数学人教A选修23课前导引：221条件概率 含解析
人教A数学选修23课时规范训练：221条件概率 含解析
第二章 2.2 2.2.1【基础练习】1．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于( )A.25 B.12 C.35 D.45【答案】A2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A ．0.2B ．0.33C ．0.5D ．0.6 【答案】A3.(2019年东莞期末)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为310，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为415，则在吹东风的条件下下雨的概率为( ) A.89 B.25 C.911 D.8114．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.12C.25D.14 【答案】A5．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他周六晚上值班的概率为________．【答案】16【解析】设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16.6．设袋中有3个白球，2个红球．现从袋中随机抽取2次，每次取一个，取后不放回，则第二次取得红球的概率为________．【答案】257．从1到100的整数中，任取一个数，已知取出的数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．【解析】A ＝{任取一数且该数不大于50}，B ＝{取出的该数是2或3的倍数}，则n (A )＝50，n (AB )＝33.∴P (B |A )＝n (AB )n (A )＝3350，即该数是2或3的倍数的概率为3350.8．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？【解析】记事件A ＝{最后从2号箱中取出的是红球}， 事件B ＝{从1号箱中取出的是红球}． P (B )＝46＝23，P (B )＝1－P (B )＝13.P (A |B )＝49，P (A |B )＝39＝13.从而P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝49×23＋13×13＝1127，即从2号箱取出红球的概率是1127.【能力提升】A.34B.58C.716D.916【答案】B【解析】记第1球投进为事件A,第2球投进为事件B ，则由题意得P(B|A)=34,P(B|_A)=14,P(A)=34，则P(B)=P(A)(B|A)+P(_A)P(B|_A)=34×34+(1-34)×14=58.故选B.10．(2018年深圳模拟)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝( )A ．310B ．27C ．14D ．13【答案】C【解析】由题意得事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGHS 圆O，事件AB 表示“豆子落在△EOH内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝S △EOH S 正方形EFGH ＝14.【解析】在男生甲被选中的情况下，只需要从n －1中选出2人，有C 2n －1种情况，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，有C 1n －2种情况，故C 1n －2C 2n －1＝0.4，解得n ＝6.故选C. 11．一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是男孩，则另一个是女孩的概率是________．【答案】23【解析】设A ＝{其中一个是男孩}，B ＝{其中一个是女孩}，则n (A )＝3，n (AB )＝2，P (B |A )＝n (AB )n (A )＝23. 12.已知P(_A)=12,P(_B|A)=23,P(B|_A)=14,求P(_B),P(_A|B).【解析】因为P(_B|A)=P(A _B)P(A)=P(A _B)1-P(_A)，所以P(A _B)=23×(1-12)=13.因为P(_B|_A)=1-P(B|_A)，P(_B|_A)=P(_A _B)P(_A)，所以P(_A _B)=(1-14)×12=38.所以P(_B)=P(A _B)+P(_A _B)=13+38=1724.因为P(B|_A)=P(_AB)P(_A)，所以P(_AB)=14×12=18.所以P(_A|B)=P(_AB)P(B)=P(_AB)1-P(_B)=37.。
数学选修2-3人教新课标A版2-2-1条件概率课件(23张)
解析答案
规律与方法
1.条件概率：P(B|A)＝PPAAB＝nnAAB.
2.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB
解析答案
类型三 条件概率的性质及应用 例3 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中 的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀.已知某考生能答对其中 10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，
答案
思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生) 也合格(记为A|B)的概率. 答案 事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格， 其概率为P(A|B)＝85 .
90 思考3 P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系. 答案 P(A|B)＝PPABB.
1 ∴P(B|A)＝PPAAB＝120＝14.
5
解析答案
类型二 缩小基本事件范围求条件概率
例2 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取
(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数
大的概率.
