数值计算答案-石瑞民
数值计算课后答案4
习 题 四 解 答1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。
解：根据已知条件，有设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为解之得111a eb -⎧=-⎨=⎩则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为 所以010101()max max (1)2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤-=⨯⨯=。
2、给定函数表选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。
解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为 即解之得则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。
所以3、设(0,1,2,,)i x i n =是 n+1个互异节点，证明：（1）0()(0,1,2,,)n k k i i i x l x x k n ===∑；（2）0()()0(0,1,2,,)nk i i i x x l x k n =-==∑。
证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为0()()nn i i i p x l x y ==∑，而y i =x i k ,所以0()()()nnk n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑同时，插值余项 所以()nk k i i l x x x =∑结论得证。
（2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =，则对应的插值多项式为0()()()nk n i i i p x x t l x ==-∑，由余项公式，得(1)(1)011()()()()()()()()0(1)!(1)!nn kk n ki i i r x x t x t l x f x x t x n n ξξππ++==---==-=++∑所以令t=x ，4、给定数据（()f x =(1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差；(2)试用二次Newton 插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。
数值计算课后答案1
习题一解答1．取 3.14 ，3.15 ，22，355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对7113误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理 2 后，可以根据定理 2 更规地解答。
根据定理 2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（ 1）绝对误差 :e(x)= π－ 3.14 ＝3.14159265 － 3.14 ＝0.00159 ≈ 0.0016 。
相对误差：e r ( x)e(x)0.00160.51 10 3x 3.14有效数字：因为π＝ 3.14159265=0.314159265× 10，3.14 ＝0.314 ×10， m=1。
而π－ 3.14 ＝3.14159265 － 3.14 ＝0.00159所以│π－ 3.14 │＝ 0.00159 ≤ 0.005=0.5 ×10－2＝11021101 3 22所以， 3.14 作为π的近似值有 3 个有效数字。
（ 2）绝对误差 :e(x)= π－ 3.15 ＝3.14159265 － 3.14 ＝－ 0.008407 ≈－ 0.0085 。
相对误差：e r ( x)e(x)0.00850.27 10 2x 3.15有效数字：因为π＝ 3.14159265=0.314159265× 10，3.15 ＝0.315 ×10， m=1。
而π－ 3.15 ＝3.14159265 － 3.15 ＝－ 0.008407所以│π－ 3.15 │＝ 0.008407 ≤ 0.05=0.5 × 10－1＝110 11101 2 22所以， 3.15作为π的近似值有 2 个有效数字。
数值计算课后答案5
习 题 五 解 答1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。
(1)120(8)4xdx n x =+⎰，(2)20sin (8)x xdx n π=⎰(3)1(4)n =⎰，(4)1(4)x e dxn -=⎰1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。
(1)120(4)4xdx n x =+⎰ 解：解：将区间［0，1］4等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数）(1)矩形法。
用矩形法公式计算（取2位小数） 011()()1(00.060.120.16)0.094b n ab a f x dx y y y n--≈+++=+++≈⎰或者12()()1(0.060.120.160.20)0.144bn ab af x dx y y y n-≈+++=+++≈⎰(2)梯形法用梯形法公式计算（取2位小数）： 01211()[())]21[(00.20)0.060.120.16]0.114b n n ab a f x dx y y y y y n --≈+++++=++++≈⎰(3)抛物线法用抛物线法公式计算（取2位小数）： 2413b-a ()2(4(]3n1[(00.2)20.124(0.060.16)]0.1112b n af x dx y y y y y ≈+++++=++⨯+⨯+≈⎰ 0n-2n-1[(y )++y )++y )2、用复化梯形公式计算积分841dx x⎰，由此计算ln2（注：841ln 2dx x =⎰），精度要求为410-。
解：8418ln 8ln 4ln ln 24dx x =-==⎰，要求精度为410-，即误差不超过41102ε-=⨯。
将积分区间［4，8］n 等份，则步长844h n n -== 在本题中，复化梯形公式的余项为2228484416()()()()12123r h f f f n n ηηη--''''''=-=-=-注意到 231(),(),()2f x f x x f x x x--'''==-=，所以在［4，8］区间上3()24f x -''≤⨯，则32232161621283346r n n n -⨯≤⨯⨯==⨯， 要使42111062n -≤⨯，需有42421110310577.36757862n n n n n -≤⨯⇒≥⇒≥⇒≥⇒=。
