2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线增分练

第7讲 抛物线

板块四 模拟演练·提能增分

[A 级 基础达标]

1．若抛物线y 2

＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2

＝4x B ．y 2

＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2

＝10x

答案 C

解析 ∵抛物线y 2

＝2px ，∴准线为x ＝－p

2.

∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪

－p

2－2＝4.

∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2

＝8x .

2．已知抛物线C ：y 2

＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8 答案 A

解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋1

4＝

|AF |＝5

4

x 0，解得x 0＝1.故选A.

3．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，

E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 答案 B

解析 由题意，不妨设抛物线方程为y 2

＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2， 5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 2

4＋5，得p ＝4.故选B.

4．[2018·运城模拟]已知抛物线x 2

＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )

A ．x 2

＝32y

B ．x 2

＝6y C ．x 2

＝－3y D ．x 2

＝3y

答案 D

解析 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨

⎪

⎧

x 2

＝ay ，y ＝2x －2

消去y ，得x 2

－2ax ＋2a ＝0，所以

x 1＋x 2

2

＝2a 2

＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2

＝3y . 5．已知直线ax ＋y ＋1＝0经过抛物线y 2

＝4x 的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 答案 C

解析 抛物线y 2

＝4x 的焦点F (1,0)，点F 在直线ax ＋y ＋1＝0上，∴a ＋1＝0，即a ＝

－1，∴直线方程为x －y －1＝0.联立⎩

⎪⎨⎪⎧

x －y －1＝0，

y 2

＝4x ，得x 2

－6x ＋1＝0.设直线与抛物线交

于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.

6．[2018·郑州模拟]已知F 是抛物线y 2

＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，若|AF |＋|BF |＝5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．

答案 9

4

解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝5，即x 1＋14＋x 2＋1

4＝

5，解得x 1＋x 2＝92，所以线段AB 的中点到y 轴的距离x 1＋x 22＝9

4

.

7．[2017·河北六校模拟]抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点

O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．

答案 y 2

＝16x

解析 设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上． 又∵圆的面积为36π，

∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p

2.

又由题意可知x M ＝p 4，∴p

4＝6－p

2，解得p ＝8.

∴抛物线方程为y 2

＝16x .

8．[2017·天津高考]设抛物线y 2

＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．

答案 (x ＋1)2

＋(y －3)2

＝1

解析 由y 2

＝4x 可得点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1.

由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3，所以点C 的纵坐标为 3.

所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.

9.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点为点D.

(1)若点O到直线l的距离为

3

2

，求直线l的方程；

(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

解(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，

当直线l的斜率不存在时，即x＝1，不符合题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.

所以|－k|

1＋k2

＝

3

2

，解得k＝± 3.

即直线l的方程为y＝±3(x－1)．(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y20＝4x0.

因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．