陕西省咸阳市高新一中2020-2021学年高三上学期第二次考试理科数学试题(B)
【精准解析】陕西省咸阳市高新一中2021届高三上学期期中考试质量检测文科数学试卷
咸阳市高新一中2021届高三期中质量检测文科数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把．．答案写在答题卷上．．．．．．．．） 1. 已知集合{1,2,5}M =，{|2}N x x =≤，故M N ⋂等于（ ） A. {1} B. {5}C. {1,2}D. {2,5}【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义计算． 【详解】由已知{1,2}M N =．故选：C ．2. 设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．3. 函数lg(32)y x =-的定义域是（ ） A. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭B. 2,13⎛⎤⎥⎝⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可． 【详解】由题意320220xx ->⎧⎨-≥⎩，解得213x <≤． 故选：B ． 4. 函数()21log f x x x=-+的一个零点落在下列哪个区间（ ） A. （0，1） B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】B 【解析】 【分析】求出()1f 、()2f ，由()()120f f ⋅<及零点存在定理即可判断. 【详解】()21log 111f =-+=-，()2112log 222f =-+=，()()120f f ∴⋅<，则函数的一个零点落在区间()1,2上.故选：B【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.5. 已知向量(cos ,2)a α=-，(sin ,1)b α=，若//a b ，则πtan()4α-=（ ） A. 3- B. 3 C.13 D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标关系，求出tan α，再由两角差的正切公式，即可求解. 【详解】因为向量(cos ,2)a α=-，(sin ,1)b α=，//a b ， 所以cos 2sin 0αα+=，1tan 2α=-， 所以πtan tanπ4tan()3π41tan tan 4ααα--==-+⋅.【点睛】本题以共线向量为背景，考查应用同角间的三角函数关系、两角差的正切公式求值，考查计算求解能力，属于基础题.6. 设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．7. 已知数列{}n a 为等差数列，且17132a a a π++=，则7tan a =（ ）A. B.C. D. 【答案】A 【解析】分析：先化简17132a a a π++=，再求7tan a详解：由题得113777772()232,.3a a a a a a a ππ++=+==∴=所以7tan a =2tan3π=故答案为A 点睛：（1）本题主要考查等差中项和简单三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 等差数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.8. 已知ω> 0，0 <φ<π，直线8x π=和58x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+的图像上两条相邻的对称轴，则φ等于（ ） A.4π B.3π C.2π D.34π 【答案】A 【解析】 【分析】由对称轴求得周期，从而可得ϕ，再由用相邻两个对称轴与x 交点的中点是对称中心可求得ϕ． 【详解】∵直线8x π=和58x π=是()f x 的两条相邻的对称轴，∴最小正周期为5288T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴22πωπ==，138828πππ5⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭． 3sin 208πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，3,4k k Z πϕπ+=∈，又0ϕπ<<，∴4πϕ=．故选：A ．9. 已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥，则m =（ ） A. －8 B. －6C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】首先计算a b +的坐标，再根据()a b b +⊥即可得到m 的值. 【详解】由题知：()()4,2=-a b m +，因为()a b b +⊥，所以()432(2)0⨯⋅=--=m a b b +，解得8m = 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 10. 已知(0,)x π∈，则()cos 2sin f x x x =+的值域为（ ）A. 9(0,]8B. [0,1)C. (0,1)D. 9[0,]8【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式可得2()12sin sin f x x x =-+，再令sin x t =，将函数化为二次函数的形式，配方即可求解.【详解】由2()cos 2sin 12sin sin f x x x x x =+=-+， 设sin x t =，(0,)x π∈，(0,1]t ∴∈，219()2()48g t t ∴=--+，9()[0,]8g t ∴∈，即()cos 2sin f x x x =+的值域为9[0,]8.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的值域、同时考查了二倍角的余弦公式，二次函数配方求最值，解答此题注意换元中自变量的取值范围，属于基础题.11. 已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值代入()10f ->，可排除A 、D,根据导数判断函数的单调性可排除B ，即可得出结果.【详解】函数()2(1)x f x e x ＝－+，当1x =-时，()1=110f ee -->＝，故排除A 、D ，又()22()20ln 2x xf x e x f x e x '''=--=-=⇒=，，，当0ln 2x <<时，()(0())00f f f x x ''<''<∴<，，所以()f x 在()0,ln 2为减函数，故排除B,故选：C.【点睛】本题考查函数的图象、利用导数研究函数的单调性，识别函数图象问题，往往可根据特殊值或特殊自变量所在区间利用排除法解答，属于中档题.12. 已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()()3f x f π，恒成立，若函数()y f x =在[0，]a 上单调递减，则a 的最大值是( ) A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的周期求出ω，对x ∈R ，()()3f x f π，恒成立，推出函数的最小值，求出ϕ，然后求解函数的单调区间即可．【详解】函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，22πωπ==，又对任意的x ，都使得()()3f x f π，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即23k πϕπ=+，k Z ∈．所以()cos(2)3f x x π=+，令2223k x k ππππ++，k Z ∈， 解得63k xk ππππ-++，k Z ∈，则函数()y f x =在[0,]3π上单调递减，故a 的最大值是3π． 故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查逻辑推理能力．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13. 已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2+2,n S n n =且则n a = _________．【答案】21n 【解析】 【分析】利用1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，求解．【详解】∵S n ＝n 2+2n ， ∴a 1＝S 1＝1+2＝3，n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝（n 2+2n ）﹣[（n ﹣1）2+2（n ﹣1）]＝2n +1， n ＝1时上式成立，∴a n ＝2n +1． 故答案为2n+1.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意公式1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，的合理运用．14. 函数2log (23)a y x =-+的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(9)f =_________.【答案】13【解析】 【分析】先求出点P 的坐标，再代入幂函数()f x xα=解析式求得α，即可得f （9）．【详解】令231,2x x -=∴=，所以22y =， 即2(2,)P ； 设()f x x α=，则222α=，12α=-； 所以12()f x x -=，1(9)3f =故答案为13． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及幂函数的性质，属于容易题．主要方法是待定系数法．15. 已知a 为正实数，若函数322()32f x x ax a =-+的极小值为0，则a 的值为_____【答案】12． 【解析】 【分析】求导数，确定极小值，由极小值为0求得a ． 【详解】由题意2()363(2)f x x ax x x a '=-=-，∵0a >，∴0x <或2x a >时，()0f x '>，02x a <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,0)-∞和(2,)a +∞上递增，在(0,2)a 上递减， ()f x 的极小值是332(2)81220f a a a a =-+=，解得12a =（0a =舍去）． 故答案为：1216. 在ABC ∆中，点O 为BC 的中点，过O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N 若,AB mAM AC nAN ==，则m n +的值为【解析】试题分析：三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．∵M 、O 、N 三点共线，1222m nm n ∴+=∴+=，． 考点：平行向量与共线向量．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程．．．．．．．．．．．．．．．．．或演算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．．．） 17. 已知函数2()3cos cos f x x x x a =++．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 【答案】（1）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（2）a ＝0【解析】 (1)f(x)＝32sin2x ＋122cos x ＋＋a ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋a ＋12，∴T ＝π.由2π＋2kπ≤2x ＋6π≤32π＋2kπ，得6π＋kx≤x≤23π＋kπ.故函数f(x)的单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)． (2)∵－6π≤x≤3π，∴－6π≤2x ＋6π≤56π.∴－12≤sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1.当x ∈,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，原函数的最大值与最小值的和为1111222a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋＋－＋＋＝32，∴a ＝0 18. 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且4151,75a S ==． （1）求6a 的值；（2）求n S 取得最小值时，求n 的值． 【答案】(1)3；(2)2或3.【分析】分析：（1）法一：设{}n a 的公差为d ，由题意列出方程组，求得1,a d ，进而求解6a 的值； 法二：由题1581575S a ==，求得85a =，利用等差数列的等差中项公式，求解6a 的值；（2）法一：由等差数列的求和公式，得到252n n n S -=，根据二次函数的性质，即可得到当2n =或3时，n S 取得最小值．法二：由数列的通项公式3n a n =-，得到数列满足12340a a a a <<=<<，进而得到结论.【详解】（1）法一：设{}n a 的公差为d ，由题，41151311510575a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩，∴6153a a d =+=．法二：由题，1581575S a ==，∴85a =，于是48632a a a +==． （2）法一：()211522n n n n nS na d --=+=，当2n =或3时，n S 取得最小值． 法二：()113n a a n d n =+-=-，∴12340a a a a <<=<<，故当2n =或3时，n S 取得最小值．点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解和数列和的最值问题的判定，其中熟记等差数列的通项公式和等差数列的求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 19.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a，bABC 的面积； （2）若sin AC=2，求C .【答案】（1；（2）15︒. 【解析】 【分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == （2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.20. 数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+． （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）222n a n n =-+. 【解析】【详解】试题分析：（1）由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即可证得； （2）由（1）得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1，进而利用累加求通项公式即可. 试题解析：（1）证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． （2）解 由（1）得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是(a k ＋1－a k )＝(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以a n ＝n 2－2n ＋2,经检验，此式对n=1亦成立， 所以，{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如()10,1n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，即将()10,1n n a qa p p q -=+≠≠利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式.21. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）212n n a -=；（2）2n S n =.【解析】 【分析】(1)本题首先可以根据数列{}n a 是等比数列将3a 转化为21a q ，2a 转化为1a q ，再然后将其带入32216a a 中，并根据数列{}n a 是各项均为正数以及12a =即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列{}n a 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列{}n b 的通项公式，再通过数列{}n b 的通项公式得知数列{}n b 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果． 【详解】(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，32216a a ，12a =， 所以令数列{}n a 的公比为q ，2231=2a a q q ，212a a qq ，所以22416qq ，解得2q =-(舍去)或4，所以数列{}n a 是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a --=⨯=．(2)因为2log n n b a =，所以21n b n =-，+121n b n ，12n nb b ， 所以数列{}n b 是首项为1、公差为2的等差数列，21212n nS nn ．【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题． 22. （1）已知函数f （x ）=2ln x +1．若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）已知函数()()=ln f x x mx m m -+∈R .讨论函数()f x 的单调性. 【答案】（1）1c ≥-．（2）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）不等式变形为()2f x x c -≤，求出()2f x x -的最大值后可得c 的范围；（2）求出导函数()'f x ，确定()'f x 的正负，得()f x 的单调性．【详解】（1）()f x 定义域是(0,)+∞， 由()2f x x c ≤+得，2ln 12c x x ≥+-， 设()2ln 12g x x x =+-，则22(1)()2x g x x x-'=-=， 当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， ∴max ()(1)2ln1121g x g ==+-=-，∴1c ≥-． （2）()()=ln f x x mx m m -+∈R ，定义域是(0,)+∞，1()f x m x'=-， 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上递增，当0m >时，1()()m x mf x x-'=，当10x m <<时，()0f x '>，1x m>时，()0f x '<， ∴()f x 在1(0,)m上递增，在1(,)m+∞上递减．综上，0m ≤时，()f x 的增区间是(0,)+∞，0m >时，()f x 的增区间是1(0,)m，减区间是1(,)m+∞． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．（1）已知()f x 的导函数是()'f x ，解不等式()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得减区间．（2）()f x m ≥恒成立，则min ()m f x ≤，若()f x m ≤恒成立，则max ()m f x ≥．。
2021届陕西省咸阳市高新一中高三上学期第二次考试理科数学试卷(B)及解析
2021届陕西省咸阳市高新一中高三上学期第二次考试理科数学试卷（B ）★祝考试顺利★(含答案)一、选择题1. 已知集合{}29A x Z x =∈<,121B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭,则A B =（ ） A. {}2,1,0--B. {}2,1,0,2--C. ()33,1,32⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭D. 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】 先化简集合,A B ,再求A B 得解.【详解】由题得{}2,1,0,1,2A =--, 由121x <-,得2301x x ->-,解得32x >或1x <,所以3{|2B x x =>或1}x < 因此{}2,1,0,2A B =--,故选：B.2. 下列函数中,既是偶函数又在（0,+∞）单调递增的函数是（ ）A. 3y x =B. 1y x =+C. 21y x =-+D. 2x y -=【答案】B【解析】由题意逐一考查所给函数的奇偶性和单调性即可求得最终结果．【详解】根据函数的基本性质,逐项判定：对于A 中,函数y =x 3是奇函数,在区间（0,+∞）上单调递增,不合题意； 对于B 中,函数y =|x |+1是偶函数,在区间（0,+∞）上单调递增；对于C 中,函数y =-x 2+1是偶函数,在区间（0,+∞）上单调递减,不合题意； 对于D 中,函数y =2-|x |是偶函数,在区间（0,+∞）上单调递减,不合题意．故选：B ．3. 设0x >,y R ∈,则“x y >”是“x y >”的（ ）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】12>-不能推出12>-,反过来,若x y >则x y >成立,故为必要不充分条件. 4. 命题“若21x ＜,则11x -＜＜”的逆否命题是（ ） A. 若21x ≥,则1≥x ,或1x ≤-B. 若11x -<<,则21x <C. 若1x >,或1x <-,则21x >D. 若1≥x 或1x ≤-,则21x ≥【答案】D【解析】 交换“21x ＜”与“11x -＜＜”,再逐一否定. 【详解】命题“若21x ＜,则11x -＜＜”的逆否命题是“若1≥x 或1x ≤-,则21x ≥”. 故选：D.5. 设30.2a =,2log 0.3b =,3log 2c =,则（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】D【解析】利用函数的单调性,并结合取中间值法即可判断大小.【详解】由于300.20.2<<,22log 0.3log 10<=,331log 2log 2>=, 则323log 0.30.2log 2<<,即c a b >>.。
