第十章 重积分 重积分的应用 同济大学编高教出版社《高等数学(第七版)下册》
高等数学课件D104重积分的应用
2
2
F F F x
y
r2a2 2 F y1ADydxdy
z
z
zh(t)2(xh2(t)y2)
Dz[x y (za) ]2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 9h(t)0,
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例3. 计算双曲抛物面
被柱面 AD 1zx2zy2dxdy所截
出的面积 A .
dxdy 解: 曲面在 xOy 面上投影为V dxdydz则
x2y2z2R2 — 对 x 轴的 静矩
π
r2sin Fz
—对y 静矩
轴的
3 2
得D 的形心坐标: AD 1( xz)2( yz)2dxdy
Dz[xF2y2(za)2] 2 z
xDxdxdy , ( A 为D 的面积) A
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 15h(t)0,
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转动惯量.
dxdy 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占
x Fz
域为 ( x2y2)dxdydz则
Fz
Fz 2 π a5
5
(用球坐标)
y
r(xx0)2(yy0)2(zz0)2
:x 2 y 2 z 2 a 2 ,
3 M4πa3 2 l 2 2 3
Fz 0,
F z
球体的质量
k 1
n
(k ,k , k )vk
k 1
将第
k
块看作质量集中于点
的质点, hz(3z)2dz 09
此质点
dxdy 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如,
ydxdydz
y
高等数学课件10-4重积分应用
d 22 - 12 3 ,
D
所以
y 7 7 . 3 3
因此所求形心是 C(0, 7 ) . 3
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铃
例2 求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心. 力学解法: 设小圆质量为m, 质心(0, 1) , 则大圆质量为4m, 质心(0, 2) , 小圆关于 x 轴的静矩为 m, 大圆关于 x 轴的静矩为 8m, 图形关于 x 轴的静矩为 3my ,
所求面积为
A
D
z 2 z 2 1 + ( ) + ( ) dxdy 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy x y D
d
2 0
2 0
6
1 2 1 + 4r rdr 2 [ (1 + 4r ) ] 8 3
2
3 2 2 2 0
(17 17 - 1)
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x - x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y - y0 )
法线方程 x - x0 y - y0 z - z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
D D
Mx , y M (x, y)d
y(x, y)d
D
(x, y)d
D
.
分析: •P点对y轴的静矩为dMyx(x, y)d. 在点P(x, y)处取一直径很小的小薄 片, 其面积(面积元素)为d, 其质量认为 •薄片对y轴的静矩为 M y x (x, y)d . 集中于点P, 其值近似为(x, y)d. D
(同济大学)高等数学课件D9_4重积分的应用
π
a 3 r dr 0
1 2 半圆薄片的质量 M = π a 2 1 = M a2 4
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8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 例8. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球 所占域为 则
l
z
∫∫∫
(x + y )ρ dxdydz (用球坐标)
h
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dz∫∫ d x d y = ∫
0 Dz
机动
hπ
0
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9
z(3 z)2dz
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9 1 2 V = h ( 2h + h ) 9 2 4
3
π
z
∫∫∫ zdxdydz
o
3 1 2 = h (3 h + h ) 9 2 5 60 30h + 4h2 ∴ z =h 2 90 40h + 5h
4
C2 D
o
x
4sinθ 2 1 π 56 π 4 r d r = ∫ sin θ dθ = ∫ sinθ dθ ∫ 2sinθ 3π 0 9π 0
56 π 2 4 56 3 1 π 7 = 2∫ sin θ dθ = 2 = 0 9π 9π 4 2 2 3
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一,立体体积
曲顶柱体 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为
V = ∫∫ f (x, y)dxdy
D
占有空间有界域 的立体的体积为 空间有界域
V = ∫∫∫ dxdydz
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高等数学课件D10_4重积分的应用
3 4πa2
Fz
Dr2rdrd
z
Fz
Fz
Fz
Dz[x2y2(za)2] 2 方法2 利用直角坐标方程. (略)
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 h(t)0,
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dxdy 三、物体的质心
设空间有n个质点, 分别位于 D 1x2y2dxdy其质量分别
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 h(t)0,
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Fz
Fz
d 56 2 (x2y2a2)32 9 π
3 A 1( x y)( x z)dydz 2 2
cos 1 1fx2x2y y2(za)2] 2 (称为面积元素)
4sinr2dr
2sin
d
n(x2y2a2)32
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 h(t)0,
—— 用微元分析法 (元素法)建立积分式
3 3.解题要点: 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
Dz[x2y2(za)2] 2 定出积分限、计算要简便 0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 h(t)0, 目录 上页 下页 返回 结束
dxdy 一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 V 9h3(9 22h1 4h2)x2y2R2,
Fz
2 2 z 3
V dxdydz
Dz[x y (za)2]2 Fz
y
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 h(t)0,
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例4. 计算半径为 a 的球的表面积.
