大学数学第四节空间的曲面与曲线资料
空间曲面和曲线.ppt
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得:
f x2 y2 , z 0,
北京理工大学数学系
f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面的方程.
1
球 面
（3）抛物线
y2
2
pz 绕 z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
北京理工大学数学系
四.椭圆锥面
设C是椭圆，P为C外的定点，
过P和C上的每一点作直线， 所有这些直线形成的曲面
称为椭圆锥面。
所有直线称为母线， C称为准线， P称为顶点。
?与圆锥面的区别?
C P
3
3 9
北京理工大学数学系
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)， 求线段 AB的垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
北京理工大学数学系
五、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
北京理工大学数学系
如图:投影曲线的研究过程.
北京理工大学数学系
(优选)第四节空间的曲面与曲线
表示怎样
解: 配方得 此方程表示: 球心为
半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
2.旋转曲面
定义2 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴 ,旋转曲线叫做旋转曲 面的母线.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
二、一些常见的曲面
1.球面 例1 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
给定 yoz 面上曲线 C:
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M1(0, y1, z1)
o
y
x
f ( x2 y2 , z) 0.
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
平面 z z1 上的截痕为 椭圆. 平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
y y1
3.柱面
引例 分析方程
z
表示怎样
的曲面 ?
M
解:在 xoy 面上 在圆C上任取一点
表示圆C, C o
空间曲线和曲面的方程和性质
空间曲线和曲面的方程和性质空间曲线和曲面是我们学习高等数学时接触到的一个重要概念。
在三维空间中，任何一条曲线都可以用一条参数方程来表示，而曲面则可以用一个或者多个方程来表示。
在本文中，我们将会探讨空间曲线和曲面的方程及其性质，为我们更好地理解和应用它们打下基础。
一、空间曲线的方程和性质1. 参数方程一条曲线可以用一个或多个函数的参数形式来表示，这种表示方式叫做曲线的参数方程。
以抛物线为例，其参数方程可以表示为：x = ty = t²z = 0其中t就是参数。
2. 长度公式曲线的长度公式是通过对曲线上的每一段微小线段求长然后求和得到的。
对于弧长可微的平面曲线，其长度公式可以表示为：L = ∫ab sqrt(1 + [f'(x)]²) dx对于空间曲线，则是对其弧长进行积分：L = ∫ab sqrt([dx/dt]² + [dy/dt]² + [dz/dt]²) dt3. 曲率公式曲线的曲率代表了曲线扭曲的程度。
对于空间曲线，其曲率公式可以表示为：k = |dT/ds|其中，T是切向量，s是曲线长度。
二、空间曲面的方程和性质1. 方程的类型空间曲面可以分为三类：点，直线和曲线。
具体来说，一般来说，地球的表面就是一个曲面，可以用数学公式表示。
在三维空间中，曲面的方程可以表示为一个或多个方程的形式。
例如，球面可以用方程x² + y² + z² = r²来表示。
2. 面积公式对于曲面而言，其面积公式是通过对曲面微元面积求和得到，可表示为：A = ∫∫D |N| dS其中D是曲面的投影区域，N是微元面积的法向量，dS是微元面积。
3. 曲率公式曲面的曲率代表了曲面弯曲的程度。
在数学上，曲面的曲率函数是由曲面上每一点的两个主曲率（即最大和最小曲率）所定义的。
曲面的平均曲率可以表示为这两个主曲率之和的一半。
总之，空间曲线和曲面的方程和性质在不同的数学领域中都有广泛应用。
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
曲面与空间曲线
而转动的角度 t
x a cost ，
故点M的运动轨迹方程为
y
a
sin t
，
z vt .
