高中数学随机变量分布列知识点
第七章随机变量及其分布列章末总结-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第三册)
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典例分析
(2)因为有放回地依次取出3个球,每次取出之前暗箱的情况没有变化,所以每
次取球互不影响,
6
3
所以第 1 次取出的是白球,第 3 次取到黑球的概率为10 = 5.
4
2
2
(3)依题意,每次取到白球的概率为10 = 5,且每次互不影响,故ξ~B 3, 5 ,
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
解: 设“第1次抽到理科题”为事件 A ，“第2次抽到理科题”为事件 B ，则“第1次和第2次都抽
这时称 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)．
当 X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
知识梳理
要点四 超几何分布
(1) 若随机变量 X 服从超几何分布，则满足如下条件：
①该试验是不放回地抽取 n 次；
②随机变量 X 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有 N 件产品，其中次品的件数分别为 M，(M≤N)，从中任取 n(n≤N)
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典例分析
（2）因为 n(AB) =
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A23
= 6 ，所以 P(AB) =
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分布列知识点总结
分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。
对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。
1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。
（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。
二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。
根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。
2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。
这对于一些概率问题的求解非常有用。
三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。
3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。
设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。
四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。
高二概率分布列知识点总结
高二概率分布列知识点总结概率分布列是概率论中的一种重要工具，用于描述离散型随机变量的取值与其概率之间的关系。
在高二阶段，学生需要掌握概率分布列的概念、性质以及计算方法等知识点。
本文将从这些方面逐一进行总结。
一、概率分布列的概念概率分布列是指将随机变量的所有可能取值及其对应的概率按照一定的格式列出来，以便于统计和分析。
对于一个离散型随机变量X，概率分布列的一般形式为：X | x1 | x2 | ... | xnP(X) | p1 | p2 | ... | pn其中，x1、x2、...、xn 表示随机变量X的所有可能取值，p1、p2、...、pn 表示对应取值的概率。
二、概率分布列的性质1. 概率非负性：对于所有可能取值xi，其对应的概率pi必须大于等于零，即pi ≥ 0。
2. 概率和为1：概率分布列中的所有概率之和必须等于1，即p1 + p2 + ... + pn = 1。
三、概率分布列的计算方法1. 等可能事件的概率分布列：当随机变量的各个取值具有相同的概率时，可以使用等可能事件的概率分布列。
例如，抛硬币的结果是正面或反面，它们的概率都是1/2。
2. 频率概率的概率分布列：当通过实验或观察来确定随机变量的各个取值及其对应的概率时，可以使用频率概率的概率分布列。
例如，通过调查某班同学身高的分布情况，可以得到相应的概率分布列。
3. 几何概率的概率分布列：当随机变量的取值来自于几何概率的实验，如抽奖、投掷骰子等时，可以使用几何概率的概率分布列。
例如，抛硬币出现正面的次数，它的概率分布列为：X | 0 | 1 | 2P(X) | 1/2 | 1/2 | 0四、常见概率分布列1. 二项分布：二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数满足概率分布列。
例如，n次抛硬币的正面次数，其概率分布列可以通过二项分布计算得出。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一段时间或一定区域内，独立事件发生的次数满足概率分布列。
高考数学总复习考点知识专题讲解11 离散型随机变量及其分布列
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题11离散型随机变量及其分布列知识点一 随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X ，Y ，Z ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x ，y ，z .3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二 离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为() ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数1X ；②一个沿直线2y x 进行随机运动的质点离坐标原点的距离X；③某同学射击3次，命中的次数3X；④某电子元件的寿2命X；4A．①②B．③④C．①③D．②④【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例3】（2023•辽宁期末）随机变量X的分布列如下表所示，则(2)(…)P XA ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【例4】（2022•朝阳区开学）设随机变量X 的分布列为()(1P X k k k λ===，2，3，4)，则λ的值为() A ．10B ．110C ．10-D ．110-【例5】（2023•珠海期末）已知某离散型随机变量ξ的分布列为：则(q =)A ．13和1-B ．13C ．12D ．1-【例6】（2022•多选•天津模拟）设随机变量ξ的分布列为()(15kP ak k ξ===，2，3，4，5)，则()A ．115a =B ．141()255P ξ<<= C ．112()10215P ξ<<=D ．23()510P ξ=…【例7】（2023•湖北模拟）设随机变量ξ的分布列如表：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a += B ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+C ．当数列{}n a 满足1(1,2,9)2n na n ==时，10912a =D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，10)时，1110(1)n a n n =+知识点四 两点分布如果P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，那么X 的分布列为我们称X 服从两点分布或0－1【例8】（多选）若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法错误的是()A ．常数c 的值为23或13B ．常数c 的值为23C ．1(0)3P X ==D ．2(0)3P X ==【例9】（2023•阜南县期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【例10】（2023•崂山区期末）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．同步训练1.（2022•多选•临朐县开学）下列X是离散型随机变量的是()A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数XB ．一天内的温度为XC ．某网页一天内被点击的次数XD ．射击运动员对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X 表示该运动员在一次射击中的得分2.（2023•上蔡县校级月考）设随机变量ξ的概率分布列如下表：则(|2|1)(P ξ-==) A ．712B ．12C ．512D ．163.（2023•周至县期末）设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4,5,6)2kcP X k k ===，其中c 为常数，则(2)P X …的值为() A ．34B ．1621C ．6364D ．64634.（2023•多选•宝安区期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为()A ．12-B ．12C ．14D ．14-5.（2023•和平区校级期末）设随机变量与的分布列如下：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B ．当数列{}n a 满足1(12n na n ==，2，⋯，9)时，10912a = C ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，⋯，10)时，1110(1)n a n n =+6.（2023•郫都区模拟）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．。