解: 方法1 利用球坐标方程.
y
Fz
齐民友高数下册上课第10章01重积分概念(1)
第10章 重积分（考点）本章讨论重积分，即在平面区域上的二元函数和空间区域上的三元函数的积分，分别称之为二重积分，三重积分．这章必需上册定积分的知识和定积分的计算。
请同学们务必认真复习。
加一个作业：默写求积分基本及全部法则公式。
第1节 重积分的概念和性质1.1 重积分的概念 1 实例背景【例1.1】 求曲顶柱体的体积．设D 为xOy 平面内的有界闭区域。
以D 的边界曲线D ¶为准线，母线平行于z 轴的柱面与平面0z =及曲面(,)z f x y =（(,)0f x y ³，且在D 上连续）围得的空间立体，称此立体为曲顶柱体．求此柱体的体积V ．解 我们用如下4步计算体积V ．(1) 分割：用一组曲线网将区域D 分割成n 个小区域：12,,,ns s s D D D L （同时i s D 也表示第i 个小区域i s D 的面积）（图1.2）．设i s D 为底的小的曲顶柱体i v D 体积为i v D ，则1ni i V v ==D å（i v D 是无法算得的）． (2) 近似：在(,)i i i x h s "蜠，把i v D 近似看作固定高(,)i i f x h 的柱体，则(,)i i i i v f x h s D 籇，(1,2,,)i n =L ．（图1.1） (3) 求和：11(,)nni i i i i i V v f x h s ===D 籇邋．(4) 求极限：记i s D 上两点间最大距离为i l ，令{}1max ,,n l l l =L 。
当0l ®时（此时每个0i l ®），1(,)ni i i i f x h s =D å与V 的误差趋于零。
所以，曲顶柱体的体积01lim (,)ni i i i V f l x h s ®==D å．y),i i ηξ图1.1 图1.2 【例1.2】 求非匀质平面薄板的质量．设xOy 面上有界闭区域D 是一块薄板，其面密度函数为(,)f x y （(,)0f x y ³且在D 上连续）．求此薄板的质量M 。
(完整版)同济大学高数第10章重积分
多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分.它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分.本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用.27610.1 二重积分的概念及性质10.1.1 二重积分的概念实例1 设函数),(y x f z =在有界闭区域D 上连续，且0),(≥y x f ．以函数),(y x f z =所表示的曲面为顶，以区域D 为底，且以区域D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示．求该曲顶柱体的体积V ．图10.1.1 图10.1.2 对于平顶柱体,它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面,当点),(y x 在D 上变动时,其高度),(y x f z =是一个变量,因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下第一步(分割).用一组曲线网将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆,2σ∆,…i σ∆,…n σ∆，其中记号i σ∆ (i = 1，2，…，n )也用来表示第i 个小区域的面积．分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体1V ∆，2V ∆…，i V ∆…，n V ∆，其中记号i V ∆(i = 1，2，…，n )也用来表示第i个小曲顶柱体的体积．第二步(近似)．因为),(y x f 在区域D 上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体(如图10.1.2)．分别在每个小区域i σ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i σ∆为底的小平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(作为第i 个小曲顶柱体体积i V ∆的近似值，即),,2,1(),(n i f V i i i i Λ=∆≈∆σηξ．第三步(求和)．这n 个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V 的近似值，即i i ni i n i i f V V σηξ∆≈∆=∑∑==),(11．第四步(取极限)．对区域D 分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值0→λ(有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值)时，若上述和式的极限存在，则该极限值就是曲顶柱体的体积V ，即有i i ni i f V σηξλ∆=∑=→),(lim 10． 实例 2 设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在xOy 平面上占有有界闭区域D ，此薄片在点D y x ∈),(处的面密度为),(y x ρ，且),(y x ρ在D 上连续．