高等数学
z2 c2
0
（a=b时是圆锥面ab时 是椭圆锥面）
椭圆抛物面
z
x2 a2
y2 b2
图形
名称
方程
双曲 面
单叶双曲面 双叶双曲面
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
图形
二、向量的向量积
空间中任意一条曲线可以看成是两个曲面的交线，因此空 间曲线可用两个曲面方程联立起来表示，即
高等数学
曲面与空间曲线
一、曲面及其方程
与平面解析几何中把曲线看做是动点的轨迹类似，在空 间解析几何中把曲面也看成是具有某种几何性质的点的轨迹。 如果一个曲面S和一个三元方程F(x, y, z)=0，满足下面两个条 件：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)=0； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)=0， 那么方程F(x, y, z)=0称为曲面的方程，曲面S称为方程的图形。
F (x ，y) 0
这就是母线平行于z轴的柱面方程。
由此可见，母线平行于z轴的柱面方程的特征是只含x， y，不含z。
同理，方程F(y, z)=0及F(x, z)=0都表示柱面，它们的母 线分别平行于x轴及y轴。
例如，方程 x2 y2 R2
表示母线平行于z轴的柱面，准线 是xOy平面上一个以原点为中心，半 径为R的圆，如图所示。这柱面叫做 圆柱面。
例如，方程
x2 a2
y2 b2
1
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
空间曲面和空间曲线(IV)
球面曲线是球面上的一条封闭或非封 闭的曲线。例如，赤道和经线是球面 上的两条特殊的曲线。
抛物面与抛物线
抛物面
抛物面是三维空间中与一个定点等距的点的集合，其形状类 似于开口的抛物线。
抛物线
在平面几何中，抛物线是一条二次曲线，其形状类似于开口 的抛物线。
椭圆抛物面与椭圆抛物线
椭圆抛物面
椭圆抛物面是一种三维曲面，其形状类似于一个向上或向下开口的椭圆。
• 探索新的分类方法：目前对于空间曲面和空间曲线的分类方法还比较有限，未 来可以探索更多的分类方法，以便更好地理解和应用这些对象。如根据几何形 状、拓扑结构等进行分类；或者根据实际应用的需要进行分类等。
• 拓展应用领域：随着科技的发展，空间曲面和空间曲线在各个领域的应用越来 越广泛。未来可以进一步拓展其应用领域，如在机器人设计、生物医学工程、 虚拟现实等领域中应用空间曲面和空间曲线。
曲率描述了曲面或曲线在某一点 的弯曲程度，挠率则描述了曲面 或曲线在某一方向上的弯曲程度。
渐近线是描述曲面或曲线在无穷 远处行为的线，对于理解几何对
象的整体形态具有重要意义。
2023
PART 04
空间曲面与空间曲线的实 例分析
REPORTING
球面与球面曲线
球面
球面是三维空间中与一个定点等距的 点的集合，其形状类似于球体表面。
空间曲面是三维空间中由二维曲线沿着某一方向无限延伸形成的闭合曲面。
分类
根据形成方式，空间曲面可分为旋转曲面和非旋转曲面。旋转曲面是指由一条 平面曲线绕其平面上的一条直线旋转而成；非旋转曲面则包括柱面、锥面等。
常见的空间曲面
球面
圆锥面
抛物面
双曲面
由一个点绕着通过该点 的轴线旋转而成。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学几何学中的重要概念，它们在描述和分析三维物体的形状和特征时起着关键作用。
本文将就空间曲线和空间曲面的定义、性质和应用进行深入探讨。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，它由一系列相互关联的点组成。
可以用参数方程或者向量函数来表示，以便对其进行解析研究。
常见的空间曲线有直线、曲线和闭合曲线等。
直线是最简单的空间曲线，可由两个不同的点确定。
曲线则弯曲或扭转，并有无数个点组成。
闭合曲线是形状回到起点的曲线，如圆或椭圆。
空间曲线具有以下重要性质：1. 弧长：空间曲线的长度称为其弧长，可以通过对曲线进行参数化和积分计算得到。
2. 切线：对于空间曲线上的每个点，都有一个切线与其相切。
切线是曲线在该点弯曲方向上的极限。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲线的切线和法线计算得到。
4. 弯曲方向：曲线可以向左弯曲或向右弯曲，具体取决于曲线上连续两个点的位置关系。
二、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个连续平面，由一系列相关的点构成。
类似于空间曲线，空间曲面也可以用参数方程或者向量函数进行表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆锥面等。
平面是最简单的空间曲面，由无限多个平行于其自身的直线组成。
球面由到球心距离相等的点组成。
圆锥面则由一个尖点和无数个从尖点射出的直线构成。
空间曲面具有以下重要性质：1. 切平面：对于空间曲面上的每个点，都存在一个切平面与其相切。
切平面是曲面在该点处切割曲面所得的截面。
2. 法线：曲面上每个点都有一个法线垂直于曲面。
法线方向是指在该点处曲面向外的方向。
3. 曲率：曲面的曲率描述了曲面在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲面的切平面和法线计算得到。
