专题复习圆与方程与平面向量(教师用)
圆系方程 高三数学复习圆系方程及教案 高三数学复习圆系方程及教案
圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。
这里主研究常用的一类圆系方程。
定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。
首先证明方程①表示圆。
由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。
其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。
设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。
故圆①经过A、B两点。
综上，定理1得证。
定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。
高三一轮复习圆与方程复习课课件
垂径定理的推论
不在同一直线上的三点可以确定一个圆。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的弧也相等。
圆周角定理的推论
弦心距定理的推论
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的圆周角也相等。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦的中 垂线必经过圆心。
03
圆的综合问题
圆的方程
圆的标准方程
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$为圆心，$r$为半径。
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的 半径。
切线长定理
经过圆外一点引圆的两条 切线，则这一点到切点的 距离等于从这点向圆所作 的两条切线的长度相等。
圆的综合问题
弦长问题
利用弦长公式计算弦长。
最值问题
利用几何意义求最值。
轨迹问题
利用轨迹方程求解。
THANKS
顶点。
垂径定理
02
过圆心且垂直于该圆的直径的直线平分该直径，且平分该直径
所对的弧。
切线性质
03
圆的切线垂直于过切点的半径。
圆与直线的位置关系
相交
直线与圆Байду номын сангаас两个不同的交点。
相切
直线与圆有一个或两个相同的交点。
相离
直线与圆没有交点。
圆的几何意义
圆心角
同弧或等弧所对的圆心角相等。
弦长
过圆心的弦为直径，长度为直径的弦长度为最短。
圆的性质
1 2
圆上三点确定一个圆的定理
不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，且只 有一个。
圆内接四边形的性质
对角互补，即相对的两个角的角度和为 $180^circ$。
3
专题复习圆与方程与平面向量(教师用)
专题复习――圆与方程知识点一 圆的方程1.圆的标准方程:222()()x a y b r -+-= ((,)C a b 为圆心,r 为半径) 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是:222x y r += 2.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）其中圆心(,)22D EC --，半径2242D E Fr +-=知识点二 点和圆的位置关系3.点和圆的位置关系给定点00(,)M x y 及圆C :222()()x a y b r -+-=①M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-< ②M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-= ③M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->知识点三 直线和圆的位置关系4.设圆C :222()()x a y b r -+-=； 直线:0l Ax By C ++= 22(0)A B +≠ 圆心(,)C a b 到直线l 的距离22||Aa Bb C d A B++=+教材梳理求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法：即列出关于,,D E F 的方程组，求,,D E F 而得到圆的一般方程，步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为022=++++F Ey Dx y x(2)根据已知条件，建立关于,,D E F 的方程组；(3)解方程组。
求出,,D E F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．知识点四 圆和圆的位置关系1.(2009重庆) 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 ( )A.22(2)1x y ＋－＝B .22(2)1x y ＋＋＝ C .22(1)(3)1x y －＋－＝ D .22(3)1x y ＋－＝ 解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2.(2009辽宁)已知圆C 与直线040x y x y －＝及－－＝都相切，圆心在直线0x y ＋＝ 上，则圆C 的方程为 ( )A.22(1)(1)2x y ＋＋－＝ B.22(1)(1)2x y －＋＋＝ C.22(1)(1)2?x y －＋－＝ D.22(1)(1)2x y ＋＋＋＝ 题组一 圆的方程的求法直线与圆的位置关系判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d 和圆r 的半径的大小关系来判断①d r =时，l 与C 相切；②d r <时，l 与C 相交；③d r >时，l 与C 相离.(2)代数法:由直线与圆的方程联立成方程组222()()0x a y b r Ax By C ⎧-+-=⎨++=⎩消元得到关于x （或y ）的一元二次方程, 然后由判别式∆来判断 ①相交⇔0∆> ②相切⇔0∆= ③相离⇔0∆<圆与圆的位置关系判断方法(1) 几何法：两圆的连心线长为l ，圆1C 的半径1r 与圆2C 的半径2r ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当12l r r >+时，圆1C 与圆2C 相离；②当12l r r =+时，圆1C 与圆2C 外切； ③当12l r r <+时，圆1C 与圆2C 相交；④当21l r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当210l r r ≤<-时，圆1C 与圆2C 内含.(2)代数法：由两圆的方程联立消元得到关于x （或y ）的一元二次方程, 然后由判别式∆来判断①=0∆⇔为外切或内切 ②0∆>⇔为相交 ③0∆<⇔为相离或内含解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，解得a ＝1，r ＝ 2. ∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3.若圆222(1)20x y a x ay a ＋＋－＋－＝关于直线10x y －＋＝对称，则实数a 的值为________．解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0的圆心(－a 2－12，－a )，所以－a 2－12＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1，当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3.题组二与圆有关的最值问题4. 若实数x y 、满足22(2)3x y －＋＝，则yx的最大值为________.，23x y -的最大值为________. 23x y -的最大值为________.解析：y x ＝y －0x －0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y x的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．设y x ＝k ，则kx －y ＝0.由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，结合图形可得(y x )max ＝3，(yx )min ＝－ 3.题组三与圆有关的轨迹问题5.点(4,2)P -与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点轨迹方程是 ( )A.22(2)(1)1x y －＋＋＝ B.22(2)(1)4x y －＋＋＝ C.22(4)(2)4x y ＋＋－＝ D.22(2)(1)1x y ＋＋－＝ 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则20x ＋20y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入20x ＋20y ＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 6.