高数论文

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多元函数微分学是高等数学中的一个重点，它涉及的内容是微积分学内容在多元函数中的体现，其中有关多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点。

当前，多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果，但是，在一些学术性论文中只是对二元函数的连续性、偏导存在及可微性的个别关系做了具体的说明，因此，想要达到对这方面知识能做到全面的掌握对学生来说仍是一大难题。

本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念及它们之间因果关系. 然后推广到多元函数，由此来总结有关多元函数的连续性、偏导存在及可微性之间的关系，并对二元函数具体的实例详细加以证明，建立它们之间的关系图，这样对有效理解和掌握多远函数微分学知识将起到重要作用。 一、函数连续

一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二

元函数(,)f x y 来说，即使它在某点000(,)p x y 既存在关于x 的偏导数00(,)

x f x y ，又存在

关于y 的偏导数00(,)

y f x y ，(,)f x y 也未必在

000(,)

p x y 连续。甚至，在

000(,)p x y 的某邻域

0()

U p 存在偏导数

(,)

x f x y （或

(,)

y f x y ），而且

(,)

x f x y （或

(,)

y f x y ）在点

000(,)

p x y 连续，也不能保证(,)f x y 在000(,)

p x y 连续.如函数

(,)f x y =21sin ,

00,0x y y y ⎧⎛⎫

+≠⎪ ⎪⎪⎝

⎭⎨⎪

⎪=⎩

关于具体验算步骤不难得出。过，我们却有如下的定理。

定理1 [1]设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有定义，若0(,)

f x y 作

为y 的一元函数在点y=

y 连续，

(,)

x f x y 在

0()

U p 内有界，则(,)f x y 在点

000(,)

p x y 连续。

定理2 [4]设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()

U p 有定义，(,)y f x y 在

0()U p

内

有界，

0(,)

f x y 作为x 的一元函数在点

x x =连续，则(,)f x y 在点000(,)

p x y 连续。

定理1和定理2可推广到更多元的情形中去。

定理 3[5] 设函数

12(,,,)

n f x x x ⋅⋅⋅在点

000

012(,,,)

n p x x x ⋅⋅⋅的某邻域

0()

U p 内有定义，

12(,,)

i x n f x x x ⋅⋅⋅在

0()

U p 有界

{}0111(1,2,),(,,,,)

i i i n i n f x x x x x -+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为

111,,,i i n

x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的n-1元函数在点0000

111(,,,)

i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续，则

12(,,,)

n f x x x ⋅⋅⋅在

点

000

012(,,,)

n p x x x ⋅⋅⋅连续。

二、多元函数的偏导数

我们知道高等数学及数学分析教材中有：////0000(,)(,)

xy yx f x y f x y =此式成立的条件为：

偏导数

//

xy

f 和

//

yx

f 在

00(,)

x y 都连续。

下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件。

定理4 [6]若函数(,)f x y 在0p 00(,)x y 的某邻域内偏导数/x f ，/y f 及//yx f 存在，且

//

yx f 在

p 对y 连续，则偏导数

//

xy

f 在

p 存在，且

////0000(,)(,)

xy yx f x y f x y =

三、多元函数的可微性

考察函数的可微性时，如果知道偏导数连续，则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足，或不易判断。知函数在点

p 可微的必要条件是各个偏导数在

p 处存在.如果

函数(,)z f x y =在0p

处的全增量可表示为：

z=A

x+B

y+()ορ

则常数A 与B 一定为A=

x f (

p ) B=

y f (

P ) 且函数在

P 处可微。[7]

定理5[2] 设n 元函数()z f p =在0p

的某个邻域内有定义，且极限0lim

Z

ρρ→存在，记

为α

(1) 若0α≠，则函数()z f p =在0p

处不可微；

(2) 若α=0，则函数在0p 处可微且00dz p =，其中221()()n x x ρ=+⋅⋅⋅+。

我们以二元函数为例证明。