专题06 离散型随机变量及其分布列、数字特征(解析版)
06离散型随机变量及其分布列、数字特征知识点1随机变量(1)定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．随机变量的取值X(ω)随着随机试验结果ω的变化而变化．(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称之为离散型随机变量．(2)表示：随机变量通常用大写英文字母表示，例如X，Y，Z；随机变量的取值用小写英文字母表示，例如x，y，z．知识点2离散型随机变量的分布列的定义(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x i，…，x n，我们称X取每一个值x i 的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)表示方法：①表格；②概率分布图．知识点3离散型随机变量的分布列的性质(1)p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．知识点4离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，X x 1x 2…x n Pp 1p 2…p n(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ＝i ii 1nx P =∑为随机变量X 的均值或数学期望，数学期望简称期望．(2)方差：称D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝i 1n=∑(x i －E (X ))2p i 为随机变量X的方差，有时也记为Var (X )，并称D (X )为随机变量X 的标准差，记为σ(X )．(3)均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．(4)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值E (X )的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．知识点5均值与方差的性质若Y ＝aX ＋b ，其中X 是随机变量，a ，b 是常数，随机变量X 的均值是E (X )，方差是D (X )．则E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)．知识点6分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．知识点7均值与方差的四个常用性质(1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数．(2)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)．(3)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.(4)若X1，X 2相互独立，则E (X 1X 2)＝E (X 1)·E (X 2)．考点1离散型随机变量分布列的性质(1)求a的值；(2)求；(3)求X．【答案】(1)由分布列的性质，得＋＋＋＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝115．(2)＝＋＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45．(3)X＝＋＋＝115＋215＋315＝25．【总结】离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．【变式1-1】设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1，2，3，C为常数，则P(X<3)＝__________．【答案】89【解析】随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1，2，3，∴C2＋C6＋C12＝1，即6C＋2C＋C12＝1，解得C＝43，∴P(X<3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝43＝89．【变式1-2】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0．20．10．10．3m(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．【解析】(1)由分布列的性质知，0．2＋0．1＋0．1＋0．3＋m＝1，得m＝0．3．首先列表为：X012342X＋113579从而Y＝2X＋1的分布列为：Y13579P0．20．10．10．30．3(2)列表为：X01234|X－1|10123∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0．1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0．2＋0．1＝0．3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0．3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0．3．故η＝|X－1|的分布列为：η0123P0．10．30．30．3(3)首先列表为：X01234X2014916从而ξ＝X2的分布列为：ξ014916P0．20．10．10．30．3【变式1-3】设随机变量X的分布列如下：X12345P 112161316p则p为()A.1 6B.13C.14D.112【答案】C【解析】由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.【变式1-4】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P 121－q q－q2则q等于()A．1 B.22或－22C．1＋22D.2 2【答案】D【解析】1－q＋q－q2＝1，1－q≤12，q－q2≤12，解得q＝22.【变式1-5】(多选)设随机变量ξ的分布列为ak(k＝1,2,3,4,5)，则()A．a＝115B．ξ＝15C．ξ＝215D．P(ξ＝1)＝310【答案】AB【解析】对于选项A，∵随机变量ξ的分布列为ak(k＝1,2,3,4,5)，∴P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝115，故A正确；对于B，易知ξ3×115＝15，故B正确；对于C，易知ξ＝115＋2×115＝15，故C错误；对于D，易知P(ξ＝1)＝5×115＝13，故D错误．【变式1-6】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数a的值为()A.13B.23C.13或23D．－13或－23【答案】A【解析】≤9a 2－a ≤1，≤3－8a ≤1，a 2－a ＋3－8a ＝1，解得a ＝13.【变式1-7】离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P X 的值为()A.23B.34C.45D.56【答案】D【解析】因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，所以X P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.【变式1-8】若随机变量X 的分布列如下表，则mn 的最大值是()X 024Pm0.5n A.116B.18C.14D.12【答案】A【解析】由分布列的性质，得m ＋n ＝12，m ≥0，n ≥0，所以mn ＝116，当且仅当m ＝n ＝14时，等号成立．【变式1-9】随机变量X 的分布列如下：X －101Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______，公差d 的取值范围是______．【答案】23－13，13【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.考点2求离散型随机变量的分布列【例2】双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能．在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者．第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组．之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手(不包括本轮胜者组落败的选手)两人一组相互对阵，败者被淘汰(已经败两场)，胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰．最后一轮，由胜者组最终获胜的选手(此前从未败过，记为A)对阵负者组最终获胜的选手(败过一场，记为B)，若A胜则A获得冠军，若B胜则双方再次对阵，胜者获得冠军．某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛．第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局．(1)设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M，求M的概率；(2)已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ，求ξ的分布列．【分析】(1)先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求得答案；(2)①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公式求解即可；②由题意可得ξ∈{3，4，5，6，7}，然后求出各自对应的概率，从而可得ξ的分布列．【解析】(1)8人平均分成四组，共有C28C26C24C22A44种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为A35，所以P(A)＝A35C28C26C24C22A44＝4 7．(2)①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为23×13×13＋13×23×13＝427．②若甲在第一轮获胜，ξ∈{3，4，5，6，7}．当ξ＝3时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即P(ξ＝3)＝13×13＝19．当ξ＝4时，有两种情况：(ⅰ)甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为23×23×23＝827；(ⅱ)甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，概率为C12·23×13×13＝427，所以P (ξ＝4)＝827＋427＝49．当ξ＝5时，有两种情况：(ⅰ)甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为23×23×13＝427；(ⅱ)甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，概率为C12·23×13×23×13＝881；所以P (ξ＝5)＝427＋881＝2081．当ξ＝6时，有两种情况：(ⅰ)甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，其概率为23×132＝881；(ⅱ)甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为133×13＝8243；所以P (ξ＝6)＝881＋8243＝32243．当ξ＝7时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即P (ξ＝7)＝134＝16243．所以ξ的分布列为：ξ34567P194920813224316243【总结】离散型随机变量分布列的求解步骤【变式2-1】为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列．【解析】(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2．3．(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B ，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C ，“这两人送考次数相同”为事件D ．由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝P (D )＝C 220＋C 2100＋C 280C 2200＝83199，P (X ＝1)＝P (A )＋P (B )＝C 120C 1100C 2200＋C 1100C 180C 2200＝100199．P (X ＝2)＝P (C )＝C 120C 180C 2200＝16199．∴X 的分布列为：X 012P8319910019916199【变式2-2】(多选)设离散型随机变量X 的分布列为X 01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1，则下列结果正确的有()A ．q ＝0.1B ．E (X )＝2，D (X )＝1.4C ．E (X )＝2，D (X )＝1.8D ．E (Y )＝5，D (Y )＝7.2【答案】ACD【解析】因为q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q ＝0.1，故A 正确；由已知可得E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C 正确；因为Y ＝2X ＋1，所以E (Y )＝2E (X )＋1＝5，D (Y )＝4D (X )＝7.2，故D 正确．考点3求离散型随机变量的均值与方差【例3】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ)．【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3－14－－16－＝124．则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512．(2)ξ可能取值为0，40，80，120，160，则P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124．所以，随机变量ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124∴E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80，D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003．【总结】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ全部的可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E (ξ)，由方差的定义求D (ξ)．【变式3-1】据有关权威发布某种传染病的传播途径是通过呼吸传播，若病人(患了某种传染病的人)和正常人(没患某种传染病的人)都不戴口罩而且交流时距离小于一米90%的机率被传染，若病人不戴口罩正常人戴口罩且交流时距离小于一米时60%的机率被传染，若病人戴口罩而正常人不戴口罩且交流距离小于一米时30%的机率被传染上，若病人和正常人都带口罩且交流距离大于一米时不会被传染．为此对某地经常出入某场所的人员通过抽样调查的方式对戴口罩情况做了记录如下表：男士女士戴口罩不戴口罩戴口罩不戴口罩甲地40203010乙地10304515假设某人是否戴口罩互相独立(1)求去甲地的男士带口罩的概率，用上表估计所有去甲地的人戴口罩的概率．(2)若从所有男士中选1人，从所有女士中选2人，用上表的频率估计概率，求戴口罩人数X 的分布列和期望．(3)上表中男士不戴口罩记为“ξ＝0”，戴口罩记为“ξ＝1”，确定男士戴口罩的方差为Dξ，和女士不戴口罩记为“η＝0”，戴口罩记为“η＝1”确定女士戴口罩的方差为Dη．比较Dξ和Dη的大小，并说明理由．【解析】(1)设“去甲地的男士带口罩”为事件M ，则P (M )＝4040＋20＝23，设“去甲地的人戴口罩”为事件N ，则P (N )＝40＋3040＋20＋30＋10＝710，(2)设“男士带口罩”为事件A ，则P (A )＝40＋1040＋20＋10＋30＝12，设“女士带口罩”为事件B ，则P (B )＝30＋4530＋10＋45＋15＝34，所有男士中选1人，从所有女士中选2人，戴口罩人数X ＝0，1，2，3，P (X ＝0)＝12×14×14＝132，P (X ＝1)＝12×14×14＋12×34×14＋12×14×34＝732，P (X ＝2)＝12×34×14＋12×14×34＋12×34×34＝1532，P (X ＝3)＝12×34×34＝932分布列为：X123P1327321532932E (X )＝0×132＋1×732＋2×1532＋3×932＝2(3)E (ξ)＝0×12＋1×12＝12，D (ξ)＝(0－12)2×12＋(1－12)2×12＝14，E (η)＝0×14＋1×34＝34，D (η)＝(0－34)2×14＋(1－34)2×34＝316．100名男士中有50人戴口罩，50人不戴口罩，100名女士中有75人戴口罩，25人不戴口罩，从数据分布可看出来女士戴口罩的集中程度要好于男士，所以其方差偏小．【变式3-2】已知X 的分布列为X －101P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为()A ．73B ．4C ．－1D ．1【答案】A【解析】∵E (X )＝－12＋16＝－13，∴E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73．【变式3-3】已知离散型随机变量X 的分布列为X 012P0．51－2qq 2则常数q ＝________．【答案】1－22【解析】由分布列的性质得0．5＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22或q ＝1＋22(舍去)．【变式3-4】设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a k，k ＝1，2，3，则a 的值为__________．【答案】2713【解析】因为随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a k，k ＝1，2，3，所以根据分布列的性质有a ·13＋a 2＋a 3＝1，所以a ＋19＋＝a ×1327＝1，所以a ＝2713．