求该薄片的质量M ．如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积．现在薄片的面密度随着点),(y x 的位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量．用一组曲线网将区域D 任意分成n 个小块1σ∆，2σ∆…，n σ∆；由于),(y x ρ在D 上连续，只要每个小块i σ∆ (i = 1，2，…， n )的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片．在i σ∆上任取一点),(i i ηξ，用点),(i i ηξ 图10.1.3处的面密度),(i i ηξρ近似代替区域i σ∆上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片i σ∆的质量的近似值),(i i i M ηξρ≈∆i σ∆),,2,1(n i Λ=；整个薄片质量的近似值为i i ni i M σηξρ∆∑≈=),(1．将薄片无限细分，当所有小区域i σ∆的最大直径0→λ时，若上述和式的极限存在，这个极限值就是所求平面薄片的质量，即 i ni i i M σηξρλ∆∑==→),(lim 10． 尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限．在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念．根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积V 是其曲顶函数),(y x f 在底面区域D 上的二重积分，即⎰⎰=Dy x f V σd ),(；例10.1.2中平面薄片的质量M 是其面密度函数),(y x ρ在其所占闭区域D 上的二重积分，即⎰⎰=Dy x M σρd ),(．关于二重积分的几点说明．(1) 如果函数),(y x f 在区域D 上的二重积分存在，则称函数),(y x f 在D 上可积．如果函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上可积．(2) 当),(y x f 在有界闭区域D 上可积时，积分值与区域D 的分法及点),(i i ηξ的取法无关．(3) 二重积分只与被积函数),(y x f 和积分区域D 有关．二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(的几何意义．(1) 若在闭区域D 上0),(≥y x f ，二重积分表示曲顶柱体的体积；(2) 若在闭区域D 上0),(≤y x f ，二重积分表示曲顶柱体体积的负值；(3) 若在闭区域D 上),(y x f 有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和．10.1.2 二重积分的性质二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去．280例10.1.1比较⎰⎰+D y x σd )(与⎰⎰+Dy x σd )(3的大小，其中D 是由直线0,0==y x 及1=+y x 所围成的闭区域．解 由于对任意的D y x ∈),(，有1≤+y x ，故有y x y x +≤+3)（，因此≥+⎰⎰D y x σd )(⎰⎰+Dy x σd )(3． 例10.1.2 估计⎰⎰++Dy x σd )1(的值，其中D 为矩形区域，10≤≤x ，20≤≤y ．解 被积函数在区域D 上的最大值与最小值分别为4和1，D 的面积为2，于是⎰⎰≤++≤Dy x 8d )1(2σ．习题10.11．使用二重积分的几何意义说明12231()d D I x y σ=+⎰⎰与22232()d D I x y σ=+⎰⎰的之间关系，其中D 1是矩形域-1 ≤ x ≤ 1，-1 ≤ y ≤ 1，D 2是矩形域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1．2. 比较下列积分的大小.(1)σd y x D ⎰⎰+=I 21)(与σd y x D⎰⎰+=I 32)(，其中D 由x 轴、y 轴及直线1=+y x 所围成；(2) σd y x D ⎰⎰+=I )ln(1与()[]σd y x D ⎰⎰+=I 22ln ，其中{}10,53),(≤≤≤≤=y x y x D .3．估计下列积分值的大小．(1) σd y x xy D⎰⎰+=I 4)(，其中D ：0 ≤ x ≤ 2， 0 ≤ y ≤ 2； (2) σd y x D ⎰⎰++=I )94(22，其中D ：422≤+y x ．4．一薄片(不考虑其厚度)位于xOy 平面上，占有区域D ，薄片上分布有面密度为u = u (x ，y )的电荷，且u (x ，y )在D 上连续，使用二重积分表示薄片的全部电荷Q ．10.2 二重积分的计算28210.2.1 直角坐标系下二重积分的计算我们知道，如果函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在区域D 上的二重积分存在，且它的值与区域D 的分法和各小区域i σ∆ ),,2,1(n i Λ=上点),(i i ηξ的选取无关，故可采用一种便于计算的划分方式，即在直角坐标系下用两族平行于坐标轴的直线将区域D 分割成若干个小区域. 