陕西省咸阳市武功县2020届高三数学上学期第二次质量检测试题理(扫描版)
武功县2020届高三第二次质量检测理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．A 9．A 10．C 11．C 12．D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．45 14．3π 15．225 16．3三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一）必考题（共60分）17．（本小题满分12分）解：（1）由(2)cos cos 0b c A a C --=及正弦定理得(2sin sin )cos B C A --sin cos 0A C =，所以2sin cos sin()0B A A C -+=，因为sin sin()0B A C =+>，所以sin (2cos 1)0,B A -=1cos 2A =， 因为(0,)A π∈，所以3A π=. （2）△ABC的面积1sin 2S bc A ==4bc =. 而2222cos 4a b c bc A =+-=，故228b c +=，所以2b c ==.18．（本小题满分12分）解：（1）0.03a =.由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25+⨯=，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450⨯=人，同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35+⨯=，学生人数约有0.351200420⨯=人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人.（2）初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05603⨯=人. 同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为(0.00510)402⨯⨯=人.故X 的可能取值为1，2，3.则 123235C C 3(1)C 10P X ⋅===，21323C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===.所以X 的分布列为：所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. 19．(本小题满分12分)解：直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，故AC ，BC ，CC 1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)．(1)证明：AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)，所以AC →·BC 1→＝0. 故AC ⊥BC 1.(2)平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，设平面C 1AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，AC 1→＝(－3，0，4)，AB →＝(－3，4，0)，由100n AC n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4z ＝0，－3x ＋4y ＝0， 令x ＝4，则y ＝3，z ＝3，n ＝(4，3，3)，故cos 〈m ，n. 即二面角C 1AB C. 20．(本小题满分12分) 解：(1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得216b＝1，∴b ＝4， 又e ＝35c a =，则222a b a -＝925，∴1－216a ＝925，∴a ＝5， ∴椭圆C 的方程为222516x y +＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得225x ＋2(3)25x -＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为122x x +＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． 21．(本小题满分12分)解（1）∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x'=-+． ∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x的极值点，∴a =（2）对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()221a f x x '=-=()()2x a x a x+-，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x+-'=>， ∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数， ∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a ，又01a <<，∴a 不合题意．②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()f x '=()()20x a x a x +-<， 若a ＜x ≤e ，则()f x '=()()20x a x a x+->． ∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数． ∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +， 又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x af x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数． ∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a ， 又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．（本小题满分10分）解：由ρsin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3，可得：ρ1sin 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝3 所以yx ＝6x －y ＋6＝0 由2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2 所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3 所以，P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.23. （本小题满分10分）解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝26,22,2426,4x x x x x -+⎧⎪⎨⎪-⎩≤＜≤＞故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2， 当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，令2x －6≤5，得4<x ≤112， 故不等式f (x )≤5的解集为{x │12≤x ≤112}.。
陕西省咸阳市武功县2021届高三第二次质量检测理科数学试题(word版,含答案)
武功县2021届高三第二次质量检测理科数学试题全卷满分150分,考试时间120分钟第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.已知集合U={-2,-1,0,1,2},A={0,1,2},则UA =A.{-2,-1,0}B.{-2,-1}C.{0,1,2}D.{1,2}2.已知i 是虚数单位,若复数z 满足zi在复平面内对应的点位于第一象限,则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知a>1,则“log log a a x y <”是“2x xy <”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若sin78°=m,则sin6°=1.2m A + 1.2mB - 1.2m C + 1.2mD - 5.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”｡已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为A.2B.242+C.422+D.442+ 6.已知某函数的图像如图所示,则下列函数中,图像最契合的函数是A.sin()x x y e e -=+B.sin()x x y e e -=-C.()cos x x y e e -=-D.()cos x x y e e -=+7.已知函数f(x)=-2x+sinx,若a f =22),(l 7)(og b f c f =--=则a,b,c 的大小关系为 A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b8.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2,n n n S a S a +==则n S =1.2n A -13.()2n B -12.()3n C -11.()2n D -9.已知△ABC 是长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值 A.-23.2B -4.3C -D.-110.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据:lg3≈0.48) A.1033B.105373.10CD.109311.已知P,A,B,C 是半径为2的球面上的点,O 为球心,PA=PB=PC=2,∠ABC=90°, 则三棱锥O-ABC 体积的最大值是.A B.1 1.2C .D 12.f(x)是定义在R 上的偶函数,当x<0时,()()0,f x xf x '+<且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0 的解集为 A.(-4,0)∪(4,+∞) B.(-4,0)∪(0,4) C.(-∞,-4)∪(0,4)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,则20a 等于____. 14.曲线y=5x+lnx 在点(1,5)处的切线方程为____.15.为了积极稳妥疫情期间的复学工作,市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务,每个学校至少去1人,若甲､乙两人不能去同一所学校,则不同的分配方法种数为____. 16.已知函数y=f(x+1)-2(x ∈R)为奇函数,21(),1x g x x -=-若函数f(x)与g(x)图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y 则1()mi iix y =+=∑_____.三､解答题(本大题共6小题,共70分｡解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤) (一)必考题(共60分)17.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A,B ,C 的对边分别为a,b,c,sin bB=. (1)求A;(2)若a=2,且cos(B-C)=2sinBsinC-cosC,求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)某厂加工的零件按箱出厂,每箱有10个零件,在出厂之前需要对每箱的零件作检验,人工检验方法如下:先从每箱的零件中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,则停止检验;若抽取的零件至少有1个至多有3个次品,则对剩下的6个零件逐检验｡已知每个零件检验合格的概率为0.8,每个零件是否检验合格相互独立,且每个零件的人工检验费为2元. (1)设1箱零件人工检验总费用为X 元,求X 的分布列；(2)除了人工检验方法外还有机器检验方法,机器检验需要对每箱的每个零件作检验,每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验,以检验总费用的数学期望为依据,在人工检验与机器检验中,应该选择哪一个?说明你的理由.19.(本小题满分12分)如图,在三棱台ABC-DEF 中,BC=2EF,AB ⊥BC,BC ⊥CF,G ､H 分别为AC ､BC 上的点,平面FGH//平面ABED.(1)求证:BC ⊥平面EGH;(2)若AB ⊥CF,AB=BC=2CF=2,求二面角E-FG-D 的余弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线22(0)y px p =>上的两个动点11(,)A x y ,22(,),B x y 焦点为F,线段AB 的中点为0(3,),M y 且A,B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8.(1)求抛物线的标准方程;(2)若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C,求△ABC 面积的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数3()ln ().f x x a x a R =-∈ (1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数y=f(x)在区间(1,e]上存在两个不同零点,求实数a 的取值范围.(二)选考题(共10分,请考生在22､23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分) 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为323x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数),直线l 的方程为y=kx.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程;(2)曲线C 与直线l 交于A ､B 两点,若||||3,OA OB +=求k 的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c,其中a>0,b>0,c>0. (1)当a=b=c=1时,求不等式f(x)>4的解集;(2)若f(x)的最小值为3,求证:2223.b c a a b c++≥武功县2021届高三第二次质量检测理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．1 14．6x －y －1＝0 15．114 16．3m三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一）必考题（共60分）17．(本小题满分12分)解：（1）sin b B =sin a A =，∴tan A =.∵()0,A π∈，∴6A π=. （2）∵()cos B C -=2sin sin cos B C C -∴cos cos sin sin B C B C +=2sin sin cos B C C -， ∴()cos cos B C C +=-，即cos cos A C =，即A C =.∵6A π=，∴23B π=.∵2a =， ∴2a c ==.∴1sin 2ABC S ac B ==△1222⨯⨯=18．(本小题满分12分)解：（1）X 的可能取值为8，20，P (X ＝8)＝0.84+0.24＝0.4112，P （X ＝20）＝1﹣0.4112＝0.5888，则X 的分布列为X 8 20P0.41120.5888（2）由（1）知，EX ＝8×0.4112+20×0.5888＝15.0656， 所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX ＝15065.6元．因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000＝16000元， 且16000＞15065.6， 所以应该选择人工检验． 19．(本小题满分12分) 解：（1）证明：因为平面FGH ABED 平面， BCFE 平面ABED BE =平面，BCFE 平面GHF HF =平面，所以HF BE //.因为EF BC //，所以四边形BHFE 为平行四边形，所以EF BH =， 因为，EF BC 2=所以BH BC 2=，H 为BC 的中点．同理G 为AC 的中点，所以AB GH //，因为BC AB ⊥，所以BC GH ⊥， 又EF HC //且EF HC =，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以HE CF //， 又BC CF ⊥，所以BC HE ⊥.又,HE GH ⊂平面,EGH HE GH H =，所以.BC EGH ⊥平面 （2）因为,//,//AB CF CF HE GH AB ⊥，HE GH ⊥所以.连接DG ，分别以HE HB HG ,,所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz H -，则(001),(011),E F -，，，，(100),(101)G D ，，，，设平面EFG 的一个法向量为),,111z y x m （=， 因为)101(),010(-=-=，，，，EG EF 则⎩⎨⎧=-=-0111z x y ，取11,(1,0,1)x m ==得．设平面FGD 的一个法向量为),,(222z y x n =，因为()111(0,01)FG GD =-=，，，， 则⎩⎨⎧==-+02222z z y x ，取)0,1,1(12-==n x ，得1cos ,2m n m n m n⋅==, 又二面角E -FG -D 为锐二面角，所以二面角E -FG -D 的余弦值为12. 20．(本小题满分12分)解：（1）由题意知126x x +=，则||||AF BF +=12x x p ++=68p +=， ∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =； （2）设直线:AB x my n =+(0m ≠)由24x my ny x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， ∴124y y m +=，∴()1212m y x y x =++22246n m n +=+=， 即232n m =-，即21221216(3)04812m y y m y y m ⎧∆=->⎪+=⎨⎪⋅=-⎩，∴212||1AB m y y =+⋅-22413m m =+⋅-，设AB 的中垂线方程为：2(3)y m m x -=--，即(5)y m x =--，得点C 的坐标为(5,0)，∵直线2:32AB x my m =+-，即2230x my m -+-=， ∴点C 到直线AB 的距离225231m d m +-=+221m =+，∴1||2S AB d =⋅=()22413m m +⋅- 令23t m =-，则223(03)m t t =-<<，)244S t t ∴=-⋅令()2()44f t t t =-⋅，∴()2()443f t t '=-，令()0f t '=，则233t =，在230,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上()0f t '>；在23,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝上()0f t '<， 故()f t 在230,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，23,33⎛⎫⎪ ⎪⎝单调递减，∴当t =，即m =max S =. 21．(本小题满分12分)解：（1）∵()323'3(0)a x af x x x x x-=-=>.①若0a ≤时，()'0f x >，此时函数在()0,+∞上单调递增；②若0a >时，又()33'0x a f x x -==得x =，0,x ⎛ ∈ ⎝时()'0f x <，此时函数在0,⎛ ⎝上单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时()'0f x >，此时函数在⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增； （2）由题意知：3ln x a x=在区间(]1,e 上有两个不同实数解，即函数y a =图像与函数()3ln x g x x =图像有两个不同的交点，因为()()()223ln 1'ln x x g x x -=，令()'0g x =得x =所以当(x ∈时，()'0g x <，函数在(上单调递减，当x e ⎤∈⎦时，()'0g x >，函数在e ⎤⎦上单调递增；则()min 3g x g e ==，而311272791272727ln eg e e e ⎛⎫==> ⎪⎝⎭， 且()327g e e =<，要使函数y a =图像与函数()3ln x g x x=图像有两个不同的交点，所以a 的取值范围为(33,e e ⎤⎦.（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）323x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，22410x x y ∴-++=，所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.（2）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,π)θθρθ=∈∈R ，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.1214cos ρρθ∴+=，1210ρρ=>，2116cos 40θ∆=->，OA OB +=12ρρ+=12ρρ+=1cos 2θ∴=± 满足∆>0，1π6θ∴=或56π，l 的倾斜角为6π或56π，则1tan 3k θ==或- 23．[选修4－5：不等式选讲](10分)解：（1）当a ＝b ＝c ＝1时，不等式f (x )＞4化为|x +1|+|x ﹣1|+1＞4， 即|x +1|+|x ﹣1|＞3．当x ≥1时，化为x +1+x ﹣1＞3，解得x ＞32； 当﹣1＜x ＜1时，化为x +1﹣(x ﹣1)＞3，此时无解；当x ≤﹣1时，化为﹣(x +1)﹣(x ﹣1)＞3，解得x ＜－32． 综上可得，不等式f (x )＞4的解集为：3(,)2-∞-3(,)2+∞； （2）证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴由绝对值不等式得f (x )＝|x +a |+|x ﹣b |+c ≥|(x +a )﹣(x ﹣b )|+c ＝a +b +c ＝3．由基本不等式得：2b a a +≥2b =，2c b b +≥2c =，2a c c +≥2a = 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，上面三式等号成立．三式相加得：222b c a a b c +++a +b +c ≥2a +2b +2c ， 整理即得222b c a a b c ++≥a +b +c =3． 故222b c a a b c++≥3．。
