高等数学 第二章 极限与连续
《高等数学》教案 第二章 极限与连续
时刻以后，恒有 y ≤ M ，则称 y 在该时刻以后为有界变量。 3、定理（有界性）：如果在某一变化过程中，变量 y 有极限，则变量 y 是有
界变量。 4、定理（唯一性）：如果在某一变化过程中，变量 y 有极限，则变量 y 的极
（2）解不等式 c x − x0
<ε
（或 cG(x) < ε ），得
x − x0
< ε （或 c
x
> N (ε ) ）；
（3）取 δ
= ε （或取正整数 M c
= N (ε ) ），则当 0 <
x − x0
< δ （或当
x
>M）
时，总有 f (x) − A < ε ，即 lim f (x) = A （或 lim f (x) = A ）
为当 x → x0 时，f (x)的右极限，记作
lim f (x) = A
x → x0+
或 f (x0＋0) ＝A。
四、关于函数极限的定理
1、定理： lim f (x) = A 成立的充分必要条件是： lim f (x) = lim f (x) = A
x → x0
x → x0+
x → x0−
注意：证明极限不存在常用的方法就是从证明左、右极限入手。或者说明一
例子：
yn
=1+
1 2n
，
yn
=1−
1 n
，
yn
=
1 + (−1)n 2
二、数列的极限
举例：圆内接正多边形面积，当边数越来越大时，面积越接近圆面积，当无
高等数学-第2章--极限与连续
第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节 极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ， 则称A 为数列{}n x 的极限．记作=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）． 亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发散的．数列极限的运算法则为：如果∞→n lim =n x A , ∞→n lim =n y B ，那么 法则1 ∞→n lim (n x ±n y ) ∞→=n lim n x ±∞→n lim =n y A ±B ；法则2 ∞→n lim (nx n y ) ⋅=∞→n n x lim n n y ∞→lim AB =；法则3 ∞→n lim lim n n n Cx C x →∞==CA (C 是常数)； 法则4∞→n lim B A y x y x nn n n n n ==∞→∞→lim lim ()0≠B ． 以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限定义 如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为 A x f x =∞→)(lim 或 当∞→x 时，A x f →)(． 如图1－5（b ）所示, 函数xx f 1)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数xx f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即01lim=∞→xx ． 在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为-∞→x ）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为 lim ()x f x A →+∞=或当x →+∞时，()f x A →； lim ()x f x A →-∞=或当x →-∞时，()f x A →． 由图1－5（b ）可以看出，01lim=+∞→xx 及01lim =-∞→x x ，这两个极限与01lim =∞→x x 相等，都是0．由图1－11（b ）可以看出，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ．由于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定的常数，所以x x arctan lim ∞→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理： 定理 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是： )(lim x f x +∞→A x f x ==-∞→)(lim ．（证明略）2．当0x x →时，函数)(x f 的极限定义 设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f xx =→)(lim 0或 当0x x →时，A x f →)(．例1 考察极限C x x 0lim → (C 为常数)和x xx 0lim →． 解 因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim 0x f x x C C xx =→0lim ． 因为当0x x →时，()x ϕx=的值无限接近于x ，所以lim ()x x x ϕ→=00lim x x xx =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0lim ()x x f x A -→=．如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0lim ()x x f x A +→=定理 A x f xx =→)(lim 0的充要条件是： 0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==． （证明略）例2 讨论函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩当0→x 时的极限．解 观察图2－1可知：0lim ()x f x -→1)1(lim 0-=-=-→x x ，0lim ()x f x +→1)1(lim 0=+=+→x x ．因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 )(lim 0x f x →不存在． 例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限．解 观察图2－2可知：⎩⎨⎧≥<-==0)(x x x x x x f 由于)(lim 0x f x -→0)(lim 0=-=-→x x ,=+→)(lim 0x f x 0lim 0=+→x x ．所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小． 如果0lim ()0x x x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，21n ，22n ，2nn 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=，当n →∞时2(1)122n n n +→，所以不是无穷小．定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）图2－1图2－2推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略） 例4 求极限01lim sin x x x→． 