则除去靠区域D边界的不规则的小区域外，其余的小区域全部是小矩形区域． 图10.2.1设小矩形区域σ∆的边长分别为x ∆和y ∆(如图10.2.1)，则小矩形区域的面积为y x ∆∆=∆σ．因此，在直角坐标系下，可以把面积元素记为y x d d d =σ．则在直角坐标系下，二重积分可表示成下面我们将利用平行截面法来求曲顶柱体的体积，以获得利用直角坐标系计算二重积分的方法．设曲顶柱体的顶是曲面),(y x f z =(0),(≥y x f )，底是xOy 平面上的闭区域D (如图10.2.2)，即区域D 可用不等式组表示为{})()(,),(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤=，其中函数),(y x f z = 在区域D 上连续，函数)()(21x y x y 与在区间[a ，b ]上连续，该区域的特点是：穿过区域D 内部且垂直于x 轴的直线与D 的边界的交点不多于两点．图10.2.2用过区间[a ，b ]上任意一点x 且垂直于x 轴的平面去截曲顶柱体，所得到的截面是一个以)](),([21x y x y 为底，以),(y x f z =为曲边的曲边梯形(如图10.2.3)，其面积为⎰=)( )( 21d ),()(x y x y y y x f x A ．再利用平行截面面积为已知的立体的体积公式，便得到曲顶柱体的体积为x y y x f x x A V b a b a x y x y d ]d ),([d )( )( )( 21⎰⎰⎰==． 图10.2.3根据二重积分的几何意义可知，这个体积也就是所求二重积分的值，从而有上式右端称为先对y 后对x 的二次积分．由此看到，二重积分的计算可化成计算两次单积分来进行，这种方法称为累次积分法．对y 积分时，把x 看作常数，把),(y x f 只看作y 的函数，并对y 从)(1x y 到)(2x y 进行定积分；然后把算得的结果(关于x 的函数)再对x 在区间[a ，b ]上进行定积分．在上述过程中，我们假定0),(≥y x f ，但实际上公式并不受此条件的限制．类似地，如果积分区域D 如图10.2.4所示，则区域D 可表示为{}d y c y x x y x y x D ≤≤≤≤=,)()(),(21，其中函数)()(21y x y x 与在区间[c ，d ]上连续，该区域的特点是：穿过区域D 内部且垂直于y轴的直线与D 的边界的交点不多于两点．284图10.2.4这时则有以下公式：上式右端称为先对x 后对y 的二次积分．如果积分区域D 不属于上述两种类型，如图10.2.5所示．即平行于x 轴或y 轴的直线与D 的边界的交点多于两点，这时可以用平行于x轴或平行于y 轴的直线把D 分成若干个小区域，使每个小区域都属于上述类型之一，则可利用性质3，将D 上的积分化成每个小区域上积分的和．图10.2.5 图10.2.6 例10.2.1 计算⎰⎰=Dy x xy I d d 2，其中区域D ：10≤≤x ，12y ≤≤．解 作区域D 的图形(如图10.2.6)，这是矩形区域．化成累次积分时，积分上下限均为常数．如果先对y 积分，则把x 看作常数，得y xy x y x xy I D d d d d 1 0 2 1 22⎰⎰⎰⎰==⎰⎰===1 0 10 21367d 37d ]3[x x x y x ． 如果先对x 积分，则有67d 21d ]2[d d d d 2 1 21021222 1122=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y y x y x xy y y x xy I D．例10.2.2 计算⎰⎰Dy x xy d d 22，其中D 由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成．解 画D 的图形(如图10.2.7 a )．解方程组⎩⎨⎧-==22x y xy ，得交点坐标为(1, -1)，(4, 2)．图10.2.7 a 图10.2.7 b若选择先对x 积分，这时D 可表示为{}21,2),(2≤≤-+≤≤=y y x y y x D ，从而y y y y y y x y x xy y y x xy y yy y Dd )44(d ][d 2d d d 22162342221221 2 2222⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--+-++=== 35615]7345[217345=-++=-y y y y ．若先对y 积分后对x 积分，由于下方边界曲线在区间[0，1]与[1，4]上的表达式不一致，这时就必须用直线1=x 将区域D 分成1D 和2D 两部分(如图10.2.7 b )．则1D 和2D 可分别表示为{}10,),(1≤≤≤≤-=x x y x y x D ， {}41,2),(2≤≤≤≤-=x x y x y x D ，由此得286⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=+=xx xxD D Dy xy x y xy x y x xy y x xy y x xy 224 11 02222d 2d d 2d d d 2d d 2d d 221．显然，计算起来要比先对x 后对y 积分麻烦，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键．