【变式3-5】已知随机变量X 的分布列如下：X －101P121316若Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为________．【答案】73【解析】E (X )＝－12＋16＝－13，则E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.【变式3-6】若随机变量X 满足P (X ＝c )＝1，其中c 为常数，则D (X )的值为________．【答案】0【解析】因为P (X ＝c )＝1，所以E (X )＝c ×1＝c ，所以D (X )＝(c －c )2×1＝0.【变式3-7】(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X 表示取出的数字的最小数，则随机变量X 的均值E (X )等于()A.32B.53C.74D.95【答案】A【解析】由题意知，X 的可能取值为1,2,3，而随机取3个数的取法有C 35种，当X ＝1时，取法有C 24种，即P (X ＝1)＝C 24C 35＝35；当X ＝2时，取法有C 23种，即P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，取法有C22种，即P (X ＝3)＝C 22C 35＝110；∴E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【变式3-8】已知随机变量X ，Y 满足Y ＝2X ＋1，且随机变量X 的分布列如下：X 012P1613a则随机变量Y 的方差D (Y )等于()A.59B.209C.43D.299【答案】B【解析】由分布列的性质，得a ＝1－16－13＝12，所以E (X )＝0×16＋1×13＋2×12＝43，所以D (X )×16＋×13＋×12＝59，又Y ＝2X ＋1，所以D (Y )＝4D (X )＝209.【变式3-9】已知m ，n 为正常数，离散型随机变量X 的分布列如表：X －101Pm14n若随机变量X 的均值E (X )＝712，则mn ＝________，P (X ≤0)＝________.【答案】11813【解析】＋n ＋14＝1，－m ＝712，＝112，＝23，所以mn ＝118，P (X ≤0)＝m ＋14＝13.【变式3-10】(2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品(元)(0,100)[100,500)[500,1000)积分246概率141214表2购买虚拟商品(元)(0,20)[20,50)[50,100)[100,200)积分1234概率13141416(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X 的分布列与均值．【解析】(1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为12＋14＝34，购买虚拟商品不低于100元的概率为16，因此所求概率为34×16＝18.(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为14×＋12×16＝14.(3)由条件可知X 的可能取值为3,4,5.P (X ＝3)＝1313＋14＋14＝25，P (X ＝4)＝P (X ＝5)＝1413＋14＋14＝310，即X 的分布列如下：X 345P25310310E (X )＝3×25＋4×310＋5×310＝3910.考点4均值与方差在决策中的作用【例4】2021年3月5日李克强总理在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t 元；制造商为制定收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表：维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．(1)求X 的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t 定在什么范围？【分析】(1)由题设描述确定2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数的可能值，并确定对应的基本事件，进而求各可能值的概率，写出分布列．(2)根据(1)所得分布列，由各方案的费用与维修次数的关系写出费用的分布列，并求期望，通过期望值的大小关系求参数的范围．【解析】(1)由题意得，X ＝0，1，2，3，4，5，6，P (X ＝0)＝110×110＝1100，P (X ＝1)＝110×15×2＝125，P (X ＝2)＝110×25×2＋15×15＝325，P (X ＝3)＝110×310×2＋15×25×2＝1150，P (X ＝4)＝310×15×2＋25×25＝725，P (X ＝5)＝310×25×2＝625，P (X ＝6)＝310×310＝9100，∴X 的分布列为X 0123456P110012532511507256259100(2)选择方案一：所需费用为Y 1元，则X ≤2时，Y 1＝5000，X ＝3时，Y 1＝6000；X ＝4时，Y 1＝7000；X ＝5时，Y 5＝8000，X ＝6时，Y 1＝9000，∴Y 1的分布列为Y 150006000700080009000P1710011507256259100E (Y 1)＝5000×17100＋6000×1150＋7000×725＋8000×625＋9000×9100＝6860，选择方案二：所需费用为Y 2元，则X ≤4时，Y 2＝6230；X ＝5时，Y 2＝6230＋t ；X ＝6时，Y 2＝6230＋2t ，则Y 2的分布列为Y 262306230＋t 6230＋2t P671006259100E (Y 2)＝6230×67100＋(6230＋t )×625＋(6230＋2t )×9100＝6230＋21t50，要使选择方案二对客户更合算，则E (Y 2)<E (Y 1)，∴6230＋21t50<6860，解得t <1500，即t 的取值范围为[0，1500)．【总结】利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．【变式4-1】直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有56是“年轻人”．(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为710，15，110；方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，310，110．针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．参考数据：独立性检验临界值表α0．150．100．0500．0250．010x α2．0722．7063．8415．0246．635其中，χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d ．【解析】(1)由图1知，“年轻人”占比为45．5%＋34．5%＝80%，即有200×80%＝160(人)，“非年轻人”有200－160＝40(人)，由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为30．1%＋19．2%＋10．7%＝60%，即有200×60%＝120(人)，“不常使用直播销售用户”有200－120＝80(人)．“经常使用直播销售用户的年轻人”有120×56＝100(人)，“经常使用直播销售用户的非年轻人”有120－100＝20(人)．∴补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户10020120不常使用直播销售用户602080合计16040200于是a ＝100，b ＝20，c ＝60，d ＝20．∴χ2＝200×（100×20－60×20）2120×80×160×40＝2512≈2．083>2．072，即有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关．(2)若按方案一，设获利X 1万元，则X 1可取的值为300，－150，0，X 1的分布列为：X 1300－1500p71015110E (X 1)＝300×710＋(－150)×15＋0×110＝180(万元)，D(X1)＝(300－180)2×710＋(－150－180)2×15＋(0－180)2×110＝1202×710＋3302×15＋1802×110＝35100若按方案二，设获利X2万元，则X2可取的值为500，－300，0，X2的分布列为：X2500－3000p 35310110E(X2)＝500×35＋(－300)×310＋0×110＝210(万元)，D(X2)＝(500－210)2×35＋(－300－210)2×310＋(0－210)2×110＝2902×35＋5102×310＋2102×110＝132900∵E(X1)<E(X2)，D(X1)<D(X2)，由方案二的均值要比方案一的均值大，从获利角度来看方案二更大，故选方案二．由方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一．【变式4-2】某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，所以X的分布列为X0410P0.20.240.56(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值为E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,6,10，P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P (Y ＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P (Y ＝10)＝0.7×0.8＝0.56，则Y 的均值为E (Y )＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，因为E (X )>E (Y )，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．