北师大数学选修21同步作业：第3章 圆锥曲线与方程 课时作业24 含解析
2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程综合测试课时作业含解析北师大版选修2_1
单元综合测试三(第三章综合测试)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( A )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.故选A.2．下列曲线中离心率为62的是( B ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选项A 中a ＝2，b ＝2，c ＝2＋4＝6，e ＝3排除；选项B 中a ＝2，c ＝6，则e ＝62符合题意；选项C 中a ＝2，c ＝10，则e ＝102不符合题意；选项D 中a ＝2，c ＝14则e ＝142，不符合题意．故选B. 3．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为( C )A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析：当顶点为(±4,0)时，对于双曲线，a ＝4，c ＝8，b ＝43，则双曲线的标准方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，对于双曲线，a ＝3，c ＝6，b ＝33，则双曲线的标准方程为y 29－x 227＝1.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1和抛物线y 2＝2px (p >0)的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( C )A ．e 1e 2>e 3B ．e 1e 2＝e 3C ．e 1e 2<e 3D ．e 1e 2≥e 3解析：依题意可知e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ，e 3＝1，∴e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝1－b 4a4<1＝e 3. 5．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( B )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由中垂线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|.由双曲线的定义可得点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．6．已知抛物线y 2＝2x ，设点A 的坐标为(23，0)，则抛物线上距点A 最近的点P 的坐标为( A )A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(1,0)D ．(－2,0)解析：设曲线上距点A 最近的点P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2＝(x －23)2＋y 2＝(x －23)2＋2x ＝x 2＋2x 3＋49＝(x ＋13)2－19＋49＝(x ＋13)2＋13.∵y 2＝2x 的定义域为[0，＋∞)，∴当x ＝0时，|PA |2取得最小值19＋13＝49.故此时P 的坐标为(0,0)．故选A.7．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( C )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：由题意知，点M 的轨迹为以焦距为直径的圆，又M 总在椭圆内部，则c <b ，∴c 2<b 2.又b 2＝a 2－c 2，∴e 2<12.又e ∈(0,1)，∴e ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.8．直线x －ty －3＝0与椭圆x 225＋y 216＝1的交点个数( A )A ．有2个B ．有1个C ．有0个D ．与t 的取值有关解析：整理直线方程得ty ＝x －3，∴直线恒过(3,0)点，把点(3,0)代入椭圆方程求得925＋0＜1，可知此点在椭圆的内部，∴过此点的直线与椭圆有两个交点．故选A.9．过抛物线y 2＝4x (p ＞0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝2，则|PQ |等于( A )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：∵设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，由抛物线的定义可知，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝(x 1＋x 2)＋p ＝4，故选A. 10．已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1)，该双曲线离心率是( B )A ．2 B.52 C.62D.103解析：设弦的坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)，代入双曲线方程并作差整理得：x 1＋x 2x 1－x 2a2－y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，将斜率为1，弦的中点为(4,1)代入，∴a2＝4b 2，∴c 2＝5b 2，∴e ＝52，故选B. 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( D )A.32B.22C.13D.12解析：由于BF ⊥x 轴，得x B ＝－c ，y B ＝±b 2a ，设点P (0，t )，由AP →＝2PB →，得(－a ，t )＝2(－c ，±b 2a －t )．即a ＝2c ，故c a ＝12.12．已知两点M (1，54)，N (－4，－54 )，给出下列曲线方程：①4x ＋2y －1＝0; ②x 2＋y 2＝3; ③x 22＋y 2＝1; ④x 22－y 2＝1.在曲线上存在点P 满足|MP |＝|NP |的所有曲线方程是( D )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④解析：要使这些曲线上存在点P 满足|MP |＝|NP |，需曲线与MN 的垂直平分线相交． MN 的中点坐标为(－32 ,0)，MN 斜率为1045＝12.∴MN 的垂直平分线为y ＝－2(x ＋32)．∵①4x ＋2y －1＝0与y ＝－2(x ＋32)，斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意；②x 2＋y 2＝3与y ＝－2(x ＋32)，联立，消去y 得5x 2＋12x ＋6＝0，Δ＝144－4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN 的垂直平分线有交点；③中的方程与y ＝－2(x ＋32)，联立，消去y 得9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝0可知③中的曲线与MN 的垂直平分线有交点；④中的方程与y ＝－2(x ＋32)，联立，消去y 得7x 2＋24x ＋20＝0，Δ>0可知④中的曲线与MN 的垂直平分线有交点，故选D.二、填空题(每小题4分，共16分)13．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是32.解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为32. 14．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，则曲线Γ的离心率为12或32.解析：设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，曲线Γ的离心率为12或32.15．已知圆C 过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是163.解析：由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以设圆C 的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4，±473)．∴它到中心(0,0)的距离为d ＝16＋1129＝163.16．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点A 在l 上的射影为A ′.若|AB |＝|A ′B |，则直线AB 的斜率为±2 2.解析：设点A 在第一象限，直线AB 的倾斜角为α.如图，过B 作准线l 的垂线BB ′，作AA ′的垂线BC .∵|AB |＝|A ′B |，∴C 是线段AA ′的中点．设|BB ′|＝a ，则|AA ′|＝2a ， ∴|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|＝3a ， ∴cos α＝cos ∠BAC ＝|AC ||AB |＝13，∴tan α＝2 2.由抛物线的对称性可知，当点A 在第四象限时，tan α＝－2 2.故直线AB 的斜率为±2 2.三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)已知直线y ＝22x 与椭圆在第一象限内交于M 点，又MF 2⊥x 轴，F 2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F 1，若MF 1→·MF 2→＝2，求椭圆的标准方程．解：如图．由已知设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则M点的横坐标为c .∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，22c . ∴MF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－22c ，MF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22c .∴MF 1→·MF 2→＝12c 2.由已知得12c 2＝2，∴c ＝2.又在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|＝4，|MF 2|＝2， ∴|MF 1|＝|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝3 2. ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝4 2. ∴a ＝2 2.∴b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.18．(本题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点M (m,4)到焦点的距离为5. (1)求抛物线C 的方程；(2)若过点M 的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一个顶点为抛物线C 的焦点，求该双曲线的渐近线方程．解：(1)由抛物线的定义可得4＋p2＝5，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)把M (m,4)代入x 2＝4y ，得m ＝±4，即M 点的坐标为(±4,4)．又抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，则a ＝1，所以双曲线的方程为y 2－x 2b2＝1(b >0)，将点M (±4,4)代入双曲线的方程，得b 2＝1615，即b ＝415，故双曲线的渐近线方程为y ＝±154x .19．(本题满分12分)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P . (1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；(3)设Q (x ，y )是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值． 解：(1)因为c a ＝63，且c ＝2， 所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1＜t ＜1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1得x ＝±31－t2，所以圆P 的半径为31－t2， 则有t 2＝3(1－t 2)，解得t ＝±32，所以点P 的坐标是(0，±32)． (3)由(2)知，圆P 的方程x 2＋(y －t )2＝3(1－t 2)． 因为点Q (x ，y )在圆P 上． 所以y ＝t ±31－t2－x 2≤t ＋31－t2.设t ＝cos θ，θ∈(0，π)， 则t ＋31－t2＝cos θ＋3sin θ＝2sin(θ＋π6)．当θ＝π3，即t ＝12，且x ＝0，y 取最大值2.20．(本题满分12分)如图，设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．解：(1)依题设得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k＞0)．如题图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)由题设知，|BO |＝1，|AO |＝2. 由(1)知，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，不妨设y 1＝kx 1，y 2＝kx 2，由①得x 2＞0，根据E 与F 关于原点对称可知y 2＝－y 1＞0， 故四边形AEBF 的面积为S ＝S △OBE ＋S △OBF ＋S △OAE ＋S △OAF ＝12|OB |·(－x 1)＋12|OB |·x 2＋12|OA |·y 2＋12|OA |·(－y 1)＝12|OB |(x 2－x 1)＋12|OA |(y 2－y 1)＝x 2＋2y 2 ＝x 2＋2y 22＝x 22＋4y 22＋4x 2y 2≤2x 22＋4y 22＝2 2. 当x 2＝2y 2时，上式取等号．所以S 的最大值为2 2.21．(本题满分13分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k4＋k2， 所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，当且仅当k＝±102时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1.22．(本题满分13分)如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．解：(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x，x＝sy＋1消去x得y2－4sy－4＝0，故y1y2＝－4，所以B(1t2，－2t)．又直线AB的斜率为2tt2－1，故直线FN的斜率为－t2－12t.从而得直线FN：y＝－t2－12t(x－1)，直线BN：y＝－2t，所以N(t2＋3t2－1，－2t)．设M(m,0)，由A，M，N三点共线得2tt2－m＝2t＋2tt2－t2＋3t2－1，于是t2＝mm－2>0，且t2≠1，所以m<0或m>2.经检验，m<0或m>2满足题意．综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1抛物线及其标准方程课时作业北师大版选修2-1(2021年整理)
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3。
2.1 抛物线及其标准方程［基础达标]1。
已知抛物线的焦点坐标是F（0,－2),则它的标准方程为( ）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y解析：选D.错误!＝2，∴p＝4，焦点在y轴负半轴上，故其标准方程为x2＝－8y。
错误!抛物线x2＝8y的准线方程为（）A．y＝－2 B．x＝－2C．y＝－4 D．x＝－4解析：选A。
其焦点为(0，2)，故准线方程为y＝－2.错误!点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l（）A．相交B．相切C．相离D．位置由F确定解析：选B。
圆心P到准线l的距离等于|PF｜，∴相切．错误!如图,南北方向的公路L，A地在公路正东2 km处，B地在A北偏东60 °方向2 3 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km,那么，修建这两条公路的总费用最低是（）A．(2＋错误!)a万元B．(2错误!＋1）a万元C．5a万元D．6a万元解析：选C。
高中数学北师大版版选修21课时作业：第三章 圆锥曲线
4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点课时目标 1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单的应用.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题．1．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到________________的距离与它到____________的距离之比为定值e. 当__________时，该圆锥曲线为椭圆； 当________时，该圆锥曲线为抛物线； 当________时，该圆锥曲线为双曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1：f(x ，y)＝0，C 2：g(x ，y)＝0，M(x 0，y 0)是C 1与C 2的公共点⇒⎩⎪⎨⎪⎧，故求曲线交点即求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0g (x ，y )＝0的实数解．一、选择题1．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1、e 2、e 3、e 4，其大小关系为( ) A ．e 1<e 2<e 3<e 4 B ．e 2<e 1<e 3<e 4 C ．e 1<e 2<e 4<e 3 D ．e 2<e 1<e 4<e 32．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x|(k ∈R 且k ≠0)的公共点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2) C ．(2，＋∞) D ．2，＋∞)4．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)5．若直线y ＝mx ＋1和椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，那么m 2的值为( ) A.12 B.23 C.34 D.456．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．＝－2二、填空题7．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为______．8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______．9．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_ _____________． 三、解答题10．中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为32，与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．能力提升12．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( ) A.45 B.23 C.47 D.1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)若设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．1．圆锥曲线共同特征的应用在涉及到求圆锥曲线上的点到该曲线的焦点的距离时，可以借助圆锥曲线的共同特征将其转化为求该点到定直线的距离，这样只要知道该点的横坐标即可． 2．直线与圆锥曲线位置关系的判定判断直线与圆锥曲线的位置关系时，将直线方程代入曲线方程，消元后得关于x (或y )的方程，当二次项系数不为零时，可由判别式Δ来判断．当Δ>0时，直线与曲线相交；当Δ＝0时，直线与曲线相切；当Δ<0时，直线与曲线相离．3．“点差法”的应用用“点差法”求弦中点和弦斜率．设弦端点坐标，分别代入圆锥曲线方程，作差、变形，结合中点坐标公式和斜率公式，可以建立中点坐标与斜率的关系式，在此关系式中若知中点坐标可求斜率，若知斜率可求弦中点的轨迹方程．4．2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲线的交点知识梳理1．一个定点 一条定直线 0<e<1 e ＝1 e>1 2．f(x 0，y 0)＝0 g(x 0，y 0)＝0 作业设计1．C 椭圆中，b ＝a 2－c 2，所以e 越大，则c 越接近a ，则b 越小，椭圆越扁，所以e 1<e 2；双曲线中，e 越大，开口越大，因此e 4<e 3，因此选C .]2．D 9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x|⇒9k 2x 2－18k 2|x|＋y 2＝0⇒9k 2(x 2－2|x|)＋y 2＝0，x 2＝|x|2.∴上式变为9k 2(|x|－1)2＋y 2－9k 2＝0.∴9k 2(|x|－1)2＋y 2＝9k 2.即(|x|－1)2＋y 29k2＝1.①∵是选择题，故不妨设k ＝1，则①变为(|x|－1)2＋y 29＝1，当x>0时，曲线为(x －1)2＋y 29＝1；x<0时，为(x ＋1)2＋y 29＝1.作出图像与y ＝2相交得交点为4个．]3．D 过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应大于等于l 的倾斜角，又l 的倾斜角是60°，从而ba≥3，故ca≥2.] 4．D 过A 、B 的直线方程为y ＝4t x －1代入x 2＝12y ，得：2x 2－4tx ＋1＝0，由题意知Δ＝16t2－8<0， ∴t 2>2，即t>2或t<－ 2.]5．C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，得x 2＋4(mx ＋1)2－1＝0， 即(4m 2＋1)x 2＋8mx ＋3＝0，由Δ＝64m 2－12(4m 2＋1)＝0，得m 2＝34.]6．B ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p 2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]7.12解析 由已知，得c ＝2，b 2a ＝3⇒b 2＝3a ⇒a 2－4＝3a ⇒a ＝4，e ＝c a ＝24＝12.8.53解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，椭圆x 25＋y24＝1的右焦点为F(1,0)，过F(1,0)且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －1)，即y ＝2x －2.代入4x 2＋5y 2＝20得4x 2＋5×4(x 2－2x ＋1)＝20.∴x 1＝0，x 2＝53.∴y 1＝－2，y 2＝43.∴A(0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43. ∴|AB|＝259＋1009＝553. 又点O(0,0)到y ＝2x －2的距离为d ＝25.∴S △OAB ＝12|AB|·d＝12×553×25＝53.9．2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为P(8,1)， 所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2.所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)， 即2x －y －15＝0.10．解 设椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1 (a>b>0)．∵e＝32，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b. ∴椭圆方程为x 24b 2＋y2b2＝1.把直线方程代入化简得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝15(4－4b 2)．∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝15(1－4b 2)．由于OM⊥ON，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.解得b 2＝58，a 2＝52.所以椭圆方程为25x 2＋85y 2＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k(x －1)， 即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k(2－k)x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k2，∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1x 22－y222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.12．A 如图所示，设过点M(3，0)的直线方程为y ＝k(x －3)，代入y 2＝2x 并整理，得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0，则x 1＋x 2＝23k 2＋2k2. 因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.不妨设x 2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32，所以x 1＝2.S △BCF S △ACF ＝12|BC|·d12|AC|·d ＝|BC||AC|＝|BB′||AA′|＝22＋12＝45.] 13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得－2<a<2且a≠±1. 又∵a>0，∴0<a<2且a≠1.又∵双曲线的离心率e ＝1＋a2a ＝1a2＋1， ∴e>62且e≠ 2. ∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)．∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960， 即a 2＝289169.又∵a>0，∴a＝1713.。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1抛物线及其标准方程课时作业含解析北师大版选修2_1
课时作业14 抛物线及其标准方程时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆圆心的轨迹为( B ) A ．圆 B ．抛物线和一条射线 C ．椭圆D ．抛物线解析：设动圆圆心坐标为(x ，y )，由题意得y ＝0(x <0)或y 2＝20x (x ≠0)．故选B. 2．焦点在x 轴上，且经过点P (－1,2)的抛物线的标准方程是( C ) A ．y 2＝14xB ．y 2＝－14xC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y解析：根据抛物线焦点和点P (－1,2)的位置，可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，把点的坐标代入抛物线方程得p ＝2.故抛物线的标准方程为y 2＝－4x .3．已知抛物线y ＝34x 2，则它的焦点坐标是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，316 B.⎝⎛⎭⎪⎫316，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析：化为标准方程为x 2＝43y ，∴抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，故选D.4．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( D ) A ．2 3 B ．2 C. 3D ．1解析：抛物线的焦点为(2,0)，则点(2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝21＋3＝1，故选D.5．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝±72.6．已知点P 是抛物线x ＝14y 2上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为( C )A ．2 B. 5 C.5－1D.5＋1解析：由抛物线x ＝14y 2可得y 2＝4x ，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．依题意可知点P到点A (0,2)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值，就是P 到(0,2)与P 到该抛物线准线的距离的和的最小值减去1，也就是点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和的最小值减1，可得0－12＋2－02－1＝5－1.故选C.7．抛物线y ＝x 2上一点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是( B ) A ．(12，14)B ．(1,1)C ．(32，94)D ．(2,4)解析：设抛物线上任一点为(x ，y )，则由点到直线的距离公式得d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝|x －12＋3|5＝x －12＋35≥35. 当x ＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．8．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( C )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x解析：如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.二、填空题9．抛物线y 2＝－x 的焦点到它的准线的距离等于12.解析：由题意得p ＝12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，准线方程为x ＝14，所以焦点到它的准线的距离等于12. 10．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝2.解析：本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识．直线AB ：y ＝x －p2代入抛物线y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∴3p ＋p ＝8，∴p ＝2.11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的方程是y 2＝5x .解析：由题意得，线段OA 的垂直平分线方程为2x ＋y －52＝0，则与x 轴的交点为F (54，0)．所以p ＝52，即抛物线方程为y 2＝5x .三、解答题12．已知平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 满足的方程．解：方法1：设点P 的坐标为(x ，y )，则有x －12＋y 2＝|x |＋1.将两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x x ≥0，0x <0.∴动点P 满足的方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．方法2：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x <0时，直线y ＝0上的点适合条件，当x ≥0时，题中条件等价于点P 到点F (1,0)与点P 到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的集合是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 满足的方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．13．如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口直径为12 m ，镜深2 m.(1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点坐标；(2)若把盛水和食物的容器近似的看作点，试求每根钢筋的长度．解： (1)如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于镜口直径．由已知，得A 点坐标是(2,6)， 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则36＝2p ×2，∴p ＝9.所以所求抛物线的标准方程是y 2＝18x . 焦点坐标是F (92，0)．(2)∵盛水的容器在焦点处，所以A 、F 两点间的距离即为每根钢筋长．|AF |＝2－922＋62＝6.5.故每根钢筋的长度是6.5 m.——能力提升类——14．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝6.解析：因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.15．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px . ∵点P (1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ·1，得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)． ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB . ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1. ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线上， 得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课时作业 北师大版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.3.1 双曲线及其标准方程[基础达标]1.双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点的坐标为(62，0)． 2.已知双曲线C 的右焦点为F (3，0)，c a ＝32，则C 的标准方程是( )A.x 24－y 25＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 22－y 25＝1 D ．x 22－y 25＝1解析：选B.由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.3.若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6解析：选C.设P 到左焦点的距离为r ，c 2＝12＋4＝16，c ＝4，a ＝2，c －a ＝2，则由双曲线定义|r －8|＝4，∴r ＝4或r ＝12，4，12∈[2，＋∞)，符合题意．4.已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：选C.a ＝3，b ＝4，c ＝5，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ＝10，|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16，F 2到PF 1的距离为6，故S △PF 1F 2＝12×6×16＝48.5.已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B ．35 C.34D ．45解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩⎨⎧|PF 1|＝2|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝22，得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 6.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k 的值为________． 解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.答案：－17.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6，0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin Csin B＝________．解析：A (－6，0)，C (6，0)为双曲线x 225－y 211＝1的左，右焦点．由于B 在双曲线左支上，在△ABC 中，由正弦定理知，|BC |＝2R sin A ，|AB |＝2R sin C ，2R sin B ＝|AC |＝12，根据双曲线定义|BC |－|AB |＝10，故sin A －sin C sin B ＝2R sin A －2R sin C 2R sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝1012＝56. 答案：568.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若|PQ |＝16，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：显然点A (5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：449.设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆C 的圆心轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2， 所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1， 故C 的圆心轨迹L 的方程是x 24－y 2＝1.10.双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x轴的距离．解：设P 点为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则PF 1→＝(－5－x 0，－y 0)，PF 2→＝(5－x 0，－y 0)．∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→·PF 2→＝0，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0， 整理，得x 20＋y 20＝25①. 又∵P (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 209－y 2016＝1②. 联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165.因此点P 到x 轴的距离为165.[能力提升]1.如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3 B ． 5 C.5－ 3D ．5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×2 3＝5－ 3.2.已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则|MA |＋|MB |的最小值为________．解析：设D (5，0)，则A 、D 为双曲线的两个焦点，连接BD ，MD ，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.∴|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1.答案：10＋13.已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．解：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a 2－（325）2b2＝1.（437）2a 2－42b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.不合题意，舍去；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上， 知⎩⎪⎨⎪⎧（325）2a 2－（－2）2b2＝1，42a 2－（437）2b2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2m ＋（325）2n ＝1（437）2m ＋42n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116n ＝19，故所求方程为y 29－x 216＝1.4．设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线， 所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2. 又因为||PM |－|PN ||＝2|m |>0， 所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1， 所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m2. 因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0， 解得0<|m |<55， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，55.。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质课时作业(含解析)北师大版选修2-1
课时作业13椭圆的简单性质时间：45分钟——基础巩固类—-一、选择题1．若椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!,则m的值是（ B )A．3 B．3或错误!C。
错误!D。
错误!或错误!解析：若焦点在x轴上，则a＝错误!，由错误!＝错误!得c＝错误!，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴错误!＝错误!,∴m＝错误!。
所以m的值为3或错误!。
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0），离心率等于错误!,则C的方程是（ D ）A。
错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C。
错误!＋错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析：由右焦点为F（1，0）可知c＝1,因为离心率等于错误!，即错误!＝错误!，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。
故选D。
3．已知点（m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是（ A ）A．［4－2错误!，4＋2错误!] B．［4－错误!,4＋错误!]C．［4－2错误!，4＋2错误!］D．［4－错误!，4＋错误!］解析：由8x2＋3y2＝24,得错误!＋错误!＝1.∴－错误!≤m≤错误!，4－2错误!≤2m＋4≤4＋2错误!。
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为（ A ）A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：依题意4b2＝4ac，∴错误!＝错误!,即1－e2＝e。
∵在椭圆中a2＝b2＋c2，∴e2＋e－1＝0。
∴e＝错误!（舍去负值）．5．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为错误!，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4错误!,则C的方程为（ A ) A。
错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋y2＝1C。