从原点O 引圆222()(3)4x m y m －＋－＝＋的切线y kx ＝，当m 变化时,切点P 的轨迹方程是 ( )A.224(0)x y x ≠＋＝ B.()2234(0)x y x ≠－＋＝C.()()22135(0)x y x ≠－＋－＝ D.225(0)x y x ≠＋＝解析：圆心为C (m,3)，设点P (x ，y )(x ≠0)，则|OP |2＋|PC |2＝|OC |2，∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，故所求方程为x 2＋y 2＝5(x ≠0)．题组四圆的方程的综合问题7.已知以点2(,),(,0)C t t R t t∈≠为圆心的圆与x 轴交于点O A 、，与y 轴交于点O B 、，其中O 为原点． (1)求证: OAB ∆的面积为定值；(2)设直线24y x ＝-＋与圆C 交于点M N 、，若OM ON ＝，求圆C 的方程．解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，由于圆心C (t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t，令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)，令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4t )，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t|＝4(定值)．(2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上，而MN 的垂直平分线过圆心C ，∴k OC ＝12，∴2t t ＝12，解得t ＝2或t ＝－2，而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2，∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.8.(2010青岛)已知圆M 过两点(1,1)(1,1)A B －，－,且圆心M 在20x y ＋－＝上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3480x y ＋＋＝上的动点，PA PB 、是圆M 的两条切线,A B 、为切点,求四边形PAMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r2a ＋b －2＝0解得：a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM ||P A |＋12|BM ||PB |.又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.专题复习――平面向量考点一：向量的概念、向量的基本定理例1、（2007上海）直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4解：如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C 点在直线x=3上，由图知，只可能A 、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。
圆与方程复习课 ppt课件
5、求圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线 x-y-5=0所得弦长？
6、求过点Ｐ(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1 所引的切线方程？来自知识扫描：圆与圆的位置关系
1、位置关系的判断——几何方法：比较圆心 距与R+r以及R-r的关系（R＞r）
２、最值问题——转化为几何元素，数形结合
３、圆系的问题，利用一些条件求圆的方程
3、求经过两点A（-1，4）、B（3，2） 且圆心在y轴上的圆的方程。
点拨：方法待定系数法，可从几何或代数角度考虑。
知识扫描：直线与圆的位置关系
1、位置关系的判定——r与d的 比较或者方程组的解的个数 2、弦长的有关计算——弦心距 3、切线方程的求法——点在圆外 或者圆上
题型点击：
4、直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0(a>0)没 有公共点，求a的取值范围
圆与方程复习课
几何关系与代数式 之间的相互转化
一、知识扫描：
1、圆的标准方程和一般方程 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、直线与圆的方程应用 5、空间直角坐标系
题型点击：求圆的方程
1、已知点A（-4，-5）、B（6，-1）求以线 段AB为直径的圆的方程。
2、已知圆过O（0，0）、A（2，0） B（0，-4）三点，求圆的方程。
点拨：抓住圆的特征，注意垂直关系等的应用。
题型点击：
７、圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0 的位置关系是（ ）
Ａ 相离 B 外切 C 内切 D 相交
8、求圆心在直线4x+y=0且与直线 x+y-1=0切于点Ｐ(3,-2)的圆的方程。
圆的方程复习教案
圆的方程复习教案 知识梳理 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.3、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：(1）点在圆上 ； (2）点在圆外 d ＞ｒ； (3)点在圆内 d ＜r ．２.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ﻫ3.涉及最值：(１)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+(2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+4、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .MM当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,半径2422F E D r -+=． 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：(１）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A５、直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1)相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>(２)相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=(3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔< ﻫ相离 相切 相交(其中:22B A C Bb Aa d +++=)还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断:（１）当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点）,直线与圆相交；(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点）,直线与圆相切；（３）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；ﻫ即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心Ｃ到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：(1) 相切⇔⇔Δ＝0（2)相交⇔d<r ⇔Δ>0； （3)相离⇔d>r ⇔Δ<0。
高三一轮复习圆与方程复习课 ppt课件
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
28
2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
29
2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
高考数学一轮复习第十章平面解析几何第三节圆的方程课件文北师大版
x+y-2=0得C合适.