解 因为x 是当0→x 时的无穷小，而x1sin 是一个有界函数，所以1lim sin0x x x→=． 3．函数极限与无穷小的关系 设A x f xx =→)(lim 0，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有 定理 3 （极限与无穷小的关系）A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．例如11x x +→当()x →∞时，有111x x x +=+，其中1x就是()x →∞时的无穷小．四、 无穷大量 1．无穷大的定义定义 6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为lim ()x x f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞． 例如，当0→x 时，x1是一个无穷大，又例如， 当x →+∞时，x e 是一个无穷大．注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，12x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1x是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)(1x f 是无穷大． 利用这个关系，可以求一些函数的极限．例5 求极限13lim1-+→x x x ． 解 因为031lim1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→13lim 1x x x ．五、无穷小量比较 由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时， x 2、2x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim 0=→xx x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，1．若lim0αβ=，则称α是β的高阶无穷小量；记作()o αβ=，此时也称β是α的低阶无穷小量．2．若lim 0C αβ=≠，则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=．3．若lim 1αβ=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶． 解 由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31=-→x x ，且 3111limx x x --→3111lim 21=++=→x x x ， 所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．例17 当0→x 时，证明x cos 1-与22x 等价．解 由于 0)cos 1(lim 0=-→x x ，02lim20=→x x ，且=-→2cos 1lim 20xx x 122sin 2lim 220=→x xx ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无穷小．习题训练1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限： （1）21limx x →∞； （2）lim 2x x →-∞； （3）1lim ()10x x →+∞； （4）1lim(2)x x→∞+；（5）2lim(45)x x →-； （6）2lim sin x x π→． 2．设2,1()1,1x x f x x ⎧≥-=⎨<-⎩，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？3．设1()1x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的极限是否存在？4．设21()1x f x x-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？ （1）31y x = ； （2）211y x=+；（3） ln y x =；（4）y =6．求下列函数的极限：（1） sin limx x x →∞； （2）01lim cos x x x→； （3） 1lim1x xx →-； （4）32222lim (2)x x x x →+-．第二节 极限的运算教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。
《高等数学B》 第二章 极限与连续 第4节 极限运算法则
0 ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x →1 ( x + 3 )( x − 1)
x +1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法) 消去零因子法)
x→2 x→2 x→2 x→2
= (lim x )2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 22 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0 ,
x −1 23 − 1 7 ∴ lim 2 = x→2 2 x→2 = . = x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
3
x→2
lim x 3 − lim 1
小结: 小结: 1. 设 Pn ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + L + a1 x + a0 , 则有
x → x0
lim Pn ( x ) = an ( lim x )n + an−1 ( lim x )n−1 + L + a1 ( lim x ) + a0
因此定理 1 成立 . 证毕。 证毕。
推论1 推论1 如果lim f ( x)存在,而C 为常数, 则
lim Cf ( x)] = C lim f ( x) . [
常数因子可以提到极限记号外面 . 推论2 推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数, 则
lim f ( x)]n = [lim f ( x)]n . [
【高等数学】极限详解
a
的数列{xn } 均
有
lim
n
f
(xn
)
A.
注：a 可以是 ，此时条件xn a 不再必要；另外，x 的趋向也可以是单侧的.
（4）若在a
的去心邻域内
f
(x )
0
，则
lim
x afΒιβλιοθήκη (x )的充要条件为
lim
x a
f
1 (x )
0.
（5）海涅定理
lim
x a
f
(x
)
A
的充要条件是：对任一满足
lim
zn xn yn ，
且
lim
n
yn
lim
n
z
n
A ，则有
lim
n
xn
A.
（2）对数列{xn } ，若 N N ，当n N 时，{xn } 单调增加（减少）有上界（下界），
则数列{xn } 极限存在，且
5
上海交通大学数学科学学院
王健
lim
n
x
n
sup
nN
xn
(inf nN
xn
).
4. 函数极限的基本性质
n
x
n
a 且 xn a 的数
列{xn } 均有
lim
n
f
(xn
)
A.