陕西省咸阳市高新一中2021届高三第三次质量检测数学(理)试题(解析版)
咸阳市高新一中2021届高三第三次质量检测理科数学A卷 2020.10.31注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2.时间120分钟满分150分第1卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A．∅B．{2} C．{5} D．{2,5}答案 B解析由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}．故选B.2若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是() A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)答案 A 解析∵命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.3．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5答案C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.4．设a∈R，函数f(x)＝e x＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为()A．ln2 B．－ln2 C.ln22 D.－ln224．A[解析] f′(x)＝e x－a e－x，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f′(0)＝0，故只能是a＝1.此时f′(x)＝e x－e－x，设切点的横坐标是x0，则e x0－e－x0＝32，即2(e x0)2－3e x0－2＝0，即(e x0－2)(2e x0＋1)＝0，只能是e x0＝2，解得x0＝ln2.正确选项为A.5．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A．[14，＋∞) B．(－∞，14] C．[12，＋∞) D．(－∞，－12]答案 A解析 当x ∈[0,3]时，[f (x )]min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，[g (x )]min ＝g (2)＝14－m ，由[f (x )]min ≥[g (x )]min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.6．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f [f (x )－3x ]＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12答案 B解析 由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得：f (K )＝3K＋K ＝4.又f (K )单调递增，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B.7．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3|20＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.故选C. 8 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0．2－0．6)，则a ，b ，c 的大小关系是__________．【答案】c <b <a【解析】 ∵f (x )为偶函数，在(－∞，0]上是单调增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为单调减函数．∵log 47>1，log 123<0，0．2－0．6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35>⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123＝f (－log 123)＝f (log 23)＝f (log 49)，而log 47<log 49<2<5．∴c <b <a ．A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c答案 A9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0，得x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示．由图像可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.10．若函数f(x)＝2x＋ln x，且f′(a)＝0，则2a ln2a＝()A．1 B．－1 C．－ln2 D．ln2答案 B解析f′(x)＝2x ln2＋1x，由f′(a)＝2a ln2＋1a＝0，得2a ln2＝－1a，则a·2a·ln2＝－1，即2a ln2a＝－1.11．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则()A．f(x)的极大值为f(3，极小值为f(－3) B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3) 答案 D解析由函数y＝x·f′(x)的图像可知，x∈(－∞，－3)，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(－3,3)，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(3，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴选D.12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是()A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－14答案 D解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图像如图．显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两不同的公共点．另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y ′＝(x 2)′＝2x＝1，∴x ＝12.∴A (12，14)，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－14，∴选D.第2卷本卷包括必考题和选考题两部分。
陕西省咸阳市高新一中2021届高三数学上学期11月第三次考试试题B理含解析.doc
陕西省咸阳市高新一中2021届高三数学上学期11月第三次考试试题（B ）理（含解析）时间：120分钟，满分：150分 2020年11月3日10：00--12：00第Ⅰ卷一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 0C. 0或2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，再根据A B ⊆求解.【详解】已知集合{}2{|}0,1A x x x ===，{1,,2}B m =，因为A B ⊆， 所以m =0， 故选：B【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题. 2. 设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3. 命题“,sin 0R αα∃∈=”的否定是（ ） A. ,sin 0R αα∃∈≠ B. ,sin 0R αα∀∈≠ C. ,sin 0R αα∀∈< D. ,sin 0R αα∀∈>【答案】B 【解析】 【分析】原命题为存在性量词命题，按规则可写出其否定.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠， 故选：B.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.4. 已知函数()21,222,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩则[(1)]f f =（ ） A. －12B. 2C. 4D. 11【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的分段条件，先求得()13f =，进而求得[(1)]f f 的值，得到答案.【详解】由题意，函数()21,222,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩，可得()21123f =+=， 所以1[(1)](3)3432f f f ==+=-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，代入准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.5. 设函数2()2(4)2f x x a x =+-+在区间(,3]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 7a ≥- B. 7a ≥C. 3a ≥D. 7a ≤-【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质即可求解. 【详解】函数()f x 的对称轴为4x a =-， 又函数在(,3]-∞上为减函数，43a ∴-，即7a ．故选：B.【点睛】本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题. 6. 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=35，则m 等于（ ） A. ﹣3 B. 3C. 163D. ±3【答案】B 【解析】 试题分析：3sin 5θ==，解得3m =. 考点：三角函数的定义.7. 设函数f(x)＝3232ax x ++，若f′(－1)＝4，则a 的值为( ) A.193B.163C.133D.103【答案】D 【解析】 【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数()f x 的导函数2()36f x ax x '=+，因为f′(－1)＝4，即364a -=，解得103a =故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题. 8. cos20cos10sin160sin10︒︒-︒︒=（ ） A. 3-B.32C. 12-D.12【答案】B 【解析】 【分析】首先由诱导公式可得sin160°=sin20°，再由两角和的余弦公式即可求值.【详解】cos20°cos10°–sin160°sin10°＝cos20°cos10°–sin20°sin10°＝cos30°3=．故选B ． 【点睛】本题考查了诱导公式和两角和的余弦公式，直接运用公式即可得到选项，属于较易题. 9. 函数241xy x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10. 函数2xy x =+的零点所在的区间是 （ ） A. (2,1)-- B. (1,0)- C. (0,1) D. (1,2)【答案】B 【解析】试题分析：记()2xf x x =+，则27(2)2(2)0,4f --=+-=-<11(1)2(1)0,2f --=+-=-< 0(0)2010,f =+=>所以零点所在的区间为(1,0).-考点：本题主要考查函数的零点存在定理.点评：对于此类题目，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的正负即可，一般出选择题.11. 已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2021)等于（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由f (x ＋4)＝f (x )知函数的周期为4，则f (2021)()()505411f f =⨯+=，然后再利用奇偶性求解.【详解】因为f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，即函数的周期为4， 当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，所以f (2021)()()()50541112f f f =⨯+==--=-， 故选：C【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.12. 将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ） A. πcos 12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 7cos 4π12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C. πsin 412y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. πsin 12y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换和伸缩变换的应用求出结果. 【详解】将πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度， 得到ππ7πcos 2cos 28312y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 然后横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到7ππcos sin 1212y x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，属于中档题.第Ⅱ卷二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为_______【答案】直角三角形 【解析】 【分析】根据正弦定理,将条件式子转化为角的表达式,结合正弦的和角公式即可求得角A,进而判断三角形形状.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A += 即()2sin sin B C A +=,而()sin sin B C A +=所以2sin sin A A = 因为在三角形中sin 0A ≠ 所以1sin A = 所以2A π=,即ABC ∆为直角三角形故答案为: 直角三角形【点睛】本题考查了三角函数恒等变形及三角形形状的判断,正弦定理边角转化的应用,属于基础题.14. 已知sin 3cos 3cos sin αααα+-＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是________【答案】25【解析】【分析】利用商数关系得到sin 3cos 3cos sin αααα+-tan 353tan αα+==-，解得tan α，代入sin 2α－sin αcos α22tan tan 1tan ααα-=+求解.【详解】sin 3cos 3cos sin αααα+-tan 353tan αα+==-，解得tan 2α=，所以sin 2α－sin αcos α2222tan tan 2221tan 125ααα--===++， 故答案为：25【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15. 已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222 a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为______； 3【解析】 【分析】先根据222 a b c bc =+-以及余弦定理计算出A 的值，再由面积公式1sin 2S bc A =即可求解出ABC ∆的面积.【详解】因为222 a b c bc =+-，所以2cos 1A =，所以3A π=，所以11sin 422ABCSbc A ==⨯=【点睛】本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易. 三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积. 三解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC 【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B 7=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A ∴sin A =2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC 边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 18. 已知α是第二象限角，tan 2α，求下列各式的值：（1）()3π5πsin cos 22cos πααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；（2）15πtan 2021π4sin 22αα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）3；（2）143-． 【解析】 【分析】（1）首先根据诱导公式化简，再代入正切值求解.（2）首先利用诱导公式化简，再根据二倍角和两角差的正切公式化简，最后用tan α表示原式，计算结果.【详解】（1）()3π5πsin cos cos sin 221tan 3cos πcos ααααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==-=--．（2）15π1πtan tan 2021π4cos 24sin 22αααα⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 222222cos sin 1tan 1tan 1214143cos sin 1tan 1tan 12143αααααααα+-+++=+=+=-=--+---． 【点睛】本题考查三角恒等变形，利用正切值表示sin ,cos αα的齐次分式，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握公式.19. 已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-（1）求()f x 的最小正周期； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值，最小值. （3）求f (x )的单调递减区间.【答案】（1）π；（2，最小值是1-；（3）5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式和辅助角法，将函数转化为()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式求解. （2）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解. （3）由正弦函数的单调性，令3222242k x k πππππ+≤+≤+求解. 【详解】（1）函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-，cos 2sin 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==； （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,,sin 24444x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以()f x ，最小值是1-. （3）令3222242k x k πππππ+≤+≤+， 解得588k x k ππππ+≤≤+，所以f (x )的单调递减区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20. 函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）如何由函数g (x )=sin x 的图像变化得到函数f (x )的图像？ （3）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f (x 的最值及其对应的的值. 