3.(必修2P82例4改编)△ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其
外接圆的方程为________.
【解析】方法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由题意有
D5EF260, D4, 2D2EF80,解得E2, 5D5EF500, F20.
4
的最大距离为
+3 1,故△ABP面积的最大值为Smax=
1 2
×(
+31)×3=
3 3 3. 2
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
标 准
平面内到_定__点__的距离等于_定__长__的点的轨迹叫做圆
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心C _(_a_,_b_)_ 半径为r
方 程 一 x2+y2+Dx+Ey+F=0
般 (D2+E2-4F>0)
充要条件: _D_2+_E_2_-_4_F_>_0_
圆心坐标:_（__D2_，__E2_）__
复习课件
高考数学一轮复习第十章平面解析几何第三节圆的方程课件文北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习第十章平面解析几何第三节圆的方程课件文北
1
师大版
第三节 圆 的 方 程
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.圆和圆的方程
定义
高三数学复习课件：圆与方程(共12张PPT)
作业：
学业水平考试试题选编（8）
一个交点 无交点
相切 相离
直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
通法
小结：
本节课你学到了什么？
圆心坐标（- , - ）, 半径 r=
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
圆与方程
复习课
默写：
1、圆的标准方程，并写出圆心坐标和半径 2、圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径 3、点与圆的位置关系性质 4、直线与圆 的位置关系及性质
学习目标：
1、掌握圆的标准方程和一般方程的特征和应用 2、掌握直线与圆的位置关系和性质，并能应用性质解决 相关问题 3、掌握空间坐标和空间中两点间距离公式
2.直线与圆的位置关系
1、直线和圆相离
•C2
2、直线和圆相切
•C2
3、直线和圆相交
•C2
判定方法
d r 0
d r 0
d r
几何法
0
代数法
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆的方程》课件ppt
设动点P的坐标为(x，y)， 因为 M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝ 2|PM|， 所以 x－22＋y2＝ 2· x－12＋y2，
整理得x2＋y2＝2， 所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q 的轨迹方程.
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( √ )
教材改编题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
满足 D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
方法二 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角 形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴 的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ a－02＋－2a＋3－02
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第3节 圆的方程
3.圆心在任一弦的垂直平分线上.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=r2(r∈R)表示圆心为(-a,-b),半径为r的圆.
( ×)
(3)若点M(x0,y0
)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则
2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或
(x-2)
的三点的一个圆的方程为
2
2
2
2
(x-) +(y-) = 或(x-) +(y-1) =
.
解析:(1)①若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点,设过这三点的圆的
一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分别将三点的坐标代入,
+
+Dx0+Ey0+F>0.