解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有
第二章 §2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
学习目标
1.理解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法. 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
高中数学人教A版选修23 2. 条件概率课件
求离散型随机变量的分布列的步骤：
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi(i 1,2, );
2、求出各取值的概率 P(xi)pi;
3、列成表格。
高中数学人教A版选修23 2. 条件概率课件
例.已知随机变量X的分布列为
X 2 1 0 1 2 3
P
1
1
1
1
1
1
12
4
3
12
6
12
分别求出随机变量 Y1 12X,Y的2 分X2布列。
若已经知道第一名同学没有抽中奖 奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖 券的概率又是多少？
高中数学人教A版选修23 2. 条件概率课件
高中数学人教A版选修23 2. 条件概率课件
条件概率
若有两个事件A和B，在已知事件A发生 的条件下考虑事件B发生的概率，则称事件A 已发生的条件下B发生的条件概率，
记作：P(B|A)
2.条件概率计算公式: P(A| B) P(AB)
P( A)
注 :⑴0≤P(B|A)≤ 1; ⑵ 几 何 解 释 : ⑶ 可 加 性 ：
BA
如 果B和 C互 斥 ，
那 么P(B C)|AP(B|A)P(C|A)
高中数学人教A版选修23 2. 条件概率课件
高中数学人教A版选修23 2. 条件概率课件
高中数学人教A版选修23 2. 条件概率课件
例题6：
一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从 0～9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘 记了密码的最后一位数字。求
（1）按第一次不对的情况下，第2次按对的概率；
（2）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（3）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就 按对的概率。
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3课件：2.2.1条件概率
(1)求P(A),P(B),P(AB); (2)当已知蓝色骰子点数为3或6时,则两枚骰子的点数之和大于8 的概率为多少?
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)设x为掷红骰子所得到的点数,y为掷蓝骰子所得到的点数,
【例2】 某个学习兴趣小组有学生10人,其中有3人是三好学生. 现已把这10人分成两组进行竞赛辅导,第一小组5人,其中三好学生 2人.如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长,那么这名 同学恰好在第一小组内的概率是多少?现在要在这10人中任选一 名三好学生当组长,问这名同学在第一小组的概率是多少?
一问所求概率为 P(B),第二问所求概率为 P(B|A).
∴P(B)=150 = 12,P(A)=130,P(AB)=120 = 15.
1
∴P(B|A)=���������(���(���������������)���) =
5 3
= 23.
10
反思利用 P(B|A)=���������(���(������������������))求条件概率的一般步骤:
2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
1.能通过具体实例理解条件概率的定义及计算公式. 2.会利用条件概率,解决一些简单的实际问题.
条件概率 (1)一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=���������(������(������������)���) 为在事 件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件
分析本题实际上是一道简单的古典概型问题.在第二问中,由于任 选的一名学生是三好学生,比第一问多了一个“附加的”条件,因此本 题又是一个简单的条件概率题.
人教A版数学选修23配套课件：221条件概率25页PPT
件概率
2.2
二项分布及其应用
2.2.1
条件概率
2.2.1
目标导航
条件概率
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
预习导引
1.会分析条件概率的概念.
学习目标
2.会用两种方法求条件概率.
3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题.
.
P(A)
x
方法二:可以考虑缩小样本空间,原来的样本空间缩小为已知的条
件事件 A,原来的事件 B 缩小为 AB.
2.2.1
问题导学
条件概率
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
例 1 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个
解:设“第一次取到新球”为事件 A,“第二次取到新球”为事件 B.
方法一:因为 n(A)=3×4=12,n(AB)=3×2=6,
所以 P(B|A)=
n(AB)
n(A)
=
6
12
1
2
= .
3
23
方法二:P(A)= ,P(AB)= 2
5
5
所以
P(AB)
P(B|A)=
P(A)
=
3
10
5
=
1
2
x
3
,
10
P(AB)
为在事件
P(A)
A
发生的条件下,事件 B 发生的条件概率.P(B|A)读作 A 发生的条件下 B
人教A版高中数学选修2-3课件《2.2.1条件概率(二)》
（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
（2）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
1
1
3、设P(A|B)=P(B|A)=,P2(A)=,求P3(B).
