第三章 卫星运动

0
0 1
1 0 0 R1(i) 0 cosi sin i
0 sin i cosi
（3）卫星在地球坐标系的位置
利用GPS定位时，应使观测卫星和观测站 的位置处于统一的坐标系统。由于瞬时地球空 间直角坐标系与瞬时天球空间直角坐标系的差 别在于x轴的指向不同，若取其间的夹角为春 分点的格林尼治恒星时GAST，则在地球坐标 系中卫星的瞬时坐标（X，Y，Z）与天球坐标 系中的瞬时坐标（x，y，z）存在如下关系：
z
卫星
赤道
fs
近地点
地心
s i
春分点 升交点
y
轨道
x
3.真近点角fs的计算
在描述卫星无摄运动的6个开普勒轨道参数 中，只有真近点角是时间的函数，其余均为常数。 故卫星瞬间位置的计算，关键在于计算真近点角。
m
bs
as
r
Es
fs
as
ases
近地点
为了计算真近点角，引入两个辅助参数
Es—偏近点角和Ms—平近点角。 Ms—是一个假 设量，当卫星运动的平均角速度为n，则 Ms = n ( t - t0 )，t0为卫星过近地点的时刻，t为观测卫 星时刻。平近点角与偏近点角间存在如下关系： Es = Ms + essinEs。由此可得真近点角
1.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律
卫星运行的轨道为一椭圆，地球质心在该椭圆的一个焦点。
此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由
万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星的
地心距离，as为开普勒椭圆的长半径，es为开普勒椭圆的偏心
率；fs为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地
s为近地点角距：即在轨道平面上，升交点与近地点 之间的地心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上 的定向。
fs为卫星的真近点角：即轨道平面上卫星与近地点之 间的地心角距。该参数为时间的函数，确定卫星在 轨道上的瞬时位置。
由上述6个参数所构成的坐标系统称为轨道坐标 系，广泛用于描述卫星运动。
开普勒轨道参数示意图
2.GPS卫星星历
卫星星历是描述卫星运动轨道的信息，是一
组对应某一时刻的轨道根数及其变率。根据卫星 星历可以计算出任一时刻的卫星位置及其速度， GPS卫星星历分为预报星历和后处理星历。预报 星历是通过卫星发射的含有轨道信息的导航电文 传递给用户，经解码获得所需的卫星星历，也称 广播星历，包括相对某一参考历元的开普勒轨道 参数和必要的轨道摄动项改正参数。参考历元的 卫星开普勒轨道参数称为参考星历（或密切轨道 参数），是根据GPS监测站约1周的监测资料推 算的。参考星历只代表卫星在参考历元的瞬时轨 道参数（或密切轨道参数）。在摄动力的影响下， 卫星的实际轨道将偏离其参考轨道。
卫星的预报星历是用跟踪站以往时间的观测资料推求的
参考轨道参数为基础，并加入轨道摄动项改正而外推的 星历。用户在观测时可以通过导航电文实时得到，对导 航和实时定位十分重要。但对精密定位服务则难以满足 精度要求。
后处理星历是一些国家的某些部门根据各自建立的跟踪 站所获得的精密观测资料，应用与确定预报星历相似的 方法，计算的卫星星历。这种星历通常是在事后向用户 提供的在用户观测时的卫星精密轨道信息，因此称后处 理星历或精密星历。该星历的精度目前可达分米。
若记F为地球质心引力于各种摄动力的总和，即： F = fc + fnc +fs +fm +fr + fa +fp
GPS卫星的受摄运动方程为：
m d2r/dt2 = F 受摄运动合力F是位置、速度和时间的函数，非
常复杂。
在直角坐标系中，可分解为：
m d2x/dt2=Fx m d2y/dt2=Fy m d2z/dt2=Fz 偏微分方组的求解也非常困难。
第三章 卫星运动及GPS卫星 信号
第一节 卫星的无摄运动
卫星在空间运行的轨迹称为轨道，描述卫星轨 道位置和状态的参数称为轨道参数。由于利用GPS 进行导航和测量时，卫星作为位置已知的高空观测 目标，在进行绝对定位时，卫星轨道误差将直接影 响用户接收机位置的精度；而在相对定位时，尽管 卫星轨道误差的影响将会减弱，但当基线较长或精 度要求较高时，轨道误差影响不可忽略。此外，为 了制订GPS测量的观测计划和便于捕获卫星发射的 信号，也需要知道卫星的轨道参数。