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）详见解析；（3）当6x π=时，函数f (x 的取得最大值2，当2x π=时，函数f (x 的取得最小值-1.【解析】 【分析】（1）根据函数的图象可得：31132,41264T A πππ==-=，进而求得ω，然后再根据函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭求解. （2）直接利用三角函数图象的伸缩变换和平移变换求解.（3）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，然后利用正弦函数的值域求解. 【详解】（1）由函数的图象可得：31132,41264T A πππ==-=， 所以,2T πω==，又函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得26k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由函数g (x )=sin x 的图像纵坐标不变，向左平移6π个单位得到sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 再将sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，纵坐标不变，横坐标缩为原来的12得到sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 ，然后再将sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数f (x )的图像；（3）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以712,,sin 2,166662x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以当262x ππ+=，即6x π=时，函数f (x 的取得最大值2，当7266x ππ+=，即2x π=时，函数f (x 的取得最小值-1.【点睛】本题主要考查由三角函数的图象求解析式，三角函数的图象变换以及性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 21. 已知二次函数2()1(,),f x ax bx a b R x R =++∈∈．（1）若函数()f x 的最小值为(1)0f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[3,1]-上恒成立，求k 的范围． 【答案】（1）2(1)2f x x x =++，增区间(1,)-+∞，减区间为(,1)-∞-；（2）3(,)4-∞【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴和最值得到012(1)10a b a f a b >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=-+=⎪⎩，解得答案. （2）化简得到21x x k ++>，计算2211[1,7]2x x x ⎛⎫++=+∈ ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】（1）依题2()1(,)f x ax bx a b R =++∈，x ∈R ，为1个二次函数，且最小值为(1)0f -=．则有012(1)10a b af a b >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=-+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，则2(1)2f x x x =++；故2(1)2f x x x =++的增区间为(1,)-+∞，减区间为(,1)-∞-．（2）2(1)2f x x x =++，则2()21f x x x x k =++>+在[3,1]-上区间恒成立， 即21x x k ++>在区间[3,1]-上恒成立，又22131[,7]2434x x x ⎛⎫++=+∈ ⎪⎝+⎭，其中[3,1]x ∈-，故有34k <．综上所述，k 的取值范围3(,)4-∞．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.22. 已知函数2()3ln .f x x x x =--（1）求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 在1[,3]2上的最大值与最小值. 【答案】（1）22y x =-+；（2）63ln3-. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，根据单调性求函数的最大值和最小值，端点时可能的最大值，再通过做差比较大小，求最大值. 【详解】（1）()23ln f x x x x =--，()()2323210x x f x x x x x--'∴=--=>，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为()12k f '==-，()10f =，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()21y x =--，即22y x =-+；（2）()()()212323x x x x f x x x+---'∴==，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 当13,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以，()min 3333ln 242f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 因为113ln 224f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()363ln3f =-， 所以，()2111363ln 663ln 0244f f e ⎛⎫-=->->⎪⎝⎭，则()132f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为63ln3-. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题.。
2021年陕西省西安市高新一中高考数学二模试卷(理科)
2021年陕西省西安市高新一中高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若在复平面内，复数z =2+mi(m ∈R)对应的点位于第四象限，且|z|=4，则m =( )A. −2√3B. 4√3C. 2D. 2√32. 已知集合M ={x|12≤x <3}，函数f(x)=ln(1−x)的定义域为N ，则M ∩N =( )A. (0,12]B. (0,12)C. [12,1]D. [12,1)3. 地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强.地震预警是指在地震发生后，利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警，通过地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间.2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警报，已知纵波传播速度约为5.5～7千米秒，横波传播速度约为3.2～4千米秒，长宁县距成都约261千米，则成都预警时间(电波与横波到达的时间差)可能为( )A. 51秒B. 56秒C. 61秒D. 80秒4. 鼎被誉为中国历史上的传国重器，是青铜器文化的代表，是国家权力的象征，有着鼎盛千秋的寓意.1939年在河南安阳出土的后母戊鼎是一件形制巨大、工艺精巧、威武庄严的商后期青铜祭器，该器重832.84kg ，口长112cm ，口宽79cm ，连耳高133cm ，厚6cm ，某中学青铜文化研究小组的同学发现鼎的耳、身足的高度之比约为3：4：4.据此推算，后母戊鼎的器腹容积最贴近的是( )A. 218000cm 3B. 246000cm 3C. 284000cm 3D. 324000cm 35. 已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项积，若S7S 2=32，则S 9=( )A. 1024B. 512C. 256D. 1286. 已知函数f(x)={−log a x,x ≥32−x,x <3，则“函数f(x)在R 上单调递减”，是“a >1”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A. 1−π4C. π4D. 1−π128.函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则2f(x)>1在区间(0,π)上的解集是()A. (0,π3)B. (0,π4)C. (π4,π3 )D. (0,π4)∪(11π12,π)9.已知函数f(x)=−xlnx1+x在x=x0处取得最大值，则下列选项正确的是()A. f(x0)=x0<12B. f(x0)=x0>12C. f(x0)=x0=12D. 12<f(x0)<x010.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A. √3B. √2C. 2√33D. 211.若关于x的方程(lnx−ax)lnx=x2存在三个不等实根，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1e2−1e) B. (1e2−1e,0) C. (−∞,1e−e) D. (1e−e,0)12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面α使B1P//平面α，A1Q//平面α，若直线B1D1∩平面α=M，则MD1MB1的值为()A. 14B. 13C. 12D. 23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知二项式(a+2√x)7的展开式中常数项为−1，x2项系数为______ ．14.已知两个非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=|a⃗−b⃗ |=2，则a⃗在b⃗ 方向上的投影为______ ．15.将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同的放法共有____种．16.在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若A=3π，tanC=3，b=2，则△ABC的面积S=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值m m<185185≤m<205m≥205等级三等品二等品一等品(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似地服从正态分布N(218,140)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n,S nn)在直线y=x+4上，数列{b n}满足：b n+2−2b n+1+b n=0(n∈N∗)且b4=8，前11项和为154(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式(2)令c n=32(a n−2)(2b n+5),数列{c n}前n项和为T n，求使不等式T n>k75对一切n∈N∗都成立的最大正整数k的值．19.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE//BC交AC于E，PF//AC交BC于F.沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．(Ⅰ)求证：B′C//平面A′PE．(Ⅱ)设APPB=λ，当λ为何值时，二面角C−A′B′−P的大小为60°？20.已知a∈R，函数f(x)=lnx−a(x−1)．(Ⅰ)若a=1e−1，求函数y=|f(x)|的极值点；(Ⅱ)若不等式f(x)≤−ax2e2+(1+2a−ea)xe恒成立，求a的取值范围．(e为自然对数的底数)21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其离心率为e=√22．(1)若a=2，点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．(2)是否存在过椭圆C的右焦点F的直线l，使得其与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，且满足坐标原点O关于点M的对称点在椭圆C上.若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由．22.在直角坐标系xOy中，点P(1,2)在倾斜角为α的直线l上．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=6sinθ．(1)写出l的参数方程及C的直角坐标方程；(2)设l与C相交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的最小值．23.已知函数f(x)=|x+3|+|x−1|的最小值为m．(1)求m的值；149答案和解析1.【答案】A【解析】解：依题意，√4+m2=4，解得m=±2√3，而在复平面内，z所对应的点位于第四象限，故m<0，∴m=−2√3，故选：A．由复数的模为4求得m值，结合复数z=2+mi(m∈R)对应的点位于第四象限得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D≤x<3}，【解析】解：∵集合M={x|12函数f(x)=ln(1−x)的定义域为N，∴N={x|1−x>0}={x|x<1}，∴M∩N=[1,1)．2故选：D．由对数函数的定义域求出集合N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意可知横波穿越的距离为16+261=277km，又横波传播的速度为：3.2～4千米/秒，∴横波到达的时间为：69.25～86.5625秒，∴预警时间为65.25～82.5625秒，故选：D．根据题意可知横波穿越的距离为277km，再根据横波传播的速度，即可作出判断．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．【解析】解：由题意可知鼎的器腹容积约为(112−6×2)×(79−6×2)×(4×1333+4+4−6)≈100×67×42.36=282812(cm 3)， 与选项C ，最贴近， 故选：C ．根据题中的条件，将鼎的长、宽、高表示出来，即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S 7S 2=32，则S7S 2=a 3a 4a 5a 6a 7=(a 5)5=32，则a 5=2， 则S 9=a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9=(a 5)9=512， 故选：B ．根据题意，由等比数列的性质可得S7S 2=a 3a 4a 5a 6a 7=(a 5)5=32，解可得a 5的值，又由S 9=a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9，变形可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意S n 是其前n 项积，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：函数f(x)在R 上单调递减⇔{a >12−3≥−log a 3⇔1<a ≤3， ∵(1,3]⫋(1，+∞)，∴函数f(x)在R 上单调递减是a >1的充分不必要条件． 故选：A ．求出函数f(x)在R 上单调递减的充要条件，再利用子集关系判断即可．本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题中要注意分段函数的端点处的函数值的处理．【解析】解：由题意，正方形的面积为22=4.圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1−π4，故选：A．由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由图象可知，T4=7π12−π3=π4，所以T=π，所以2πω=π，所以ω=2，则2×π3+φ=π2+kπ，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=−π6，所以f(x)=cos(2x−π6)，又2f(x)>1，即f(x)>12，所以−π3+2kπ<2x−π6<π3+2kπ，k∈Z，所以−π12+kπ<x<π4+kπ，k∈Z，因为x∈(0,π)，所以0<x<π4或11π12<x<π．故选：D．根据图象求出周期T，进而可求得ω，由图象经过点(π3,0)，即可求得φ，从而可得f(x)的解析式，再由余弦函数的性质即可求解不等式的解集．本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，余弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．【解析】解：∵f′(x)=−lnx−x−1 (x+1)2，令f′(x)=0，可知−lnx0−x0−1=0，即lnx0=−x0−1，且f′(x)在x>0时单调递减，∵x∈(0,x0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(x0,+∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴x=x0时f(x)取最大值，f(x0)=(−x0)(−x0−1)1+x0=x0，∵f(e−1)<0，f(e−2)>0，∴x0∈(e−2,e−1)，x0<12，∴f(x0)=x0<1 2故选：A．先求出导函数，再令其为零，设出零点，判断单调性，代入求出最大值，并根据范围求出其取值范围．本题考查导数求最值，注意当f′(x)=0求解不出时，可设而不求，继续解答问题，属于难题．10.【答案】A【解析】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得(2c)2=m2+n2−2mncos60°，即4c2=m2+n2−mn，设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义得m+n=2a1，m−n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1−a2，将m、n代入4c2=m2+n2−mn，得3a22−4c2+a12=0，令e1=c a1,e2=ca2，且e1=1e2，则3e22+e22−4=0，解得e2=√3．故选A．的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m−n=2a2，由此能求出结果．本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．11.【答案】C【解析】解：由题意知(lnxx )2−alnxx−1=0，令t=lnxx，t2−at−1=0的两根一正一负，由f(x)=t=lnxx ，f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)>0，解得：0<x<e，令f′(x)<0，解得：x>e，故f(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，故f(x)max=f(e)=1e，且x>e时，f(x)>0，若关于x的方程(lnx−ax)lnx=x2存在三个不等实根，只需令t2−at−1=0的正根a+√a2+42满足：0<a+√a2+42<1e，解得：a∈(−∞,1e−e)，故选：C．由题意知(lnxx )2−alnxx−1=0，令t=lnxx，得t2−at−1=0的两根一正一负，由f(x)=t=lnxx，求出函数的导数，根据函数的单调性求出f(x)的最大值，问题转化为关于a的不等式，解出即可．本题是考查函数的性质及零点的相关知识，考查二次函数的性质以及导数的应用，是一道综合题．12.【答案】B【解析】解：取BC的中点T，连接PT，B1T，QT，取A1D1的中点N，C1D1的中点K，连接NK，ND，KD，AC，A1C1，QT，在正方形ABCD中，AC//PT，在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1//KN ，由截面ACC 1A 1为矩形，可得AC//A 1C 1，可得PT//NK ，又PT ⊄平面DNK ，NK ⊂平面DNK ，可得PT//平面DNK ，由QT//AB ，AB//A 1B 1，可得QT//A 1B 1，且QT =A 1B 1，可得四边形A 1B 1TQ 为平行四边形，即有B 1T//A 1Q ，又ND//A 1Q ，可得B 1T//ND ，B 1T ⊄平面DNK ，ND ⊂平面DNK ，可得B 1T//平面DNK ，且B 1T ∩PT =T ，可得平面B 1TP//平面DNK ，由B 1P ⊂平面B 1TP ，可得B 1P//平面DNK ，由ND//A 1Q ，A 1Q ⊄平面DNK ，ND ⊂平面DNK ，可得A 1Q//平面DNK ，结合题意可得平面BNK 即为平面α，由NK 与B 1D 1交于M ，在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1//KN ，可得MD 1MB 1=13， 故选：B ．取BC 的中点T ，连接PT ，B 1T ，QT ，取A 1D 1的中点N ，C 1D 1的中点K ，连接NK ，ND ，KD ，AC ，A 1C 1，QT ，由线面平行的判定定理和面面平行的判定定理、性质定理，可得B 1P//平面DNK ，A 1Q//平面DNK ，结合题意可得平面BNK 即为平面α，结合三角形的中位线定理可得所求值．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．13.【答案】−560【解析】解：∵二项式(a +2√x)7的展开式的通项公式为T r+1=C 7r ⋅a 7−r ⋅2r ⋅x r 2， 令r 2=0，求得r =0，可得展开式中常数项为a 7=−1，∴a =−1．再令r 2=2，可得r =4，可得展开式中x 2项系数为C 74⋅a 3⋅16=−560， 故答案为：−560．