例1一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—
9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了 密码的最后一位数字，求：
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色 的概率。
例6如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正
方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中），设 投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上面 3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B， 求P(A|B)。
例7盒中有球如表.任取一球
例3某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到
25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25 岁的概率。
解设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活 到25岁”(即≥25)
则 P( A) 0.7, P(B) 0.56
由于B A故A B B，
所求概率为
P(B A) P( AB) P(B) 0.8
0.56 0.7
BA
P( A) P( A)
5
例4设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定
一、二等品为合格品．从中任取1件，求(1)取得一等品
的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概
率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
（1）因为100件产品中有70件一等品， P(B) 70 0.7 100
高中数学课件
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高中数学人教A版选修2-3 精品导学案：2.2.1 条件概率 Word版含解析
2.2二项分布及其应用2．2.1条件概率1．了解条件概率的概念．2．掌握求条件概率的两种方法．(难点)3．能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理条件概率阅读教材P51～P53，完成下列问题．1．条件概率的概念一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．2．条件概率的性质(1)P(B|A)∈[0,1]．(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝13，P(A)＝23，则P(B|A)＝________.【解析】由P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1323＝12.【答案】1 22．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．【解析】根据条件概率公式知P＝0.40.8＝0.5.【答案】0.5[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用定义求条件概率一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为 B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．【精彩点拨】首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．【自主解答】由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝2 5，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝P(AB)P(A)＝11025＝14.1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝P(AB)P(A).2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．[再练一题]1．(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________. 【导学号：97270036】(2)(2016·烟台高二检测)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．【解析】(1)由公式P(A|B)＝P(AB)P(B)＝23，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝35.(2)设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，P(B|A)＝P(AB)P(A)，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72.【答案】(1)2335(2)0.72利用基本事件个数求条件概率现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【精彩点拨】第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．【自主解答】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A B.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝A24＝12，于是P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝1230＝25.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2523＝35.法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝1220＝35.1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝P(AB) P(A)计算求得P(B|A)．(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB 发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(AB)n(Ω)n(A)n(Ω)＝P(AB)P(A).[再练一题]2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【解】由题意得球的分布如下：玻璃木质总计红23 5蓝4711总计61016设A＝{取得蓝球}则P(A)＝1116，P(AB)＝416＝14.∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝141116＝411.[探究共研型]利用条件概率的性质求概率探究1掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？【提示】掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．探究2“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？【提示】“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．探究3先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？【提示】设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13.将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．【精彩点拨】设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率．【自主解答】设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}，W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝710，P(B)＝310，P(R|A)＝12，P(W|A)＝12，P(R|B)＝45，P(W|B)＝15.事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，所以由概率的加法公式得P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝1 2×710＋45×310＝59100.条件概率的解题策略分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．[再练一题]3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．【解】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝5100×100200＋25100×100200＝21800.(2)P(A|C)＝P(AC)P(C)＝520021800＝2021.[构建·体系]1．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于()A.56 B.910 C.215 D.115【解析】由P(B|A)＝P(AB)P(A)，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝13×25＝215.【答案】 C2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A.14 B.13 C.12D．1【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是1 3.