错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1解析：根据条件可知错误!＝错误!，且4a＝4错误!，∴a＝错误!，c＝1,b＝2，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.6．设F1，F2是椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的左、右焦点，P为直线x＝错误!上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ C ) A。
高中数学北师大版版选修2-1课时作业第三章 圆锥曲线与方程章末检测B Word版含解析
第三章圆锥曲线与方程()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )＋＝＋＝＋＝＋＝．设≠，∈，则抛物线＝的焦点坐标为( )．已知(－)，()，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是( )．＋＝．＋＝．＋＝(≠±) ．＋＝(≠±)．设椭圆＋＝ (>)上一点到其左焦点的距离为，到右焦点的距离为，则椭圆的离心率为( )．已知双曲线的方程为－＝，点，在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，＝，为另一焦点，则△的周长为( )．＋．＋．＋．＋．已知抛物线＝上的点到抛物线的准线的距离为，到直线－＋＝的距离为，则＋的最小值是( )．．设点为抛物线＝上一点，点()，且＝，则的横坐标的值为( )．－．．－或．－或．从抛物线＝上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且＝，设抛物线的焦点为，则△的面积为( )．．．．．若直线＝－与抛物线＝交于，两个不同的点，且的中点的横坐标为，则等于( )．或－．－．．±．设、分别是双曲线－＝的左、右焦点．若点在双曲线上，且·＝，则＋等于( )．．．．二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知椭圆＋＝ (>>)有两个顶点在直线＋＝上，则此椭圆的焦点坐标是．．以等腰直角△的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为．．已知抛物线：＝ (>)，过焦点且斜率为 (>)的直线与相交于、两点，若＝，则＝. ．已知抛物线＝ (>)，过点()的直线与抛物线交于、两点，则·＝.．已知过抛物线＝的焦点的直线交该抛物线于、两点，＝，则＝.三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)求与椭圆＋＝有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．．(分)已知斜率为的直线过椭圆＋＝的右焦点交椭圆于、两点，求弦的长．.(分)已知两个定点(－)、()，求使∠＝∠的点的轨迹方程．。
高中数学北师大版版选修2-1课时作业第三章 圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质 Word版含解析
双曲线的简单性质课时目标了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．．双曲线的简单几何性质.()()双曲线－＝的两个顶点为(－)、(，)．设(，－)、(，)，线段叫做双曲线的，它的长等于，叫做双曲线的半实轴长，线段叫做双曲线的，它的长等于，叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为＝±.()当双曲线的离心率由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得，原因是＝，当增大时，也增大，渐近线的斜率的绝对值．一、选择题．下列曲线中离心率为的是( )－＝－＝－＝－＝．双曲线－＝的渐近线方程是( )．＝±．＝±．＝±．＝±．双曲线与椭圆＋＝有相同的焦点，它的一条渐近线方程为＝，则双曲线的方程为( ) ．－＝．－＝．－＝．－＝．设双曲线－＝(>，>)的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )．＝±．＝±．＝±．＝±．直线过点(，)且与双曲线－＝仅有一个公共点，则这样的直线有( ) ．条．条．条．条．已知双曲线－＝ (>，>)的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且＝，则此双曲线的离心率的最大值为( )．二、填空题．两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且>，则双曲线－＝的离心率＝.．在△中，，，分别是∠，∠，∠的对边，且＝，－＝，则顶点运动的轨迹方程是．．与双曲线－＝有共同的渐近线，并且经过点(－，)的双曲线方程为．三、解答题．根据下列条件，求双曲线的标准方程．()经过点，且一条渐近线为＋＝；()()与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.．已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率为，且过点(，－)．()求此双曲线的方程；()若点(，)在双曲线上，求证：⊥；()求△的面积．能力提升．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )．、是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且∠＝°，△＝，又离心率为，求双曲线的方程．。
北师大版高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》课时练习(附答案)
5.如图 ,已知椭圆的方程为
= 1,若点 P 在第二象限 ,且∠ PF1F2= 120°,求△PF1F2 的面积 .
6.给出如下定义 :把由半椭圆
= 1(x≥ 0)与半椭圆
=1( x≤0) 合成的曲线称作 “果圆 ”,其中
a2=b 2+c 2,a> 0,b>c> 0,如图 ,点 F0 ,F 1,F 2 是相应椭圆的焦点 ,A1,A2 和 B1,B2 分别是 “果圆 ”与 x,y 轴的交点 . (1) 若 △F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形 ,求“果圆 ”的方程 ;
|PF 2|2=|PF 1|2+|F 1F 2| 2-2|PF 1||F 1F2|cos 120°,
即 |PF2 |2=|PF 1|2+ 4+ 2|PF 1|.
①
由椭圆的定义 ,得 |PF 1|+|PF 2|= 4,
即 |PF2 |= 4-|PF 1|.
②
②代入 ①,解得 |PF 1|= .
所以
|PF 1|·|F 1F2 |·sin 120 °=
北师大版高中数学选修 2-1 第三章《圆锥曲线与方程》同步课时作业
3.1.1 椭圆及其标准方程
A组
1.F 1,F2 是定点 ,|F 1F 2|= 6,动点 M 满足 |MF 1|+|MF 2|= 6,则点 M 的轨迹是 (
)
A .椭圆
B .直线
C .线段
D .圆
2.已知椭圆 C 上任意一点 P(x,y)都满足关系式 为( )
B .4
C .6
D.
5.已知 F 1,F2 是椭圆 C: 积为 9,则 b= ( )
A.3
B.9
北师大数学选修21同步作业：第3章 圆锥曲线与方程 课时作业25 含解析
课时作业(二十五)1．直线y ＝kx －1与双曲线x 24－y29＝1有且只有一个交点，则k 的取值为( )A ．k ＝±102B ．k ＝±32C ．k ＝±102或k ＝±32D ．k ∈∅答案 C解析 将直线方程代入双曲线方程，得 (9－4k 2)x 2＋8kx －40＝0.当9－4k 2＝0，即k ＝±32时，直线与双曲线只有一个交点；当9－4k 2≠0，Δ＝0时，k ＝±102，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点． 2．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的焦点为F 1、F 2，弦AB 过F 1且在双曲线的一支上，若|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB|，则|AB|等于( ) A ．2a B ．3aC ．4aD ．不能确定答案 C解析 ∵|BF 2|＝|BF 1|＋2a ， |AF 2|＝|AF 1|＋2a ，∴|BF 2|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|AF 1|＋4a ＝|AB|＋4a. 又|BF 2|＋|AF 2|＝2|AB|， ∴2|AB|＝|AB|＋4a ，∴|AB|＝4a.3．与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且经过A(－3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1答案 C解析 双曲线一个焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长．4．等轴双曲线上有一点P 到中心的距离为d ，那么点P 到2个焦点的距离之积等于( )A ．dB ．d 2C ．2dD ．2d 2答案 B解析 采用特殊位置法，可令P 为双曲线顶点．5．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( ) A. 6 B.3 C. 2 D.33答案 B解析 在直角△MF 1F 2中，∠F 1F 2M ＝90°，∠MF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，于是2c |MF 1|＝cos30°＝32，|MF 2|2c ＝tan30°＝33，从而有|MF 1|＝433c ，|MF 2|＝233c ，代入|MF 1|－|MF 2|＝2a ，得233c ＝2a ，故e ＝ca＝ 3.6．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0 答案 C解析 设PF 1的中点为M ，由于|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M|＝2a ，在直角三角形F 1F 2M 中，|F 1M|＝（2c ）2－（2a ）2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，根据双曲线的定义得4b －2c ＝2a ，即2b －a ＝c ，即(2b －a)2＝a 2＋b 2，即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，即y ＝±43x ，即4x±3y ＝0. 7．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1，2) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 答案 C解析 根据双曲线的性质，过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan60°＝3，即ba ≥3，则c 2－a2a2＝e 2－1≥3，故有e 2≥4，e ≥2.故选C.8．斜率为2的直线l 与双曲线x 23－y22＝1交于A ，B 两点，且|AB|＝4，则直线l 为( )A ．y ＝2x ＋2103B ．y ＝2x －2103C ．y ＝2x±2103D ．以上都不对答案 C解析 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，代入双曲线方程中，得10x 2＋12mx ＋3m 2＋6＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－6m5，x 1·x 2＝3m 2＋610.∵|AB|＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4，∴5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 52－4×3m 2＋610＝4， 解得m ＝±2103. ∴直线l 的方程为y ＝2x±2103. 9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM(切点为M)交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( ) A ．2 B.2 C. 3 D.5答案 B解析 由题可知|OM|＝a ，且△OPF 为等腰直角三角形， ∴|OM|＝22|OF|，即a ＝22c ，∴e ＝ca＝ 2. 10．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过A(a ，0)，B(0，b)两点，若原点O到l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A.233或2B ．2 C.2或233D.233答案 B解析 由题意，直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，∴原点O 到l 的距离为d ＝ab a 2＋b2＝ab c .∵原点O 到l 的距离为3c 4，∴ab c ＝3c 4，∴3e 4－16e 2＋16＝0，∴e 2＝4或e 2＝43.∵b>a，∴e 2＝1＋b 2a2>2，∴e ＝2. 11．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个公共点，则k 的取值范围为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4消y 得方程(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0有两个不等的正根．∴⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋20（1－k 2）＞0，－2k1－k 2＞0，－51－k 2＞0.即⎩⎨⎧－52＜k ＜52，k ＞1，或－1＜k ＜0，k ＞1，或k ＜－1.解得1＜k ＜52. 12．已知倾斜角为π4的直线l 被双曲线x 2－4y 2＝60截得弦长|AB|＝82，以AB 为直径的圆的方程为_____________________________________________________________________．答案 (x ＋12)2＋(y ＋3)2＝32或(x －12)2＋(y －3)2＝32解析 设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2－4y 2＝60，得3x 2＋8bx ＋4b 2＋60＝0. 令Δ＝(8b)2－4×3×(4b 2＋60)>0，得b 2>45.∴82＝|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤64b 29－4（4b 2＋60）3. 解得b 2＝81>45，∴b ＝±9.当直线方程为y ＝x ＋9时，圆方程为 (x ＋12)2＋(y ＋3)2＝32，当直线方程为y ＝x －9时，圆方程为(x －12)2＋(y －3)2＝32.13．如图，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ，b>0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ，则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________．答案 (1)1＋52 (2)2＋52解析 (1)由题意可得ab 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0.∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.(2)设sin θ＝b b 2＋c2，cos θ＝c b 2＋c2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc 4a 2bcb 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 14．已知曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1，(1)若l 与C 有两个不同的交点．求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是原点，且S △OAB ＝2，求实数k 的值．解析 (1)曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的解，代入整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.此方程必有两个不等的实根x 1，x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8（1－k 2）>0.解得－2<k<2且k≠±1时，曲线C 与直线l 有两个不同的交点， (2)设交点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 1－k2，x 1·x 2＝－21－k 2.∵S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|＝2， ∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8， 解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k<2，∴k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2. 15．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(3)是否存在这样的实数a ，使A ，B 两点关于直线y ＝12x 对称？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a<6，且a≠± 3.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2a3－a2，x 1·x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB.∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1·x 2＋(ax 1＋1)·(ax 2＋1)＝0. ∴(a 2＋1)x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a·2a3－a2＋1＝0. ∴a ＝±1，满足Δ>0与3－a 2≠0.(3)假设存在实数a ，使A ，B 关于直线y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝12x 垂直，∴a ＝－2，∴l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入x 1＋x 2＝2a 3－a2中得x 1＋x 2＝4，∴AB 中点的横坐标为2， 纵坐标y ＝－2×2＋1＝－3.而AB 中点(2，－3)不满足直线方程y ＝12x.∴不存在实数a 使A 、B 关于直线y ＝12x 对称．16．已知双曲线C 1：x 2－y24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P(4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点．当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值．解析 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)， 设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x.设A(x 1，2x 1)，B(x 2，－2x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，得3x 2－2mx －m 2＝0. 由Δ＝16m 2>0，得m≠0.∵x 1x 2＝－m 23，OA →·OB →＝x 1x 2＋(2x 1)(－2x 2)＝－3x 1x 2， ∴m 2＝3，即m ＝± 3.1．(2019·课标全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，连接F 1A ，令|F 2B|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m.由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A|＝a ＝|F 1A|，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.2．(2018·课标全国Ⅰ，文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C 解析 不妨设a>0，因为椭圆C 的一个焦点为(2，0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.3．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13D.14答案 D解析 由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c.∵|OF 2|＝c ，∴点P 的坐标为(c ＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c ，3c)．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.4．(2017·浙江)椭圆x 29＋y24＝1的离心率是( )A.133B.53 C.23D.59 答案 B解析 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝53，故选B.5．(2017·课标全国Ⅰ，文)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0，1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 答案 A 解析依题意得，⎩⎨⎧3m ≥tan ∠AMB 2，0<m<3，或⎩⎨⎧m 3≥tan ∠AMB 2，m>3，所以⎩⎨⎧3m ≥tan60°，0<m<3，或⎩⎨⎧m 3≥tan60°，m>3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 6．(2019·浙江)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B ．1C. 2 D ．