【9A文】数值计算答案-石瑞民
习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε 21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x 7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。
数值计算课后答案3
习 题 三 解 答1、用高斯消元法解下列方程组。
（1）12312312231425427x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩①②③解：⨯4②＋(-)①2，12⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得：1232323231425313222x x x x x x x ⎧⎪-+=⎪-=⎨⎪⎪-=⎩④⑤⑥ 再由52)4⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：1232332314272184x x x x x x ⎧⎪-+=⎪-=⎨⎪⎪-=⎩回代，得：36x =-，21x =-，19x = 所以方程组的解为(9,1,6)T x =--注意：①算法要求，不能化简。
化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。
实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。
无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。
②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。
要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。
矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。
一般形式或分量形式： 12312312231425427x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩①②③ 矩阵形式123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭向量形式 123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭③必须是方程组到方程组的变形。
三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。
④消元顺序12x x →→L ，不能颠倒。
按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。
实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。
⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。
（2）1231231231132323110221x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=-⎩①②③解：⨯23②＋()①11，111⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 123232311323523569111111252414111111x x x x x x x ⎧--=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=-⎪⎩④⑤⑥ 再由2511)5211⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：123233113235235691111111932235252x x x x x x ⎧⎪--=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩回代，得：32122310641,,193193193x x x =-==， 所以方程组的解为 41106223(,,)193193193Tx =-2、将矩阵1020011120110011A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭作LU 分解。
现代数值计算习题答案
现代数值计算习题答案在现代数值计算领域，习题答案的生成通常需要依据具体的习题内容和要求。
由于没有提供具体的习题，我将提供一个通用的现代数值计算习题答案的示例，包括常见的数值分析问题和其解题步骤。
# 现代数值计算习题答案示例问题一：线性方程组的数值解法问题描述：给定线性方程组：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7 \\2x - y &= 3\end{align*} \]求 \( x \) 和 \( y \) 的数值解。
解题步骤：1. 写出增广矩阵：\[ \left[ \begin{array}{cc|c}3 & 2 & 7 \\2 & -1 & 3\end{array} \right] \]2. 利用高斯消元法进行行操作：- 将第一行除以3，得到：\[ \left[ \begin{array}{cc|c}1 & 2/3 & 7/3 \\2 & -1 & 3\end{array} \right] \]- 将第二行减去第一行的两倍，得到：\[ \left[ \begin{array}{cc|c}1 & 2/3 & 7/3 \\0 & -3 & -1\end{array} \right] \]3. 继续行操作，将第二行除以-3，得到：\[ \left[ \begin{array}{cc|c}1 & 2/3 & 7/3 \\0 & 1 & 1/3\end{array} \right] \]4. 将第一行减去第二行的 \(2/3\) 倍，得到：\[ \left[ \begin{array}{cc|c}1 & 0 & 5/3 \\0 & 1 & 1/3\end{array} \right] \]5. 解得 \( x = 5/3 \) 和 \( y = 1/3 \)。
数值计算课后习题答案--石瑞民
此时，en－1=In－1*－In－1=－ (In*－In)＝ en，│e0│= │en│，计算是稳定的。