（6）唯一性 若 lim f (x) 存在，其极限值唯一； x a
（7）局部有界性 若 lim f (x) 存在，则 0 ，当 0 | x a | 时， f (x) 有界. x a
（ 8 ） 局 部 保 序 性 若 lim f (x ) A, lim g(x) B ， 且 A B ， 则 0 ， 当
高等数学第二章极限与连续
第二章第二章 极限与连续极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点，第二类间断点. .2.基本公式 (1) 1sin lim0=®口口口，(2) e )11(lim 0=+®口口口(口代表同一变量代表同一变量).). 3.基本方法⑴ 利用函数的连续性求极限；利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限；利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限；利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限；利用无穷小替换定理求极限；⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求¥¥形式的极限；形式的极限；⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. .4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. .二、要点解析问题1 如果如果如果 A x f x x =®)(lim 0存在，那么函数)(x f 在点0x 处是否一定有定义处是否一定有定义? ?解析 A x f x x =®)(lim 0存在与)(x f 在0x 处是否有定义无关．例如1sin lim0=®xxx ，而)(x f =xx sin 在0=x 处无定义；又如0lim 20=®x x ，而2)(x x f =在0=x 处有定义处有定义..所以，)(lim 0x f x x ®存在，不一定有)(x f 在0x 点有定义点有定义. .问题2 若若A x f x g x x =×®)()(lim 0存在，那么)(lim 0x g x x ®和)(lim 0x f x x ®是否一定存在？是否一定有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®？解析 )(lim 0x g x x x x ®·A x f =)(存在，并不能保证)(lim 0x g x x x x ®与)(lim 0x f x xx x ®均存在均存在..例如0lim 1lim 020==®®x x x x x ，而x x 1lim 0®不存在不存在..又因为只有在)(lim 0x g x x ®与)(lim 0x f x x ®均存在的条件下，才有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®,所以)(lim 0x g x x ®·)(x f 存在，不能保证)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®．问题3 +¥=®xx 1e lim 是否正确，为什么是否正确，为什么? ?解析 不正确不正确..尽管+¥=+®xx 10e lim ，而0e1lim elim e lim 101010===---®-®®xx xx xx .这说明这说明,,0®x 时，x1e 不是无穷大不是无穷大. .三、例题精解 例1 求下列极限求下列极限求下列极限: :(1) ))(cos sin (lim tan 2224πx x x x x ++®；(2) 1)1232(lim +¥®++x x x x ；(3) 3111limxxx --®；(4) )1sin sin (lim 0xx x x x ++®； (5) )2sin(lim x x x -++¥®；(6) xx x x1sin53lim 2-¥®. 解 (1)(1)由于讨论函数由于讨论函数xx x x x f tan222)(cos sin )(++=在4π=x 处有定义，而且在4π=x 处连续，所以有处连续，所以有 ])(cos sin [lim tan 2224πx x x x x ++®4πtan222)4π(cos )4π(sin )4π(++=222)22()22(16π++= 116π2+=． (2)123lim()21x x x x +®¥++1212lim()21x x x x +®¥++=+ 12lim(1)21x x x +®¥=++ （这是¥1型，设法将其化为口口）口（11lim +¥®）11221lim(1)12x x x ++®¥=++2121)2111(lim )2111(lim ++×++=¥®+¥®x x x x x212121)]2111(lim [)2111(lim ++++=¥®+¥®+x x x x x211e ×=e =．(3) 311lim 1x xx®-- （这是（这是00型未定式）23323331(1)(1)1()lim (1)1()(1)x x x x x x x x x ®éù-+++ëû=éù-+++ëû2331(1)1()lim (1)(1)x x x x x x ®éù-++ëû=-+ （分子、分母均含非零因子1-x ） 23311()lim 1x x x x®++=+ 32=． (4))1s i ns i n(l i m 0x x x x x ++®x x x x x x 1sin lim sin lim 00++®®+= 01+=1=．