2答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y ＝0，所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，都满足a ＝b ，所以c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 2.故选C.7．(2019·课标全国Ⅰ，文)双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A ．2sin40° B ．2cos40°C.1sin50°D.1cos50° 答案 D解析 根据题意可知－b a ＝tan130°，所以ba ＝tan50°＝sin50°cos50°，离心率e ＝1＋b 2a2＝1＋sin 250°cos 250°＝cos 250°＋sin 250°cos 250°＝1cos 250°＝1cos50°.8．(2019·课标全国Ⅲ，理)双曲线C ：x 24－y22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO 的面积为( ) A.324 B.322C ．2 2D ．32答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF|＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 9．(2019·课标全国Ⅱ，理)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( ) A. 2 B.3 C ．2 D.5 答案 A 解析如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c ，所以|PQ|＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ|＝|OF|，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.故选A.10．(2019·天津，理)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.若l 与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB|＝4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B.3 C ．2 D.5 答案 D解析 由题意，可得F(1，0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax.将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±b a ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|＝4|OF|可得2b a ＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a2＝ 5. 11．(2018·课标全国Ⅱ)双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x答案 A解析 方法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A.方法二：由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.12．(2018·课标全国Ⅲ，文)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2 B ．2 C.322 D ．22答案 D解析 方法一：由离心率e ＝c a＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.方法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.13．(2018·课标全国Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF 1|＝6|OP|，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D.2答案 C解析 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc|a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO中，|F 2O|＝c ，所以|PO|＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O|＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a)2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.14．(2017·课标全国Ⅱ，理)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B.3C. 2D.233答案 A解析 依题意，双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b|b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2,所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2，故选A.15．(2018·课标全国Ⅰ，理)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|＝( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4答案 B解析 因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F(2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎨⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32， 所以|OM|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， 所以|MN|＝3|OM|＝3，故选B.16．(2018·北京，理)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，双曲线N ：x 2m 2－y2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 答案 3－1 2 解析设椭圆的右焦点为F(c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，由点A 在椭圆M 上，得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 椭4－8e 椭2＋4＝0，∴e 椭2＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或e椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1，∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴nm ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m2＝2. 17．(2018·浙江，理)已知点P(0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m(m>1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大． 答案 5解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ， 得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.18．(2019·浙江)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y2b2＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________． 答案 y ＝±2x解析 因为双曲线方程为x 2－y 2b 2＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1，得b ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ＝±2x. 19．(2019·天津，理)设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O 为原点)，且OP⊥MN，求直线PB 的斜率．解析 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y24＝1.(2)由题意，设P(x P ，y P )(x P ≠0)，M(x M ，0)．设直线PB 的斜率为k(k≠0)，又B(0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k 2， 代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k 2， 进而直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k2－10k ，在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N(0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP⊥MN，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.20．(2019·北京，文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t(t≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l 经过定点． 解析 (1)由题意得，b 2＝1，c ＝1.所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1.令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM|＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理，|ON|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0. 则x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k2. 所以|OM|·|ON|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k （t －1）（x 1＋x 2）＋（t －1）2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k 2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k （t －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋（t －1）2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM|·|ON|＝2， 所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2. 解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0)．21．(2019·天津，文)设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B.已知3|OA|＝2|OB|(O 为原点)． (1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解析 (1)设椭圆的半焦距离为c ，由已知有3a ＝2b ，又由a 2＝b 2＋c 2，消去b 得a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋c 2，解得c a ＝12.所以，椭圆的离心率为12.(2)由(1)知，a ＝2c ，b ＝3c ，故椭圆方程为x 24c 2＋y23c 2＝1.由题意，F(－c ，0)，则直线l 的方程为y ＝34(x ＋c)．点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝34（x ＋c ），消去y 并化简，得到7x 2＋6cx －13c2＝0，解得x 1＝c ，x 2＝－13c 7.代入到l 的方程，解得y 1＝32c ，y 2＝－914c.因为点P 在x 轴上方，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，32c . 由圆心C 在直线x ＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c ，0)，故t4＝32c c ＋2c ，解得t ＝2.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l 相切，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪34（4＋c ）－21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2，可得c ＝2.所以，椭圆的方程为x 216＋y212＝1.22．(2019·课标全国Ⅱ，理)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x ，y)满足直线AM 与BM的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G.①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值．解析 (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y22＝1(|x|≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx(k>0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2.记u ＝21＋2k2，则P(u ，uk)，Q(－u ，－uk)，E(u ，0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k2（x －u ），x 24＋y 22＝1得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.①设G(x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解，故x G ＝u （3k 2＋2）2＋k 2，由此得y G ＝uk32＋k2. 从而直线PG 的斜率为uk32＋k2－uku （3k 2＋2）2＋k2－u＝－1k.所以PQ⊥PG，即△PQG 是直角三角形．②由①得|PQ|＝2u1＋k 2，|PG|＝2ukk 2＋12＋k2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ||PG|＝8k （1＋k 2）（1＋2k 2）（2＋k 2）＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2.设t ＝k ＋1k ，则由k>0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号．因为S ＝8t1＋2t2在[2，＋∞)上单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，△PQG 面积的最大值为169. 23．(2017·北京，文)已知椭圆C 的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E.求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)．由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M(m ，n)，是D(m ，0)，N(m ，－n)． 由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m)．直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n 2－m（x －2），解得点E 的纵坐标y E＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n.又S △BDE ＝12|BD|·|y E |＝25|BD|·|n|，S △BDN ＝12|BD|·|n|，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.24．(2018·课标全国Ⅲ，理)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．证明 (1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0<m<32，故k<－12.(2)由题意得F(1，0)．设P(x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m<0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 12＝（x 1－1）2＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 124＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d|＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d|＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.25．(2018·课标全国Ⅰ，理)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. 解析 (1)由已知得F(1，0)，直线l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22， 所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当直线l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当直线l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB.当直线l 与x 轴不重合也不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2，由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k(x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.所以x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则2kx 1x 2－3k(x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB. 综上所述，∠OMA ＝∠OMB.26．(2018·天津，理)设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB|·|AB|＝6 2. (1)求椭圆的方程； (2)设直线l ：y ＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q.若|AQ||PQ|＝524sin ∠AOQ(O 为原点)，求k 的值． 解析 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b.由已知可得，|FB|＝a ，|AB|＝2b ，由|FB|·|AB|＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)，由已知得y 1>y 2>0.故|PQ|sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ|＝y 2sin ∠OAB，而∠OAB ＝π4，故|AQ|＝2y 2.由|AQ||PQ|＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4.易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12，或k ＝1128.所以，k 的值为12或1128.27．(2017·课标全国Ⅰ，理)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．解析 (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t－4－t 2＋22t＝－1， 得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m(m≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0， 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．28．(2017·课标全国Ⅱ，理)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2·NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.解析 (1)设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，则N(x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y)，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y.因为M(x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m ，n)，则 OQ →＝(－3，t)，PF →＝(－1－m ，－n)，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n)，PQ →＝(－3－m ，t －n)． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.29．