[理学]§61空间解析几何简介

分
教
案 解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
中 山
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
大
学 南
所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
方
学 院
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
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2、平面
微
积
分 教
平面的一般方程为：
案
Ax By Cz D 0
中
山
大
学
南
其中 A，B，C，D 是不全为0的常数
方
学
院
即
A2 B2 C 2 0
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Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
中，使用勾股定
学
南 方
o
y 理知
学
院x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
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M1P x2 x1 ,
微 积
PN y2 y1 ,
分
教 案
NM 2 z2 z1 ,
zR
M1
P
o
M2
Q N
y
x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
当右手的四个手指
中 山 大 学 南 方 学 院
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点o
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
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Ⅲ
微
积 分
yoz面
教
案
Ⅳ
xoy面
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
中
山 大
Ⅶ
x
Ⅵ
学
南
Ⅷ
Ⅴ
方
学
院
空间直角坐标系共有八个卦限
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空间的点 11对应关系 有序数组( x, y, z)
微
积 分
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R,
教 案
坐标面上的点 A, B, C,
O(0,0,0)
z
中
R(0,0, z)
B(0, y, z)
山
大 学
C( x,0, z)
M(x, y, z)
南 方 学
o
y
Q(0, y,0)
院
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
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二、空间两点间的距离
微
积
分 教
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
案
zR
d M1M2 ?
中 山 大
M1
P
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中 山
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
大 学
空间两点间距离公式
南
方 学
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
院
d OM x2 y2 z2 .
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例 1 设 P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为
学 院
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
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三、曲面及其方程
1、曲面方程的概念
微 积
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
分
教 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
案
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
微
积
分
教
案
第六章 多元函数微积分
中 山 大 学 南 方 学 院
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微
§6.1空间解析几何简介
积
分
教
案
一、空间直角坐标系
中
二、空间两点间的距离
山
大
学
南 方
三、曲面及其方程
学
院
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一、空间直角坐标系
微
积 分
三个坐标轴的正方向
教 案
符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
微 积
到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
分
教 案
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
中 山 大
PP2 x2 12 12 x2 2,
学
南 方
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
中
山 大
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
学 南
（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
方 学
那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程，
院 而曲面S 就叫做方程的图形．
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微 积
例 2 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
学
南 方
A x + D =0
平面平行于 yoz 面；
学
院
B y + D =0
平面平行于 zox 面
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例 3 设平面与 x, y, z三轴分别交于P(a,0,0)、
微 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0），
积
分 教
求此平面方程.
案
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
中
a bc
山
大
学 南
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
方
学
院
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3、柱面
微 积
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线 L
分 教
所形成的曲面称为柱面.
案
这条定曲线C
叫柱面的准线
中 山 大
，动直线L 叫 柱面的母线.
学
南
方 观察柱面的形
学 院
成过程:
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特殊情形
微
积 分
• 当 D = 0 时,
Ax+By+Cz=0
平面通过原点;
教 案
• 当 D ≠ 0 时, B y + C z + D = 0
平面平行于 x 轴;
A x+C z+D = 0 平面平行于 y 轴;
中
A x+B y+D = 0 平面平行于 z 轴;
山 大
Cz+D=0
平面平行于 xoy 面;
3、柱面
微 积
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线 L
分 教
所形成的曲面称为柱面.
案
这条定曲线C
叫柱面的准线
中 山 大
，动直线L 叫 柱面的母线.
学
南
方 观察柱面的形
aA D 0,
中 山 大
将三点坐标代入得 bB D 0,
学 南
cC D 0,
方 学 院
AD, BD, C D.
a
b
c
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微 将A D, B D, C D,
积
a
b
c
分
教 代入所设方程得
案
x y z 1 称为平面的截距式方程