需要注意，01sin lim 0=+®x x x 是由于x 为+®0x 时的无穷小量，x 1sin ≤1，即x 1si n 为有界函数，所以x x1sin为+®0x 时的无穷小时的无穷小.. (5)lim sin(2)x x x ®+¥+-sin lim (2)x x x ®+¥=+- ( (函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换)) (2)(2)sin lim2x x x x x x x®¥+-++=++（分子有理化）2sin lim2x x x®+¥=++0s i n = 0=． (6)235lim1sinx x x x®¥-(35)lim11(sin )x x xx x ®¥-= （适当变形） lim (35)11lim (sin )x x x x x x®¥®¥-= （利用商的极限公式）105lim (3)111lim (sin )x xx x x ®¥®-= （利用重要极限1sin lim 0=®口口口）3=例2 设ïîïíì<+>=,0,,0,1sin )(22x x a x x x x f 问a 为何值时)(lim 0x f x ®存在，并求此极限值存在，并求此极限值. . 解解 对于分段函数，对于分段函数，讨论分段点处的极限讨论分段点处的极限..由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限一般先求它的左、右极限. .01sin lim )(lim 200==++®®xx x f x x ，a x a x f x x =+=--®®)(lim )(lim 20．为使为使)(lim 0x f x ®存在，必须即),(lim )(lim 0x f x f x x -+®®=0=a . 因此，因此，0=a 时，)(lim0x f x ®存在且0)(lim 0=®x f x ． 例3 设ïïîïïíì<--³+=,0,,0,2cos )(x x x a a x x x x f 问当a 为何值时，0=x 是)(x f 的间断点? ? 是什么间断点是什么间断点是什么间断点? ?解0lim ()lim x x a a xf x x--®®--=0()()lim ()x a a x a a x x a a x -®--+-=+- 0lim ()x x x a a x -®=+-01limx a a x -®=+-12a=，212cos lim )(lim 0=+=++®®x x x f x x ，当ax f x f x x 2121)(lim )(lim 0¹¹-+®®，即，亦即1¹a 时，0=x 是)(x f 的间断点；由于a 为大于0的实数，故)0()0(-+f f 与均存在，只是)0()0(-+¹f f ，故0=x 为)(x f 的跳跃间断点的跳跃间断点. .例 4 已知已知 011lim 2=÷÷øöççèæ--++¥®b ax x x x ，求b a ,的值的值. . 解 因为因为 )11(lim 2b ax x x x --++¥®2(1)()1lim1x a x a b x bx ®¥--++-=+0=，由有理函数的极限知，上式成立，必须有2x 和x 的系数等于0,0,即即îíì=+=-01b a a ，于是1,1-==b a .四、练习题⒈ 判断正误⑴ 若函数)(x f 在0x 处极限存在，则)(x f 在0x 处连续处连续. ( . ( . ( ×× ) 解析 函数在一点连续，函数在一点连续，函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．如函数如函数îíì=¹=,0,1,0,)(x x x x f 0lim )(lim 00==®®x x f x x ，即函数)(x f 在0=x 处极限存在；但1)0(0)(lim 0=¹=®f x f x ，所以函数îíì=¹=0,1,0,)(x x x x f 在0=x 处不连续．处不连续． ⑵分段函数必有间断点⑵分段函数必有间断点. ( . ( . ( ×× )解析 分段函数不一定有间断点．如函数îíì<-³=0,,0,)(x x x x x f 是分段函数，()0lim )(lim 0=-=--®®x x f x x ，0lim )(lim 0==++®®x x f x x ，所以0)(lim 0=®x f x ；又因为0)0(=f ，即)0()(lim 0f x f x =®，所以函数)(x f 在0=x 处连续，无间断点．处连续，无间断点．⑶x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小时的等价无穷小. ( . ( . ( √√ ) 解析 13cos 1lim3sin 3tan lim 00==®®xxx x x ，由等价无穷小的定义，x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小．的等价无穷小．⑷无界函数不一定是无穷大量⑷无界函数不一定是无穷大量. ( . ( . ( √√ ) 解析 无穷大必无界，但反之不真．如函数无穷大必无界，但反之不真．如函数x x x f cos )(=，当¥®x 时是无界函数；但若取2ππ2+=n x ，¥®x （¥®n ）时0cos )(==x x x f ，不是无穷大量．，不是无穷大量． 2.选择题⑴下列极限存在的是⑴下列极限存在的是( B ) ( B )(A) xx 4lim ¥®; (B) 131lim 33-+¥®x x x ; (C)x x ln lim 0+®; (D) 11sin lim 1-®x x . 解析 (A)04lim =-¥®x x ，+¥=+¥®x x 4lim ， 所以所以xx 4lim ¥®不存在；不存在；(B)311311lim 131lim 3333=-+=-+¥®¥®x x x x x x ，极限存在；，极限存在；(C)-¥=+®x x ln lim 0，所以x x ln lim 0+®不存在；不存在； (D)1®x 时，01®-x ，¥®-11x ，所以，所以11sinlim 1-®x x 不存在．不存在． ⑵已知615lim =-+¥®x ax x ,则常数=a ( C ).(A) 1(A) 1；； (B) 5 (B) 5 ；； (C) 6 (C) 6 ；； (D) -1.解析611515lim ==-+=-+¥®a xx a x ax x ，所以，所以6=a ． ⑶xx f 12)(=在0=x 处 ( C ).(A) (A) 有定义；有定义；有定义； (B) (B) 极限存在；极限存在；极限存在； (C) (C) 左极限存在；左极限存在；左极限存在； (D) (D) 右极限存在右极限存在右极限存在. . 