(2016·课标全国Ⅰ，理)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B(1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程； (2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解析 (1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC， 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义，可得点E 的轨迹方程为x 24＋y23＝1(y≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k(x －1)(k≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.过点B(1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ|＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN||PQ|＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．30．(2016·课标全国Ⅱ，理)已知椭圆E ：x 2t ＋y23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. (1)当t ＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求k 的取值范围． 解析 (1)设M(x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y23＝1，A(－2，0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，∵y 1>0，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意知t>3，k>0，A(－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k(x ＋t)代入x 2t ＋y23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t)＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2， 故|AM|＝|x 1＋t|1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t)，故同理可得|AN|＝6kt （1＋k 2）3k 2＋t. 由2|AM|＝|AN|，得23＋tk 2＝k 3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k(2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2. t>3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0， 即k －2k 3－2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k<2.因此k 的取值范围是(32，2)．1．(2015·福建)若双曲线E ：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 答案 B解析 由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝6. 因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝9.2．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 答案 C解析 A ，B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，不符合要求．C ，D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，且双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；双曲线y 2－x 24＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.3．(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5，0)，所以c ＝5.因为离心率e ＝c a ＝54，所以a ＝4.又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝9.故双曲线C 的方程为x 216－y29＝1.4．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 答案 D解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以2ba ＝3.①又因为抛物线y 2＝47x 的准线为x ＝－7，所以c ＝a 2＋b 2＝7.由①②，得a 2＝4，b 2＝3.故所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1.5．(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a>b 时，e 1>e 2；当a<b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a>b 时，e 1<e 2；当a<b 时，e 1>e 2 答案 D解析 由条件知e 12＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a>b 时，b ＋m a ＋m >b a ，∴e 12<e 22.∴e 1<e 2.当a<b 时，b ＋m a ＋m <b a ，∴e 12>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a>b 时，e 1<e 2；当a<b 时，e 1>e 2.6．(2015·课标全国Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D.2 答案 D 解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)，点M 在右支上．如图所示，∠ABM ＝120°，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则∠MBN ＝60°. ∵AB ＝BM ＝2a ，∴MN ＝2asin60°＝3a ，BN ＝2acos60°＝a.∴点M 坐标为(2a ，3a)，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，整理，得a 2b 2＝1，即b 2a 2＝1.∴e 2＝1＋b 2a2＝2，∴e ＝2.7．(2014·山东，理)已知a>b>0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0B.2x±y＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析 依据题意得到关于a ，b 的方程，求出a ，b 的值，进而得出双曲线的渐近线方程．由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ，∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 12，c 22＝a 2＋b 2，∴c 12＝a 2－b 2. ∴c 12c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34.解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y2b2＝0，解得bx±ay ＝0，∴x ±2y ＝0. 8．(2014·天津，理)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案 A解析 根据双曲线的渐近线与直线l 平行得到渐近线的斜率，由双曲线的一个焦点在直线l 上求出c ，然后解方程组即可求出a ，b 的值．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5.由⎩⎨⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线的方程为x 25－y220＝1.9．(2014·福建，理)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q两点间的最大距离是( ) A ．5 2 B.46＋2 C ．7＋ 2 D ．62 答案 D。
【文库精品】高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(二)课时作业 北师大版选修2-1
3.1.2 椭圆的简单性质[基础达标]1.直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的线段的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172解析：选C.设截得线段两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 24＋y 22＝1代入消元整理得3x 2＋4x －2＝0，Δ＝42＋4×6>0，x 1＋x 2＝－43∴x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13. 2.已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0解析：选C.把点(3，－1)代入x 225＋y 236＝1得3225＋（－1）236<1，点(3，－1)在椭圆内部，故直线l 与椭圆有两个公共点即交点．3.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6.4.椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离为( )A ．3B ．11 C.10D ．2 2解析：选C.易判断直线x ＋2y －2＝0与椭圆x 216＋y 24＝1相交，令与直线x ＋2y －2＝0平行的直线方程为x ＋2y ＋C ＝0代入x 216＋y 24＝1，化简整理得8y 2＋4Cy ＋C 2－16＝0，Δ＝16C 2－32(C 2－16)＝0，C ＝±4 2.由图(图略)可知C ＝4 2.切线x ＋2y ＋42＝0与直线x ＋2y －2＝0间的距离为42＋25＝10.5.已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为( )A.53 B ．23 C.22D ．59解析：选A.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (c ，0)，P (x ′，y ′)，PF 中点坐标为M (x 0，y 0)则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－c ，y ′＝2y 0，☆∵OM ⊥PF ，∴M 在圆(x －c2)2＋y 2＝(c2)2①上．又圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2②，由①②可得x 0＝b 2c ，代入②得y 20＝b 2－x 20＝b 2c 2－b 4c 2，把上述x 0，y 20代入☆式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2b 2－c 2c ，y ′2＝4（b 2c 2－b 4）c2，代入椭圆方程整理化简，得 (2b 2－c 2)2＋4a 2(c 2－b 2)＝a 2c 2. 把b 2＝a 2－c 2代入上式化简得 5a 2＝9c 2，∴e 2＝59，e ＝53.6.已知点A ，B 是椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >0，n >0)上两点，且AO →＝λBO →，则λ＝________．解析：由AO →＝λBO →知点A ，O ，B 共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.答案：－17.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k 的值为________．解析：交点坐标为(b ，kb )，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)得b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，∴k 2＝1－b 2a 2＝c 2a2，∴k ＝±e ＝±22. 答案：±228.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2＝________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－139．已知椭圆x 216＋y 24＝1，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为P (2，－1)，求直线l 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由A ，B 在椭圆上，有⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝16，①x 22＋4y 22＝16，② 由①－②，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又由P (2，－1)为AB 的中点，知x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2. 于是有4(x 1－x 2)＋4×(－2)(y 1－y 2)＝0.当x 1＝x 2时，由椭圆的对称性，知AB 的中点在x 轴上，不可能是点P ，故x 1≠x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝12，即直线l 的斜率为12.又P (2，－1)在直线l 上，故由直线方程的点斜式，可得直线l 的方程为x －2y －4＝0.10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解：法一：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得，a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2·|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23，∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（k 2＋1）（x 1－x 2）2＝2·4b 2－4（a ＋b ）（b －1）（a ＋b ）2. ∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.[能力提升]1.以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B ．x 29＋y 28＝1C.x 25＋y 24＝1 D ．x 23＋y 22＝1解析：选C.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1x －y ＋3＝0， 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋(10a 2－a 4)＝0， 由Δ≥0，得a ≥5，e ＝c a ＝1a ≤55，此时a ＝5， 故椭圆方程为x 25＋y 24＝1.2.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．解析：设F (c ，0)，则c 2＝a 2－b 2.由题意，得直线A 1B 2的方程为x －a ＋yb ＝1，直线B 1F的方程为x c ＋y －b ＝1.将两个方程联立，解得T (2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c )，则M (ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)．又点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，∴c 2（a －c ）2＋（a ＋c ）24（a －c ）2＝1，整理，得c 2＋10ac －3a 2＝0，即e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5或e ＝－27－5(舍去)．答案：27－53.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k2. 又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.4．若F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)设点P 是第一象限内椭圆上的点，且PF 1→·PF 2→＝－54，求点P 的坐标．(2)设过定点M (0，2)的直线l 与椭圆交于不同的点A 、B ，且OA →·OB →>0，(其中O 为原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)易知a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )(x >0，y >0)．则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝－54，又x 24＋y 2＝1， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝74x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝32，P (1，32)． (2)显然x ＝0不满足题设条件，可设l 的方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋2⇒(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，∴x 1x 2＝121＋4k 2，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k2，由Δ＝(16k )2－4·12·(1＋4k 2)>0⇒4k 2－3>0，得k 2>34.又OA →·OB →>0，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0，y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝12（1＋k 2）1＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4＝4（4－k 2）1＋4k2>0， ∴－14<k 2<4.综上可得34<k 2<4，∴k 的取值范围是(－2，－32)∪(32，2)．。
2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程课时作业 北师大版选修2-1
§3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________．平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22 D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝________________________________________________________________________. 8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞) D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a<|F 1F 2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m＋3＋m ＝c 2＝4.∴m＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.] 7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k<1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R ，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y212＝1 (x>2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P(x ，y)(x≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x≥3)．令g(x)＝43x 2＋2x －1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y25＝1.。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.2抛物线的简单性质(二)课时作业北师大版选修2-1(2021年
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3.2.2 抛物线的简单性质[基础达标]1。
过点(－1，0)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C。
点（－1，0）在抛物线y2＝x的外部,过此点与抛物线有一个公共点的直线有三条．其中两条切线，一条相交直线(平行x轴)．错误!过抛物线y＝x2上的点M（错误!，错误!)的切线的倾斜角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B。
由题意可设切线方程为y－14＝k（x－错误!），代入y＝x2，化简得4x2－4kx＋2k－1＝0，由Δ＝16k2－16（2k－1）＝0，得k＝1，∴切线的倾斜角为45°.错误!抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于（）A。
错误!B．错误!C.错误!D．1解析：选B。
由错误!消去y整理得ax2－x＋1＝0，由题意a≠0，Δ＝(－1）2－4a＝0.∴a ＝错误!。
错误!抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最小的点的坐标是( )A．(错误!，错误!）B．（1，1）C．（错误!,错误!) D．(2，4)解析:选B.令y＝x2的切线方程为2x－y＋c＝0，代入y＝x2整理得x2－2x－c＝0.由Δ＝(－2）2＋4c＝0，∴c＝－1，∴x＝1，y＝1。