【变式4-3】为加快某种病毒的检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和均值E (X )；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的均值为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【解析】(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的一组每个人进行检测，需要10次，所以总检测次数为20.②由题意，X 可以取20,30，P (X ＝20)＝111，P (X ＝30)＝1－111＝1011，则X 的分布列为X 2030P1111011所以E (X )＝20×111＋30×1011＝32011.(2)由题意，Y 可以取25,30，两名感染者在同一组的概率为P 1＝C 120C 22C 398C 5100＝499，不在同一组的概率为P 1＝9599，则E (Y )＝25×499＋30×9599＝295099>E (X )．【变式4-4】(2022·莆田质检)某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A ，B 两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A 级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A 级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B 级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：表一工序第一工序第二工序第三工序概率0.50.750.8表二等级一等品二等品三等品利润2385(1)用η表示一件产品的利润，求η的分布列和均值；(2)因第一工序加工结果为A 级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元(即每件产品利润相应减少x 万元)时，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x .问该改良方案对一件产品利润的均值是否会产生影响？并说明理由．【解析】(1)由题意可知，η的所有可能取值为23,8,5，产品为一等品的概率为0.5×0.75×0.8＝0.3，产品为二等品的概率为(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5，产品为三等品的概率为1－0.3－0.5＝0.2，所以η的分布列为η2385P0.30.50.2E (η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9.(2)改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响，理由如下：在改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x ，设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为23－x,8－x,5－x ，＋19x 0.75×0.8＝0.3＋x15，二等品的概率为10.75×0.8＝0.5－x15，三等品的概率为10.2，所以E (ξ)－x )－x )＋0.2×(5－x )＝6.9－0.3x ＋2315x －115x 2＋4－0.5x －815x ＋1152＋1－0.2x ＝11.9，因为E (ξ)＝E (η)，所以改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响．1．(多选)设离散型随机变量X 的分布列如下表：X 12345Pm0．10．2n0．3若离散型随机变量Y ＝－3X ＋1，且E (X )＝3，则()A ．m ＝0．1B ．n ＝0．1C ．E (Y )＝－8D ．D (Y )＝－7．8【答案】BC【解析】由E (X )＝1×m ＋2×0．1＋3×0．2＋4×n ＋5×0．3＝3得m ＋4n ＝0．7，又由m ＋0．1＋0．2＋n ＋0．3＝1得m ＋n ＝0．4，从而得m ＝0．3，n ＝0．1，故A 选项错误，B 选项正确；E (Y )＝－3E (X )＋1＝－8，故C 选项正确；因为D (X )＝0．3×(1－3)2＋0．1×(2－3)2＋0．1×(4－3)2＋0．3×(5－3)2＝2．6，所以D (Y )＝(－3)2D (X )＝23．4，故D 选项错误．2．已知随机变量ξ的分布列如下表，D (ξ)表示ξ的方差，则D (2ξ＋1)＝___________．ξ012pa1－2a14【答案】2【解析】由题意可得：a ＋1－2a ＋14＝1，解得a ＝14，ξ012p141214所以E (ξ)＝0×14＋1×12＋2×14＝1，D (ξ)＝14(0－1)2＋12×(1－1)2＋14×(2－1)2＝12，D (2ξ＋1)＝22D (ξ)＝2．3．京西某地到北京西站有阜石和莲石两条路，且到达西站所用时间互不影响．下表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60莲石路(L 1)的频率0．10．20．30．20．2阜石路(L 2)0．10．40．40．1的频率若甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率)(1)甲、乙两人应如何选择各自的路径？(2)按照(1)的方案，用X表示甲、乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望．【解析】(1)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B1表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i＝1，2，用频率估计相应的概率，则有P(A1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6，P(A2)＝0．1＋0．4＝0．5，P(A1)>P(A2)，所以甲应选择路径L1；P(B1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8，P(B2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9，P(B1)<P(B2)，所以乙应选择路径L2；(2)用A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲，乙在各自的时间内到达火车站，由(1)知P(A)＝0．6，P(B)＝0．9，且A，B相互独立，X的取值是0，1，2，P(X＝0)＝P(A－B－)＝0．1×0．4＝0．04，P(X＝1)＝P(A－B＋A B－)＝0．4×0．9＋0．6×0．1＝0．42，P(X＝2)＝P(AB)＝0．9×0．6＝0．54，所以X的分布列为：X012P0．040．420．54E(X)＝0×0．04＋1×0．42＋2×0．54＝1．5．4．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出n(n∈N*且n≥4)瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以a1，a2，a3，…，a n表示第一次排序时被排在1，2，3，…，n的n种酒在第二次排序时的序号，并令X＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋．．．＋|n－a n|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．下面取n＝4研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立．(1)直接写出X的可能取值，并求X的分布列和数学期望；(2)若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．【解析】(1)X的可能取值为0，2，4，6，8P(X＝0)＝1A44＝124，。
2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列 章末知识梳理
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
事实上，对于具体问题，若能设出 n 个事件 Ai(i＝1,2，…，n)，使之 满足AA1iA＋j＝A2∅＋…＋An＝Ω，(任意两个事件互斥，i，j＝1,2，…，n，i≠j)．(1) 就可得 B＝BΩ＝BA1＋BA2＋…＋BAn．(2)这样就便于应用概率的加法公 式和乘法公式．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时的总体 没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复 试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样，取出一个则总体中就 少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模 型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回 抽样还是不放回抽样．
i＝1
i＝1
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai
＝
PAiPB|Ai