由题意利用二项展开式的通项公式，求得x 2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．14.【答案】1【解析】解：由|a⃗−b⃗ |=2，得a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4，又|a⃗|=|b⃗ |=2，∴4+4−2×2×2cos<a⃗,b⃗ >=4，，即cos<a⃗,b⃗ >=12=1．∴a⃗在b⃗ 方向上的投影为|a⃗|cos<a⃗,b⃗ >=2×12故答案为：1．由已知求得cos<a⃗,b⃗ >，再由数量积的几何意义求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积的几何意义，是基础题．15.【答案】24【解析】【分析】本题考查分步计数原理的应用，注意用间接法分析．根据题意，用间接法分析，先计算三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格中任意两颗棋子不同行、不同列的放法数目，再排除其中在同一条对角线上的数目，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，用间接法分析：若三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，且任意两颗棋子不同行、不同列；第一颗棋子有3×3=9种放法，第二颗棋子有2×2=4种放法，第三颗棋子有1种放法，则任意两颗棋子不同行、不同列的放法有9×4×1=36种，其中在正方形的同一条对角线上的放法有2×A33=12种，则满足题意的放法有36−12=24种；故答案为：24．16.【答案】6【解析】解：在△ABC 中，因为tanC =34，可得sinC =35，cosC =45，又A =3π4，所以sinB =sin(A +C)=sin(3π4+C)=√22(cosC −sinC)=√210， 由正弦定理b sinB =c sinC ，可得√210= c 35，解得c =6√2，故△ABC 的面积S =12bcsinA =6， 故答案为：6．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C ，cos C 的值，利用两角和的正弦公式可求sin B 的值，进而根据正弦定理可得c 的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：(1)根据抽样调查数据可知：一、二等品所占比例的估值=0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875<0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定．“质量提升月”活动前该企业生产的这种产品的质量指标值的均值约为：170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4．“质量提升月”活动后该企业生产的这种产品的质量指标值X 近似地服从正态分布N(218,140)，则E(X)=218．∴“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了=218−200.4=17.6．(2)由频率分布直方图可知：一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，一、二、三等品的件数分别为：3，4，1． 再从这8件中随机抽取4件，抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的情况有2种：①一、二、三等品的件数分别为：2，1，1.②一、二、三等品的件数分别为：1，2，1．故所求概率P =C 32C 41C 11+C 31C 42C 11C 84=37．【解析】(1)根据抽样调查数据可得一、二等品所占比例的估值，即可得出结论．利用组中点值乘以概率可得“质量提升月”活动前该企业生产的这种产品的质量指标值的均值，“质量提升月”活动后该企业生产的这种产品的质量指标值X 近似地服从正态分布N(218,140)，可得E(X)=218.即可得出结论．(2)由频率分布直方图可知：一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125.故在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，一、二、三等品的件数分别为：3，4，1.再从这8件中随机抽取4件，抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的情况有2种：①一、二、三等品的件数分别为：2，1，1.②一、二、三等品的件数分别为：1，2，1.利用互斥、相互独立事件的概率计算公式即可得出．本题考查了频率分布直方图的有关计算、正态分布图的应用、互斥、相互独立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意，得S nn=n+4，即S n=n2+4n，故当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+4n−(n−1)2−4(n−1)=2n+3，∵n=1时，a1=S1=5，当n=1时，n+4=5，∴a n=2n+3,n∈N∗，又b n+2−2b n+1+b n=0，∴{b n}为等差数列，∴11(b4+b8)2=154，∵b4=8，∴b8=20，∴d=20−88−4=3，∴b n=b4+3(n−4)=3n−4，即b n=3n−4，n∈N∗．(2)c n=32(a n−2)(2b n+5)=32[(2n+3)−2][2⋅(3n−4)+5]=32(2n+1)(6n−3)=12(2n+1)(2n−1)=14(12n−1−12n+1)，∴T n=14(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=14(1−12n+1)=n4n+2，∵T n+1−T n=n+14n+6−n4n+2=1(4n+6)(2n+1)>0，∴T n单调递增，故(T n )min =16， 令16>k 75，得k <1212，∴k max =12． ∴使不等式T n >k 75对一切n ∈N ∗都成立的最大正整数k 的值为12．【解析】(1)由已知条件推导出S n =n 2+4n ，由此能求出a n =2n +3,n ∈N ∗，由b n+2−2b n+1+b n =0，知{b n }为等差数列，由此求出b n =3n −4，n ∈N ∗．(2)c n =32(a n −2)(2b n +5)=14(12n−1−12n+1)，由此利用裂项求和法能求出T n =14(1−12n+1)=n 4n+2，由此能求出使不等式T n >k 75对一切n ∈N ∗都成立的最大正整数k 的值．本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的最大正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19.【答案】(Ⅰ)证明：∵FC//PE ，FC ⊄平面A′PE ，∴FC//平面A′PE ．∵平面A′PE ⊥平面ABC ，且A′E ⊥PE ，∴A′E ⊥平面ABC ．同理，B′F ⊥平面ABC ，∴B′F//A′E ，从而B′F//平面A′PE ．∴平面B′CF//平面A′PE ，从而B′C//平面A′PE ．(Ⅱ)以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．则C(0,0，0)，A′(0,a λ+1,λa λ+1)，B′(λa λ+1,0,a λ+1)，P(λa λ+1,a λ+1,0)．∴CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a λ+1,λa λ+1)，A′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λa λ+1,−a λ+1,(1−λ)a λ+1)，B′P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,aλ+1,−aλ+1)．平面CA′B′的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(1λ,λ,−1)， 平面PA′B′的一个法向量n⃗ =(1,1,1)． 由|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=|1λ+λ−1|√1λ2+λ2+1⋅√3=cos60°=12， 化简得1λ2+λ2−8λ−8λ+9=0，解得λ=7±3√52．【解析】(I)利用线面平行的判定定理即可证明FC//平面A′PE.再利用线面垂直的性质定理即可证明B′F//A′E ，进而得到B′F//平面A′PE.利用面面平行的判定定理即可得到平面B′CF//平面A′PE，从而得到线面平行；(II)通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．熟练掌握线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、面面平行的判定与性质定理、线面平行、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的方法等是解题的关键．20.【答案】解：(Ⅰ)若a=1e−1，则f(x)=lnx−x−1e−1，f′(x)=1x −1e−1．当x∈(0,e−1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e−1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．又因为f(1)=0，f(e)=0，所以当x∈(0,1)时，f(x)<0；当x∈(1,e−1)时，f(x)>0；当x∈(e−1,e)时，f(x)>0；当x∈(e,+∞)时，f(x)<0．故y=|f(x)|的极小值点为1和e，极大值点为e−1．(Ⅱ)不等式f(x)≤−ax2e2+(1+2a−ea)xe，整理为lnx+ax2e2−(1+2a)xe+a≤0.…(∗)设g(x)=lnx+ax2e2−(1+2a)xe+a，则g′(x)=1x +2axe2−1+2ae(x>0)=2ax2−(1+2a)ex+e2e2x=(x−e)(2ax−e)e2x．①当a≤0时，2ax−e<0，又x>0，所以，当x∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)递增；当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)递减．从而g(x)max=g(e)=0．故，g(x)≤0恒成立．②当a>0时，g′(x)=(x−e)(2ax−e)e2x =(x−e)(2ae2−1ex)．令2a e 2−1ex =a e 2，解得x 1=e a ，则当x >x 1时，2a e 2−1ex >ae 2；再令(x −e)a e 2=1，解得x 2=e 2a +e ， 则当x >x 2时，(x −e)ae 2>1．取x 0=max(x 1,x 2)，则当x >x 0时，g′(x)>1．所以，当x ∈(x 0,+∞)时，g(x)−g(x 0)>x −x 0，即g(x)>x −x 0+g(x 0).这与“g(x)≤0恒成立”矛盾．综上所述a 的取值范围是(−∞,0]．【解析】本题(1)先求f(x)的导函数，利用导函数值的正负得到f(x)的单调性，通过特殊点(1,0)，(e,0)得出函数f(x)值的正负情况，根据绝对值函数的特征，求出|f(x)|的极值点；(2)将原关系式转化为恒成立问题，利用导函数求最值，解不等式得到本题结果．本题考查了导函数的综合应用，还考查了分类讨论的数学思想．本题思维质量高，计算量大，属于难题．21.【答案】解：(1)由题意可得e =c a =√22，a =2，所以c =√2，b 2=a 2−c 2=4−2=2， 则椭圆的方程为x 24+y 22=1．设A(x 0,y 0)，B(t,2)，其中x 0≠0，因为OA ⊥OB ，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即tx 0+2y 0=0，所以t =−2y 0x 0， ①当x 0=t 时，y 0=−t 22，而A 在椭圆上， 则x 024+y 022=1，即t24+(−t 22)22=1，解得t =±√2，故此时直线AB 的方程为x =±√2；圆x 2+y 2=2的圆心(0,0)到AB 的距离为√2，此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切；②当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即(y 0−2)x −(x 0−t)y +2x 0−ty 0=0，圆心(0,0)到直线AB 的距离d =00√(y0−2)2+(x 0−t)2，又x 024+y 022=1，t =−2y 0x 0，故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4+4y 0x 02=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2，此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．综上可得，直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．(2)由题意可得e =c a =√22，a 2=b 2+c 2， 故b =c =√22a ，椭圆C 的方程为x 22c 2+y 2c 2=1，右焦点F(c,0)， 设过F 的直线l 的方程为x =ty +c 或x =0，当l 为x =0时，AB 的中点M 即为原点O ，显然不满足题意；当直线l 的方程为x =ty +c 时，由{x =ty +c x 2+2y 2=2c2可得(2+t 2)y 2+2tcy −c 2=0， 则y A +y B =−2tc 2+t 2，故y M =y A +y B 2=−tc2+t 2，由M 在直线l 上，可得x M =ty M +c =−t 2c 2+t 2+c =2c2+t 2， M(2c 2+t 2,−tc 2+t 2)，则点O 关于M 的对称点O′的坐标为(4c2+t 2,−2tc 2+t 2)，又O′在椭圆上，可得(4c 2+t 2)2+2(−2tc 2+t 2)2=2c 2，即8+4t 2=(2+t 2)2，即t 4=4，解得t =±√2，此时直线l 的斜率为k =1t =±√22， 所以存在满足题意的直线l ，斜率为±√22．【解析】(1)由椭圆的离心率公式，结合a ，b ，c 的关系，求得椭圆方程，由向量垂直的条件，结合直线和圆的位置关系的判断，计算可得结论；(2)设过F 的直线l 的方程为x =ty +c 或x =0，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合点满足椭圆方程，解方程可得结论．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系、直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)点P(1,2)在倾斜角为α的直线l 上．则：直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数)． 曲线C 的方程为ρ=6sinθ.由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，所以：曲线C 的直角坐标方程是x 2+y 2−6y =0．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程得：t 2+t(2cosα−2sinα)−7=0．因为△=(2cosα−2sinα)2+28>0，t1+t2=2sinα−2cosα，t1t2=−7<0，所以|t1|+|t2|=|t1−t2|.所以1|PA|+1|PB|=|t1−t2||t1t2|=√(t1+t2)2−4t1t27=√32−4sin2α7≥2√77，当α=45°时等号成立．因此1|PA|+1|PB|取最小值2√77．【解析】(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的性质的应用．23.【答案】解：(1)f(x)=|x+3|+|x−1|≥|x+3+1−x|=4，当且仅当(x+3)(x−1)≤0时取等号，即−3≤x≤1，∴m=4．(2)由(1)可知a+b=4，∴1a +4b=a+b4a+a+bb=54+b4a+ab≥2√b4a⋅ab+54=94．当且仅当b4a =ab时取等号，即a=43,b=83时取等号，所以1a +4b≥94．【解析】本题考查了绝对值三角不等式，基本不等式的应用与不等式证明，属于中档题．(1)利用绝对值三角不等式求出m；(2)利用基本不等式证明．。
精品解析：陕西省咸阳市高新一中2020-2021学年高三上学期第五次质量检测理科数学试题(解析版)
咸阳市高新一中2021届高三年级第五次质量检测（理科数学）第Ⅰ卷一、选择题1. 若全集{}2,1,0,1,2U =--，{}2,2A =-，{}2|10B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}1,1-D. 0【答案】D 【解析】【分析】先求出集合B ，由图可知，阴影部分表示()UA B ，从而可求出答案【详解】解：由图可知阴影部分所表示的集合()UA B ，由210x -=，得1x =±，所以{}{}2|101,1B x x =-==-，因为{}2,2A =-，所以{}2,1,1,2A B =--，因为{}2,1,0,1,2U =--， 所以{}()0UA B =.故选：D.2. 设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【详解】本题采用特殊值法：当3,1a b ==-时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =-=-时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的既不充分也不必要条件.故选D.考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.3. 函数2()ln()f x x x =-的定义域为（ ） A. (0,1)B. [0，1]C. ()(),01,-∞⋃+∞D. (][),01,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据对数的真数大于零列关系，即可求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则20x x ->，即1x >或0x <， 故函数的定义域为()(),01,-∞⋃+∞. 故选：C.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，属于基础题.4. 曲线321y x x =-+在点()1,0处的切线方程为( )A. 1y x =-B. 1y x =-+C. 22y x =-D. 22y x =-+【答案】A 【解析】【分析】欲求在点()1,0处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决． 【详解】验证知，点()1,0在曲线上321y x x =-+，2'32y x =-，所以1|1x k y ='==，得切线的斜率为1，所以1k =；所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为：()011y x -=⨯-，即1y x =-．故选A ．【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．5. 函数()212log 6y x x =-++的单调增区间为（ ）A. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,32⎛⎫⎪⎝⎭C. ()2,3-D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求出定义域，然后根据复合函数单调性得出结论．【详解】260x x -++>，解得23x -<<，26u x x =-++在1(2,)2-上递增，在1(,3)2上递减， 又12log y u =在0>u 时是减函数，所以函数()212log 6y x x =-++的单调增区间为1(,3)2． 故选：B ．【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）6. 如图是由圆柱与圆锥组合而成几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π【答案】C【解析】【详解】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．7. 函数||4xeyx=的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除B；由(1),(3)f f可排除选项A、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.8. 在平行四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且4AE EC =，则DE =（ ） A.3144AB AD - B.3144AB AD + C.4155AB AD - D.4155AB AD + 【答案】C 【解析】【分析】由题意知()45AE AB AD =+，又DE AE AD =-，将AE 代入即可. 【详解】由4AE EC ，=得()4455AE AC AB AD ==+， 又DE AE AD =-， 则()441555DE AB AD AD AB AD =+-=-. 故选C【点睛】本题考查了平面向量基本定理，考查了向量的加减法运算及线性运算，属于基础题.9. a ，b 为平面向量，已知a ＝（2，4），a －2b ＝（0，8），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ） A. －45B. －35C. 35D. 45【答案】B 【解析】 【分析】设b ＝(x ，y )，根据a －2b ＝(0，8)，求得向量b ，再利用夹角公式cos 〈a ，b 〉＝||||a ba b ⋅⋅求解.【详解】设b ＝(x ，y )，则a －2b ＝(2，4)－(2x ，2y )＝(2－2x ，4－2y )＝(0，8)， 所以220428x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y ==-，故b ＝(1，－2)，|b |a ＝ 所以cos 〈a ，b 〉＝||||a ba b ⋅⋅＝＝－35.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10. 