双曲线方程及性质的应用

双曲线方程及性质的应用

（45分钟 100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.(2012·湖南高考)已知双曲线C:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )

A.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1

B.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1

C.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1

D.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1

2.(2013·昆明高二检测)过双曲线x2-错误!未找到引用源。=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有( )

A.一条

B.两条

C.三条

D.四条

3.(2013·大理高二检测)若点O和点F1(-2,0)分别是双曲线错误!未找到引用源。-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,并且P点与右焦点F2的连线垂直x轴,则线段OP的长为( )

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

4.(2013·聊城高二检测)双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( )

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

5.已知点M(1,4),双曲线错误!未找到引用源。-y2=1的左顶点为A,若双曲线一

条渐近线与直线AM平行,则实数a等于( )

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.已知双曲线a n-1y2-a n x2=a n-1a n的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=错误!未找到引用源。x,其中{a n}是以4为首项的正项数列,则数列{a n}的通项公式是.

7.双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P点到左焦点的距离为.

8.(2013·吉林高二检测)已知双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为

y=±错误!未找到引用源。x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.(2013·洛阳高二检测)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B,求实数k的取值范围.

10.已知双曲线C1:x2-错误!未找到引用源。=1.

(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,错误!未找到引用源。)的双曲线C2的标准方程.

(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=3时,求实数m的值.

11.(能力挑战题)已知双曲线C:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±错误!未找到引用源。x,O为坐标原点,点M(错

误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)在双曲线上.

(1)求双曲线C的方程.

(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.

答案解析

1.【解题指南】根据双曲线的性质,由焦距为10可以求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线求出方程中的参数.

【解析】选A.由焦距为10,知2c=10,c=5.将P(2,1)代入y=错误!未找到引用源。x得a=2b.a2+b2=c2,

5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1.

2.【解析】选C.过右焦点且垂直于实轴的弦长为错误!未找到引用源。=2×错误!未找到引用源。=16,∵|AB|=16,∴当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又∵实轴长为2,16>2,∴当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.

3.【解析】选B.由条件知a2+1=4,∵a>0,∴a=错误!未找到引用源。,又PF2⊥x 轴,把x=2代入错误!未找到引用源。-y2=1得y2=错误!未找到引用源。.

∴|OP|=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

【举一反三】若本题条件不变时,点P是右支上任意一点,求错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。的取值范围.

【解析】设P(x0,y0),由题目可知错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1, 且x0≥错误!未找到引用源。,又F1(-2,0),∴错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=(x0,y0)·(x0+2,y0)

=错误!未找到引用源。+2x0+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+2x0+错误!未找到引用源。-1=错误!未找到引用源。+2x0-1

=错误!未找到引用源。(x0+错误!未找到引用源。)2-错误!未找到引用源。.

∵x0≥错误!未找到引用源。,∴x0=错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。最小,其值为3+2错误!未找到引用源。.

即错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。∈[3+2错误!未找到引用源。,+∞).

4.【解析】选B.由题意可知△MF1F2为直角三角形且∠MF1F2=30°,

∴tan30°=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,整理得错误!未找到引用源。e2-2e-错误!未找到引用源。=0,解得e=错误!未找到引用源。.

5.【解析】选A.双曲线错误!未找到引用源。-y2=1的左顶点A为(-错误!未找到引用源。,0),得直线AM的斜率为k=错误!未找到引用源。,渐近线方程为y=±错误!未找到引用源。x,所以有错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。⇒a=错误!未找到引用源。.