工程水文学_第六章

P(%) p Cs 0.0
Cs ~ P ~ P
P
P-III型曲线离均系数
0.01 3.72 0.1 3.09
值表
1 10 1.28 50 0.00
2.33
0.1
0.2
3.94
4.16
3.23
3.38
2.40
2.47
1.29
1.30
0.02
0.03
注：详表见附表1, P269
第四节
水文频率曲线线型
mr E( X r ) (r 1,2,...,n)
r=1时，就是算术平均数
第三节 随机变量及其概率分布
（2）中心矩 随机变量X 对分布中心E(X)离差的r次幂 的数学期望，称为随机变量X的r 阶原点矩。
r E X E( X )r


2
(r 1,2,...,n)
r=1时，一阶中心矩为0
0.10
1.0 9
1.0 7
1.0 4
1.0 0
0.9 7
0.9 4 … …
0.53
0.9 2 … …
0.70
0.8 9 … …
0.89
（二）CS=1.5CV
0.05
（三） CS=2CV 。。。。。。 （三） CS=6CV
第五节
频率曲线参数估计
用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的 参数，称为参数估计如P—Ⅲ型的 x 、Cv、 Cs。 1、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关 系，来估计频率曲线的参数。 均值 x 的无偏估计：
随机变量的分类:
1、离散型随机变量
随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，则称 为离散型随机变量。如洪峰次数，只能取0, 1, 2…， 不能取相邻两数值之间的任何值。
2、连续型随机变量 随机变量可以取得一个有限区间内的任何数 值，则称为连续型随机变量。如某河流断面的流 量可以取0 ~ 极限值之间的任何实数值。
f ( x)
2
e
( x )
第四节
a.单峰;
水文频率曲线线型
正态分布曲线的特点：
b.对于平均数对称, Cs= 0；
c.曲线二端趋于〒≦ ，
并以x 轴为渐近线; f (x)
d.



f ( x )dx 1
x
x
x
正态分布的应用
通过积分计算可知：曲线通 过（ 50% ， 0 ）、（ 0.01% ， 3.72 ） 两点，连接两点并适当延长，即 为绘在格纸上的标准正态分布频 率曲线。
5，10，15 Cv=0.48 995，1000，1005 Cv=0.0048
Cv
x=10
x=1000
2 K 1 i i 1 n
σ=4.08
σ=4.08

x

n
变差系数越大，表示系列的离散程度越大。
（四）偏态系数（Cs） 反映系列在均值两边的对称程度。
xi x
n i 1
A.必然事件
B.不可能事件 C.随机事件
第一节 概述
二、总体、样本、样本容量
系列
续型系列（江河中的水位和流量值） 离散型系列（掷骰子）
总体
样本
在某个随机实验中，若存在 一个变量，依试验的结果 （即事件中出现的基本事件） 而取不同的数值，就称这一 变量为随机变量
第一节 概述
三、数理统计法对水文资料的要求
X E ( X ) 2 E r=2时，
3 E X E ( X ) r=3时， 3
2
Cv

x


Cs
3
3
第四节 水文频率曲线线型
我国水文统计中广泛应用的水文频率曲线有两种： 正态分布和皮尔逊Ⅲ型分布 一、正态分布
1
2 x x 2 2
a0
x
M 0( x ) M e (x )
xP
在水文计算中，一般要求出指定概率 P 所相应的随 机变量的取值 xP ，即求出的 xP 满足下列等式：