已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ） A. -1 B. 1C. 3D. 7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==， 335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．故选：B .【点睛】本题考查等差数列项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 11. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯(底面圆的周长的平方⨯高)，则由此可推得圆周率π的取值为 A. 3 B. 3.1C. 3.14D. 3.2【答案】A 【解析】【详解】设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得体积为：2πV r h =.由题意知()21212V r h π=⨯⨯. 所以()221π212r h r h π=⨯⨯，解得3π=. 故选A.12. 在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且4AC AD =，P 为BD 上一点，向量()0,0AP AB AC λμλμ=+>>，则41λμ+的最小值为（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A 【解析】【分析】由题意结合三点共线的性质首先得到,λμ的关系，然后结合均值不等式的结论求解41λμ+的最小值即可.【详解】由题意可知：4AP AB AD λμ=+，其中B,P,D 三点共线， 由三点共线的充分必要条件可得：41λμ+=，则：()41411648816μλλμλμλμλμ⎛⎫+=+⨯+=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当11,28λμ==时等号成立， 即41λμ+的最小值为16.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷二、填空题13. sin15sin75︒+︒的值是______.【答案】62【解析】【分析】用诱导公式化为同角，然后逆用两角和的正弦公式求解． 【详解】22sin15sin 75sin15cos152(sin15cos15)22︒+︒=︒+︒=︒+︒ 362(cos 45sin15sin 45cos15)2sin 602=︒︒+︒︒=︒=⨯=． 故答案为：62． 14. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10. 【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.15. 已知向量()()2112a b ==-，，，.若()()9,8ma nb m n R +=-∈，，则m n -的值为__________. 【答案】3-【解析】 【分析】根据向量坐标运算得到2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得答案.【详解】由向量()()2,1,1,2a b ==-，得()()2,29,8ma nb m n m n +=+-=-，则2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩解得25m n =⎧⎨=⎩，故3m n -=-.故答案为：3-.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力.16. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是______.①若直线m 平行于平面α内的无数条直线，则//m α；②若直线m 在平面α外，则//m α；③若直线//m n ，n ⊂平面α，那么直线m 就平行于平面α内的无数条直线；④αβ⊥，m αβ=，m n n β⊥⇒⊥；⑤m n ⊥，m α⊂，n βαβ⊂⇒⊥；⑥αβ⊥，n αβ=，m α⊂，////m m n β⇒；【答案】③⑥ 【解析】【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】①若直线m 平行于平面α内的无数条直线，m α⊂或//m α，①错； ②若直线m 在平面α外，则//m α或m 与平面α相交，②错；③若直线//m n ，n ⊂平面α，那么直线m 就平行于平面α内的无数条直线，正确； ④αβ⊥，m αβ=，m n ⊥，直线n 与平面β可能相交，可能平行，也可能在平面β内，不能得到垂直关系，④错；⑤m n ⊥，m α⊂，n β⊂，α与β可能平行，可能相交，不一定垂直，⑤错； ⑥αβ⊥，n αβ=，m α⊂，//m β，由线面平行的性质定理得//m n ，⑥正确．故答案为：③⑥．三、解答题17. 已知函数2()12af x x x =-+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]44-，；（2）(],3-∞.【解析】【分析】（1）利用判别式小于或等于零可得实数a 的取值范围. （2）利用参变分离法可得[]11,2,2a x x x ∃∈≤-成立，求出()1g x x x=-在[]1,2上的最大值后可得实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意得()2102af x x x =-+≥在R 上恒成立， ∴2404a ∆=-≤，解得44a -≤≤，∴实数a 的取值范围为[]4,4-.（2）由题意得[]21,2,122ax x x ∃∈-+≥成立， ∴[]11,2,2a x x x ∃∈≤-成立. 令()[]1,1,2g x x x x=-∈，则()g x 在区间[]1,2上单调递增，∴()()322max g x g ==， ∴322a ≤， 解得3a ≤，∴实数a 的取值范围为(],3-∞.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立（有解）问题，注意区分是R 上恒成立还是给定范围（其他范围）上的恒成立（有解），前者可利用判别式来求参数的取值范围，后者可转化为函数的最值来求参数的取值范围，后者还可以利用参变分离来求参数的取值范围.18. 在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1；（2）5. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可以得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，根据题设条件，求得sin ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos 5ADB ∠==；（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，之后在BCD ∆中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果.【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos 25825255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=. 所以5BC =. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+n n S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n n n T +=-⨯. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）因为233=+n n S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -= 所以，13,1,{3,1,n n n a n -==> （Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313n n n n b n ---==-⋅ 所以1113T b ==， 当1n >时， ()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-， 所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅()11121313313nn n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n n n T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合，综上可得：13631243n nn T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题.20. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＋的前n 项和为n T ，若不等式4n k T <对任意的n *∈N 都成立，求整数k 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-（2）最小值为2.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d ，0d ≠，由等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+，由数列的裂项相消求和可得n T ，由不等式恒成立思想可得142k，可得所求最小值． 【详解】因为53525S a ==，所以35a =；因为2a 是1a 和5a 的等比中项，所以2215a a a =，设公差为()0d d ≠，由题()()12111254a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =，2d =.所以21n a n =-.（2）证明：()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以142k ≥，2k ≥， 故整数k 的最小值为2.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21. 已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式000y f f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.22. 在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF .（2）求二面角A BF E --的大小.【答案】（1）见解析；（2）23π 【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小.【详解】（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥，∴BE ⊥平面DGEF ，∴BE FG ⊥， 由题意可得2FG FE ==∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=，∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==， ∴1cos<,222n mn m n m ⋅>===⨯⋅， 由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.。
陕西省普通高中2020-2021学年高三上学期第二次联考数学(理)试题
陕西省普通高中2020-2021学年高三上学期第二次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}220M x x x =+-≤，{}11N x x =-≤，则MN =（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]2,0- D ．[]2,1- 2．已知复数z 满是2()1mi z m R i +=∈-且||=2z ，则m 的值为（ ） A ．2 B ．-2或2C ．3.D ．-3或3 3．下列函数中是奇函数且对任意1x ，2x ∈R （12x x ≠），不等式()()122f x f x -<恒成立的是（ ）A ．()sin 2f x x =B ．()2222x x x x f x ---=+C ．()()2ln 1f x x =+D ．()cos f x x x =4．角3πα+的终边经过点()1,2P ，则tan 112tan 112παπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．12 C ．2- D ．12- 5．已知函数()f x 为定义在R 上的增函数且其图象关于点(2,0)对称，若()(2)g x f x =-，则不等式(3)(12)0g x g x ++-的解集为（ ）A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞D ．[2,4] 6．函数()()2sin 24x f x x π-=-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．7．如图为从一个半球中挖去一个长方体的三视图，其俯视图中圆的半径和正方形的边长均为2，正方形的中心与圆的圆心重合，则当正视图中矩形边a 取得最大值时，该几何体的体积为（ ）A ．1643π-B ．163π-C ．163π-D ．323π-8．已知()()sin sin cos sin 2f x x x πωϕωπϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω，ϕπ<）的最小正周期为π，若函数()f x 在区间2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值点，则ϕ的取值范围为（ ） A ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知角,a β满足sin(2)3sin αββ+=，若11tan tan tan λαβα-=，则实数λ的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610．已知a ∈R ，则“4332a a a a -≥-”成立的充要条件是（ ）A ．0a ≥B ．ln 2a ≥C ．1a ≥D ．0a ≤11．已知数列{},{}n n a b 满足11111121.1,0.2,,,233n n n n n n b a a b a b a b n ++++====+∈N ，令n n n c a b =-，则满足4110n c ≤的n 最小值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．1212．已知()2e xf x k x =-（k ∈R ），下列结论正确的是（ ） ①当1k =时，()0f x ≥恒成立；②当2k =时，()f x 的零点为0x 且0112x -<<-；③当2k e=时，1x =是()f x 的极值点；④若()f x 有三个零点，则实数k 的取值范围为240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. A ．①②④B ．①③C ．②③④D ．②④二、填空题13．已知函数3()(0)f x ax ax a =->的图象在0x =和1x =处的切线互相垂直，则a =________.14．若实数,x y 满足不等式组20220440x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--≤⎩，存在可行解(,)x y 满足60mx y m --=，则实数m 的最小值为________.15．在水平桌面上，有两两相切且半径均为2的四个黑球，有一个白球与这四个黑球均相切，则该白球球面上的点到桌面距离的最大值为______.三、双空题16．已知()333f x x x =-，过点()1,0A -的直线l 与()f x 交于不同的两点E ，F （异于点A ），记线段EF 的中点(),M s t ，则s =______；t 的取值范围为______.四、解答题17．如图，在ABC ∆中，AB 4=，M 为AB 的中点.（1）当3CM =时，求CA CB ⋅的值；（2）当ABC ∆的面积为8时，线段CM 上一点P ，满足()13CP CA CB =+，求222PA PB PC ++的最小值.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n S a +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21nn n a b a =+（n *∈N ），求证：123748n b b b +++<. 19．已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e ,R x f x m m -=-∈.（1）当12m =时，求函数()f x 的单调区间; （2）若函数()()14g x f x =-有两个零点：求实数m 的取值范围. 20．如图1，在直角梯形ABCD 中，E ，F 分别为AB 的三等分点，FG BC ，ED BC ∥，3AB =，2BC =，若沿着FG ，ED 折叠使得点A 和点B 重合，如图2所示，连结GC ，BD .（1）求证：平面GBD ⊥平面BCDE ；（2）求二面角B GC D --的余弦值.21．如图，在ABC 中，已知1,2,60AB BC ABC ︒==∠=，M 为BC 中点，E ，F 分别为线段AB ，AC 上动点（不包括端点），记EMB θ∠=.（1）当EM FM ⊥时，求证：EM =；（2）当60EMF ︒∠=时，求四边形AEMF 面积S 关于θ的表达式，并求出S 的取值范围.22．已知函数()2e cos222x fx x x x =+++-.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求证：()()ln 21f x x ≥+；（3）求证：()f x 有且仅有两个零点.参考答案1．A【分析】化简集合,A B ，按照交集定义，即可求解.【详解】{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =≤≤，[]0,1M N ⋂=.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】化简复数z 为(,)a bi a b R +∈形式，再由复数模的运算列方程解得m ．【详解】 由题意知2i 2(2)i 1i 2m m m z +-++==-，因为||2z =，所以22(2)(2)44m m -++=，即24m =，解得2m =±.故选B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题．3．B【分析】逐项判断()f x 是否为奇函数，是否满足()()max min 2f x f x -<.【详解】由题意知，符合题意的函数()f x 满足()()max min 2f x f x -<，A 选项中，当14x π=，234x π=时，()()122f x f x -=，与题意不符； B 选项中()()41211,14141x x x f x -==-∈-++，且()()f x f x -=-，符合题意；C 选项中()f x 的值域为[)0,+∞，()f x 为偶函数，故不符合题意；D 选项中()00f =，()22f ππ=，故不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性和最值，属于基础题.4．C【分析】 根据已知求出tan 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭，将所求式子分子“1”用tan 4π替换，再由两角和正切公式，即可求出结论.【详解】 由题意知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 1tan tan tan 12412tan 11tan tan 12412πππααπππαα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫+--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan 21243πππαα⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选:C.【点睛】本题考查三角函数定义、两角和正切公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 5．B【分析】由若()(2)g x f x =-知()g x 的图象关于原点对称，从而它是奇函数，()f x 是增函数，则()g x 是减函数，利用奇函数变形不等式为(3)(21)g x g x +≥-，再由减函数得解．【详解】由题意知()g x 为R 上奇函数且为减函数，不等式(3)(12)0g x g x ++-≥等价于(3)(12)g x g x +≥--，即(3)(21)g x g x +≥-，故321x x +≤-，解得4x ≥. 故选：B ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，由函数()g x 的定义与()f x 的性质可得()g x 的性质，从而可求解函数不等式．本题关键是确定()g x 的性质．6．A【分析】用排除法求解，化简()2sin 24x f x x =-为奇函数，排除,B D ，再用4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭函数值的符号，即可得出结论.【详解】 ()()22sin 2sin 2=44x x f x x x π-=--，因为()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，故排除B ，D ； 又因为210444f ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以排除C.故选:A.【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质是解题的关键，要注意选择题特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.7．B【分析】根据三视图要使a 最大，长方体四个顶点在球面上，求出a ，根据体积公式，即可求出结论.【详解】该几何体为半球中挖去一个长方体，当正视图中矩形边a 取得最大值时，矩形四个顶点在球面上，此时a ==，故挖去的长方体的体积为半球的体积为14168233ππ⨯⨯=，故该几何体的体积为163π-. 故选:B.【点睛】本题考查三视图求组合体的体积，注意几何体性质的应用，属于基础题.8．D【分析】由诱导公式和两角差的正弦化简()f x 为正弦函数，根据周期求出ω，求出()f x 取得最小值时x 的值，利用2,23x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即可求出ϕ的取值范围. 【详解】由题意知()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=-+=--，因为()f x 的最小正周期为π，故2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=--，令222x k πϕπ-=+（k ∈Z ） 得,24x k k Z ϕππ=++∈，则有22243k πϕπππ<++<， 解得52226k k πππϕπ-<<-， 令0k =得526ππϕ<<. 故选:D.【点睛】 本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题。