4. 弯曲特性：曲面可以是凸的（向外弯曲）、凹的（向内弯曲）或既不凸也不凹。
三、空间曲线与空间曲面的应用空间曲线和空间曲面在实际应用中有着广泛的应用，特别是在工程学和物理学领域。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学以及计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。
本文将对空间曲线和空间曲面进行详细的介绍，并探讨它们的特性和性质。
一、空间曲线空间曲线是三维空间中的曲线，可以用参数方程或者向量方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点表示为参数 t 的函数，通常用向量形式表示。
向量方程则是直接用向量表示曲线上的点，一般形式为 r(t) =(x(t), y(t), z(t))，其中 x(t)，y(t)，z(t) 分别表示曲线在 x、y、z 轴上的坐标。
空间曲线可以分为直线和曲线两种形式。
直线是最简单的空间曲线，可以用一个点和一个方向向量来确定。
曲线则更为复杂，可以是一段圆弧、螺旋线或者任意曲线。
二、空间曲面空间曲面是三维空间中的曲面，可以用方程、参数方程或者向量方程来表示。
方程形式的空间曲面通常为 F(x, y, z) = 0，其中 F(x, y, z) 是一个关于 x、y、z 的函数。
参数方程和向量方程也可以用来表示空间曲面，其中参数方程将曲面上的点表示为参数 u、v 的函数，向量方程则直接用向量表示曲面上的点。
空间曲面可以分为封闭曲面和非封闭曲面。
封闭曲面是指四面都封闭的曲面，比如球体或者圆柱体。
而非封闭曲面则是有开口的曲面，比如抛物面或者双曲面。
三、空间曲线的特性和性质1. 切线与法线：空间曲线上的每个点都有一个切线和一个法线。
切线是与曲线相切的直线，其斜率等于曲线在该点的导数；法线则垂直于切线，并与切线构成曲线的法平面。
2. 弧长和曲率：空间曲线的弧长是曲线上的两点间距离。
曲率是衡量曲线弯曲程度的指标，可以通过曲线的切线和法线计算得到。
3. 参数化表示：空间曲线的参数化表示可以使曲线更加灵活，方便计算和研究。
不同的参数化方式可以得到不同的曲线形状。
四、空间曲面的特性和性质1. 曲面方程：空间曲面可以用方程、参数方程或者向量方程表示。
方程形式的曲面方程通常是一个关于 x、y、z 的等式，可以反映曲面上点的坐标特性。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中的重要概念，它们在数学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的基本概念，并讨论它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一组点按照一定规律组成的线条。
通常情况下，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一条空间曲线。
1. 参数方程参数方程是一种用参数表示变量关系的方法。
对于空间曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数是一种将向量与参数相关联的函数。
对于空间曲线而言，向量函数可以表示为：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中，r(t)表示曲线上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的位置向量。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中由曲线按照一定规律延伸得到的平面或者曲面。
与空间曲线类似，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一个空间曲面。
1. 参数方程参数方程可以用来表示平面或曲面上每一个点的坐标。
对于空间曲面而言，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数可以用来表示曲面上每一个点的位置向量。
对于空间曲面而言，向量函数可以表示为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)表示曲面上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是关于参数u和v的函数。
空间曲面与空间曲线资料
S
y
N(x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x=0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
如图，取，为参数
则球心在原点的球面方程等价于：
x R sin cos
y
R
si n
si n
z R cos
0 2
0
x
z
N M（x,y,z）
R
y
Qθ
P
为球心在原点、半径为R的球面的参数方程。
一般地,曲面的参数方程
x x(u, v) 可表示为： y y(u, v)
z z(u, v)
二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的 母线.