解析 因xx f 12)(=，在0=x 处无定义，处无定义，02lim )(lim 1==--®®xx x x f ，即xx f 12)(=在0=x 处左极限存在，处左极限存在，+¥==++®®x x x x f 102lim )(lim ，即xx f 12)(=在0=x 处右极限不存在，处右极限不存在，由极限存在的充要条件，可知函数xx f 12)(=在0=x 处的极限不存在．处的极限不存在． ⑷当⑷当+¥<<x 0时，xx f 1)(=( D ).(A) (A)有最大值与最小值有最大值与最小值有最大值与最小值; ; (B)(B)有最大值无最小值有最大值无最小值有最大值无最小值; ;(C)(C)无最大值有最小值无最大值有最小值无最大值有最小值; ; (D)(D)无最大值无最小值无最大值无最小值无最大值无最小值. . 解析 xx f 1)(=在()+¥,0上是连续函数，图形如下：上是连续函数，图形如下：所以当+¥<<x 0时，xx f 1)(=无最大值与最小值．无最大值与最小值． 3.填空题Oyxx1(1) (1)已知已知b a ,为常数，3122lim2=-++¥®x bx ax x ，则=a 0 0 ，，=b 6 6 ；； 解 ¥®x 时极限值存在且值为3，则分子、分母x 的最高次幂应相同，所以0=a ，那么那么 32122lim 122lim 122lim 2==-+=-+=-++¥®¥®¥®b xx b x bx x bx ax x x x ，所以6=b ．(2)23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ；解 由0232³+-x x ，知函数)(x f 的定义区间为(][)¥+¥-,21, ．又因为初等函数在其定义区间上连续，所以23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ．(3)0=x 是xx x f sin )(=的 可去可去可去 间断点间断点间断点; ;解 0=x 时，函数xx x f sin )(=无定义，但1sin lim0=®xxx ，极限存在，所以0=x 是xx x f sin )(=的可去间断点．的可去间断点．(4)(4)若若a x x =¥®)(lim j (a 为常数为常数))，则=j ¥®)(elim x x ae．解 由复合函数求极限的方法，ax x x x e eelim )(lim )(==j j ¥®¥®．4.解答题⑴ qq q q sin cos 1lim 0-®； 解一 qq q q sin cos 1lim 0-®2cos2sin 22sin 2lim 2q q q qq ®=2cos2122sinlim 0qqqq ×=®2cos 21lim 10q q ®×=21=．解二 无穷小量的等价代换，由于无穷小量的等价代换，由于0®q 时，2~cos 1,~sin 2q q q q -，所以所以 q q q q sin cos1lim 0-®q q q q ×=®2lim 2021= ．⑵ 设x x f ln )(=，求，求 1)(lim1-®x x f x ； 解由无穷小量的等价代换，1®x 即01®-x 时，()[]1~11ln ln )(--+==x x x x f ，所以所以 111lim 1ln lim 1)(lim 111=--=-=-®®®x x x x x x f x x x ．⑶ x xx sin e lim -+¥®；解 +¥®x 时，x-e 是无穷小量，x sin 是有界变量．是有界变量． 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 0sin e lim =-+¥®x xx ．⑷ 设îíì>-£=,1,56,1,)(x x x x x f 试讨论)(x f 在1=x 处的连续性，写出)(x f 的连续区间；解 1lim )(lim 11==--®®x x f x x ，()156lim )(lim 11=-=++®®x x f x x ，所以1)(lim 1=®x f x ．且1)1(=f ，即)1()(lim 1f x f x =®，所以函数)(x f 在1=x 处连续．处连续．又因为当1£x 时函数x x f =)(连续，当1>x 时函数56)(-=x x f 也连续，也连续，所以函数所以函数)(x f 的连续区间为()¥+¥-,．⑸ 设ïïîïïíì>=<=,0,sin ,0,1,0,e )(xx x x x x f x求)(lim ),(lim 00x f x f x x +-®®,并问)(x f 在0=x 处是否连续；处是否连续；e 1xe 1e 11=--xxe 1e 1e 1111=-=---++xx xxe 1e 11+-=xx 的跳跃间断点．的跳跃间断点． xx 2sin )1ln(lim0+；212lim 2sin )1ln(lim00=+x x x x ．。
高等数学第二章极限与连续
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注：数列极限的定义没有给出求极限的方法，但可
利用定义证明数列的极限
lim
n
an
A
例1、证明 lim n
0,N 0,当n (1)n1
1.
N时,有 an
A
.
n
证明：任给
0,
n 要使
n
(1)n1
1
1
，
n
n
只要n 1 ,
取N
[1],
则当n N时,
有 n (1)n1 1 , 故 lim n (1)n1 1.
A B 0， A B. 故唯一性得证.
(设 A B 0，取 A B 0，
4
A B 2 A B A B 矛盾，故 A B 0.)
4
2
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定理2[有界性]：收敛数列必有界.
lim
n
an
A,
lim
n
an
B,
则
0,
N1 0，当n N1时, 有 an A .
N2 0，当n N2时, 有 an B .
取N maxN1 , N2, 则当n N时, 有
an A , an B ,
A B ( A an ) (an B)
an A an B 2 .