k
，i＝1,2，…，n
PAkPB|Ak
i＝1
3．独立性与条件概率的关系：当 P(B)＞0 且 P(AB)＝P(A)P(B)时，
有 P(A|B)＝PPABB＝PAPPBB＝P(A)
率公式求解．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] 解法一：记“至少出现 2 枚正面朝上”为事件 A，“恰好出 现 3 枚正面朝上”为事件 B，所求概率为 P(B|A)，事件 A 包含的基本事 件的个数为 n(A)＝C52＋C53＋C54＋C55＝26，
高中数学概率与统计知识点总结
概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差(一)概率及其计算1.几个互斥事件和事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥,则()P A B =()()P A P B +.推广：如果事件1A ,2A ,…,n A 两两互斥(彼此互斥),那么事件12n A A A +++发生的概率,等于这n 个事件分别发生的概率的和,即()12n P A A A +++=()()()12n P A P A P A ++.②若事件B 与事件A 互为对立事件,则()P A =()1P B -. 2.古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．(二)随机变量的分布列、期望与方差1. 常用的离散型随机变量的分布列(1)二项分布如果随机变量X 的可能取值为0,1,2,…,n ,且X 取值的概率()P X k ==C k k n kn p q-(其中0,1,2,,,1k n q p ==-),其随机变量分布列为X 0 1 …k…nP0C nnp q111C n np q-…C k k n knp q-…0C n n n p q则称X 服从二项分布,记为(),X B n p ~.(2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为C C C k n kM N Mn N--()0,10,1,2,,2,,k m =,其中{}min ,m M n =,且n N …,M N …,n ,M ,*N ÎN .此时称随机变量X 的分布列为超几何分布列,称随机变量X 服从超几何分布.2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率 I.条件概率条件概率一般地,设A ,B 为两个事件,且()0P A >,称()()()P ABP B A P A=为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.在古典概型中,若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数,则()()()()()n AB P AB P B A n A P A ==. II .相互独立事件相互独立事件(1)若,A B 相互独立.则()P AB =()()P A P B .(3)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也都相互独立. III .独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布在n 次独立重复试验中,事件A 发生k 次的概率为(每次试验中事件A 发生的概率为p)()C 1n kkknp p --,事件A 发生的次数是一个随机变量X ,其分布列为()01)2()C 1(n kk knP X k k n p p -===-¼，，，，,此时称随机变量X 服从二项分布. 学科*网3.离散型随机变量的数学期望（均值）与方差 (1)若离散型随机变量X 的概率分布列为的概率分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n则称EX =1122i i n n x p x p x p x p ++++¼+¼为随机变量X 的均值或数学期望. (2)若Y aX b =+,则EY =aEX b +,)(D aX b +=2a DX (3)若()X B n p ～，,则EX np =.()(1)D X np p -=. 4.正态分布(1)正态曲线的性质：正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x m =对称；③曲线在x m=处达到峰值12πs；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当s 一定时,曲线的位置由m 确定,曲线随着m 的变化而沿x 轴平移,⑥当m 一定时,曲线的形状由s 确定,s 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；s 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.(3)服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率 ①0().6826P X m s m s -<+=…；②2209().544P X m s m s -<+=…； ③3309().974P X m s m s -<+=…. 二、统计与统计案例 (一)抽样方法 1．简单随机抽样设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N …,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．的样本．(1)先将总体的N 个个体编号．(2)确定分段间隔k ,对编号进行分段,当Nn是整数时,取N k n =．如果遇到Nn不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除得总体中剩余的个体数能被样本容量整除(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号()l l k …．(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +,再加k 得到第3个个体编号()2l k +,依次进行下去,直到获取整个样本．直到获取整个样本．3．分层抽样在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的,往往选用分层抽样．层抽样．注：注：不论哪种抽样方法不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的． （二）统计图表的含义 1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距和组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．列频率分布表． (5)画频率分布直方图．画频率分布直方图． （三）样本的数字特征1．众数：在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．2．中位数：将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数叫做这组数据的中位数3．平均数：样本数据的算术平均数,即x =()121n x x x n+++．4．方差：()()()2222121n s x x x x x x n éù=-+-++-êúëû(n x 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数)．5.标准差：()()()222121ns x x x x x x n éù=-+-++-êúëû．（四）线性回归直线方程 1．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线．(2)从散点图上看,如果点分布在从左下角到右上角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为正相关；如果点分布在从左上角到右下角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)相关系数相关系数r ＝ååå===----ni nj jini i i y y x x y y x x 11221)()())((,当0r >时,表示两个变量正相关；当0r <时,表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近0,表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时,便认为两个变量具有很强的线性相关关系．当1r =时,两个变量在回归直线上两个变量在回归直线上 2．回归直线方程 (1)通过求21()ni i i Qy x a b ==--å的最小值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．该式取最小值时的a ,b 的值即分别为aˆ,b ˆ． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ,22(,)x y ,…,()n n x y ,,其回归方程为a x b y ˆˆˆ+=,则1122211()()ˆ()ˆˆnn i i i i i i n ni ii i x x y y x y nx yb x x x nxa y bx ====ì---×ï==ïí--ïï=-ïîåååå．注：样本点的中心(),x y 一定在回归直线上． （3）相关系数22121ˆ()1()n i ii ni i y yR y y ==-å=--å．2R 越大,说明残差平方和越小,即模型的拟合效果越好；2R 越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中,2R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,2R 越接近于1,表示回归的效果越好． （六）独立性检验（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量．像这样的变量称为分类变量．（2）像下表所示列出两个分类变量的频数表,称为列联表．假设有两个分类变量X和Y ,它们的可能取值分别为12(,)x x 和12(,)y y ,其样本频数列联表（称为22´列联表）为表）为y 1 y 2 总计总计x 1 a b a b + x 2 cdc d +总计a c +b d +a b c d +++构造一个随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ,其中n a b c d =+++为样本容量．确定临界值0k ,如果2K 的观测值0k k …,就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．。