一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
解: 原方程可改写为 (x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 5的球面.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）求曲面方程． （2）已知曲面方程，研究曲面形状．
空间中的曲面和曲线的性质
空间中的曲面和曲线的性质空间中的曲面和曲线是几何学中的重要概念，它们具有许多独特的性质与特点。
本文将介绍空间中的曲面和曲线的定义、分类以及它们的特性。
一、曲面的定义和分类曲面是空间中的一个二维对象，它可以由平面曲线绕轴线旋转而成，或者由一组参数方程所确定。
曲面的分类根据其形状和性质可以分为以下几种类型。
1. 平面：平面是最简单的曲面，它由无限多个平行于一个固定平面的直线组成。
2. 曲线旋转曲面：这种曲面是由一条曲线绕某个轴线旋转而成，如圆锥面、圆柱面等。
3. 旋转曲面：旋转曲面是由一个平面曲线沿着某个固定轴线旋转形成的，如球面、椭球面等。
4. 参数曲面：参数曲面是由一组参数方程所定义的曲面，如二次曲面、旋转椭球面等。
二、曲面的性质1. 曲率：曲面的曲率描述了曲面的弯曲程度。
曲率越大，曲面越弯曲；曲率越小，曲面越平坦。
曲面上的每一点都有两个主曲率，它们是曲面上的两个最大曲率。
2. 切平面：曲面上的每一点都有一个切平面，切平面与曲面相切于该点。
切平面包含着曲面上的切线，它是曲面在该点的局部近似。
3. 法线：曲面上的每一点都有一个法线，法线垂直于曲面上的切平面，它表示曲面在该点的垂直方向。
4. 曲面的参数化：曲面可以由一组参数方程来表示，这些参数方程描述了曲面上每个点的坐标。
通过参数化，我们可以方便地计算曲面上的各种性质和曲面上点的坐标。
5. 曲面的交线：当两个曲面相交时，它们在相交处形成一条曲线，称为曲面的交线。
交线可以是直线，也可以是曲线，它们在相交处共享相同的点。
三、曲线的定义和分类曲线是一维的几何对象，它可以描述空间中的路径或轨迹。
曲线可以由参数方程或者隐式方程来描述，常见的曲线类型有以下几种。
1. 直线：直线是最简单的曲线，它由无限多个点组成，任意两点之间的线段都在直线上。
2. 抛物线：抛物线是由二次方程所定义的曲线，它具有对称轴和焦点。
抛物线可以向上开口、向下开口或者平行于x轴。
3. 椭圆：椭圆是由一个参数方程所定义的曲线，它是一个闭合的曲线。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是微积分和几何学中的重要概念，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
它可以用参数方程或者向量函数来表示。
例如，对于参数方程来说，一条空间曲线可以表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中x、y、z分别表示曲线上的点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)则是关于参数t的函数。
通过改变参数t的值，我们可以得到曲线上的不同点。
空间曲线有许多重要的性质。
其中之一是曲线的切线方向。
在曲线上的任意一点P，曲线的切线方向是通过该点的一条直线，它与曲线在该点的切线相切。
曲线的切线方向可以通过求曲线在该点的导数来得到。
另一个重要的性质是曲率。
曲线的曲率描述了曲线的弯曲程度。
曲线的曲率可以通过求曲线的曲率半径来得到。
曲率半径是曲线在某一点处的切线与曲线在该点的曲率圆的半径。
曲线的曲率半径越小，曲线的弯曲程度越大。
空间曲线在物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以通过描述物体的运动轨迹来研究物体的运动状态。
而物体的运动轨迹可以用空间曲线来表示。
另外，在电磁学中，我们可以通过描述电流在导线中的流动来研究电磁场的分布。
而电流的流动路径可以用空间曲线来表示。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
它可以用隐函数方程或者参数方程来表示。
例如，对于隐函数方程来说，一个空间曲面可以表示为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是关于x、y、z的函数。
通过满足隐函数方程的点，我们可以得到曲面上的点。
空间曲面也有许多重要的性质。
其中之一是曲面的法线方向。
在曲面上的任意一点P，曲面的法线方向是垂直于曲面在该点的切平面的方向。
曲面的法线方向可以通过求曲面在该点的梯度来得到。