2020年11月陕西省咸阳市高新一中2021届高三上期第三次质量检测数学(理)试题(B卷)(解析版)
绝密★启用前 考试时间：2020年11月3日10：00--12：00陕西省咸阳市高新一中2021届高三年级上学期第三次质量检测(B 卷)数学(理)试题(解析版)时间：120分钟，满分：150分第Ⅰ卷一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 0C. 0或2D. 1【答案】B【解析】【分析】先化简集合A ，再根据A B ⊆求解.【详解】已知集合{}2{|}0,1A x x x ===，{1,,2}B m =， 因为A B ⊆，所以m =0，故选：B【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题.2. 设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式,然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <,据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法,充分性和必要性的判定,属于基础题. 3. 命题“,sin 0R αα∃∈=”的否定是（ ）A. ,sin 0R αα∃∈≠B. ,sin 0R αα∀∈≠C. ,sin 0R αα∀∈<D. ,sin 0R αα∀∈>【答案】B【解析】【分析】原命题为存在性量词命题,按规则可写出其否定. 【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈,sin 0α≠, 故选：B. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈,()p x ,其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈,()p x ,其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 4. 已知函数()21,222,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩则[(1)]f f =（ ） A. －12 B. 2C. 4D. 11 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的分段条件,先求得()13f =,进而求得[(1)]f f 的值,得到答案.。
【解析】陕西省咸阳市高新一中2020-2021学年高一上学期第三次考试数学试卷(A卷)
西安市第一中学2020-2021学年度第一学期期中考试学高二数学（文）试题一、选择题（每小题3分，共36分）1. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若150S =，则8a =（ ）. A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】B 【分析】 由()11581515+15222a a S a ⨯⨯==可得选项. 【详解】因为()115815815+15215022S a a a a ⨯⨯====，所以80a =，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和等差中项的性质，属于基础题.2. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列.若11a =，则3S =（ ） A. 15 B. 7 C. 8 D. 16【答案】B 【分析】根据已知条件求得公比q ，由此求得3S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+， 即211144a q a a q =+，()22440,20q q q -+=-=，2q，所以()33112712S ⨯-==-.故选：B3. 在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ）A. 4B. 16C. 8D. 32【答案】B等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,故选B .4. 命题“1x ∃≥，使21x >.”的否定形式是（ ） A. “1x ∃<，使21x >.” B. “1x ∃<，使21x ≤.” C. “1x ∀≥，使21x >.” D. “1x ∀≥，使21x ≤.”【答案】D 【分析】根据存在性命题的否定直接写出即可.【详解】命题“1x ∃≥，使21x >.”的否定形式为：1,x ∀≥“使21x ≤”， 故选：D【点睛】本题主要考查了含有存在性量词的命题的否定，属于容易题. 5. 若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的（ ） A. 充分条件B. 必要条件C. 既不是充分条件也不是必要条件D. 无法判断【答案】A 【分析】由于|a |＝1与a ＝1之间，前者成立不一定后者成立，而后者成立有前者必成立，即“a ＝1”是“|a |＝1”的充分非必要条件 详解】当a ＝1时，|a |＝1成立 但反过来，|a |＝1时，有a ＝±1 即|a |＝1时，a ＝1不一定成立 ∴“a ＝1”是“|a |＝1”充分条件 故选：A【点睛】本题考查了充要条件，命题A 、B 的关系：若A B ⇒，A 为B 的充分条件，B 为A 的必要条件；若A B ⇔，A 、B 互为充要条件 6. 条件p ：10a<，若p 不成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 0a < B. 0a ≤C. 0a >D. 0a ≥【答案】D 【分析】先求得条件p 对应的a 的取值范围，由此求得p 不成立时，a 的取值范围. 【详解】1:00p a a<⇔<， 若p 不成立，则0a ≥. 故选：D7. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为A. 2216448x y +=B. 2216416x y +=C. 221164x y += D.2211612x y += 【答案】D 【分析】根据长轴长求出a ，由离心率为12求出c ，从而求出b ，问题得解． 【详解】因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为8，所以28a =，即4a =，又离心率为12，所以12c a =，解得：2c =， 则222b a c =-=12，所以椭圆的标准方程为：2211612x y +=．故选D【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，属于基础题．8. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为（ ）A.13B.122 3【答案】C 【分析】由题意，2a b ＝，再用平方关系算得c b =，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率． 2 ∴222a b ＝，得2a b ＝， 又∵a 2＝b 2+c 2，∴2b 2＝b 2+c 2，可得2c b ==， 因此椭圆的离心率为e 22c a ==． 故选C ．【点睛】本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题． 9. 抛物线218y x = 的准线方程为（ ） A. 132y =-B. 2y =-C. 2x =-D.132x =-【答案】B抛物线的标准方程为：28x y = ， 据此可得抛物线218y x = 的准线方程为2y =- . 本题选择B 选项.10. 已知点()2,A a 为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于（ ） A. 3B.C. 2D.【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可直接求得结果.【详解】由抛物线方程知：()1,0F ，213AF ∴=+=. 故选：A .【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是熟练应用抛物线的定义得到焦半径公式.11. 已知双曲线的方程为22143x y -=，双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】C【分析】根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的右焦点为)F，双曲线的渐近线方程为y x =，即20y-=，所以点)F到渐近线的距离d ==故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12. 已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，若290PF Q ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B.C.1 D. 1【答案】D【分析】根据PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，290PF Q ∠=︒，可得112||||PF F F =，从而可得e 的方程，即可求得双曲线的离心率．【详解】解：PQ ∵是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，290PF Q ∠=︒， 112||||PF F F ∴=∴22b c a=，22b ac =，所以222c a ac -=2210e e ∴--=，1e >，12e ∴=+．故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题（每小题4分，共20分）13. 数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=+，则{}n a 的前21项和21S =_________． 【答案】651 【分析】由题意可得数列{}n a 是等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可【详解】解：因数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=+，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以21212021136512S ⨯=⨯+⨯=， 故答案为：651【点睛】此题考查等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题14. 已知命题p ：x y a =（0a >，且1a ≠）是增函数；命题q ：对任意的[]2,4x ∈，都有a x ≤成立，若命题p q ∧为真题，则实数a 的取值范围是______.【答案】(]1,2 【分析】先假设命题p 是真命题，得1a >；再假设命题q 是真命题，得2a ≤；再根据命题p q ∧为真题，可得命题,p q 均为真，由此即可求出结果.【详解】若命题p 是真命题，则1a >；若命题q 是真命题，则2a ≤；又命题p q ∧为真题，所以(]1,2a ∈；故答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了指数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15. 椭圆2221x y m+=的焦距是2，则m 的值是_________.【答案】 【分析】直观根据焦距为2，得到1c =，再根据222c a b =-，计算可得；【详解】解：因为椭圆2221x y m+=的焦距是2，所以1c =，即21c =，因为222c a b =-，所以211m =-，解得m =故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.16. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线2y x =垂直，则其离心率为________.【分析】根据渐近线方程by x a=±，可得2a b =，根据c ==以及离心率公式可得答案.【详解】因为渐近线方程by x a=±， 所以12b a =，则2a b =，22255c a b b b =+==， 故离心率为5c b a ==5. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率公式，属于基础题.17. 过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线l 交抛物线于点M ，N ，交抛物线的准线于点P ，若2PM PF =，则直线l 的倾斜角为__________. 【答案】π3或2π3. 【分析】作出抛物线准线，作MB 垂直于准线于B ，由2PM PF =，判断AF 是PMB △的中位线，进一步得出||22||PF p AF ==，则直线l 的倾斜角可求，注意两种情况. 【详解】解：,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,过,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭作出抛物线准线，则||AF p = 过M 作MB 垂直于准线于B ,则//MB x 轴 ∵2PM PF =，F 为PM 的中点，所以,02p A ⎛⎫-⎪⎝⎭是PB 的中点， AF 是PMB △的中位线，12AF MB =∴||2BM p =，即2FM p =，∴||22||PF p AF ==，∴π6APF ∠=，π3AFP ∠= 直线l 的倾斜角为π3或2π3 故答案为：π3或2π3. 【点睛】在抛物线中，结合三角形的有关知识和抛物线的定义考查求直线倾斜角的方法，同时考查运算求解能力和逻辑推理能力，基础题.三、解答题（共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．【答案】(1) 2nn a =. (2) 2622n S n n =-.试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列{}n b 的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前n 项和． 试题详细分析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得38a =，532a =，则38b =，532b =设{}n b 的公差为d ，则有1128{432b d b d +=+=解得116{12b d =-= 从而1612(1)1228n b n n =-+-=-所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-考点：等差、等比数列的性质19. 已知ABC 的三边长BC 、AC 、AB 成等差数列，且B 、C 的坐标分别为()30A -,、()3,0C .（1）求顶点B 的轨迹E 的方程.（2）求曲线E 的内接矩形的面积的最大值.【答案】（1）()22103627x y y +=≠；（2）. 【分析】（1）利用已知条件得到212BA BC AC AC +==>，得到点B 的轨迹E 是以A 、C 为焦点的椭圆，即可求出结论；（2）设椭圆的内接矩形为DFGH ，且()6cos D θθ，求出面积的表达式，利用三角函数的最值求解即可.【详解】（1）由已知得2126BA BC AC AC +==>=， 所以点B 的轨迹E 是以A 、C 为焦点的椭圆. 且3c =，6a =， 所以22227b a c =-=，故所求方程为()22103627x y y +=≠；（2）设椭圆的内接矩形为DFGH ，且第一象限内的点()6cos D θθ，则此矩形面积为4cos 2S θθθ=⨯=，当sin 21θ=时，最大面积为20. 已知椭圆2222x y C 1a b +=：()0,0a b >>4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程.【答案】(1) 221164x y += (2) 240x y +-=试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a ，b ，c 即可；（2）设直线斜率为k ，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k 的值，从而求出直线方程． 试题详细分析：（1）c e a ==，2b=4，所以a=4，b=2，c=221164x y +=（2）设以点()2,1P 为中点的弦与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=，分别代入椭圆的方程，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以()()1212480x x y y -+-=，所以121212y y k x x -==--，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=． 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.21. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解+析. 【分析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =， 此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =. 直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题。
陕西省部分重点高中2020-2021学年高三上学期12月联考理科数学试题
陕西省部分重点高中2020-2021学年高三上学期12月联考理科数学试题考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}380A x x x =++<，则A Z =∩A. {}83x x -<<- B. {}4,5,6,7 C. {}38x x << D.{}7,6,5,4----2.若z =，则A. 2z 的实部为1B. 2z 的实部为1-C. 2z 的虛部为-D. 2z 的虚部为3.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是A.从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势B.这10天白天的平均气温的极差大于6℃C.这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大D.这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 4.若函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则A. ()1f x +为偶函数B. ()1f x -为偶函数C. ()1f x +为奇函数D. ()1f x -为奇函数 5.在平行四边形ABCD 中，7CD ED =，且BE AD DE λμ=+，则λμ+= A. 5- B. 6- C.5 D.6 6.函数()()22sin 2cos sin f x x x x =-的最小正周期为 A.4π B. 2πC. πD. 34π7.若随机变量X 的分布列为则DX =A.16B.32C.18D.648.在ABC ∆中，3B π=，且ABC ∆的面积为ABC ∆外接圆的半径的最小值是A. B.6 C. D.129.若从1，3，5，7中选取两个数，从0，2，4，6，8中选取两个数，将这四个数组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的总个数为A.1296B.1320C.1440D.1524 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.12 B.1. C.32D.2 11.已知函数()()3213e 3xf x x x x a =--++，若()0f x >对x ∈R 恒成立，则a 的取值范團是A. ()3,+∞B. ()0,+∞C.22,3e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 24,3e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.已知双曲线C 的方程为2214x y m m+=+，给出下列四个结论： ①m 的取值范围是()4,0-； ②C 的焦距与m 的取值无关；③当C 的离心率不小于2时，m 的最小值为3-； ④存在实数m ，使得点()2,m m 在C 上. 其中结论正确的个数为A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置. 13.若1tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=- . 14.椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为 . 15.若函数()()991log 2log 4f x x x x ⎛⎫=+->⎪⎝⎭），则()f x 的值域为 . 16.已知底面为矩形的四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上， PA AD ⊥，PA AB =，PB =，且BC =.