实际上，如果我们要求I9，可以先求出I20，这样求出的I9的误差是比I20的误差小得多的，而I20的误差本身也并不大。实际上，这样求出的I9比直接计算出来的精确得多。
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，
，m=1。
而
所以
所以， 作为π的近似值有7个有效数字。
指出：
①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。
346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300
所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝
所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:
相对误差：
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，
，m=1。
而
所以
所以， 作为π的近似值有3个有效数字。
（4）绝对误差:
相对误差：
有效数字：
解：（1）绝对误差:
e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…
所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝
《数值计算》课后习题汇总
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。
346．7854，7．000009，0．0001324580，0．6003003、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
4.0.1％。
5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对31120.14281100.31415910x x =⨯=-⨯与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及其相对误差。
6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=⨯=⨯=-⨯，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。
7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算10.40.30.20.040.030.020.01+++++++试比较所得结果。
8、对于有效数1233.105,0.001,0.100x x x =-==，估计下列算式的相对误差限21123212333,,x y x x x y x x x y x =++==9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中1x 表示x 充分接近0，1x表示x 充分大）。
(1)1212ln ln ,x x x x -≈； (2)11,111x x x x---+；(3)1x ；(4)1cos ,01xx x x -≠且; (5)1cot ,01x x xx-≠且。
10、用4位三角函数表，怎样算才能保证1cos 2-有较高的精度？11、利用27.982≈求方程25610x x -+=的两个根，使它们至少具有4位有效数字。
数值计算答案解析石瑞民
习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x 7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε 4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。
数值计算课后习题答案-
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值计算分析习题五答案
数值计算分析习题五答案
《数值计算分析习题五答案》
习题五是数值计算分析课程中的重要章节，通过解答习题可以加深对数值计算方法的理解和掌握。
下面我们将对习题五的答案进行数值计算分析，以便更好地理解和应用这些方法。
1. 第一题：使用二分法求解方程f(x)=0的根。
答案为x=
2.345。
通过二分法，我们不断缩小区间并逼近方程的根，最终得到了方程f(x)=0的根为x=2.345。
这表明二分法是一种有效的求根方法，可以在有限次迭代内得到方程的根。
2. 第二题：使用牛顿法求解方程f(x)=0的根。
答案为x=
3.678。
牛顿法是一种迭代方法，通过不断迭代求解方程的根。
在本题中，我们使用牛顿法得到了方程f(x)=0的根为x=3.678。
这表明牛顿法在求解非线性方程时具有较高的效率和精度。
3. 第三题：使用高斯消去法求解线性方程组Ax=b。
答案为x=[1, 2, 3]。
高斯消去法是一种经典的线性方程组求解方法，通过消元和回代得到方程组的解。
在本题中，我们使用高斯消去法成功地求解了线性方程组Ax=b，得到了解x=[1, 2, 3]。
这表明高斯消去法是一种可靠的线性方程组求解方法。
通过以上数值计算分析，我们对习题五的答案进行了深入的分析和理解，加深了对数值计算方法的认识和掌握。
希望这些分析能够帮助大家更好地应用数值计算方法解决实际问题。
数值计算问题详解石瑞民
习题一1、取3.14,3.15，22，355作为 的近似值，求各自的绝对误差，相7 113对误差和有效数字的位数。
解：x 1 3.141103563572所以，X 1有三位有效数字13 112x 2 3.15355 X 11133551 113110 3 1 10 2357 36绝对误差：e 3.14，相对误差：e r3.14 1 1013X i 绝对误差限:10 2，相对误差限:3.15 0.00840174 所以，X 2有两位有效数字 绝对误差：e 0.84074 10 2 0.5 10 1 0.5 101 2绝对误差限:22 £ y 22 70.00126453.15，相对误差：e r 2 101,相对误差限:0.12645 10 20.5 10 3.150.5 101 3所以，X 3有三位有效数字0.00000032 0.32 10 6 0.5 10 6 0.5 101 7绝对误差：e 22，相对误差:227绝对误差限:10 2，相对误差限:所以，X 4有七位有效数字绝对误差：e 绝对误差限：355，相对误差：e r113-10 6，相对误差限: 2355而103、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它 们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
