专题复习圆与方程与平面向量(教师用)

专题复习――圆与方程教材梳理

❖知识点一圆的方程

1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(C(a,b)为圆心,r为半径)

特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是:x2+y2=r2

2.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

D E

其中圆心C(-,-)，半径r=

22D2+E2-4F

2

求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法

定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；

待定系数法：即列出关于D,E,F的方程组，求D,E,F而得到圆的一般方程，步骤为：

(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

(2)根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；

(3)解方程组。求出D,E,F的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的

一般方程．

❖知识点二点和圆的位置关系

3.点和圆的位置关系给定点M(x,y)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2

00

①M在圆C内⇔(x-a)2+(y-b)2

00

②M在圆C上⇔(x-a)2+(y-b)2=r2

00

③M在圆C外⇔(x-a)2+(y-b)2>r2

00

❖知识点三直线和圆的位置关系

4.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2；直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)

圆心C(a,b)到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|

A2+B2

直线与圆的位置关系判断方法

(1)几何法:由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断

①d=r时，l与C相切；②dr时，l与C相离.

⎧(x-a)2+(y-b)2=r2

(2)代数法:由直线与圆的方程联立成方程组⎨

⎩Ax+By+C=0

消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别式∆来判断

①相交⇔∆>0②相切⇔∆=0③相离⇔∆<0

知识点四圆和圆的位置关系

圆与圆的位置关系判断方法

(1)几何法：两圆的连心线长为l，圆C的半径r与圆C的半径r，则判别圆与圆的

1122

位置关系的依据有以下几点：

①当l>r+r时，圆C与圆C相离；②当l=r+r时，圆C与圆C外切；

12121212

③当l

12122112

⑤当0≤l

2112

(2)代数法：由两圆的方程联立消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别

式∆来判断

①∆=0⇔为外切或内切②∆>0⇔为相交③∆<0⇔为相离或内含

题组一圆的方程的求法

1.(2009重庆)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()

A.x2＋(y－2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1

B.x2＋(y＋2)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1

解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

2.(2009辽宁)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()

A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C.(x－1)2＋(y－1)2＝2?

D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

圆心(－ ，－a)，所以－ ＋a ＋1＝0，解得 a ＝3 或 a ＝－1，

x x －0 x

直线的斜率．设 ＝k ，则 kx －y ＝0.由

＝ 3，得 k ＝± 3， 1＋k x

2

2 则⎨ ⎨ 0

⎪ ⎪ ⎩ ⎩

|a －(－a)| |a －(－a)－4|

解析：由圆心在直线 x ＋y ＝0 上．不妨设为 C(a ，－a)．∴r ＝ ＝ ，

2 2

解得 a ＝1，r ＝ 2. ∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.

3.若圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 关于直线 x －y ＋1＝0 对称，则实数 a 的值为________．

解析：依题意知直线 x －y ＋1＝0 经过圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 的

a 2－1 a 2－1

2 2

当 a ＝－1 时，方程 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 不能表示圆，所以只能取 a ＝3.

题组二

4. 若实数 x 、y 满足 ( x －2)2＋y 2＝3 ，则

y

x

与圆有关的最值问题

的最大值为________.， 2 x - 3 y 的最大值为________.

2 x -

3 y 的最大值为________.

y y －0 y

解析： ＝ ，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此 的最值即为过原点的直线与圆相切时该

y |2k|

2

y y

结合图形可得(x )max ＝ 3，(x )min ＝－ 3.

题组三

与圆有关的轨迹问题

5.点 P(4, -2) 与圆 x 2＋y 2＝4 上任一点连线的中点轨迹方程是 (

)

A. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝1

B. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝4

C. ( x ＋4)2＋( y －2)2＝4

D. ( x ＋2)2＋( y －1)2＝1

解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则 x 0 ＋ y 0 ＝4，连线中点坐标为(x ，y)，

⎧2x ＝x ＋4， ⎧x ＝2x －4， 0 ⎪2y ＝y 0－2

⎪y 0＝2y ＋2

，代入 x 2 ＋ y 2 ＝4 中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.

0 0

6.从原点 O 引圆 ( x －m )2＋( y －3)2＝m 2＋4 的切线 y ＝kx ，当 m 变化时,切点 P 的轨迹方程是 (

)

A. x 2＋y 2＝4( x ≠ 0)

B. (x －3)2 ＋y 2＝4( x ≠ 0)