若球O 的体积为323π，则棱PB 的中点到平面PCD 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.（12分）在递增的等比数列{}n a 中，39a =，2430a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.（12分）某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究，记录了2020年6月份到10月份的广告费与纯利润，得到如下资料表：（1）根据6至10月份的数据，求出v 关于u 的线性回归方程；（2）该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告.附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni i i nii x y nx yb x nx==-∑=-∑，a y bx =-.19.（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，8BD =，6AC =，将ACD ∆沿AC 折到PAC ∆的位置使得4PD =.（1）证明：PB AC ⊥.（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20.（12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点,22p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，EF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，当E 到l 的距离最大时，求EPQ ∆的面积. 21.（12分） 已知函数()ln x f x x e=-. （1）若曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，求a 的取值范围. （2）证明：()23ln sin 4f x x x x <--. （二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选-题作答. 如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） x= 4cos a ，在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{4cos 44sin x y αα==-+（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 4sin m ρθρθ+=. （1）求C 的极坐标方程；（2）若l 与C 相交，求m 的取值范围.23.[选修4- 5：不等式选讲]（10分） 已知函数()3f x x a x a =-+-. （1）求不等式()1f x x a >+-的解集；（2）若()f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）1.D 因为{}83A x x =-<<-，所以{}7,6,5,4A Z =----∩. 2.B因为21z =--，所以2z 的实部与虚部分别为1-，-3.D 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势这10天白天的平均气温的极差大于6℃.这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0. 3，比其他平均气温的频率都要大.这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天.故选D.4.C 因为函数()f x 的图象关于点()1,0对称，所以将()f x 的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，故选C.5.A 因为7CD ED =，所以6CE DE =-，则6BE BC CE AD DE =+=-，所以165λμ+=-=-.6.A ()1sin 2cos 2sin 42f x x x x ==，因为sin 4y x =的最小正周期为242ππ=，所以()f x 的最小正周期为4π. 7.D ∵100.3200.5300.116EX =⨯+⨯+⨯=，∴2222160.160.340.5140.164DX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 8.A由三角形的面积公式可得1sin 2ac B ==36ac =.由余弦定理可得222b a c =+-2cos 236ac B ac ac ac -==≥，即6b ≥，则ABC ∆外接圆的半径2sin 322bR B==⨯（当且仅当6a c ==时，等号成立）.9.A 若0被选中，则不同的四位数的个数211314433C C C A 432N ==；若0不被选中，则不同的四位数的个数2241444C C A 864N ==.故不同的四位数的总个数为4328641296+=.10.B 由三视图可知，该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体棱的中点，其直观图如图所示.正视图的面积为1132222111222⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=，故该三棱锥的体积为一132132⨯⨯=.11.D ()()()()22222x f x x e x e x x x '=--+---，设函数()()1x x g x e x g x e =-+'=-，易证()()010g x g =>≥.令()0f x '>，得2x >；令()0f x '<，得2x <.所以()2min 403f x e a =-+>，故243a e >-. 12.C 由题意得()40m m +<，则40m -<<，故①正确.因为40m -<<，所以24a m =+，2b m =-，2224c a b =+=，则2c =，从而C 的焦距为4，与m 的取值无关，故②正确.若C 的离心率不小于2，则2e ==，解得3m -≤，故③不正确.假设存在实数m ，使得点()2,m m 在C 上，则4214m m m m+=+，则42340m m m ++-=.设函数()4234f m m m m =++-，因为()2100f -=>，()150f -=-<，从而存在()2,1m ∈--，使得()0f m =，故④正确. 13. 13 1sin cos tan 1123sin 2cos tan 232αααααα---===---14.6 因为49<，所以29a =，所以椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为26a =. 15.()0,1 因为()9922log log 1x f x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又2119x <+<，所以()f x 的值域为()0,1.16.3∵PA AB =，PB =，∴PA AB ⊥，又PA AD ⊥，AD AB A =∩， ∴PA ⊥平面ABCD .∵底面ABCD 为矩形，∴侧棱PC 为球O 的直径.设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，即2R =，又22R ==，解得2AB =.如图，过A 作AG PD ⊥于G ，取棱PA 的中点F ，连接EF .易证CD ⊥平面APD ，则CD AG ⊥，从而AG ⊥平面PCD .由等面积法可得3AG ==，则F 到平面PCD PCD的距离为123AG =∵EF AB CD ∥∥，∴EF CD ∥，则E 到平面PCD PCD 的距离等于F 到平面PCD 的距离， 故棱PB 的中点到平面PCD17.解：（1）由题意可得231324113301a a q a a a q a q q ⎧==⎪+=+=⎨>⎪⎩，解得11a =，3q =.故1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得2123n n a -=，则32log 21n n b a n ==-，故()2121135212n n n S n n +-=++++-==.18.解：（1）由表中数据可得()1101113129115u =⨯++++=，()2325302616245v =⨯++++=，515222151351511243.16155115i i i i i u v uvb u u==-∑-⨯⨯===-⨯-∑，24 3.11110.1a v bu =-=-⨯=-，故v 关于u 的线性回归方程为 3.110.1v u =-. （2）当15u =时， 3.11510.136.435v =⨯-=>， 所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告.19.（1）证明：因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 则BE AC ⊥，PE AC ⊥.因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE PE E =∩，所以AC ⊥平面PBE . 因为PB ⊂平面PBE ，所以PB AC ⊥.（2）解：取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF . 因为8BD =，所以4DE PE ==.因为4PD =，所以PD PE =，所以PO DE ⊥.由（1）可知AC ⊥平面PBE ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD .故以O 为坐标原点，OF ，OD ，OP 的方向分别为x，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题中数据可得()3,2,0A --，()0,6,0B -，()3,2,0C -，()0,2,0D ，(0,0,P ，则()3,4,0AB DC ==-，(BP =，(0,DP =-.设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则11134060m AB x y m BP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,m =-. 设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则22234020n DC x y n DP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得(n =. n. DP=-2y2+2/3z2=0，设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则cos 91m nm nθ⋅===. 20.解：（1）因为,22p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，EF =，=解得4p =，故抛物线C 的方程为28y x =. （2）由题意知，()2,0F ，因为直线l 过点F ， 所以当EF l ⊥时，点E 到l 的距离最大. 因为201222EF k -==---，所以直线l 的斜率为2，联立方程组()2228y x yx⎧=-⎨=⎩，消去y 得2640x x -+=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则126x x +=， 所以126410PQ x x p =++=+=.因为EF =，所以EPQ ∆的面积为1102⨯⨯=21.（1）解：()11f x x e'=-. 因为()f x 的定义域为()0,+∞，所以111x e e->-. 因为曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，所以11a e ->-， 解得0a <或a e >，则a 的取值范围为()(),0,e -∞+∞∪.（2）证明： ()11e x x e x f x e'-=-=. 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<. 所以()()max ln 0e f x f e e e==-=. 设函数()2ln g x x x =-，则()21212x g x x x x -'=-=.当x ⎛∈ ⎝⎭时， ()0g x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>.所以()min11111ln ln 2222222g x g ⎛==-=+ ⎝⎭.因为1ln 22>=， ()min 34g x >. 因为333sin ,444x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以23ln sin 04x x x -->. 又()()max 0f x f x =≤，所以()23ln sin 4f x x x x <--.22.解：（1）由{4cos 44sin x y αα==-+，得()22416x y ++=， 即2280x y y ++=，则C 的极坐标方程为28sin 0ρρθ+=， 即8sin 0ρθ+=（或8sin ρθ=-）.（2）因为l 的极坐标方程为340x y m +-=，所以l 的直角坐标方程为340x y m +-=.由（1）知，曲线C 表示圆心()0,4C -，半径为4的圆， 则C 到l 的距离1645m d +=<， 解得364m -<<，即m 的取值范围为()36,4-.23.解：（1）由()1||f x x a >+-，得31x a ->， 则31x a -<-或31x a ->，即31x a <-或31x a >+，故不等式()1f x x a >+-的解集为()(),3131,a a -∞-++∞∪.（2）因为()()1332f x x a x a x a a >+----=≥， 所以()f x 的最小值为2a .因为()f x >x ∈R 2a <， 又180a +≥，所以[)918,2,4a ⎛⎤∈--⋃+∞ ⎥⎝⎦.。
陕西省咸阳市高新一中2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题
B． 45o
C． 60o
D． 90o
7．若直线 l：kx－y＋2－k＝0 与圆 C : x2 y2 4x 2 y 4 0 交于 A，B 两点，则当VABC
周长最小时，k＝（ ）
A． 1
2
B． 1 2
C．1
D．－1
8．已知函数 f x 的导函数为 f x ，若对任意的 x 0 ，都有 f (x) 2 ，且 f (e) 3 ，
试卷第 2 页，共 5 页
以上说法正确的是（ ）
A．①③④
B．②③
C．②④
D．①②④
10．已知定义域为 R 的偶函数 f (x) 的图像是连续不间断的曲线，且 f (x 2) f (x) f (1) ，
对任意的
x1
， x2
[2, 0]，x1
x2
，
f
x1
x1
f
x2
x2
0
恒成立，则
f
(x)
2 为点 E . 将△ AED 沿 DE 折起，使得点 A 到点 P 的位放，且 PE EB ，连接 PB，PC，M，N 分别为 PC 和 EB 的中点.
(1)证明: MN / / 平面 PED ;
(2)求二面角 D MN C 的正弦值.
19．乒乓球是我国的国球，“乒乓精神”激励了一代又一代国人. 为弘扬国球精神，传承
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
6 ，且经过点 E( 6
6,
15) ．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若过点 M 3, 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为点 N ，求
△MNQ 面积的最大值．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由于 ，
，
，
则 ，即 .
故选D.
【点睛】
本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.
6．D
【分析】
分成 和 两种情况，结合二次函数的性质进行分类讨论，由此求得 的取值范围.
【详解】
当 时， ，在区间 上是减函数，符合题意.
当 时，二次函数对称轴为 ，要使 在区间 上是减函数，则需 ，解得 .
A． B． C． D．
7．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（）
A．向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
8．函数 部分图象大致为（）
三、解答题
17．设命题 ；命题 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
18．已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当 时， ，求：
（1） 与 的值；
（2） 的值；
（3） 的值.
19．已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
20．已知函数 ， ．
销售单价 （单位：百元）
4
5
6
7
8
日销售量 （单位：件）
110
100
90
80
70
该产品的进货浮动价与日销售量关系如下表所示：
日销售量 （单位：件）
120
100
90
60
45
进货浮动价 （单位：百元）
0.75
0.9
1
1.5
2
（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量 与销售单价 的关系 、进货浮动价 与日销售量 的关系 ；
（注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数）
（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？
（注：单件产品的利润 单件售价 （进货浮动价 进货固定价））
参考答案
1．B
【分析】
先化简集合 ,再求 得解.
【详解】
由题得 ，
由 ，得 ，解得 或 ，所以 或
因此 ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查分式不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．B
【分析】
由题意逐一考查所给函数的奇偶性和单调性即可求得最终结果．
【详解】
根据函数的基本性质，逐项判定：
对于A中，函数y=x3是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意；
对于B中，函数y=|x|+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增；
对于C中，函数y=-x2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意；
对于D中，函数y=2-|x|是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，函数的奇偶性判定及应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
9．C
【详解】
由题 为上的减函数，则 ，
解得 或 .
故选C.
本题主要考查函数单调性.
10．C
陕西省咸阳市高新一中2020-2021学年高三上学期第二次考试理科数学试题（B）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）
综上，a的取值范围是 .
故选：D
【点睛】
本小题主要考查二次函数的性质，属于中档题.
7．A
【分析】
先化简得 ，根据函数的图象变换即得解向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度.
故选：A
【点睛】
本题主要考查对数的运算，考查函数的图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
A． B． C． D．
9．已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为( )
A． B． C． D．
11．已知命题 ： ， ；命题 ： ，直线 ： 与圆 ： 有公共点，若 为真，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
8．D
【分析】
先判断函数的奇偶性得函数是偶函数，故排除BC，再根据正弦函数性质得 时，函数 ，故排除A，得D正确.
【详解】
解：函数 的定义域为 ， ，
故函数 是偶函数，可知B，C不正确；
当 时，函数 ，可知函数的图象为：D，A不正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据函数解析式选函数图象，考查正弦函数的性质，是中档题.
（1）若函数 为奇函数，求实数 的值．
（2）若对任意的 都有 成立，求实数 的取值范围．
21．设函数 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在区间 内单调递增，求 的取值范围.
22．某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：
12．已知直线 所过定点恰好落在函数 的图象上，若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数 ，则 ______.
14．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是______.
15． 的单调递增区间为_______________．
16．若命题“ ，使得 ”为假命题，则实数 的范围__________．
3．C
【解析】
不能推出 ，反过来，若 则 成立，故为必要不充分条件.
4．D
【分析】
交换“ ”与“ ”，再逐一否定.
【详解】
命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 或 ，则 ”.
故选：D.
【点睛】
此题为基础题，互为逆否的命题等价；“ 或 ”的否定是“非 且非 ”
5．D
【分析】
利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.
A． B． C． D．
3．设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．命题“若 ，则 ”的逆否命题是（）
A．若 ，则 ，或 B．若 ，则
C．若 ，或 ，则 D．若 或 ，则
5．设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 在区间 上是减函数，则a的取值范围是（）