( √)
(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆心为(2,1)的圆.( × )
2.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是
(
)
A.(2,2)
B.(1,3)
C.(-1,-2)
√
D.(0,-1)
解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;
连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为
点(0,0)和点(4,2)所连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教师用书
第三节圆的方程考试要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．一、教材概念·结论·性质重现1．圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b )2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D 2＋E2－4F>0)圆心：，半径：(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √)(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( ×)(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是. ( ×)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( ×) 2．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－)C．(－) D．C 解析：因为原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜.故选C．3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A．(2，3)，3 B．(－2，3)，C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，D 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.故选D．4．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2B 解析：由得即所求圆的圆心坐标为(1，1)．又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.故选B．5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．考点1 圆的方程——基础性1．圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0B 解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2.又圆过(3，1)，故32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.故选B．2．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m的取值范围为( )A．B．C．D．∪[1，＋∞)A 解析：根据题意，方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0，变形得[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1.当且仅当－7m2＋6m＋1＞0，即7m2－6m－1＜0时方程表示圆，解得－＜m＜1，即m的取值范围为.故选A．3．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．x2＋y2＋2x＋4y－5＝0 解析：方法一：几何法设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法三：待定系数法设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.由题意得解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.1．(1)若已知圆的切线，则圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)若已知圆上两点，则圆心在两点构成的弦的垂直平分线上．2．用代数法求圆的方程，特别是已知圆上三个点时，可以设出圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．考点2 与圆有关的轨迹问题——综合性已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1.又k AC＝，k BC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)．因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．将本例的条件变为：点M与两个定点O(0，0)，P(3，0)的距离的比为，试求点M的轨迹方程．解：设点M(x，y)，由题意得＝，整理得x2＋y2＋2x－3＝0.求与圆有关的轨迹方程的方法1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1A 解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A．2．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝＝，整理得又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与点P的轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.考点3 与圆有关的最值问题——应用性考向1 斜率型、截距型、距离型最值问题已知点M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求的最大值和最小值．解：(1)依题意，圆心C(2，7)，半径r＝2.设m＋2n＝t，则点M(m，n)为直线x＋2y＝t与圆C的公共点，所以圆心C到该直线的距离d＝≤2，解得16－2≤t≤16＋2.所以m＋2n的最大值为16＋2.(2)设点Q(－2，3)．则直线MQ的斜率k＝.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有公共点，得≤2，解得2－≤k≤2＋，即2－≤2＋.所以的最大值为2＋，最小值为2－.本例的条件不变，试求的最大值．解：易知(0，0)在圆外，所以＝，所以所求的最大值为圆上的点到原点距离的最大值．因为圆心C(2，7)，半径r＝2，所以圆上的点到原点距离的最大值d＝＋2＝＋2.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．考向2 利用对称性求最值已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4 B．－1C．6－2D．A 解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2C1(2，3)关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.故选A．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 1．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．解析：x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示圆的一半，如图．设P(x，y)是此曲线上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝.又k BQ＝3，所以所求范围是.2．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为__________.12 解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4.因为点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的点，所以x2＋(y－3)2＝1，2≤y≤4，所以x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.因为2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.课时质量评价(四十五)A组全考点巩固练1．(2023·烟台模拟)圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是( ) A．