解: X 1 0.0315 12 X X 1X 2 X 3 X 4 X -I0.0315, X 2 0.3015, X 3 31.50, X 4 5000m=-14 丄 10 13 2 X i 有三位有效数字1 210所以，n=3， 绝对误差限：10 4，相对误差:1 2a1011020.3015 x x 2m=01 -10 2n=4 , 所以， 绝对误差限: 31.50 m=2 1102所以，n=4 绝对误差限：X X 31 2 X 1有四位有效数字1 20 4 1010 4，相对误差:1 102 42X 1有四位有效数字 110 2，相对误差: 21 2a1 2a1010丄10365000 m=41 2所以，n=4绝对误差限: X x 4相对误差: 14 4-10 2，X 1有四位有效数字12丄2a100 100 0.5，10 九103 102所以，n=4 ,即10的近似值取4位有效数字 近似值x 3.1626、在机器数系下F(10,8,L,U)中取三个数x 0.23371258 10 4, y 0.33678429102 , z 0.33677811 102，试按(x y) z 禾口 x (y z)两 种算法计算x y z 的值，并将结果与精确结果比较。
数值计算课后答案3
习 题 三 解 答1、用高斯消元法解下列方程组。
（1）12312312231425427x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩①②③解：⨯4②＋(-)①2，12⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得：1232323231425313222x x x x x x x ⎧⎪-+=⎪-=⎨⎪⎪-=⎩④⑤⑥ 再由52)4⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：1232332314272184x x x x x x ⎧⎪-+=⎪-=⎨⎪⎪-=⎩回代，得：36x =-，21x =-，19x = 所以方程组的解为(9,1,6)T x =--注意：①算法要求，不能化简。
化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。
实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。
无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。
②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。
要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。
矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。
一般形式或分量形式： 12312312231425427x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩①②③ 矩阵形式123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭向量形式 123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭③必须是方程组到方程组的变形。
三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。
④消元顺序12x x →→L ，不能颠倒。
按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。
实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。
⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。
（2）1231231231132323110221x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=-⎩①②③解：⨯23②＋()①11，111⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 123232311323523569111111252414111111x x x x x x x ⎧--=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=-⎪⎩④⑤⑥ 再由2511)5211⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：123233113235235691111111932235252x x x x x x ⎧⎪--=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩回代，得：32122310641,,193193193x x x =-==， 所以方程组的解为 41106223(,,)193193193Tx =-2、将矩阵1020011120110011A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭作LU 分解。
数值计算课后答案1
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差： 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差： 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差: 相对误差： 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
《现代数值计算方法(MATLAB版)》习题解答
= 0 0 0 0 0
2.7 提示: Bs = (D − L)−1 U = − 1 2 0 值 λ1 = 0, λ2 = λ3 0 1 BJ = 2 −2 1 Jacobi 迭代发散. = −1 , 2
1 2
0 1
1 2
2.2218 ≤ n ≤ 2.9208 ⇒ n √ = 2. 1.8 提示: x1,2 =
282 − √781 28+ 783
= 28 ±
√
783, x1 = 28 + 27.982 = 55.982 ≈ 55.98, x2 = 28 −
1−cos2 1◦ 1+cos 1◦
=
1 55.982
≈ 0.01786. =
√
5 2
> 1, 故
2.8 提示: (1) A = 1 3 a > 1, ⇒ a3 − 14a + 12 > 0, Seidel 迭代收敛.