【答案】 B3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.【解析】∵P(AB)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝12.【答案】1 24．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}．则P(B|A)＝________. 【导学号：97270037】【解析】∵P(A)＝336＝112，P(AB)＝136，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝136112＝13.【答案】135．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？【解】(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝12，P(AB)＝2×14×3＝16，所以P(B|A)＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝12，P(A1B1)＝2×24×4＝14，所以P(B1|A1)＝P(A1B1)P(A1)＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18 B.14C.25 D.12【解析】∵P(A)＝C22＋C23C25＝410，P(AB)＝C22C25＝110，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝14.【答案】 B2．下列说法正确的是()A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0【解析】由条件概率公式P(B|A)＝P(AB)P(A)及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝P(B) P(A)，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B.【答案】 B3．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝0.60.75＝0.8.【答案】 A4．(2016·泉州期末)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.18 B.14 C.25 D.12【解析】法一：P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝14.法二：事件A包含的基本事件数为C23＋C22＝4，在A发生的条件下事件B包含的基本事件为C22＝1，因此P(B|A)＝1 4.【答案】 B5．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是()A.13 B.118 C.16 D.19【解析】设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B，则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10，所以P(A|B)＝n(AB)n(B)＝1030＝13.【答案】 A二、填空题6．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.【解析】P(A|B)＝P(AB)P(B)＝0.120.18＝23；P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.120.2＝35.【答案】23357．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为________. 【导学号：97270038】【解析】由题意知，P(AB)＝310，P(B|A)＝12.由P(B|A)＝P(AB)P(A)，得P(A)＝P(AB)P(B|A)＝35.【答案】3 58．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥，又P(A)＝C12C13＋C22C25＝710，P(AB)＝C12·C11C25＝15，P(AC)＝C12C12C25＝25，故P(D|A)＝P(B∪C|A) ＝P(B|A)＋P(C|A)＝P(AB)P(A)＋P(AC)P(A)＝67.【答案】6 7三、解答题9．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是1 10.(1)求n的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．【解】(1)由题意得：C2nC2n＋3＝n(n－1)(n＋3)(n＋2)＝110，解得n＝2.(2)记“其中一个标号是1”为事件A ，“另一个标号是1”为事件B ，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 22C 25－C 23＝17. 10．任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1内的概率．【解】 由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜13，由几何概率的计算公式可知． (1)P (A )＝131＝13. (2)令B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪15＜x ＜1，则AB ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |15＜x ＜13，P (AB )＝13－151＝215.故在A 的条件下B 发生的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝21513＝25.[能力提升]1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A.14B.23C.12D.13【解析】 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝34，P (AB )＝14.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A )＝1434＝13.【答案】 D2．(2016·开封高二检测)将3颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于()A.91216 B.518 C.6091 D.12【解析】事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(AB)＝3×5×4＝60.所以P(A|B)＝n(AB)n(B)＝6091.【答案】 C3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．【解析】记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝410×69＝415.【答案】4 154．如图2-2-1，三行三列的方阵有9个数a ij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．()a11a12a13a21a22a23a31a32a33图2-2-1【解】事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则B＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝C28＝28，n(A B)＝2，故P(B|A)＝n(A B)n(A)＝228＝114，则P(B|A)＝1－P(B|A)＝1－114＝1314.即已知取到a22的条件下，至少有两个数位13 14.于同行或同列的概率为。
数学人教A版选修2-3教学设计：2.2.1条件概率 含解析
教学设计2．2.1条件概率整体设计教材分析条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位，教科书只是简单介绍条件概率的初等定义．为了便于学生理解，教材以简单事例为载体，逐步通过探究，引导学生体会条件概率的思想．课时分配1课时教学目标知识与技能通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义，掌握简单的条件概率的计算．过程与方法发展抽象、概括能力，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观使学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想．重点难点教学重点：条件概率定义的理解．教学难点：概率计算公式的应用．教学过程探究活动抓阄游戏：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小．活动结果：法一：若抽到中奖奖券用“Y”表示，没有抽到用“Y”表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y.用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B仅包含一个基本事件Y Y Y.由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P(B)＝13.故三名同学抽到中奖奖券的概率是相同的．法二：(利用乘法原理)记A i 表示：“第i 名同学抽到中奖奖券”的事件，i ＝1,2,3， 则有P(A 1)＝13，P(A 2)＝2×13×2＝13，P(A 3)＝2×1×13×2×1＝13.提出问题：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？设计意图：引导学生深入思考，小组内同学合作讨论，得出以下结论，教师因势利导． 学情预测：一些学生缺乏用数学语言来表述问题的能力，教师可适当辅助完成． 师生共同指出：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y 和Y Y Y .而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P(B|A)，其中A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”．