北师大数学选修21同步作业：第3章 圆锥曲线与方程 课时作业 含解析
课时作业(二十)1．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y24＝1 B.x 24－y22＝1 C.x 24－y26＝1 D.x 24－y210＝1 答案 B2．双曲线x 24－y29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x答案 C解析 渐近线方程是y ＝±b a x ＝±32x.3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y24＝1 B.y 24－x24＝1 C.y 24－x28＝1 D.x 28－y24＝1 答案 B解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2.∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的标准方程为y 24－x24＝1.4．设a>1，则双曲线x 2a 2－y2（a ＋1）2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2，5)D ．(2，5)答案 B解析 由题意得双曲线x 2a 2－y2（a ＋1）2＝1的离心率e ＝（a ＋1）2＋a2a＝2＋2a ＋1a2，又a>1，∴2<e< 5.5．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为 ( ) A. 6 B.5 C.62D.52答案 D解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x, 因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52，故选D.6．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y212＝1 B.x 212－y24＝1 C.x 23－y29＝1 D.x 29－y23＝1答案 C解析 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，取双曲线的一条渐近线为直线bx －ay ＝0，由点到直线的距离公式可得d 1＝|bc －b 2|a 2＋b2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b2＝bc ＋b 2c ，因为d 1＋d 2＝6，所以bc －b 2c ＋bc ＋b2c ＝6，所以2b ＝6，得b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y29＝1.故选C.7．焦点为(0，6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y224＝1 B.y 212－x224＝1 C.y 224－x212＝1 D.x 224－y212＝1 答案 B解析 x 22－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±22x.8．(2017·课标全国Ⅲ，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y210＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 25－y24＝1 D.x 24－y23＝1 答案 B解析 根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以C 的方程为x 24－y25＝1.故选B. 9．双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，△F 1PF 2的面积为3，则PF 1→·PF 2→＝( ) A ．2 B.3 C ．－2 D ．－3答案 A解析 ∵S △F 1PF 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|·sin ∠F 1PF 2，再由双曲线中焦点三角形面积公式 S △F 1PF 2＝b 2cot ∠F 1PF 22，知∠F 1PF 2＝60°.∴|PF 1→|·|PF 2→|＝23sin ∠F 1PF 2＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos ∠F 1PF 2＝4×12＝2.10．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A|＝2|F 2A|，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24D.23 答案 A解析 利用双曲线的性质及定义得△AF 1F 2的各边关系，再运用余弦定理求解． 由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A|－|F 2A|＝2a ，又|F 1A|＝2|F 2A|，故|F 1A|＝4a ，|F 2A|＝2a.∴cos ∠AF 2F 1＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.11．若双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是__________．答案 90°解析 等轴双曲线⇔渐近线互相垂直⇔e ＝ 2.12．若双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列，则离心率e 为__________． 答案 53解析 据题意2c ＋2a ＝4b ，即a ＋c ＝2b. ∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2＝4c 2－4a 2.∴3c 2－2ac －5a 2＝0.∴(3c －5a)(c ＋a)＝0. ∵c ＋a≠0，∴3c －5a ＝0. ∴e ＝c a ＝53.13．双曲线3x 2－y 2＝3的顶点到渐近线的距离是________． 答案32解析 由已知得x 2－y23＝1，∴渐近线方程为y ＝±3x.顶点(±1，0)．∴顶点到渐近线距离d ＝|3－0|3＋1＝32.14．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.求这两曲线的方程． 解析 由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实轴、半虚轴分别为m ，n ，则⎩⎨⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m， 解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y24＝1.15．求一条渐近线方程是3x ＋4y ＝0且过点(15，3)的双曲线的标准方程，并求此双曲线的离心率．解析 由题意可设双曲线的方程为9x 2－16y 2＝λ(λ≠0)，又点(15，3)在双曲线上，则9×(15)2－16×32＝λ，得λ＝－9，即双曲线的方程为9x 2－16y 2＝－9，标准方程为y 2916－x 2＝1.由此可知a 2＝916，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝2516，离心率e ＝c a＝2516916＝53. 16．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1→⊥MF 2→； (3)求△F 1MF 2的面积． 解析 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23.∴kMF 1·kMF 2＝m29－12＝－m23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→⊥MF 2→.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m|＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.1．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r>0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6答案 A2．设双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1以椭圆x 225＋y 29＝1长轴的两个端点为焦点，直线x ＝a2c 过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±2 B ．±43C ．±12D ．±34答案 C解析 椭圆的长轴端点为(±5，0)，焦点为(±4，0)， 设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1，由题意可得a 2＋b 2＝25，a 2c＝4⇒a 2＝20，b 2＝5，则双曲线渐近线斜率k ＝±b a ＝±12.3．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作渐近线y ＝ba x 的垂线，垂足为M ，交双曲线左、右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围． 解析 由已知MF 与渐近线y ＝ba x 垂直．∴k MF ＝－ab.又∵MF 与双曲线的两支都相交，∴MF 的倾斜角大于y ＝－ba x 的倾斜角，且均为钝角．∴－a b >－b a ，即a b <b a .∴b 2>a 2，可得c 2－a 2>a 2，即c 2>2a 2.∴c 2a2>2，可得e 2>2.∴e> 2.4．若双曲线的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线有四个交点A 、B 、C 、D ，若六边形ABF 1CDF 2为正六边形(如图)，求双曲线的离心率．解析 因为双曲线的离心率等于焦距长2c 与实轴长2a 的比值，利用正六边形的特殊性，设正六边形的边长为m ，则由双曲线的定义有 2a ＝|BF 2|－|BF 1|＝(3－1)m.则双曲线的离心率e ＝2c 2a ＝2m （3－1）m ＝3＋1.。
北师大版数学选修2-1同步作业：第3章 圆锥曲线与方程 课时作业
课时作业(二十)1．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y24＝1 B.x 24－y22＝1 C.x 24－y26＝1 D.x 24－y210＝1 答案 B2．双曲线x 24－y29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x答案 C解析 渐近线方程是y ＝±b a x ＝±32x.3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y24＝1 B.y 24－x24＝1 C.y 24－x28＝1 D.x 28－y24＝1 答案 B解析 由方程组⎩⎨⎧a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2.∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的标准方程为y 24－x24＝1.4．设a>1，则双曲线x 2a 2－y2（a ＋1）2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2，5)D ．(2，5)答案 B解析 由题意得双曲线x 2a 2－y 2（a ＋1）2＝1的离心率e ＝（a ＋1）2＋a2a ＝2＋2a ＋1a2，又a>1，∴2<e< 5. 5．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为 ( ) A. 6B.5C.62D.52答案 D解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x, 因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52，故选D.6．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y212＝1 B.x 212－y24＝1 C.x 23－y29＝1 D.x 29－y23＝1答案 C解析 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，取双曲线的一条渐近线为直线bx －ay ＝0，由点到直线的距离公式可得d 1＝|bc －b 2|a 2＋b2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc ＋b 2c ，因为d 1＋d 2＝6，所以bc －b 2c ＋bc ＋b2c ＝6，所以2b ＝6，得b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y29＝1.故选C.7．焦点为(0，6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y224＝1 B.y 212－x224＝1 C.y 224－x212＝1 D.x 224－y212＝1 答案 B解析 x 22－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±22x.8．(2017·课标全国Ⅲ，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y210＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 25－y24＝1 D.x 24－y23＝1答案 B解析 根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以C 的方程为x 24－y25＝1.故选B. 9．双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，△F 1PF 2的面积为3，则PF 1→·PF 2→＝( ) A ．2 B.3 C ．－2 D ．－3答案 A解析 ∵S △F 1PF 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|·sin ∠F 1PF 2，再由双曲线中焦点三角形面积公式 S △F 1PF 2＝b 2cot ∠F 1PF 22，知∠F 1PF 2＝60°.∴|PF 1→|·|PF 2→|＝23sin ∠F 1PF 2＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos ∠F 1PF 2＝4×12＝2.10．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A|＝2|F 2A|，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24D.23答案 A解析 利用双曲线的性质及定义得△AF 1F 2的各边关系，再运用余弦定理求解．由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A|－|F 2A|＝2a ，又|F 1A|＝2|F 2A|，故|F 1A|＝4a ，|F 2A|＝2a.∴cos ∠AF 2F 1＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.11．若双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是__________．答案 90°解析 等轴双曲线⇔渐近线互相垂直⇔e ＝ 2.12．若双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列，则离心率e 为__________． 答案 53解析 据题意2c ＋2a ＝4b ，即a ＋c ＝2b. ∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2＝4c 2－4a 2.∴3c 2－2ac －5a 2＝0. ∴(3c －5a)(c ＋a)＝0. ∵c ＋a≠0，∴3c －5a ＝0. ∴e ＝c a ＝53.13．双曲线3x 2－y 2＝3的顶点到渐近线的距离是________． 答案32解析 由已知得x 2－y23＝1，∴渐近线方程为y ＝±3x.顶点(±1，0)． ∴顶点到渐近线距离d ＝|3－0|3＋1＝32.14．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.求这两曲线的方程． 解析 由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实轴、半虚轴分别为m ，n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y24＝1.15．求一条渐近线方程是3x ＋4y ＝0且过点(15，3)的双曲线的标准方程，并求此双曲线的离心率．解析 由题意可设双曲线的方程为9x 2－16y 2＝λ(λ≠0)，又点(15，3)在双曲线上，则9×(15)2－16×32＝λ，得λ＝－9，即双曲线的方程为9x 2－16y 2＝－9，标准方程为y 2916－x 2＝1.由此可知a 2＝916，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝2516，离心率e ＝c a＝2516916＝53. 16．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1→⊥MF 2→； (3)求△F 1MF 2的面积．解析 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)．∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23.∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→⊥MF 2→.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m|＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.1．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r>0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6答案 A2．设双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1以椭圆x 225＋y 29＝1长轴的两个端点为焦点，直线x ＝a2c 过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±2 B ．±43C ．±12D ．±34答案 C解析 椭圆的长轴端点为(±5，0)，焦点为(±4，0)， 设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1，由题意可得a 2＋b 2＝25，a 2c＝4⇒a 2＝20，b 2＝5，则双曲线渐近线斜率k ＝±b a ＝±12.3．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作渐近线y ＝ba x 的垂线，垂足为M ，交双曲线左、右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围． 解析 由已知MF 与渐近线y ＝ba x 垂直．∴k MF ＝－ab.又∵MF 与双曲线的两支都相交，∴MF 的倾斜角大于y ＝－ba x 的倾斜角，且均为钝角．∴－a b >－b a ，即a b <b a .∴b 2>a 2，可得c 2－a 2>a 2，即c 2>2a 2. ∴c 2a2>2，可得e 2>2.∴e> 2.4．若双曲线的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线有四个交点A 、B 、C 、D ，若六边形ABF 1CDF 2为正六边形(如图)，求双曲线的离心率．解析 因为双曲线的离心率等于焦距长2c 与实轴长2a 的比值，利用正六边形的特殊性，设正六边形的边长为m ，则由双曲线的定义有 2a ＝|BF 2|－|BF 1|＝(3－1)m.则双曲线的离心率e ＝2c 2a ＝2m（3－1）m ＝3＋1.由Ruize收集整理。
高中数学北师大版版选修2-1课时作业第三章 圆锥曲线与方程章末检测A Word版含解析
第三章圆锥曲线与方程()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．椭圆＋＝的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值是( )．．．设椭圆＋＝ (>，>)的右焦点与抛物线＝的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝．已知双曲线－＝(>，>)的一条渐近线方程是＝，它的一个焦点在抛物线＝的准线上，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝．若双曲线－＝(≠)的离心率为，它的一个焦点与抛物线＝的焦点重合，则的值为( )．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为()，则双曲线的标准方程为( )－＝－＝－＝－＝．设>，则双曲线－＝的离心率的取值范围是( )．(，) ．(，)．() ．(，)．若△是等腰三角形，∠＝°，则以、为焦点且过点的双曲线的离心率为( )．＋．＋．设为抛物线＝的焦点，、、为该抛物线上三点，若＋＋＝，则＋＋等于( )．．．．．若动圆圆心在抛物线＝上，且动圆恒与直线＋＝相切，则动圆必过定点( )．() ．()．() ．(，－)．已知椭圆α－α＝(≤α<π)的焦点在轴上，则α的取值范围是( )二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．椭圆的两个焦点为、，短轴的一个端点为，且三角形是顶角为°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为．．过抛物线＝(>)的焦点作倾斜角为°的直线交抛物线于、两点，若线段的长为，则＝. ．设椭圆＋＝ (>>)的左、右焦点分别是、，线段被点分成∶的两段，则此椭圆的离心率为．．双曲线－＝截直线＋＝所得弦长为，则双曲线的实轴长是．．对于曲线：＋＝，给出下面四个命题：①曲线不可能表示椭圆；②当<<时，曲线表示椭圆；③若曲线表示双曲线，则<或>；④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则<<.其中所有正确命题的序号为．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)已知点在椭圆＋＝上，′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为′，并且为线段′的中点，求点的轨迹方程．．(分)双曲线与椭圆＋＝有相同的焦点，直线＝为的一条渐近线．求双曲线的方程．.(分)直线＝－交抛物线＝于、两点，若线段中点的横坐标等于，求弦的长．。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)