另一个重要的性质是曲面的曲率。
曲面的曲率描述了曲面的弯曲程度。
曲面的曲率可以通过求曲面的主曲率来得到。
第4节 空间曲面与曲线(1)
第 4章
向量代数与空间解析几何
由上述结论可以看出三种特殊的柱面方程特点如下： （1）方程中缺少一个变量； （2）缺哪个变量，母线就平行于哪个坐标轴；
（3）准线在方程中所含变量对应的坐标面上，且其方程为
所给柱面方程与方程：缺少的变量=0组成的方程组. （4）准线的形状决定柱面是什么柱面. 例2 在空间直角坐标系中，下列方程表示什么图形. （1）y
同时曲面Σ 为方程 F ( x, y, z ) 0 的图像.
第 4章
(二)
向量代数与空间解析几何
几种常见的二次曲面
1. 球面 （1） 定义 到空间某定点 P 的距离等于定长 R 的点的 轨迹，称为球面. 其中定点 P 称为球心，定长 R 称为半径.
第 4章
（2） 球面的方程
向量代数与空间解析几何
x
M1 ( x1 , y1 ,0)
点 M 1 的坐标满足曲线 C 的方程，即 f ( x1 , y1 ) 0 ； 又因为x x1 ， y y1 ，而且此方程中不含变量 z ， 所以，点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足此方程， 因此，柱面方程为 f ( x, y) 0 . 该方程中不含 z .
z
L C y
o x
第 4章
向量代数与空间解析几何
f ( x, y) 0 为准线, 求以 xoy 坐标面内的曲线 C ：
以平行于 z 轴的直线 L 为母线的柱面的方程.
在柱面上任取一点 M ( x, y, z ) , 过点 M 作平行于 z 轴的直线，
o
z
L
C
M ( x, y, z ) y
交曲线 C 于点 M1 ( x1 , y1 ,0) ，
2 2 2
空间几何中的曲线与曲面
空间几何中的曲线与曲面空间几何是研究物体在三维空间中的形状、位置和运动的数学学科。
在空间几何中，曲线和曲面是两个重要的概念。
曲线是一条连续的曲线，而曲面是一个连续的曲面。
一、曲线曲线是空间中的一个重要概念，它可以用于描述物体的轮廓、路径和形状。
在空间几何中，曲线可以用参数方程或者向量函数来表示。
1. 参数方程表示曲线参数方程是一种描述曲线的方法，它通过引入一个参数，将曲线上的每个点表示为参数的函数。
例如，对于一个平面上的曲线，可以使用参数方程：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上的不同点。
2. 向量函数表示曲线向量函数是另一种描述曲线的方法，它使用向量来表示曲线上的每个点。
例如，对于一个平面上的曲线，可以使用向量函数：r(t) = (x(t), y(t))其中，r(t)是曲线上的点的位置向量，x(t)和y(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上的不同点。
二、曲面曲面是空间中的一个重要概念，它可以用于描述物体的外形、表面和形状。
在空间几何中，曲面可以用参数方程或者隐式方程来表示。
1. 参数方程表示曲面参数方程是一种描述曲面的方法，它通过引入两个参数，将曲面上的每个点表示为参数的函数。
例如，对于一个三维空间中的曲面，可以使用参数方程：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，可以得到曲面上的不同点。
2. 隐式方程表示曲面隐式方程是另一种描述曲面的方法，它使用方程来表示曲面上的点。
例如，对于一个三维空间中的曲面，可以使用隐式方程：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是关于x、y和z的方程。
通过解方程F(x, y, z) = 0，可以得到曲面上的点。
7.4空间曲面与曲线
和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程. 解: 联立两个方程消去 z ,得
椭圆柱面
1 2 x 2 4( y ) 2 1 2
两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为
2 x 2 4( y 1 ) 2 1 2 z 0
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
2、柱面. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
2 2 2 x y R 圆柱面
2 2
z
M
x y C 2 1 椭圆柱面. o 2 M1 x a b
抛物柱面,
C
o
y
z z
l
x y 0 经过z 轴的平面.