P P( X xP ) ( x a 0 ) 1 e ( x a ) dx ( ) x
0 P
按上式计算相当复杂，故实用中，采用标准化变换：取标 准变量(离均系数），
求解：由 CS =1.0及P =1%，查附表1得p = 3.02
x P x1% (ΦP CV 1) x (3.02 0.5+ 1) 1000 = 2510 mm
另一种求解方法：
引入模比系数：
K P xP / x
由 x P (Φ P CV 1) x
由此建立 的 C ~ K ~ P V P
第二节
概率的基本概念
【例1】：某地区位于甲乙两河的汇合点附近。若任一河流 泛滥，则该地区就会被淹没。设在某个时期内，甲河泛滥 的概率为0.3，乙河泛滥的概率为0.2，在甲河泛滥的条件 下乙河泛滥的概率为0.3. 求（1）这个时期该地区被淹没的概率；
（2）当乙河泛滥时，甲河泛滥的概率。 解：设事件A表示甲河泛滥，B表示乙河泛滥， （1） P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） =P（A）+P（B）- P（A）P（B|A） =0.41 （2） P（AB）= P（A）P（B|A）= P（B）P（A|B） P（A|B）=0.45
因此，由给定的CS及P，从P-III型曲线离均系
数 值表，查出P ，再由下式求：
x P ( P CV 1) x
即求出指定概率 P 所相应的随机变量的取值 xP
【算例】
已知: 某地年平均降雨量
x
=1000 mm, CV =0.5, CS
=1.0,若年降雨量符合P - III型分布
试求：P=1% 的年降雨量。
1 n x xi n i 1
Cv的无偏估计量：
Cv n n 1
( K i 1)
i 1
n
2
n
n

2 ( K 1 ) i i 1
n
n 1
( x x ) 即 x x (1 C ) V xCV 代入上式，, , a0
关系式表示，简化后得：
以相应的
x , CV 和 C S
P ( P )


f ( , C s )d
P
被积函数含有参数 , Cs ，而
x , CV 包含在
对应关系表：
( x x ) 中，制成 xCV
x

Hale Waihona Puke 【例2】、某水文站具有104年实测年降水量资料， 试分布年降水量的概率分布规律。
次数（年） 序号 年降水量区间 组 内
(3) 1 1 13 21 39 25 4 104
频率（%） 组内∆P
(5) 0.95 0.95 12.5 20.20 37.50 24.00 3.90 100.00
累计
(4) 1 2 15 36 75 100 104
K P Φ P CV 1
对应
数值关系[P-III型曲线模比系数 KP 值表
解法：
由 CV = 0.5, CS = 1.0=2 CV ，P = 1%查附表得:
K P 2.51
x1% K P x 2.51 1000 2510mm
P-III型曲线模比系数 KP 值表
P(%) CV
三、随机变量的统计参数 （一）均值
x1 x2 ... xn 1 n x xi n n i 1
模比系数：ki=
xi x
（二）均方差
反映系列中各变量值集中或离散的程度

xi
n i 1
x

2
n
5，10，15 1，10，19
σ= 4.08 σ=7.35
（三）变差系数（Cv）
3、概率分布曲线与概率密度曲线
概率分布曲线 水文学上习惯研究随机变量的取值等于或大于某个 值的概率，表示为：F(x)=P(Xx)
表示随机变量 X 大于或等于值 x 的概率，其几何曲线 称作随机变量的概率分布曲线（水文学上通常称累计频率曲 线，简称频率曲线）。
概率密度函数: 当 x 0，取极限得：
累计频 率P
(6) 0.95 1.90 14.40 34.60 72.10 96.10 100.00
组内平均频率 密度∆P/∆x (10-4/mm)
(7) 0.475 0.475 6.250 10.100 18.750 12.000 1.950
(1) 1 2 3 4 5 6 7 8
(2) 1500~1300.1 1300~1100.1 1100~900.1 900~700.1 700~500.1 500~300.1 300~100.1 合计
（1）检查资料的可靠性
（2）检查资料的一致性
（3）检查资料的代表性
（4）检查资料的随机性
（5）检查资料的独立性
第二节
一、概率和频率
概率的基本概念
1、机率： 又称概率：表示随机事件在客观上发生 的机遇性。 2、频率： 在若干次实验中A事件出现的次数与总实 验数之比 f W（A)＝ n
f A事件出现的次数 n – 实验的总次数
0.0 1 0.1 0.2 0.3 3 0.5 1 2 5 10 20 50 75 90 95 99
（一） CS=CV
0.05 … … 1.50 1.1 9 … … 11. 6 1.1 6 … … 8.8 5 8.0 2 7.3 6 6.8 7 6.0 0 1.1 5 1.1 4 1.1 3 1.1 2 1.1 1 … … 5.1 1 3.9 2 3.0 0 2.0 4 0.6 4
3 3 ( K 1 ) i i 1 n