数值计算答案-石瑞民

习题一

1、取3.14,3.15，

722，113

355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

解：14.31=x

所以，1x 有三位有效数字

绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：π

π14

.3-=

r e 绝对误差限：2102

1-⨯≤ε，相对误差限：213106

1

10321-+-⨯=⨯⨯=r ε 所以，2x 有两位有效数字

绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：π

π15

.3-=

r e 绝对误差限：1102

1

-⨯=ε，相对误差限：1106

1-⨯=r ε 所以，3x 有三位有效数字

绝对误差：722

-

=πe ，相对误差：ππ722

-

=r e

绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：2106

1

-⨯=r ε

所以，4x 有七位有效数字

绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-

=r e 绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：6106

1

-⨯=r ε

3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。 解：0315.01=x m=-1

所以，n=3，1x 有三位有效数字

绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：21106

1

1021-+-=⨯=

n r a ε 3015.02=x m=0

所以，n=4，1x 有四位有效数字

绝对误差限：41021

-⨯=ε，相对误差：31106

1

1021-+-=⨯=

n r a ε 50.313=x m=2

所以，n=4，1x 有四位有效数字

绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：31106

1

1021-+-=⨯=

n r a ε 50004=x m=4

所以，n=4，1x 有四位有效数字

绝对误差限：5.01021

0=⨯=ε，

相对误差：23110105

21

1021--+-=⨯=⨯=n r a ε

4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。

解：设取n 位有效数字，由定理1.1知，11021

+-⨯=n r a

ε

由3162.01010⨯=…，所以，31=a

由题意，应使%1.0106

1

1<⨯+-n ，即31061010-⨯<⨯n

所以，n=4，

即10的近似值取4位有效数字 近似值162.3=x

6、在机器数系下),,8,10(U L F 中取三个数41023371258.0-⨯=x ，21033678429.0⨯=y ，21033677811.0⨯-=z ，试按z y x ++)(和)(z y x ++两种算法计算z y x ++的值，并将结果与精确结果比较。

解：

3

22

22

2

2222

241064100000.010********.010********.010********.010********.01012583367845237.010********.0)1033678429.01012580000002337.0(1033677811.0)1033678429.010********.0()(--⨯=⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯+⨯=⨯-⨯+⨯=++z

y x

所以，)(z y x ++比z y x ++)(精确，且)(z y x ++与z y x ++相同；

因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。

8、对于有效数105.31-=x ，001.02=x ，100.03=x ，估计下列算式的相对误差限。3211x x x y ++=，3211x x x y =，3

2

3x x y = 解：105.31-=x ，m=1; 所以 31102

1

)(-⨯=

x ε

同理 32102

1)(-⨯=x ε 331021)(-⨯=x ε

31102

1)(-⨯≤x e 1025.31021

)()(3

111-⨯≤=-x x e x e r 或3110321)(-⨯⨯=x r ε 321021)(-⨯≤x e 001.01021

)()(3

221-⨯≤=x x e x e r 或02101

21

)(⨯⨯=x r ε 331021)(-⨯≤x e 100.01021

)()(3

333-⨯≤=x x e x e r 或33101

21

)(-⨯⨯=x r ε ()()()()3

21321321321321)(x x x x e x e x e x x x x x x e x x x e r ++++=

++++=

++所以，

332111049975.0)()(-⨯≤++=x x x e y e r r

所以，50516.0)(2≤y e r 所以，505.0)(3≤y e r

综合得：311049975.0)(-⨯=y r ε，50516.0)(2=y r ε，505.0)(3=y r ε 9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中1<>x 表示x 充分大）。 （1）21ln ln x x -，21x x ≈

（2）

x

x

x +--

-1111，1<

1--+，1>>x

（4）x x

cos 1-，10<<≠x x 且

（5）x x

cot 1

-，10<<≠x x 且

答案：（1）21ln x x ；（3）x

x x x -++332

， （4）法一：用221cos 1x x ≈-得出结果为：x 2

1

法二：x

x

x x x x x x x x sin sin cos 1sin sin cos 1cos 1-==⋅-=- 或2tan

)

2

cos()2sin(2)

2(sin 2sin cos 12x x x x x x ==-=