(x－2)2＋y2＝1B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1A 解析：设圆的圆心为(a，0)，则＝1，解得a＝2，所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A．2．已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则||的最大值为( )A．＋2 B．＋4C．2＋4 D．2＋2C 解析：取AB的中点D(2，－3)，则＝2，||＝|2|，||的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r.又d＝＝，所以d＋r＝＋2.所以||的最大值为2＋4.3．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A．30 B．18C．6D．5C 解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2，2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的差为6.4．(2023·菏泽模拟)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－y－1＝0相切的圆的标准方程为( )A．x2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝D．(x－1)2＋y2＝4A 解析：由题意可得圆心为点(0，1)，半径为r＝＝，所以要求的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选A．5．已知圆x2＋y2＝4，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上动点．若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点的轨迹方程为________________．x2＋y2－x－y－1＝0 解析：设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为____________．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 解析：设圆C2的圆心为C2(a，b)，圆C1∶(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为C1C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，所以点C1与点C2关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.7．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，此式即为所求．(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，半径为4的圆，如图所示．由直线l2是此圆的切线，连接CQ，CM，则|QM|＝＝.易知当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，又|CQ|min＝＝4，所以此时|QM|的最小值为＝4.B组新高考培优练8．(多选题)(2023·辽宁模拟)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )A．x2＋(y－4)2＝20B．(x－4)2＋y2＝20C．x2＋(y－2)2＝20D．(x－2)2＋y2＝20AD 解析：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2. 所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)．＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20. 以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20. 故选AD．9．在平面直角坐标系xOy中，已知＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为( )A．B．C．D．B 解析：由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.10．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是( )A．(－2，4) B．[－2，4]C．[－4，4] D．[－4，2]B 解析：x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2，0)时，m＝－2.设圆心(0，0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，则即解得m∈[－2，4].11．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA|＝|PB|，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是( ) A．2B．C．D．A 解析：设A(1，0)，B(－1，0)，P(x，y)，则＝，化简得(x＋3)2＋y2＝8，当点P到AB(x轴)距离最大时，△PAB的面积有最大值，所以△PAB面积的最大值是×2×2＝2.故选A．12．(2022·厦门模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠CAB＝，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则·的最小值为________．5－2解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则A(0，0)，B(4，0)，C(1，)，设P(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝(4－x)(1－x)－y(－y)＝x2－5x＋y2－y＋4＝＋－3，其中＋表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方．由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1，所以(·)min＝(－1)2－3＝5－2.13．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．解：(1)由题可知，圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2.设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4.又|MP|＝＝，所以＝4，解得b＝0或b＝.所以点P的坐标为(0，0)或.(2)设点P的坐标为(2b，b)．因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆是以MP为直径，以MP的中点坐标为圆心的圆，所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.由解得或所以圆N过定点(0，4)和.。
圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
第31讲 圆与方程复习课(13份)
2017高三一轮复习第31讲 圆的方程复习课一、圆的方程知识要点：1.圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：2.圆的一般方程 ，圆心为点 ，半径 ，其中0422>-+F E D .3.圆系方程：过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（不含圆2C ）,当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.典型例题：考点1：求圆的方程例1．根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）已知一圆过P （4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程.练习 1求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．练习2．求过两圆02860462222=-++=-++y y x x y x 和的交点及圆心在直线x-y-4=0的圆的方程。