算所得的平均角速度之差。
Cuc , Cus——升交距角的余弦、正弦调和改正项振幅 Crc , Crs——卫星地心距的余弦、正弦调和改正项振幅 Cic , Cis——轨道倾角的余弦正弦调和改正项振幅 AODE——星历数据的龄期（外推星历的外推时间间隔）
a0——卫星钟差 a1——卫星钟速（频率偏差系数） a2——卫星钟速变化率（漂移系数）
点的位置，是时间的函数。
ms
r as (1 es2 ) 1 es cos fs 远地点
bs as
fs
近地点
M
（2）开普勒第二定律：卫星的地心向径在单位 时间内所扫过的面积相等。表明卫星在椭圆 轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点 处速度最大，在远地点处速度最小。
远地点
地心
近地点
（3）开普勒第三定律：卫星运行周期的平方与轨道 椭圆长半径的立方之比为一常量，等于GM的倒数。
第一节 卫星的无摄运动
卫星发射升至预定高度后，开始绕地球运行。假设地 球为均质球体，根据万有引力定律，卫星的引力加速度为
r
G(M r3
ms
)
r
G为引力常数，M为地球质量，ms为卫星质量，r为卫星 的地心向径。根据上式来研究地球和卫星之间的相对运动 问题，在天体力学中称为两体问题。引力加速度决定了卫 星绕地球运动的基本规律。卫星在上述地球引力场中的无 摄运动，也称开普勒运动，其规律可通过开普勒定律来描 述。
偏离的程度主要取决于观测历元与所选参考 历元间的时间差。
一般来说，如果用轨道参数的摄动项对已知 的卫星参考星历加以改正，可以外推出任意 观测历元的卫星星历。
如果观测历元与所选参考历元间的时间差很 大，为了保障外推轨道参数具有必要的精度， 就必须采用更严密的摄动力模型和考虑更多 的摄动因素，由此带来了建立更严格摄动力 模型的困难，因而可能降低预报轨道参数的 精度。
卫星的无摄运动一般可通过一组适宜的参数 来描述，但这组参数的选择并不唯一，其中 应用最广泛的一组参数称为开普勒轨道参数 或开普勒轨道根数。
as为轨道的长半径，es为轨道椭圆偏心率，这两个参 数确定了开普勒椭圆的形状和大小。
为升交点赤经：即地球赤道面上升交点与春分点之 间的地心夹角。i为轨道面倾角：即卫星轨道平面与 地球赤道面之间的夹角。这两个参数唯一地确定了 卫星轨道平面与地球体之间的相对定向。
后处理星历一般不通过卫星的无线电 信号向用户传递，而是通过磁盘、电视、 电传、卫星通讯等方式有偿地为所需要 的用户服务。
建立和维持一个独立的跟踪系统来精密 测定GPS卫星的轨道，技术复杂，投资 大，因此，利用GPS预报星历进行精密 定位工作仍是目前一个重要的研究和开 发领域。
Ts2 as3
4 2
GM
假设卫星运动的平均角速度为n，则n=2/Ts，可得
1/ 2
当开普勒椭圆的长半n径确 G定aMs3 后 ，卫星运行的平均角速度也 随之确定，且保持不变。
2.无摄卫星轨道的描述
前述参数as、es、fs唯一地确定了卫星轨 道的形状、大小以及卫星在轨道上的瞬时位 置。但卫星轨道平面与地球体的相对位置和 方向还无法确定。确定卫星轨道与地球体之 间的相互关系，可以表达为确定开普勒椭圆 在天球坐标系中的位置和方向，尚需三个参 数。
为了研究工作和实际应用方便，通常把作用于 卫星上的各种力按其影响的大小分为两类：
一类是假设地球为均质球体的引力（质量集中 于球体的中心），称为中心力，决定着卫星运动的 基本规律和特征，由此决定的卫星轨道，可视为理 想轨道，或称为无摄运动，是分析卫星实际轨道的 基础。
另一类是摄动力或非中心力，包括地球非球形 对称的作用力、日月引力、大气阻力、光辐射压力 以及地球潮汐力等。摄动力使卫星的运动产生一些 小的附加变化而偏离理想轨道，同时偏离量的大小 也随时间而改变。在摄动力的作用下的卫星运动称 为受摄运动，相应的卫星轨道称为受摄轨道。
X
x
Y
R3
(GAST)
y
Z
z
cosGAST sin GAST 0
R3(GAST) sin GAST cosGAST 0
0
0
1
第二节 卫星的有摄运动