二、数列极限
1、极限思想 (1) 割圆术 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
正六边形的面积 S1
正十二边形的面积 S2
R
正6 2n1形的面积 Sn
S1 , S2 , S3 , , Sn ,
S
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(2)截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
高等数学基础第二章
第二章 极限与连续
1.极限的概念 2.极限的运算 3.两个重要极限 4.函数的连续性
第一节 极限的概念
一、数列的极限
首先看下面三个无穷数列 a n
（1）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
…
1 n
…
（2） 0, 12，32，43， ..， .nn1，…
（3）
1,1,1, 1 2 4 8 16
f
(x)
1
2 x
x0 0 x2 x2
在x=0和x=2处的极限是否存在(图2-7为函数图像)。
解 在x=0处左极限
lim f(x)li( m x 1 ) 1
x 0
x 0
右极限 lim f(x)lim 11
x 0
x 0
可见，左、右极限存在且相等，所以，极限 limf x 1 x1
在x=2处左极限
（1）
1 lxi mx
00
（2） limqx 0 q 1 x
（3） limCC （C是任意常数） x
x x0
f x
我们讨论当 x无限趋近于1 时，函数 fx2x1的变化趋势。为此列出表2-2， 并画出函数 fx2x1的图象（如图2-6）。
f(x)2x1 f(x)2x1
f(x)2x1 3
lim (2x1)3
可约去不为零的因子 x2 ，所以
lim x 2 lim x 2 lim 1 1 x 2x 2 4x 2(x 2 )x ( 2 ) x 2x 24
例4 求
3x2 5x lim x x2 1
解 当 x 时，分子、分母都趋向无穷大，这类极限称为 型未定式，
当然商的极限法则不适用，通常需要把式子变形。用分子、分母的
高等数学电子教材 第二章 极限与连续
2-6
lim f (x) (4 ) lim f (x) (5 ) lim f (x) (6 ) lim f (x) (7 ) lim f (x)
x→−∞
x→+∞
x→x 0
x → x0−
x → x0+
lim f ( x ) lim y
x x0
f(x) y
lim
x→x0
x
=
x0
lim C = C( C
)
(2 )
yn
=
1+
(−1)n 2
(4 ) yn = 2n
2
lim
n→∞
yn
=
A
{ yn }
?
?
22
1x
f(x)
x
x
x
x+
x-
x+
|x| +
x
x
f(x)
f(x)
f(x)
f(x) A
1
x
f(x)=
1 x
1 - 20
0
f(x)=
1 x
x
x-
x
x
x
|x|
A
x
x
f(x)=
1 x
0
lim
x →∞
1 x
=
0
f(x)
x0−
x x0+
x x0
x x0
x x0
f(x)
x0
x0 ( x
x0 )
f(x)
x x0
A
x x0
f(x) A
5
x1
f(x)=
x2 −1 x −1
x f(x)
高等数学D 第2章极限与连续
14
2.2 函数极限的思想和定义
一.函数在一点的极限
定义 设函数 y f (x) 在点a的某去心邻域内
有定义. 如果 x 足够接近 a 但不等于a, 使函数
y 的值可以任意地接近数 A ，
则称x a时函数f ( x)有极限A, 记作 lim f ( x) A, 或 f ( x) A( x a).
趋势下, f ( x)有极限, 则极限值必唯一.
定理2 夹逼准则
y
g(x)
如果 g( x) f ( x) h( x), 且
f(x)
lim g( x) A, lim h( x) A, A
xa
xa
则 lim f ( x) A xa
注 当x 时此准则亦成立. o
h(x)
a
x
1 )n, n
现证明数列{xn}单调增加 且有界.
按牛顿二项公式,有
xn
(1
1 )n n
1 n 1!
1 n
n(n 1) 2!
1 n2
n(n 1)(n n!
n 1)
1 nn
11 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1).
即 1 sin x 1 x 1 tan x
2
22
26
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1,
x
上式对于 x 0也成立. 2
limcos x 1, 又lim1 1, 夹逼定理
x0
x0
sin x lim 1
x0 x
2! n
n! n n
高等数学 第二章 极限与连续 2.8 函数的连续性
y y sin 1 x
0
x
x 1 为可去间断点 .
o1
x
(4)
y
x ,
f
(x)
1 2
,
x 1 x 1
显然，lim f (x) 1 f (1) x1
x 1为其可去间断点。
x 1,
(5) y
f
(
x)
0
,
x 1 ,
x0 x0 x0
f (0 0) 1, f (0 0) 1
x 0 为其跳跃间断点。
则称函数 f (x)在 x0 连续. 否则，间断.
注意：函数 在点 x0 连续，必须同时具备下列条件：
(1)
在点 有定义，即
存在；
(2) 极限
存在；
(3)
定义2.14 若 在区间[a, b]上每一点都连续，则称 f (x)在[a, b]上连续，或称它是该区间上的连续函数.