▲随机变量及分布知识点
随机变量及分布知识点(一)条件概率1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A2、条件概率的计算方法：（1）按照条件概率的计算公式：()()()|P AB P B A P A =（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()25415P AB A ==，()45P A =，所以()()()1|4P AB P B A P A == 按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。
那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算4、处理此类问题要注意以下几点：（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。
(二)事件的相互独立性1、互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 2、对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=- 3、互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么)(21n A A A P ⋅⋅⋅++＝)()()(21n A P A P A P ⋅⋅⋅++ 4、相互独立事件的定义：设B A ,为两个事件，如果)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立（mutually in de p e n de nt ) . 事件A （或B ）是否发生对事件B （或A 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 5、相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 6、对于非独立事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+（三）离散型随机变量分布列1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。
随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。
随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。
离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。
概率可以通过实验或理论分析得出。
在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。
离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。
3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。
如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。
离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。
期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。
标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。
它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。
例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。
这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。
另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。
连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。
概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。
人教版数学选择性必修三7.2离散型随机变量及其分布列课件
通过本节课，你学会了什么？
pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用于检验所求离散
易错
提醒
型随机变量的分布列是否正确．
(2)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能
取值表示的事件是彼此互斥的．
基础小测
1．抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表
示的基本事件是( D )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
25
27.1
农村
23.3
24.8
26.5
27.9
30.7
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
城镇
6
36.6
农村
32.4
34.1
37.1
41.2
45.8
(1)现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2
平方米的概率；
(2)在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均
两点分布，并称p＝__________为成功概率．
2．超几何分布列
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，
−
−
则P(X＝k)＝
，k＝0，1，2，…，m，
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
P
0 −
C
C−
C
1 −1
X
x1
x2
…
xi
…
xn
随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格6.两点分布列:7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM NMnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
高中数学人教A版选修2-3课件2-1-2离散型随机变量的分布列
销一件该商品的利润,求η的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:由题易得,η的可能取值为200元,250元,300元,
则P(η=200)=P(ξ=1)=0.12,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.24+0.18=0.42,
=1
【做一做1】 离散型随机变量X的分布列为
X
1
1
4
)
P
则m的值为(
A.
C.
1
2
1
4
B.
2
3
m
4
1
3
1
3
1
D.
6
1
1
1
1
4
3
6
4
解析:由概率分布列的性质知, +m+ + =1,得 m= .
答案:C
1
6
2.两点分布
随机变量X的分布列为
X
P
0
1-p
1
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布,并
C 345
C 350
C 350
.
,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
离散型随机变量的分布列
例1 从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱
中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球
输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;
新高考数学复习考点知识讲解5---离散型随机变量及其分布列
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
3、性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；② pi＝1．
4、若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称该分布列为两点分布列或0-1分布．若随机变量X的分布列为两点分布列，则称X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率
答案】设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数．
(1)Y的可能取值为1,2,3,4,5,6.