1.卫星运动的摄动力及受摄运动方程
在讨论卫星的无摄运动时，将地球视为一个均质 球体，其质量全部集中在球质心上。仅在地球引 力作用下的卫星运动轨道成为多普勒轨道。但是 由于卫星受多种引力的影响，卫星实际运动轨道 会偏离理想的多普勒轨道。
为了保证卫星预报星历的必要精度，一般采用
限制预报星历外推时间间隔的方法。为此， GPS跟踪站每天利用观测资料，更新用以确定 卫星参考星历的数据，计算每天卫星轨道参数 的更新值，每天按时将其注入相应的卫星并存 储。据此GPS卫星发播的广播星历每小时更新 一次。
如果将计算参考星历的参考历元toe选在两次更 新星历的中央时刻，则外推时间间隔最大不会 超过0.5小时，从而可以在采用同样摄动力模型 的情况下，有效地保持外推轨道参数的精度。 预报星历的精度，目前一般估计为20-40m。
GPS卫星运动所承受的力 {P50图3.8}
在各种摄动力加速度的影响下，GPS卫星运 动的开普勒轨道参数，不再保持常数而变为时间 的函数。因各种摄动力加速度影响而产生的偏差 如下表所示：
显然，以上偏差对于任何应用的定位工作都是不 能忽视的。因此，研究各种摄动模型，以满足各 种定位的要求具有重要意义。
影响卫星轨道的因素及其研究方法
卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力 场的引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体 的引力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮 汐力等因素影响。卫星实际运行轨道十分复杂， 难以用简单而精确的数学模型加以描述。
在各种作用力对卫星运行轨道的影响中，地球 引力场的影响为主，其它作用力的影响相对要小 的多。若假设地球引力场的影响为1，其它引力 场的影响均小于10-5。
fs
s 0
s
r fs s
(2)在天球坐标系中卫星的位置
在轨道平面直角坐标系中只确定了卫星在轨 道平面上的位置，而轨道平面与地球体的相对 定向尚需由轨道参数、i和s确定。
天球坐标系（x,y,z）与轨道坐标系(s, s, s)具有相同的原点，差别在于坐标系的定向不 同，为此需将轨道坐标系作如下旋转：
在GPS卫星运动过程中，除了主要受地球中 心引力的作用外，还受到以下各种摄动力的影响， 从而引起轨道的摄动。
（1）地球的非中心引力Fnc，即地球体的非 球性 及其质量不均匀而引起的作用力；
（2）太阳引力Fs和月亮引力Fm； （3）太阳光的辐射压力Fr; （4）大气阻力Fa； （5）地球的潮汐作业； （6）磁力及其它作用力。
•绕s轴顺转角度s使s轴的指向由近地点改为升 交点。
•绕s轴顺转角度i，使s轴与z轴重合。 •绕s轴顺转角度，使x轴与s轴重合。
用旋转矩阵表示如下
x
s
y
R3 ( ) R1 ( i ) R( s
)s
z
s
cos sin 0
R3()
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sin
cos
0
0
0 1
coss sins 0 R(s ) sins coss 0
cos
fs
cos Es es 1 es cos Es
4.无摄运动卫星的瞬时位置
（1）在轨道直角坐标系中卫星的位置 取直角坐标系的原点与地球质心相重合，s轴 指向近地点、s轴垂直于轨道平面向上 , s轴 在轨道平面上垂直于s轴构成右手系，则卫星 在任意时刻的坐标为
s cos fs
s
r s in
由于预报星历每小时更新一次，在数据更
新前后，各表达式之间将会产生小的跳跃， 其值可达数分米，一般可利用适当的拟合 技术（如切比雪夫多项式）予以平滑。
GPS用户通过卫星广播星历可以获得的有 关卫星星历参数共16个，其中包括1个参 考时刻，6个相应参考时刻的开普勒轨道 参数和9个反映摄动力影响的参数。
导航电文中的星历参数
t0e——参考历元 Ms0——参考时刻的平近点角 es——轨道偏心率 as1/2——轨道长半径的平方根 0——参考时刻的升交点赤i经 i0——参考时刻的轨道倾角 s——近地点角距 ——升交点赤经变化率
i ——轨道倾角变化率 n——由精密星历计算得到的卫星平均角速度与按给定参数计