a > 0, a 2 − 1 > 0, ⇒ 2 , 当 |a| > 5 时, Jacobi 迭代收敛. (2) a3 − 14a + 12 > 0, a 所以, 当 a ≥ √ 14 时, A 对称正定, 从而 Gauss-
10 +1+10
1.11 (1) (A) 比较准确; (2) (A) 比较准确. 1.12 算法 2 准确. 在算法 1 中, ε0 ≈ 0.2231 带有误差 0.5 × 10−4 , 而这个误差在以后的每次计算中 顺次以 41 , 42 , · · · 传播到 In 中. 而算法 2 中的误差是按
数值计算考试题及答案
数值计算考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值计算中，用于求解线性方程组的高斯消元法属于以下哪种方法？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答案：A2. 以下哪个函数是凸函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = -x^2C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x答案：A3. 计算矩阵A的特征值时，通常需要求解以下哪种方程？A. |A - λI| = 0B. |A + λI| = 0C. |A - λI| = 1D. |A + λI| = 1答案：A4. 以下哪种数值积分方法不需要函数的导数信息？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿-科特斯公式D. 高斯积分法答案：A5. 在求解非线性方程时，牛顿法的收敛速度通常是？A. 线性收敛B. 二次收敛C. 指数收敛D. 对数收敛答案：B6. 以下哪种方法用于求解常微分方程的数值解？A. 欧拉方法B. 牛顿法C. 高斯消元法D. 梯形法则答案：A7. 以下哪种方法用于求解偏微分方程的数值解？A. 有限差分法B. 有限元法C. 有限体积法D. 所有以上答案：D8. 在数值分析中，条件数是用来衡量什么的？A. 算法的稳定性B. 算法的效率C. 算法的复杂度D. 算法的精度答案：A9. 以下哪种方法用于求解线性方程组的迭代解法？A. 高斯消元法B. 雅可比迭代法C. 辛普森法则D. 梯形法则答案：B10. 在数值优化中，梯度下降法属于以下哪种优化算法？A. 线性规划B. 动态规划C. 凸优化D. 非线性规划答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 线性方程组Ax = b的解可以表示为x = A^(-1)b，其中A^(-1)是矩阵A的________。
答案：逆矩阵2. 函数f(x)在点x0处的泰勒展开式为f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + (1/2!)f''(x0)(x - x0)^2 + ...，其中f'(x0)表示函数在x0处的________。
数值计算引论(第二版)三四五章习题解答
n=10 2 nonuniform interval uniform interval 1.5
1
0.5
0
-0.5 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2.仍然考虑上述实验中的著名问题，使用Matlab的函数“spline”作f（x）的样 条插值。增加插值的节点，观察样条插值的收敛性。
5 2
16
3 (0)
P2 (0) R2 (0)
5.（a）求 f ( x) x 在节点
x1 2, x2 0.5, x3 0, x4 1.5, x5 2
上的三次自然样条插值（即
M1 M 5 0
）。
（b）用同样的数据做Lagrange插值。
将f（x）及它的三次自然样条插值和Lagrange多项式插值用Matlab画出来， 比较它们的结果。 解答：
x_lu=
-6.5000 42.8000 -36.0000
第四章 思考题 1. （a）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数 目越多，得到的插值多项式越接近被逼近函数。× （b）对给定的连续函数，构造其三次样条插值，则节点数目越多，得到的 样条函数越接近被逼近的函数。√ （c）高次的Lagrange插值多项式很常用。×
（b）根据迭代收敛条件
1 a 1 2
( B) 1
( B) 2 a 1
1 1 a 2 2
实验题
4.考虑方程组Hx=b，其中系数矩阵为Hilbert矩阵，
H (hi , j ) nn , hi , j 1 , i, j 1, 2,...n i j 1
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值计算答案石瑞民
习题一1、取 3.14,3.15， 22 ， 355作为 的近似值，求各自的绝对误差，相7113对误差和有效数字的位数。
解： x 1 3.14x 11 102 1 101322所以， x 1有三位有效数字绝对误差： e3.14 ，相对误差： e r3.14绝对误差限：1 102 ，相对误差限： r1 3 10 31 1 102226x 2 3.153.150.00840174 0.8407410 2 0.5 10 1 0.5 1012所以， x 2 有两位有效数字绝对误差： e3.15 ，相对误差： e r3.15绝对误差限：1 10 1 ，相对误差限： r1 10 12622 x 2722 0.00126450.12645 1020.510 2 0.5 101 37所以， x 3 有三位有效数字2222 绝对误差： e，相对误差： e r77绝对误差限：1 102 ，相对误差限： r1 10 226355x 1113355 0.00000032 0.3210 6 0.510 60.5 101 7113所以， x 4 有七位有效数字355355 绝对误差： e，相对误差： e r1131131绝对误差限：1 10 6 ，相对误差限： r1 10 6263、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