注意：若 若
则称 f (x)在 x a处左连续； 则称 f (x)在 x b处右连续。
f (x) g(x), f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
注意：可推广到有限次四则运算的情况。
推论：多项式函数 f (x) a0xn a1xn1 L an1x an 在
(, ) 连续。
分式函数
p(x)
a0 xn b0 xm
a1xn1 b1xm1
高等数学—第二章
极限与连续
基础课教学部 数学教研室
第八节 函数的连续性
一、函数改变量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点 四、连续函数的运算法则 五、在闭区间上连续函数的性质 六、利用函数连续性求函数极限
高等数学 第二章 极限与连续 2.6 两个重要极限
k 1 k .
解： 原式 k lim x 0
kx 0
例4
求
2 sin x
2 2 x 2
解： 原式 lim 例5 求
x 0
sin lim x 2 x 0 2
1
x 2
2
1 2
1
2
解： 令 t
例11
求 x
lim (
x 2
x
2
2
x 1
)
x
x x x x 解： lim ( 2 ) lim lim x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x
x
x
x
1 1 lim 1 1 x x 1 x 1
x,
OAB 的高为 BD ,
于是有
sin x BD ,
tan x AC ,
C
二、两个重要极限
B
(1)
lim
sin x x
x 0
1
0 0
型
x
o
D
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin x
1 2
tan x
(0 x
2
2
sin x x tan x ,
单调减少
定理2.12
准则Ⅱ
单调有界数列必有极限.
几何解释:
m
x1
x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
C
高等数学西财社版第二章极限与连续
二、无穷大量
有时，无穷大量具有确定的符号：在x的某种变化趋势下，若f(x)恒为正且无限增大，则称f(x) 为正无穷大量，并用+∞表示；若f(x)恒为负且其绝对值无限增大，则称f(x)为负无穷大量， 并用-∞表示．
注意 无穷大量是一个函数，而不是一个很大的数.函数为无穷大量，是函数极限不存在的一种 特殊情况．但为了叙述方便，仍然说成函数的极限是无穷大．任意常数都不是无穷大 量．
二、函数的极限
1.当x→∞时，函数f(x)的极限
观察函数f（x）= 1 可以发现，x无论取正数还是取负数，只要|x|无限增大，函数值就会无限
x
趋近于0，如图2-4所示．
定义5 设函数f(x)当|x|＞a时有定义（a为某个常数）， 如果当x的绝对值无限增大时，相应的函数值f(x)无限趋 近于一个确定的常数A，则称A为当x趋于无穷大时函数 f(x)的极限，记作
二、函数的极限
1.当x→∞时，函数f(x)的极限
定义7 设函数f(x)在（-∞，a）内I有定义（a为某个常数），如果当x无限减小（或x无限增大）
时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋于负无穷大时函数f(x)的极 限，记作
二、函数的极限
2.当x→x0时，函数f(x)的极限
三、无穷小量与无穷大量的关系
定义3 设α(x)与β(x)均为自变量在同一变化趋势下的无穷小．
二、复合函数的极限运算法则
二、复合函数的极限运算法则
二、复合函数的极限运算法则
三、知识拓展
第三节
两个重要极限
问题情境
伴随着汽车普及程度的提高和汽车消费观念的不断成熟，人们对于二手车的接受程度 也在不断地提高，从而带来了二手车市场的蓬勃发展．据中国汽车流通协会统计，2018 年全国二手车累积交易1 382.19万辆，累计同比增长11.46%．预计到2020 年，我国二 手车交易规模将达到2 920万辆，新车与二手车交易规模比例将接近1∶1．但由于影响二 手车价格的因素比较多，因此消费者在对二手车进行估价时往往不知道从何下手．
高等数学 第二章 极限与连续
lim
x x0
f
(x) 的值等于该点的函数值
f
(x0 )
如果
lim
xx
0
f (x)
f (x0 )
（或 lim
xx
0
f (x)
f (x0 )
一、函数极限的概念 二、函数极限的性质
一、函数极限的概念
1）自变量趋于有限值时函数的极限
设函数 f (x) 在点 x0 的去心邻域内有定义，如
果在 x x0 的过程中，对应的函数值 f (x) 无限接
近 于 确 定 的 数 值 A ， 那 么 称 A 是 函 数 f (x) 当
x
x0
时的极限，记作
性质 1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小． 性质 2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小． 推论 1 常数与无穷小的乘积仍是无穷小． 推论 2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小
定理 lim f (x) A的充分必要条件是 f (x) A ， x x0
其中 为当 x x0 时的无穷小．
二、无穷大
性质 1 (极限的唯一性) 如果数列{yn} 有极 限(或收敛),那么它的极限是唯一的.