一、选择题1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ）A ．BC ．13-D ．132．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ）A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=3．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（ ）A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 5．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞7．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A B C ．14D ．48．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ）A B ．12C 1D 19．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=10．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（ ）A B C ．2D 11．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）．ABC 1D 12．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（ ）A ．2B 1C 1D ．2+二、填空题13．已知椭圆2214x y P +=，是椭圆的上顶点，过点P 作直线l ，交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ，则PAB S的最大值为________．14．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为 .15．双曲线221(0)x y mn m n-=≠的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m n ⋅的值为___________16．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是______；17．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．18．设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，则12F PF △的面积等于________．19．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 的直线与C 的左支交于M 、N 两点，若12MF F △是以1MF 为底边的等腰三角形，且1123MF NF =，则双曲线C 的离心率是________． 20．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为________. 三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,1P l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）求椭圆C 的方程;（2）若APB ∠的角平分线与x 轴垂直，求PM 长度的最小值．23．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，倾斜角为45°的直线l 过点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =. （1）求抛物线C 方程；（2）设点E 为直线2px =与抛物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为1k ，2k 的两条弦EM ，EN ，如果121k k +=-，证明：直线MN 过定点，并求定点坐标.24．点M 是椭圆223:11616x y C +=上一点，点A 是椭圆C 的左顶点，MO 的延长线交椭圆C于点B ，AMB 是以M 为直角顶点的三角形.若存在不同于点A ，B 的点C ，D ，使得0MC MD OA MC MD ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，试探究直线AB 与CD 的位置关系，并说明理由. 25．在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为准线的距离为8．（1）求椭圆的方程；（2）设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．26．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-， 故选C.2．C解析：C 【解析】设椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>联立方程：2222143130y x a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，整理得：()222222216910416990b a x b x b a b +---=,设()11M x y ，，()22N x y ，，则1212x x +=，即2221042169b b a=+，化简得：224a b =， 又2227a b -=，易得：22369a b ⎧=⎨=⎩，∴此椭圆的方程是221369y x +=故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.3．A解析：A 【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=， Fbcb c== ， 因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =， 故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.4．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a . 5．A解析：A 【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥， 取线段2PF 的中点N ，连接1NF ， 由于1122PF F F c ==， 则122,NF PF NP NF ⊥=，由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==，则2NP b ==，即有24PF b =，由双曲线的定义可得212PF PF a -=， 即422b c a -=， 即2,2b c a c b a =+=-，所以()2222b a a b -=+，化简得2434,34,3b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得12e <12e > 故双曲线离心率的取值范围是()12,+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.7．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.8．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P +=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=， 故2322c c a +=，即)31c a =，故离心率31231c e a ===+. 故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法： （1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=； （2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.9．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，23c =可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y 到点1(0,23)F 的距离与到点2(0,23)F -的距离之和为定值8，并且12843F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为23c =22216124b a c =-=-=，所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .10．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k t a b a b -=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+， 所以2222PA PB t n t n t nk k k m k m k m-+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率c e a === 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．11．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2231aPF =-，2122131sin 3022(31)aPF a F F c c -====-，∴2(31)a c =-，31==+ce a， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．12．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-， 则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+， 则12PF F △与12QF F 的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.二、填空题13．2【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中求出点的坐标进而由题意得点的坐标再整理成用到均值不等式形式求出面积的最大值【详解】由题意可知直线的斜率一定存在因此设直线的方程为代入椭圆方程整理得所以所以所以由解析：2 【分析】由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出点A 的坐标，进而由题意得点B 的坐标，PABS1||||2A B OP x x =-，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值. 【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线l 的方程为1y kx =+， 代入椭圆方程整理得22(14)80k x kx ++=， 所以2814kx k -=+，所以221414k y k -=+所以A 28(14k k -+，2214)14k k -+， 由题意得B 28(14k k +，2241)14k k -+，所以三角形PAB 的面积21116||||||2214A B k S OP x x k =-=+因为0k ≠， 所以118||821244PABSk k==+.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.14．【详解】由双曲线得右焦点为即为抛物线的焦点∴解得∴抛物线的方程为其准线方程为过点作准线垂足为点则∴∴∴∴ 解析：32【详解】由双曲线22179x y -=得右焦点为()40，即为抛物线22y px = 的焦点，∴42p = ，解得8p = ．∴抛物线的方程为216y x = ．其准线方程为()440x K =-∴-，， ．过点A 作AM ⊥准线，垂足为点M ．则AM AF =．∴AK =．∴45MAK ∠=︒．∴KF AF =．∴221183222AKFSKF ==⨯=． 15．【分析】由题即可求得对的正负分类即可表示出再利用双曲线离心率为2列方程即可求得问题得解【详解】由题可得：抛物线的焦点坐标为所以双曲线中方程表示双曲线所以同号当同正时则解得：则此时当同负时则解得：则此 解析：316【分析】由题即可求得1c =，对,m n 的正负分类，即可表示出22,a b ，再利用双曲线离心率为2列方程，即可求得,m n ，问题得解． 【详解】由题可得：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0， 所以双曲线中1c =方程()2210x y mn m n -=≠表示双曲线所以,m n 同号.当,m n 同正时，54a b =-，则2c ea ===，解得：14m = 则222314n b c a m ==-=-=，此时1334416m n ⋅=⨯=. 当,m n 同负时，22,a n b m =-=-，则2c ea ===，解得：14n =- 则222314m b c a n -==-=+=，此时1334416m n ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述：316m n ⋅= 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，还考查了双曲线的简单性质及分类思想，考查双曲线标准方程的,,a b c 的识别，考查计算能力，属于中档题．16．【分析】根据双曲线的对称性可知等腰三角形的腰应该为与或与不妨设等腰三角形的腰为与故可得到的值再根据等腰三角形的内角为求出的值利用双曲线的定义可得双曲线的离心率【详解】解：根据双曲线的对称性可知等腰三解析：12【分析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，故可得到2PF 的值，再根据等腰三角形的内角为23π，求出1PF 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ， 不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限， 故22PF c =， 等腰12PF F ∆有一内角为23π， 即2123PF F π∠=，由余弦定理可得，1PF ==， 由双曲线的定义可得，||12PF PF 2c 2a -=-=，即1)c a =，解得：e = 【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.17．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8 【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--， 联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=， 所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k，则1k =1k = 设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将11k =24840x kx k -++=得24(18(140x x -++=，即2(20x -+=，得2x =-12x =-2211(244x y -===3-(2A --，同理可得(2B ++，所以||AB =8=.故答案为：8. 【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.18．1【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得再由三角形面积公式可得结果【详解】因为是椭圆的两个焦点点在椭圆上且满足所以所以则的面积等于故答案为：1【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质意在考查学生灵活应解析：1 【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得122PF PF ⋅=，再由三角形面积公式可得结果. 【详解】因为1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=， 所以122221224412PF PF a PF PF c +==⎧⎨+==⎩ ()()222121212216124PF PF PF PF PF PF ⇒⋅=+-+=-=，所以122PF PF ⋅=， 则12F PF △的面积等于12112PF PF ⋅=， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.19．【详解】取的中点P 连接由题可知且所以又则在中在中得又所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解涉及双曲线定义的应用考查计算能力属于中等题 解析：75【详解】取1F M 的中点P ，连接2PF ，由题可知212=MF F F ，且1132MF NF =， 所以22MF c =，MP c a =-，1F P c a =-． 又1132MF NF =，则()13NF c a =-，23NF c a =-． 在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()2222342c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，2251270c ac a -+=，()()750a c a c --=．又1e >，所以75e =． 故答案为：75.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由双曲线的方程的左右焦点分别为为双曲线上的一点为双曲线的渐近线上的一点且都位于第一象限且可知为的三等分点设将坐标用表示并代入双曲线方程即可得到离心率的值【详解】由双曲线的方程的左右焦点分别为2【分析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=， 可知P 为2QF 的三等分点，设()11,P x y ，将坐标用,,a b c 表示，并代入双曲线方程，即可得到离心率的值. 【详解】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥， 点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(),Q a b ，()2,0F c ， 设()11,P x y ，则()()11112,,x a y b c x y --=--， 解得123a c x +=，123b y =，即22,33a c b P +⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2224199a c a +-=，解得2c e a ==，2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，转化为a ，c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e （e 的取值范围）.三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零， 设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0， ∴1212066y yx x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（1）22182x y +=；（2）5. 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率c a =,a b ，得出椭圆方程； （2）可得0PA PB k k +=，设出直线PA 方程，联立直线与椭圆，可得点A 坐标，同理得出点B 坐标，即可求出中点M 坐标，可判断M 在直线20x y +=上，即可求出最小值. 【详解】解：（1）因为椭圆经过点P所以2222211,a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩其中222a b c =+，解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆方程为22182x y +=．（2）因为APB ∠的角平分线与x 轴垂直，所以0PA PB k k +=．设直线PA 的斜率为()0k k ≠，则直线PA 的方程为：()21y k x =-+， 设()()1122,,,A x y B x y ，由()2221,1,82y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩得()()22214812161640k x k k x k k ++-+--=．则21216164214k k x k--⨯=+， 所以21288214k k x k --=+，代入得21244114k k y k--+=+． 即2222882441,1414k k k k A k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，同理可得2222882441,1414k k k k B k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭． 所以22228241,1414k k M k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭． 则M 在直线20x y +=上，所以PM 的最小值为P 到直线20x y +=的距离．即d ==63,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内，所以PM的最小值为5． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）24y x =；（2）证明见解析，定点(5,6)-. 【分析】（1）直线方程为2py x =-，代入抛物线，利用焦点弦公式即可求出p ，得出方程； （2）当MN 斜率不存在时，可得MN 方程为5x =，当MN 斜率存在时，设为y kx b =+，和抛物线联立，利用121k k +=-可得56b k =--，即可得出定点.