考点2 与圆有关的轨迹问题例2.已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：（x -3）2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.练习1.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是.A 22(2)(1)1x y -++= .B 22(2)(1)4x y -++= .C 22(4)(2)4x y ++-= .D 22(2)(1)1x y ++-=练习2．设两点()3,0A -，()3,0B ，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2，求P 点的轨迹.考点3与圆有关的最值问题例题3 已知实数y x ,满足01422=+-+x y x ，求 （1）xy 的最大值 （2）x y -的最值 （3）22y x +的最值二．点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系知识归纳：1.点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点在圆内⇔ (2) 点在圆上⇔(3) 点在圆外⇔2. 直线l ：0(,Ax By C A B ++=不全为0），圆C ：222()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d ，直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法： ⇔直线与圆相离； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相交.（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x （或关于y ）的一元二次方程，设其判别式为∆，则 ⇔直线与圆相离； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相交..3．两圆的位置关系：设两圆的圆心距为d ，两圆半径分别为12,r r ，则 ⇔两圆相离； ⇔两圆外切； ⇔两圆相交； ⇔两圆内切； ⇔两圆内含．典型例题：考点一 直线与圆的位置关系例题1:()1已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则 .A l 与C 相交 .B l 与C 相切 .C l 与C 相离 .D 以上三个选项均有可能()2直线l ：1mx y m -+-与圆C ：()2211x y +-=的位置关系是.A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 无法确定，与m 的取值有关.()3若直线01=+-y x 与圆2)22=+-y a x （有公共，则实数a 的取值范围 .A ]1,3[-- .B ]3,1[- .C ]1,3[- .D ),1[]3-+∞-∞ ，（练习1 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为.A 023=-+y x .B 043=-+y x .C 043=+-y x .D 023=+-y x()2过点()2,3P 的圆224x y +=的切线方程是例题2．已知圆C 方程为：422=+y x .直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的方程.例3.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.练习1 [2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．练习2圆x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点.45时,求AB的长；（1）当α=0当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.考点二 圆与圆的位置关系例题3．()1）圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为 .A 内切 .B 相交 .C 外切 .D 相离()2（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为.A 4 .B 1 .C 6-.D例题4．已知圆1C ⊙：222280x y x y +++-=与2C ⊙：22210240x y x y +-+-= 相交于,A B 两点，()1求公共弦AB 所在的直线方程；()2求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程；。
圆的方程与专题复习(直线与圆圆与圆的位置关系轨迹问题)知识梳理
圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）知识梳理浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2．圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得0222rr by ax ，其中圆心坐标为b a,，半径为r ；当0,0b a时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r yx；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3．圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022F Ey Dx y x0422FED ；②圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项③二元二次方程022FEy Dx CyBxy Ax表示圆的必要条件是0C A 且0B ；二元二次方程022FEy Dx CyBxy Ax表示圆的充要条件是C A 且0B且0422AFED4．圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量将变量y x,联系起来的一个方程.①圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：(sincos r yr x 为参数）；②圆心在b a,，半径为r 的圆的参数方程是：(sincos r b yr a x 为参数）；5．圆方程之间的互化022F Ey Dx yx422FED配方44222222FE D E xD x即圆心22E ，D ，半径F EDr 42122利用222sincosr r r 得(sincos r byr a x 为参数）6．确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。
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专题复习――圆与方程教材梳理❖知识点一圆的方程1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(C(a,b)为圆心,r为半径)特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是:x2+y2=r22.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）D E其中圆心C(-,-)，半径r=22D2+E2-4F2求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法：即列出关于D,E,F的方程组，求D,E,F而得到圆的一般方程，步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(2)根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；(3)解方程组。
求出D,E,F的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．❖知识点二点和圆的位置关系3.点和圆的位置关系给定点M(x,y)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r200①M在圆C内⇔(x-a)2+(y-b)2<r200②M在圆C上⇔(x-a)2+(y-b)2=r200③M在圆C外⇔(x-a)2+(y-b)2>r200❖知识点三直线和圆的位置关系4.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2；直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)圆心C(a,b)到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2直线与圆的位置关系判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断①d=r时，l与C相切；②d<r时，l与C相交；③d>r时，l与C相离.⎧(x-a)2+(y-b)2=r2(2)代数法:由直线与圆的方程联立成方程组⎨⎩Ax+By+C=0消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别式∆来判断①相交⇔∆>0②相切⇔∆=0③相离⇔∆<0知识点四圆和圆的位置关系圆与圆的位置关系判断方法(1)几何法：两圆的连心线长为l，圆C的半径r与圆C的半径r，则判别圆与圆的1122位置关系的依据有以下几点：①当l>r+r时，圆C与圆C相离；②当l=r+r时，圆C与圆C外切；12121212③当l<r+r时，圆C与圆C相交；④当l=r-r时，圆C与圆C内切；12122112⑤当0≤l<r-r时，圆C与圆C内含.2112(2)代数法：由两圆的方程联立消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别式∆来判断①∆=0⇔为外切或内切②∆>0⇔为相交③∆<0⇔为相离或内含题组一圆的方程的求法1.