'U27、点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、CA上，满足AD+AF=BC、BD+BE=AC、CE+CF=AB. △ADF、△BDE、△CEF的外接圆与△ABC外接圆的另一个交点分别为A1、B1、C1，P是D、E、F关于△ABC的密克点，证明：P为△A1B1C1的垂心.128、设AA′、BB′、CC′是锐角△ABC的外接圆的三条直径，P为△ABC内任意一点，点P在BC、CA、AB上的射影分别是D、E、F，X、Y、Z分别是A′关于D、B′关于E，C′关于F的对称点.证明：△XYZ∽△ABC.29、设H是锐角△ABC的外接圆的垂心，P是外接圆弧BC上一点，连接PH交弧AC于M，弧AB上一点K满足直线KM平行于点P关于△ABC的西姆松线，设Q为外接圆上一点满足30、设△ABC的内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F，延长EI交DF于G，BE、CF交⊙I于另外的点X、Y.设J为△AEF外接圆的另一个交点，△XJI外接圆与⊙I的另一个交点为S，T在⊙I上满足TS⊥AI，连接YT、XS交于P，直线DP与⊙I的另一个交点为Q.证明：KQ是⊙I的直径.C31、在△ABC中，内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F，M、N分别是AB、AC的中点，EF、MN交于S，DS与⊙I的另一个交点为J.证明：J在△ABC的九点圆上.B C32、过△ABC内心I任作一直线l，内切圆分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z，边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，直线l分别交△BIC外接圆、△CIA外接圆、△AIB外接圆于另一点D′、E′、F′，过点X、Y、Z分别作平行于DD′、EE′、FF′的直线l1、l2、l3.证明：直线l1、l2、l3交于一点.33、已知△ABC的外接圆为⊙O，A′为点A在⊙O上的对径点.作等边△BCD，使得A、D位的于BC的异侧，过点A′作A′D的垂线，分别与AC、AB交于E、F两点.以EF为底，作底角为π6等腰△ETF，并使得A、T位于BC的异侧.证明：AT经过△ABC的九点圆圆心.ED34、设△ABC的内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，记⊙I B、⊙I C分别为△ABC的顶点B、C所对的旁切圆，P、Q分别为I B E，I C F的中点，若DE、DF与I B I C交于点K、J，EJ 与FK交于点M，PE与△PAC的外接圆交于另一点X，QF与△QAB的外接圆交于另一点Y.证明：BY、CX、AM三线共点.35、已知凸四边形ABCD内两动点P、Q满足∠APB=∠AQB=∠CPD=∠CQD.证明：动直线PQ要么均经过一个定点，要么相互平行.36、在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC<π，∠ABC、∠ADC的平分线交于点P，并分2别与AC交于点E、F，M为AC的中点，BM、DM与△BDP的外接圆分别交于另一点X、Y，EX与PY交于点Q.证明：AC⊥PQ.B37、凸六边形A1A2A3A4A5A6满足A1A2=A3A4=A5A6，A2A3=A4A5=A6A1，点X、Y在38、已知凸四边形ABCD内接于⊙O，⊙I切AC、BD及⊙O，E为弧BC的中点，AE与BD相交于点M，DE与AC相交于点N.证明：△EMN外接圆与⊙I相切.39、锐角△ABC 中BC >AC >AB ，I 、O 、H 分别为其内心、外心、垂心，D 、E 分别在BC 、AC 上使AE =BD ，CD +CE =AB .记K 为BE 与AD 交点，证明：KH =2IO .ABC40、在锐角△ABC中，AB>AC，设Γ为其外接圆，H为垂心，F为由顶点A处所引高的垂足，M为边BC的中点.Q、K为圆Γ上的点，使得∠HQA=∠HKQ=π.若点A、B、C、K、Q互2不相同，且按此顺序排列在Γ上，证明：△KQH的外接圆与△FKM的外接圆相切.41、设△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线交BC于T，G为△ABC的重心，直线TG分别交AB、AC于E、F，AG交⊙O于K，证明：AK平分∠EKF.K42、在凸四边形ABCD中，AB≠BC，ω1和ω2分别是△ABC和△ADC的内切圆.已知存在一个圆ω与射线BA相切（切点不在线段BA上），与射线BC相切（切点不在线段BC上），且与直线AD和直线CD都相切.证明：圆ω1和ω2的两条外公切线的交点在圆ω上.43、P为△ABC内一点，L、M、N分别为边BC、CA、AB的中点，且PL∶PM∶PN=BC∶CA∶AB.延长AP、BP、CP分别交△ABC的外接圆于点D、E、F.证明：△APF、△APE、△BPF、△BPD、△CPD、△CPE的外接圆圆心六点共圆.B44、给定△ABC，求线段BC上满足下列条件的所有点P：如果X、Y是直线PA与△PAB、△PAC外接圆的两条外公切线的交点，则(PAXY )2+PB∙PCAB∙AC=1.45、在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=π2，H是A在BD上的射影，边AB上的S和边AD上的T使H在△SCT内部，∠CHS−∠CSB=π2，∠THC−∠DTC=π2，证明：直线BD和△TSH的外接圆相切.CD46、在△ABC中，⊙O、⊙I分别为其外接圆与内切圆，⊙I与BC切于点D，M为ID中点，A0与A 关于点O对称，直线A0M交⊙O于异于点A0的一点X，证明：△ADX的外接圆与直线BC相切.47、已知P 是凸四边形ABCD 的边AB 上的一点，ω是△CPD 的内切圆，I 为其圆心，若ω分别与△APD 以及△CPB 的内切圆切于点K 和L ，AC 与BD 交于点E ，AK 、BL 交于点F .证明：E 、I 、F 共线.BAD48、在锐角△ABC中，ω、Ω、R分别表示其内切圆、外接圆及外接圆的半径.圆ωA与Ω内切于点A且与ω外切；圆ΩA与Ω内切于点A且与ω内切.设P A和Q A分别是ωA和ΩA的圆心.同样定义P B和Q B、P C和Q C.证明：8P A Q A∙P B Q B∙P C Q C≤R349、已知△ABC的垂心为H，外心为O，设A、B、C关于BC、CA、AB的对称点分别为D、E、F.证明：D、E、F共线当且仅当OH=2R，其中R为△ABC外接圆半径.FCO50、设∠XAY是一个固定的角，B、C分别是射线AX、AY上的动点，∠XAY内有一动点P满足PA、PB、PC的长度都保持不变.求△ABC面积的最小值.。