性质 2 （收敛数列的有界性） 如果数列{yn} 有极限，那么数列{yn} 一定有界．
性质 3（收敛数列的保号性）如果给定数列
{
y
n
}
，且
lim
n
yn
a ，a
0（或 a
0) 那么从某一项
起，都有 yn 0 （或 yn 0 ）．
yn
AB;
(3)
lim xn n yn
lim
n
xn
lim
n
yn
A B
高等数学-极限与连续
Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
第六节 函数的连续性
二、函数的连续
第六节 函数的连续性
第七节 连续函数的性质
一、连续函数的和、差、积、商的连续性 性质1 如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续，那么它们的和 、差、积、商(分母在x0处不等于零)也都在x0处连续.即
第三节 无穷小与无穷大
二、函数极限与无穷小的关系 定理1 在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中，limf(x)=A 的充分必要条件是：f(x)=A+α，其中A为常数，α为无穷小. 注意：在“lim”符号下面不标x→x0或x→∞，表示所述结果 对两者都适用，以后不再说明.
第三节 无穷小与无穷大
第一节 函数极限的运算法则
二、数列极限的运算法则 前面我们介绍了数列极限的定义，并通过观察求出了一些 简单数列的极限.但对于数列极限的计算问题，通常需要用到数 列极限的运算法则.
法则(1)和法则(2)可以推广到有限个具有极限的数列的情形.
第二节 函数的极限
一、当x→x0时函数f(x)的极限 定义1 设函数y=f(x)在x0的某空心邻域内有定义，如果当x 无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，那么A就叫作函 数f(x)当x→x0时的极限，记作
三、无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质： 性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小. 性质2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小. 性质3 有限个无穷小的乘积为无穷小.
第三节 无穷小与无穷大
四、无穷小的比较 定义2 设α与β是同一变化过程中的两个无穷小，即limα=0， limβ=0. (1) 如果limα/β=0，那么称α是比β高阶的无穷小； (2) 如果limα/β=∞，那么称α是比β低阶的无穷小； (3) 如果limα/β=c≠0，那么称α与β是同阶无穷小.特别是当 c=1，即当limα/β=1时，则称α与β是等价无穷小，记作α～β. 由定义可知，当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小，而3x是比x2 低阶的无穷小，3x与2x是同阶无穷小.
高等数学-极限与连续
四、 数列极限的性质
第二章 极限与连续
定理2(极限的唯一性) 数列 不能收敛于两个不同的极限.
数列 有界是指存在 ， 使一切 满足
.
定理 3 ( 收敛数列的有界性 ) 如果数列 收敛， 则该数列一定有界.
如果数列无界， 则其一定发散； 如果数列有界， 则其未必收敛.
数列
有界
，但发散.
34
四、 数列极限的性质
3
一、数列的概念 １. 数列的定义
第二章 极限与连续
数列 :
我们把这无穷多个数排成的序列称为数列，
其中 称为数列的首项， 称为数列的第 n 项， 或称为数列的一般项
(通项). （1） ， ， ，…， ，…;
（2） （3） （4）
， ， ，…， ， ， ，…， ， ， ，…，
，…; ，…; ，…;
4
极限的定义只能用来验证极限， 而不能计算数列的极限， 所以下面给出数 列极限的运算法则.
定理(数列极限的运算法则) 若
，
，则
（1
；(加减法则)
）（2
；(乘法法则)
）（3
；(交换法则)
）（4
；(除法法则)
）
25
三、数列极限的计算
第二章 极限与连续
例3 求下列函数的极限：
（1
（2
）
）
（3
（4
）
）
（5
（6
y y=x+1
1
-1
O
1
x
-1
y=x-1 图2-6
56
二、自变量趋于有限值时的极限 例2 设 解 因为
第二章 极限与连续
求
即有 所以
不存在.
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第二章 极限与连续
教学要求
1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系。
2.熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用。
3.理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。
4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。
教学重点
极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。
教学难点
极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。
教学内容
第一节 数列的极限
一、数列
1.数列的概念；
2.有界数列；
3.单调数列；
4.子列。
二、数列的极限
三、数列极限的性质与运算
1.数列极限的性质；
2.数列极限的运算法则。
第二节 函数的极限
一、函数极限的概念
1.自变量趋于有限值时函数的极限；
2.自变量趋于无穷大时函数的极限。
二、函数极限的性质
第三节 函数极限的运算法则
一、函数极限的运算法则
二、复合函数的极限运算法则
三、两个重要极限
1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ；
2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1
0)1(lim 。
第四节无穷大与无穷小
一、无穷小
二、无穷大
第五节函数的连续性与间断点
一、函数的连续性概念
1.函数的增量；
2.函数的连续性
二、函数的间断点
第六节连续函数的性质
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
四、闭区间商连续函数的性质。