当Y＝1时，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)．故P(Y＝1)＝ ，同理P(Y＝2)＝ ＝ ，P(Y＝3)＝ ，P(Y＝4)＝ ，P(Y＝5)＝ ＝ ，P(Y＝6)＝ .所以Y的概率分布列为
A．20B．24C．4D．18
【答案】B
【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有 ＝24(种)．
题型三离散型随机变量的分布列
例3 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列．
(1)两次掷出的最小点数Y；
(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.
P(X＝1)＝ ＝ ，
P(X＝2)＝ ＝ .
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
4、设离散型随机变量X服从两点分布，若 ，则
高中数学选修2-3-离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列知识集结知识元离散型随机变量及其分布列知识讲解1．离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，x n；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，p n，则得下表：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①p i≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+p n＝1．例题精讲离散型随机变量及其分布列例1.'袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．'例2.'甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为，乙每次投篮命中的概率均为q，乙投篮2次恰好命中1次的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）若乙投篮3次，求至少命中2次的概率；（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望．'例3.'抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y．记[]表示的整数部分，如：[]=1，设ξ为随机变量，ξ=[]．（Ⅰ）求概率P（ξ=1）；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．'当堂练习解答题练习1.'玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试．为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格．小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为．假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立．（1）求小华同学两项测试均合格的概率；（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习2.'某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X为选出的2位老师中女老师的人数，写出X的分布列．'练习3.'装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．（1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；（2）求出赢钱（即X>0时）的概率．'练习4.'将10个白小球中的3个染成红色，3个染成黄色，试解决下列问题：（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列；（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．'练习5.'新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准．考生从中选择三科成绩，参加大学相关院校的录取．（Ⅰ）若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求．假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为，求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率（Ⅱ）据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可能被该校录取假设某考生在省会考六科的成绩都考到95分以上的概率都是，设该考生在省会考时考到95以上的科目数为X求X的分布列及数学期望．'练习6.'某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作．从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作．（Ⅰ）设M为事件；“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望．'练习7.'今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；（Ⅲ）若4名教师可去A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教师去A、B、C三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立．记到文明交通宣传点A的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望。
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第二章随机变量及其分布内容提要：
一、随机变量的定义
设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样
本点，都有唯一确定的实
数
与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。
二、分布函数的概念和性质
1．分布函数的定义
设是随机变量，称定义在上的实值函数
为随机变量的分布函数。
2．分布函数的性质
(1) ，
（2）单调不减性：，
（3
）
（4）右连续性：。
注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。
在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。
（5）
注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。
三、离散型随机变量
1．离散型随机变量的定义
若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布律
（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为
或用表格表示：
n
g
s
x1 x2 … x n …
p k P
1
p2 … p n …
或记为
~
（2）性质：，
注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。
其中。
注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的分布函数
=，它是右连续的阶梯状函数。
4．常见的离散型分布
（1）两点分布（0—1分布）：其分布律为
即
0 1
p 1–p p
（2）二项分布
（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。
（ⅱ）二项分布的定义
设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为
，，
称随机变量服从参数为的二项分布，记作。
注：即为两点分布。
（3）泊松分布：若随机变量的分布律为
，
，
则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。
高中数学系列2—3练习题（2.1）
一、选择题：
1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；
C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D. X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X X 是离散型随机变量的是（ ）
A ．①；
B ．②；
C ．③；
D ．①③
3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（
）
X 1234
P
1
61316
a
A ．
12 B ．16 C ．13 D ．14
4、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k
P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（
）
A ．1；
B ．
12； C ．13； D ．14
5、已知随机变量X 的分布列为：()1
2
k p X k ==
， ,3,2,1=k ，则()24p X <≤=（ ）
A.
16
3
B.
4
1 C.
16
1 D.
16
56、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（
）
A. 4
B. 6
C. 10
D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）
A. 一枚是3点，一枚是1点
B. 两枚都是2点
C. 两枚都是4点
D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
8、设随机变量X 的分布列为()()21,2,3,,,k
P X k k n λ
==⋅=⋯⋯，则λ的值为（
）
A ．1；
B ．
12； C ．13； D ．14
二、填空题：
9 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是
（把全部正确的答案序号填上）
()1
2,1,2,3,,21
k n P X k k n -===- X
-101p
0.3
0.4
0.4
X
123p
0.4
0.7
-0.1
X 50-5p
0.3
0.6
0.1
①
②
③
()1
,2,3,4,5,P X k k k
==
= ④
⑤
10、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10 ，则X 的取值为
11、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为 三、解答题：
12、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
13、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．
14、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而
随机终止．设分裂n 次终止的概率是
n
21
(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.
高中数学系列2—3练习题（2.1）参考答案
一、选择题：
1、D
2、D
3、C
4、B
5、A
6、C
7、D
8、C 二、填空题：
9、 ③④10、
13579,1,,2,,3,,4,,522222
11、 3,4,5
三、解答题：
12、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．
所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
13、解：设黄球的个数为n ，由题意知
绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．
∴ 44(1)77n P X n ==
=，1(0)77n P X n ===，22(1)77
n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为
X
10－1P
74717
214、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为
X 24816
．．．n
2．．．P
21
418116
1．．．
n
21．．．
∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==
8
7814121=++．。