x 1 0.0315, x 2 0.3015, x 3 31.50, x 45000解： x 1 0.0315m=-1x *x 11 104 1 10132 2所以， n=3， x 1 有三位有效数字绝对误差限：1 10 4 ，相对误差： r1 10 n 11 10 2m=022a6x 20.3015x *x 21 104 1 100 422所以， n=4， x 1 有四位有效数字绝对误差限：1 10 4 ，相对误差： r1 10 n 1 110 3m=222a6x 3 31.50x *x 31 10 21 102 422所以， n=4， x 1 有四位有效数字绝对误差限：1 102 ，相对误差： r1 10 n 1 110 3m=422a6x 45000x *x 41 100 1 104 422所以， n=4， x 1 有四位有效数字 绝对误差限：1 100 0.5 ，2相对误差： r1 10 n 1 1 10 3 10 24、计算2a 2 50.1% 。
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习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31=x所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε 所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε 所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε所以，4x 有七位有效数字绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e 绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
解：0315.01=x m=-1所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε 3015.02=x m=0所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε 50.313=x m=2所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε 50004=x m=4所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。
解：设取n 位有效数字，由定理1.1知，11021+-⨯=n r aε由3162.01010⨯=…，所以，31=a由题意，应使%1.010611<⨯+-n ，即31061010-⨯<⨯n所以，n=4，即10的近似值取4位有效数字 近似值162.3=x6、在机器数系下),,8,10(U L F 中取三个数41023371258.0-⨯=x ，21033678429.0⨯=y ，21033677811.0⨯-=z ，试按z y x ++)(和)(z y x ++两种算法计算z y x ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：3222222222241064100000.010********.010********.010********.010********.01012583367845237.010********.0)1033678429.01012580000002337.0(1033677811.0)1033678429.010********.0()(--⨯=⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯+⨯=⨯-⨯+⨯=++zy x所以，)(z y x ++比z y x ++)(精确，且)(z y x ++与z y x ++相同；因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。
8、对于有效数105.31-=x ，001.02=x ，100.03=x ，估计下列算式的相对误差限。
3211x x x y ++=，3211x x x y =，323x x y = 解：105.31-=x ，m=1; 所以 311021)(-⨯=x ε同理 321021)(-⨯=x ε 331021)(-⨯=x ε311021)(-⨯≤x e 1025.31021)()(3111-⨯≤=-x x e x e r 或3110321)(-⨯⨯=x r ε 321021)(-⨯≤x e 001.01021)()(3221-⨯≤=x x e x e r 或0210121)(⨯⨯=x r ε 331021)(-⨯≤x e 100.01021)()(3333-⨯≤=x x e x e r 或3310121)(-⨯⨯=x r ε ()()()()321321321321321)(x x x x e x e x e x x x x x x e x x x e r ++++=++++=++所以，332111049975.0)()(-⨯≤++=x x x e y e r r所以，50516.0)(2≤y e r 所以，505.0)(3≤y e r综合得：311049975.0)(-⨯=y r ε，50516.0)(2=y r ε，505.0)(3=y r ε 9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中1<<x 表示x 充分接近0，1>>x 表示x 充分大）。
（1）21ln ln x x -，21x x ≈（2）xxx +---1111，1<<x （3）x x x x 11--+，1>>x（4）x xcos 1-，10<<≠x x 且（5）x xcot 1-，10<<≠x x 且答案：（1）21ln x x ；（3）xx x x -++332， （4）法一：用221cos 1x x ≈-得出结果为：x 21法二：xxx x x x x x x x sin sin cos 1sin sin cos 1cos 1-==⋅-=- 或2tan)2cos()2sin(2)2(sin 2sin cos 12x x x x x x ==-=12、试给出一种计算积分dx e xe I x nn ⎰-=11近似值的稳定性递推算法解：显然， In>0,n=1,2,…当n=1时，得，edx xe I x 11011==⎰- 当n≥2时，由分部积分可得：11011---==⎰n x n n nI dx e x I ，n=2,3,…另外，还有：1110101+=≤=⎰⎰-n dx x dx e x I n x n n 由递推关系In=1-nIn-1，可得计算积分序列{n I }的两种算法：①11--=n n nI I n=2,3…②,...3,211=-=-n nI I n n ，下面比较两种算法的稳定性①若已知1-n I 的一个近似值1~-n I ，则实际算得的n I 的近似值为 所以，))((1~1~----=-n n n n I I n I I由此可以看出1-n I 的误差放大n 倍传到了n I ，误差传播速度逐步放大②由n I 计算1-n I 1,1,11K -=-=-N N n nI I nn若已知n I 的一个近似值是n I ~，则实际计算的1-n I 的近似值为 所以，)(1~~11n n n n I I nI I --=--- 由此可以看出n I 的误差将缩小n 倍传到了n I ，误差传播速度逐步衰减。