(2009重庆)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2＋(y－2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2.(2009辽宁)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2C.(x－1)2＋(y－1)2＝2?D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2圆心(－ ，－a)，所以－ ＋a ＋1＝0，解得 a ＝3 或 a ＝－1，x x －0 x直线的斜率．设 ＝k ，则 kx －y ＝0.由＝ 3，得 k ＝± 3， 1＋k x22 则⎨ ⎨ 0⎪ ⎪ ⎩ ⎩|a －(－a)| |a －(－a)－4|解析：由圆心在直线 x ＋y ＝0 上．不妨设为 C(a ，－a)．∴r ＝ ＝ ，2 2解得 a ＝1，r ＝ 2. ∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3.若圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 关于直线 x －y ＋1＝0 对称，则实数 a 的值为________．解析：依题意知直线 x －y ＋1＝0 经过圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 的a 2－1 a 2－12 2当 a ＝－1 时，方程 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 不能表示圆，所以只能取 a ＝3.题组二4. 若实数 x 、y 满足 ( x －2)2＋y 2＝3 ，则yx与圆有关的最值问题的最大值为________.， 2 x - 3 y 的最大值为________.2 x -3 y 的最大值为________.y y －0 y解析： ＝ ，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此 的最值即为过原点的直线与圆相切时该y |2k|2y y结合图形可得(x )max ＝ 3，(x )min ＝－ 3.题组三与圆有关的轨迹问题5.点 P(4, -2) 与圆 x 2＋y 2＝4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ()A. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝1B. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝4C. ( x ＋4)2＋( y －2)2＝4D. ( x ＋2)2＋( y －1)2＝1解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则 x 0 ＋ y 0 ＝4，连线中点坐标为(x ，y)，⎧2x ＝x ＋4， ⎧x ＝2x －4， 0 ⎪2y ＝y 0－2⎪y 0＝2y ＋2，代入 x 2 ＋ y 2 ＝4 中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.0 06.从原点 O 引圆 ( x －m )2＋( y －3)2＝m 2＋4 的切线 y ＝kx ，当 m 变化时,切点 P 的轨迹方程是 ()A. x 2＋y 2＝4( x ≠ 0)B. (x －3)2 ＋y 2＝4( x ≠ 0)7.已知以点 C (t, ),( t ∈ R, t ≠ 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、A ，与 y 轴交于点 O 、B ，其中 O 为原点．解：(1)证明：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，由于圆心 C(t ， )，∴D ＝－2t ，E ＝－ ，令 y ＝0 得 x ＝0 或 x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)，令 x ＝0 得 y ＝0 或 y ＝－E ＝ ，∴B(0， )， ⎧⎪(1－a) ＋(－1－b ) ＝rC. (x －1)2 ＋( y －3)2 ＝5( x ≠ 0)D. x 2＋y 2＝5( x ≠ 0)解析：圆心为 C(m,3)，设点 P(x ，y)(x ≠0)，则|OP|2＋|PC|2＝|OC|2，∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，故所求方程为 x 2＋y 2＝5(x ≠0)．题组四圆的方程的综合问题2t(1)求证: ∆OAB 的面积为定值；(2)设直线 y ＝-2x ＋4 与圆 C 交于点 M 、N ，若 OM ＝ON ，求圆 C 的方程．2 4t t4 4t t1 1 4∴△S OAB ＝2|OA |·|OB|＝2·|2t |·| t |＝4(定值)．(2)∵OM ＝ON ，∴O 在 MN 的垂直平分线上，而 MN 的垂直平分线过圆心 C ，21t 1 ∴k OC ＝2，∴ t ＝2，解得 t ＝2 或 t ＝－2，而当 t ＝－2 时，直线与圆 C 不相交，∴t ＝2，∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为 x 2＋y 2－4x －2y ＝0.8.(2010 青岛)已知圆 M 过两点 A(1,－1)，B(－1,1),且圆心 M 在 x ＋y －2＝0 上．(1)求圆 M 的方程；(2)设 P 是直线 3x ＋4y ＋8＝0 上的动点， P A 、PB 是圆 M 的两条切线, A 、B 为切点,求四边形 P AMB面积的最小值．222 解：(1)设圆 M 的方程为：(x －a)2＋(y －b )2＝r 2(r>0)， 根据题意得：⎨(－1－a)2＋(1－b )2＝r 2⎪⎩a ＋b －2＝0解得：a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆 M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4.1 1(2)由题知，四边形 P AMB 的面积为 S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝2|AM ||P A|＋2|BM||PB|.又|AM |＝|BM|＝2，|P A|＝|PB|，所以 S ＝2|P A|，而|P A|＝ |PM|2－|AM |2＝ |PM|2－4，即 S ＝2 |PM|2－4. 因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x ＋4y ＋8＝0 上找一点 P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|＝3，所以四边形P AMB面积的最小值为32＋42S＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.专题复习――平面向量考点一：向量的概念、向量的基本定理例1、（2007上海）直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若AB=2i+j,AC=3i+k j，则k的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。
例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与O A与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为.解：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，OC=23得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。
考点二：向量的运算例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11解：(a+2b)(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6)，(a+2b)·c=(-5,6)⋅(3,2)=-3，选C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，() = 25a 解： 5a - b = 5a - b- 10a • b + b 2 = 25 ⨯12 - 10 ⨯1⨯ 3 ⨯ - ⎪ + 32 = 49 ， 5a - b = 7(1)求 f ( x ) 的最小正周期;(2)当 x ∈[ π 6 ) .(2) 由 f ( x) = 1,得 sin 2 x + = ，6 ⎭ 2 例 7、（2007 湖北）将 y = 2cos + ⎪ 的图象按向量 a = - ，- 2 ⎪ 平移，则平移后所得图象的解析式Ａ． y = 2cos + ⎪- 2Ｂ． y = 2cos - ⎪ + 2还考查了向量的数量积，结果是一个数字。