O
y
x2 + y2 1
这是xoy面上的一个圆.
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
y
3、旋转曲面
一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 例如 :
l
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
o
xx
y y
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
2 2 2 2 • 球面 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. （习题6-4 3（2））
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
(旋转双叶双曲面）
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x
y
(旋转单叶双曲面）
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2020年11月18日星期三
10
目录
上页
下页
返回
3.柱面
引例 分析方程
z 表示怎样
的曲面 ?
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
2020年11月18日星期三
2
目录
上页
下页
返回
定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
2020年11月18日星期三
14
目录
上页
下页
返回
怎样了解三元方程 F(x, y, z) 0所表示的曲面的形状呢?
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
方法是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交， 考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的 形状．这种方法叫做截痕法．
2020年11月18日星期三
15
目录
上页
下页
返回
1. 椭球面 (Ellipsoid)
x
f ( x2 y2 , z) 0
2020年11月18日星期三
7
目录
上页
下页
返回
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0
o
y
x f ( y, x2 z2 ) 0
求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐 标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成 该变量与第三变量平方和的正负平方根.
o
y
o
y
(且 z 轴在平面上) x
x
2020年11月18日星期三
12
目录
上页
下页
返回
一般地,在三维空间
z
1:方程 F (x, y) 0 表示柱面, 母线平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0. 2:方程 G( y, z) 0 表示柱面, 母线平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0. 3:方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
2020年11月18日星期三
3
目录
上页
下页
返回
二、一些常见的曲面
1.球面 例1 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
6
目录
上页
下页
返回
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C:
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有 z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M1 (0, y1, z1 )
o y
2020年11月18日星期三
8
目录
上页
下页
返回
例2 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
y
两边平方
x
2020年11月18日星期三
9
目录
上页
下页
返回
例 求坐标面 xoz 上的双曲线
第六章
第四节 空间的曲面与曲线
一、曲面方程的概念 二、一些常见的曲面
三、二次曲面
四、空间曲线的方程 五、空间曲线在坐标面上的投影 六、小结与思考练习
2020年11月18日星期三
1
目录
上页
下页
返回
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
x l1
x z l3
y z l2
y
母线 平行于 y 轴;
x
y
准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)=0.
2目录
上页
下页
返回
三、二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
11
目录
上页
下页
返回
定义3 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
•
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
• x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面.
M
解:在 xoy 面上 在圆C上任取一点
表示圆C, C o 过此点作 x M1
y
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
表示圆柱面
2020年11月18日星期三
半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
2020年11月18日星期三
5
目录
上页
下页
返回
2.旋转曲面
定义2 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面 的母线.
例如 :
2020年11月18日星期三
故所求方程为
z
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
M0
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
M
o
y
x
表示上(下)球面 .
2020年11月18日星期三
4
目录
上页
下页
返回
例2 研究方程 的曲面. （课本 例1）
表示怎样
解: 配方得 此方程表示: 球心为