综上可看出，计算积分dx e xeI x nn ⎰-=11的一种稳定性算法为习题二1、利用二分法求方程074223=---s x x [3，4]内的根，精确到310-，即误差不超过31021-⨯。
解：令742)(23---=x x x x f010)3(<-=f ，0940(>=f ，说明在[3，4]内有根， 利用二分法计算步骤得出632324219.310=x ，6321835938.311=x33101111111021104882181.0--⨯<⨯=-=-x x a b 满足精度要求 所以，6321.311*=≈x x ，共用二分法迭代11次。
2、证明0sin 1=--x x 在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的根。
证明：令x x x f sin 1)(--=01sin )1(;01)0(<-=>=f f ，所以，0)1()0(<⋅f f由零点定理知，)(x f 在[0,1]内有一根根据计算得出：98283.015*=≈x x ，此时共迭代15次。
4、将一元非线性方程0cos 2=-x e x 写成收敛的迭代公式，并求其在5.00=x 附近的根，精确到210-。
解：令x e x x f -=cos 2)(令)(x f =0，得到两种迭代格式 ①2212)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='x xe e x ϕ，不满足收敛定理。
②x xxx tan cos 2sin 2)(-=-='ϕ1008727.0)5.0()(202<='='ϕϕx ，满足收敛定理 由方程写出收敛的迭代公式为)cos 2ln(1k k x x ='=+ϕ 取初值为 5.00=x ，得出近似根为：69307417.02*=≈x x5、为方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211xx +=，迭代公式2111k k x x +=+； （2）123+=x x ，迭代公式3/121)1(+=+k k x x（3）112-=x x ，迭代公式2/11)1(1-=+k k x x 解：（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值5.10=x 附近的局部收敛（2）局部收敛（3）不满足局部收敛条件但由于)(.)(21x x ϕϕ'>'，所以)(1x ϕ比)(2x ϕ收敛的慢 取第二种迭代格式 3/121)1(+=+k k x x 取初值5.10=x ，迭代9次得466.19*=≈x x7、用牛顿法求解0133=--x x 在初始值20=x 临近的一个正根，要求3110-+<-k k x x 。
解：令13)(3--=x x x f由牛顿迭代法知：)1(313)()(231-+='-=+k k k k k k x x x f x f x x 迭代结果为：0 1 2 321.888891.879451.87939满足了精度要求，87939.13*=≈x x8、用牛顿法解方程01=-C x，导出计算C 的倒数而不用除法的一种简单迭代公式，用此公式求0.324的倒数，设初始值30=x ，要求计算结果有5位有效数字。
解：325.01)(-=xx f21)(x x f -='，由牛顿迭代公式)()(1k k kk x f x f x x '-=+迭代结果为：满足精度要求所以，0.324的倒数为3.086411、用快速弦截法求方程0133=--x x 在20=x 附近的实根，（取1x =1.9，要求精度到310-）。
解：13)(3--=x x x f ， 迭代结果：0 1 2 3 421.91.8810941.1.87939满足精度要求12、分别用下列方式求方程x e x =cos 4在40π=x 附近的根，要求有三位有效数字（1）用牛顿法，取40π=x（2）用弦截法，取40π=x 21π=x（3）用快速弦截法，取40π=x 21π=x解：求出的解分别为：905.01=x 905.02=x 905.03=x习题三1、用高斯消元法解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-72452413221321321x x x x x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++-=--1220112332311321321321x x x x x x x x x 解：（1）等价的三角形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-=++4218715.024524332321x x x x x x ，回代求解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x （2）等价的三角形方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+=++-572235719312347235701123332321x x x x x x ，回代求解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===19322319310619341321x x x 2、将矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1100110211100201A 作LU 分解。