进一步提出：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？共同指出：在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P(B|A)≠P(B)．提出问题：对于上面的事件A 和事件B ，P(B|A)与它们的概率有什么关系呢？ 活动结果：用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω＝{Y Y Y ，Y Y Y ，Y Y Y}．既然已知事件A 必然发生，那么只需在A ＝{Y Y Y ，Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y .在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生．而事件AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此P(B|A)＝12＝.理解新知(几何解释)其中n(A)和n(AB)分别表示事件A 和事件AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，P(AB)＝n(AB)n(Ω)，P(A)＝n(A)n(Ω)，其中n(Ω)表示Ω中包含的基本事件个数．所以，P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(AB)n(Ω)n(A)n(Ω)＝P(AB)P(A).因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P(B|A)．(给出定义) 1．定义设A 和B 为两个事件，P(A)>0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率．补充说明：由这个定义易知，P(AB)＝P(B|A)·P(A)．(概率的乘法公式) 提出问题：根据概率的性质可以得到P(B|A)的哪些性质？ 活动结果： 2．P(B|A)的性质 (1)非负性：0≤P(B|A)≤1； (2)规范性：P(Ω|B)＝1；(3)可列可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．运用新知例1考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能)解：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}． 设B ＝“有男孩”，则B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}． A ＝“有两个男孩”，则A ＝{(男，男)}，B 1＝“第一个是男孩”，则B 1＝{(男，男)，(男，女)} 于是得P(B)＝34，P(BA)＝P(A)＝14，∴P(A|B)＝P(BA)P(B)＝13；P(B 1)＝12，P(B 1A)＝P(A)＝14，∴P(A|B 1)＝P(B 1A)P(B 1)＝12.例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设“第i 次按对密码”为事件A i (i ＝1,2)，则A ＝A 1∪(A 1A 2)表示“不超过2次就按对密码”．(1)因为事件A 1与事件A 1A 2互斥，由概率的加法公式得 P(A)＝P(A 1)＋P(A 1A 2)＝110＋9×110×9＝15.(2)用B 表示“最后一位按偶数”的事件，则 P(A|B)＝P(A 1|B)＋P(A 1A 2|B)＝15＋4×15×4＝25.设计意图：以上两题都是从实际中来，到实际中去，这也是我们学习数学的目的所在． 【变练演编】 盒中有球如下表：任取一球，若已知取的是蓝球，问该球是玻璃球的概率．(411)变式：若已知取的是玻璃球，求取的是蓝球的概率．(23)【达标检测】1．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．解：设A 表示“取到的产品是一等品”，B 表示“取出的产品是合格品”，则 P(A|B)＝45%，P(B )＝4%，于是P(B)＝1－P(B )＝96%. 所以P(A)＝P(AB)＝P(B)P(A|B)＝96%×45%＝43.2%.2．掷两颗均匀骰子，已知第一颗掷出6点，问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少？ 解：设A ＝{掷出点数之和不小于10}，B ＝{第一颗掷出6点}， 所以P(A|B)＝n(AB)n(B)＝36＝12.课堂小结1．条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(B).2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B 发生的概率．用古典概率公式，则P(B|A)＝AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P(AB)＝AB 中样本点数Ω中样本点数.补充练习【基础练习】1．抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S ＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P(A)＝________，P(B)＝________，P(AB)＝________，P(A|B)＝________.(12；56；13；25)2．一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(假设每次都能投中)，设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P(AB)，P(A|B)．解：P(AB)＝19；P(A|B)＝14.【拓展练习】某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率．解：设A 表示“活到20岁”(即≥20)，B 表示“活到25岁”(即≥25)，则P(A)＝0.7，P(B)＝0.56， 故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.8.设计说明好的教学情境的创设，等于成功的一半．因而，以一个轻松愉快的抽奖券游戏把学生带进一个轻松愉快的课堂环境中．从游戏开始，诱思深入，把老师在堂上讲、学生在堂下听的教学过程变为师生共同探索，共同研究的过程．学生围绕老师提出的一系列具有趣味性和启发性的层层深入的问题，展开讨论，使问题得到解决，从而突出本节重点，突破本节难点．备课资料备用例题：1．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则 (1)两次都是正面向上的概率是________．(2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是________． 答案：(1)14 (2)122．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n(Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A 13×A 14＝12.于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝1220＝35. (2)因为n(AB)＝A 23＝6，所以P(AB)＝n(AB)n(B)＝620＝310. (3)解法1：由(1)(2)可得，在“第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题”的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.解法2：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝612＝12.3．一个袋中装有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到白球”为A ；事件“第二次抽到白球”为B.(1)分别求事件A 、B 、AB 发生的概率； (2)求P(B|A)． 解：同2.(设计者：王宏东 李王梅)。
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2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
课前导引
问题导入
为了了解某地区参加会计资格考试的1 005名考生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除5个个体，在整个抽样过程中，求
（1）每个个体被剔除的概率；
（2）每个个体不被剔除的概率；
（3）每个个体被抽取的概率分别是多少？
思路分析：（1）由于每个个体被剔除的概率是相等的，于是每个个体被剔除的概率为51 005.
（2）每个个体不被剔除的概率为1-
10055=1005
1000.（3）一个个体被抽到等价于这个个体不被剔除，并且被抽到.因此每个个体被抽到的概率为10051000×100550100050=. 解析：设事件A ：考生a 被剔除；事件B ：考生a 不被剔除；事件C ：考生a 被抽取.从1 005中随机抽取5个共有51005C 种结果，每一种结果出现的可能性相等.
（1）事件A 包含4
1005C 种结果，由等可能事件的概率公式得：P(A)=51005
41005C C =10055; (2)由对立事件的概率的公式得：
P （B ）=1-P （A ）=1005
1000； （3）从不被剔除的1 000个考生中抽取50个个体，由等可能事件的概率公式得每个个体被
抽取的概率：P （C ）=1000551000
114999=C C C ，考生a 被抽到是在不被剔除的条件下从1 000个考生中被抽到.
知识预览
1.条件概率的定义：
一般地，设A ，B 为两个事件，且P （A ）＞0,称
P （B|A ）=)
()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.
2.条件概率的性质：0≤P （B|A ）≤1
3.如果B 和C 是两个互斥事件，则P （B ∪C|A ）=P （B|A ）+P （C|A ）。