【详解】（1）由题意知：(,0)2p F ，则直线l 的方程为2py x =-，代入抛物线方程得 22304p x px -+=，设(,),(,)A A B B A x y B x y ，根据抛物线定义||2A p AF x =+，||2B pBF x =+，||||||48A B AB AF BF x x p p ∴=+=++==，2P =∴， ∴24y x =；（2）抛物线方程为24y x =，直线2px =，即1x =，解得(1,2)E . ①当MN 斜率不存在时，设方程为x t =，则((,M t N t -，1222111k k t t -+=+=---解得5t =，∴方程为5x =； ②当MN 斜率存在时，设:(0)MN y kx b k =+≠，24y kx by x =+⎧⎨=⎩，即222(24)0k x kb x b +-+=，1222122042kb x x k b x x k ⎧⎪∆>⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩111111222111y kx b b k k k x x x -+-+-===+---，2221b k k k x +-=+-， 12121222(2)1(1)(1)x x k k k b k x x +-+=++-⋅=---，化简得：56b k =--，此时:(5)6MN y k x =--，过定点(5,6)-. 综上，直线MN 过定点(5,6)-. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.24．//AB CD ，理由见解析.【分析】利用AM MO ⊥得M 是以OA 为直径的圆与椭圆的交点，解方程组求得M 点坐标．可求得AB k ，由数量积为0得CMD ∠的角平分线垂直于OA ，从而0MC MD k k +=，设直线:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入0MC MD k k +=可求得参数关系以13k =-或22m k =+(过点M ，舍)，由此可得两直线的位置关系．【详解】解：由题意(4,0)A -，因为AMB 是以M 为直角顶点的三角形，所以以AO 为直径的圆()2224x y ++=与椭圆223:11616x y C +=交于点M ， 联立2222(2)4311616x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩或40x y =-⎧⎨=⎩（舍），不妨设()2,2M -，则(2,2)B -，2012(4)3AB k --==---． 由0MC MD OA MC MD ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭可得：CMD ∠的角平分线垂直于OA ，所以0MC MD k k +=，易知直线CD 斜率存在，设直线:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，联立22311616y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2221363160k x kmx m +++-=，即122613km x x k -+=+，212231613m x x k -=+，所以121222022MC MD y y k k x x --+=+=++，即()12122(22)480kx x k m x x m ++-++-=，代入韦达定理可得：()()()4318311k m k k +=++， 所以13k =-或22m k =+(过点M ，舍)因为13AB k =-，所以//AB CD .【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +（需要根据方便性，可能得1212,y y y y +），由题意中条件得出0MC MD k k +=，代入1212,x x x x +后可求得参数关系或参数值．从而判断出结论．25．（1）22184x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据长轴长、两准线的距离以及222a b c =+可得到椭圆的方程；（2）首先要对直线进行分类讨论，当斜率存在时，将直线与椭圆联立，设出,A B 两点的坐标，12k k +用12,x x 表示，再结合韦达定理就能得到证明．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆的长轴长为8，所以2228a a c==，所以2a c ==，2b . 所以椭圆的方程为22184x y +=． （2）证明①当直线l 的斜率不存在时，可得A 1,2⎛- ⎝⎭，B 1,2⎛-- ⎝⎭， 得k 1＋k 2＝4.②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，显然k ≠0，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， 由221,842(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. ∆＝56k 2＋32k >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－24(2)12k k k -+，x 1x 2＝222812k k k -+. 从而k 1＋k 2＝112y x -＋222y x -＝1212122(4)()kx x k x x x x +-+＝2k －(k －4)·24(2)28k k k k--＝4. 综上，k 1＋k 2为定值．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．26．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析． 【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围. (3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的.【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=，故圆心()11M ，，半径R =圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =< 所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ， 设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E ，)F ， 设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+， 整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，， ())()2222x x y x y =⋅+-=+- ()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩， 由此得2102y ≤<，所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补， 故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．故直线MA 的方程为()11y k x -=-，直线MB 的方程为()11y k x -=--，由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩， 得()()()222121120k x k k x k ++-+--=， 因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k k x k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+， 同理可得：22211B k k x k +-=+， 所以B A AB B Ay y k x x -=- ()()3232222222222421111114212111B A MN B A k k k k k k k k k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++， 所以直线AB 和MN 一定平行．【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点：(1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断；(2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.。
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课时作业(二十四)1．过点(0，1)与抛物线y 2＝mx(m>0)只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．由m 的取值确定 答案 C解析 数形结合，一条是y 轴，一条是y ＝1，另一条由判别式Δ＝0可求出．2．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2答案 B解析 特例法．当直线垂直于x 轴时， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4. 3．过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.14a答案 C解析 将y ＝ax 2化为标准式为x 2＝1ay.解法见本节例3.4．已知AB 是抛物线y 2＝4x 的焦点弦，其端点A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)且满足x 1＋x 2＝6，则直线AB 的斜率为( ) A ．±12B ．±222C ．±1D ．±2答案 C解析 ∵x 1＋x 2＝6, p ＝2， ∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 又|AB|＝2psin 2α(α为焦点弦倾斜角)．∴sin 2α＝2p |AB|＝48＝12.∴sin α＝22，∴α＝π4或3π4.∴AB 的斜率为1或－1.5．已知双曲线的中心在原点，离心率为 3.若直线x ＝－a 2c 与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则该双曲线与抛物线y 2＝4x 的交点到原点的距离是( ) A ．23＋ 6 B.21 C ．18＋12 2 D ．21答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1，由题意知⎩⎨⎧a 2＋b2a＝3，a2a 2＋b2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝ 6. ∴双曲线方程为x 23－y26＝1.与抛物线方程组成方程组可得交点(3，±23)． 交点到原点距离为32＋（23）2＝21.6．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M(－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A ，B ，且满足AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝( ) A. 2 B.22 C.3 D.33答案 B解析 依题意，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)(k≠0)，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得k 2x2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4－2k2k 2，x 1x 2＝1.又因为AF →·BF →＝0，所以(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，(x 1－1)(x 2－1)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0，把⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4－2k2k 2，x 1x 2＝1代入并整理得k 2＝12，又k>0，所以k ＝22，选择B.7．过(1，1)作直线与抛物线y 2＝x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 答案 C解析 由于点(1，1)在抛物线y 2＝x 上，所以过点(1，1)作与抛物线只有一个交点的直线，可作为2条，一条是与抛物线对称轴平行的直线，另一条是与抛物线相切的直线． 8．设抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值是( ) A.34 B ．－34C ．3D ．－3答案 B解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，可知p ＝1，则OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34.9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355B ．2 C.115 D ．3答案 B解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l 2的距离等于|PF|，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2，故选B.10．将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( ) A ．n ＝0 B ．n ＝1 C ．n ＝2 D ．n ≥3 答案 C解析 根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°，如图，所以正三角形的个数n ＝2，所以选C.11．已知M(a ，2)是抛物线y 2＝2x 上一定点，直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P 、Q 两点，则直线PQ 的斜率为________． 答案 －12解析 易知M(2，2)．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，由k MP ＝－k MQ ，得y 1－2y 122－2＝－y 2－2y 222－2，即y 1＋y 2＝－4，∴k PQ ＝2y 1＋y 2＝－12.12．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝23x 上，另一顶点在原点，则这个三角形的边长为________． 答案 12解析 根据对称性可设在第一象限内的顶点为(3t ，t)(t>0)，则边长为2t. ∵(3t ，t)在抛物线y 2＝23x 上，∴t 2>0.∴t ＝6. ∴边长为12.13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，弦所在的直线方程为________． 答案 y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1) 解析 由题意可设弦所在的直线的斜率为k ，且与抛物线交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点F(1，0)，∴直线方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2.又|AB|＝36, ∴2k 2＋4k2＋2＝36，解得k 2＝18，即k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． 14．已知抛物线C 过点A(1，2)且关于x 轴对称．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线C 相切于点A ，求直线l 的方程及点A 的坐标． 解析 (1)由题意可设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．因为抛物线C 过点A(1，2)，所以22＝2p ×1，所以p ＝2.所以抛物线的方程是y 2＝4x ，其准线方程是x ＝－1.(2)联立直线与抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，消去y 得到(x ＋m)2＝4x ，化简得x 2＋(2m －4)x ＋m2＝0.①因为直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线C 相切，所以方程①的判别式Δ＝0，即(2m －4)2－4m 2＝0，解得m ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1，这时方程①为x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，代入直线方程得y ＝2，即点A 的坐标为(1，2)．15．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)上的一点M(3，y 0)到焦点F 的距离等于4.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点(4，0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求△ABO 面积的最小值． 解析 (1)依题意可知|MF|＝3＋p2＝4，∴p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x.(2)方法一：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝4，解得y 1＝－4，y 2＝4.所以S △ABO ＝12×4×|y 1－y 2|＝16.②当直线l 的斜率存在时， 设直线l ：y ＝k(x －4)(k≠0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －4），消去x ，得y 2－4k y －16＝0.所以y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－16.所以S △ABO ＝12×4×|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1·y 2＝216⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋4＝81k2＋4>16. 综合①②可得当直线l 的斜率不存在时，S △ABO 取得最小值16. 方法二：设直线l ：x ＝ty ＋4.A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋4，消去x 得y 2－4ty －16＝0.所以y 1＋y 2＝4t ，y 1·y 2＝－16. 所以S △ABO ＝12×4×|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1·y 2＝216（t 2＋4）＝8t 2＋4.当t ＝0时，S △ABO 取得最小值16.16．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M(m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析 (1)设P(x ，y)是曲线C 上的任意一点，那么点P(x ，y)满足：（x －1）2＋y 2－x ＝1(x>0)．化简得y 2＝4x(x>0)．(2)设过点M(m ，0)(m>0)的直线l 与曲线C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m)>0.于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ，①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.② 又x ＝y24，于是不等式②等价于y 124·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 124＋y 224＋1<0 ⇔（y 1y 2）216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0，③由①式知不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2，④对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m<3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M(m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．1．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的准线为l ，过M(1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B.若AM →＝MB →，则p ＝________． 答案 2解析 由题知准线l 为x ＝－p2(p>0)，过M(1，0)且斜率为3的直线为y ＝3(x －1)，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－p 2，3⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2－1，设B(x 0，y 0)，由AM →＝MB →知M 为AB 的中点，又M(1，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－p 2＋x 0＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2－1＋y 0＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋p2，y 0＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋1，代入y 2＝2px(p>0)得3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋12＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2， 整理，得p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)． 2．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA(O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解析 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p·1，所以p ＝2. 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t|5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。