选择积分次序与积分区域的形状及被积函数的特点有关．例10.2.3 求由两个圆柱面222R y x =+和222R z x =+相交所形成的立体的体积． 解 根据对称性，所求体积V 是图10.2.8 a 所画出的第一卦限中体积的8倍．第一卦限的立体为一曲顶柱体，它以圆柱面22x R z -=为顶，底为xOy 面上的四分之一圆(如图10.2.8 b )，用不等式组表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-≤≤=R x x R y y x D 0,0),(22，所求体积为y x R x y x x R V Rx R Dd d 8d d 8 0222222⎰⎰⎰⎰--=-=32 02 0022316d )(8d ][822R x x R x y x R RRx R=-=-=⎰⎰-．图10.2.8 a 图10.2.8 b以上我们采用的是先对y 后对x 的积分次序，如果先对x 后对y 积分，则有x x R y y x x R V Rx R Dd d 8d d 8 0222222⎰⎰⎰⎰--=-=．虽然也能得到相同的结果，但计算要复杂的多．例10.2.4 计算二重积分x xxy yyd sin d 1 0⎰⎰． 解 积分区域D 如图10.2.9所示，直接计算显然不行，因为x xxd sin ⎰不能表示为初等函数．但被积函数与y 无关，因此我们考虑交换积分次序后再计算．x y xx y x x x x x xy x x x x yyd ][sin d sin d d sin d 221 0 1 0 1 0⎰⎰⎰⎰⎰== ⎰⎰⎰-=-=111d sin d sin d )sin (sin x x x x x x x x x 1sin 1)1sin 1(cos )1cos 1(-=-+-=． 图10.2.910.2.2 极坐标系下二重积分的计算前面讨论了在直角坐标系下计算二重积分的方法．但有些二重积分，其被积函数和积分区域(如圆形、扇形、环形域等)用极坐标系表示时比较简单，这时可考虑利用极坐标计算二重积分．下面介绍在极坐标系下二重积分的计算方法．因为二重积分与积分区域D 的分法无关，所以可用极坐标系下以极点为中心的一族同心圆=r 常数以及从极点发出的一族射线=θ常数来分割区域D ．不失一般性，我们考虑极径由r 变到r r d +和极角由θ变到θθd +所得到的区域(如图10.2.10)．该小区域可近似地看作边长分别为r d 和θd r 的小矩形，于是极坐标下的面积元素θσrdrd d =．再用坐标变换θcos r x =，θsin r y =代替被积函数),(y x f 中的x 和y ，于是得到二重积分在极坐标系下的表达式图10.2.10 图10.2.11实际计算时，与直角坐标情况类似，还是化二重积分为累次积分来进行计算，这里仅介绍先r 后θ的积分次序，积分的上下限则要根据极点与区域D 的位置而定．下面分三种情况说明在极坐标系下，如何化二重积分为累次积分．(1)极点O 在积分区域D 之外(如图10.2.11)．此时区域D 界于射线αθ=和βθ=之间(βα<﴿，这两条射线与D 的边界的交点把区域边界曲线分为内边界曲线)(1θr r =和外边界曲线)(2θr r =两个部分，则{}βθαθθ≤≤≤≤=,)()(),(21r r r y x D ，(2)极点O 在积分区域D 之内(如图10.2.12)．此时极角θ从0变到π2，如果D 的边界曲线方程是)(θr r =，则{}πθθ20,)(0),(≤≤≤≤=r r y x D ，(3)极点O 在积分区域D 的边界上(如图10.2.13)此时极角θ从α变到β，设区域D 的边界曲线方程是)(θr r =，则{}βθαθ≤≤≤≤=,)(0),(r r y x D ，图10.2.12 图10.2.13特别地，当1)sin ,cos (=θθr r f 时，σσσ( =⎰⎰Dd 为区域D 的面积），即当βθαθθθ≤≤== ),()(0)(21r r r ，时，即为在定积分应用中用极坐标计算曲边扇形面积的公式．一般情况下，当二重积分的被积函数中自变量以22y x ±，xy ，x y ，y x 等形式出现且积分区域由圆弧与射线组成(如以原点为中心的圆域、扇形域、圆环域，以及过原点而中心在坐标轴上的圆域等)，利用极坐标计算往往更加简便．用极坐标计算二重积分时，需画出积分区域D 的图形，并根据极点与区域D 的位置关系，选用上述公式．例10.2.5 将二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(化为极坐标系下的累次积分，其中D 表示为{}0,2),(22≥≤+=y Rx y x y x D ，解 画出D 的图形(如图10.2.14)，在极坐标系下，D 可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,cos 20),(πθθR r y x D ，于是可得290⎰⎰⎰⎰=2cos 2 0d )sin ,cos (d d ),(πθθθθσR Dr r r r f y x f ．图10.2.14 图10.2.15例10.2.6 计算⎰⎰--Dy xy x d d e 22，其中D 是圆盘222a y x ≤+在第一象限的部分．解 画出D 的图形(如图10.2.15)，在极坐标系下，D 可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,0),(πθθa r r D ，于是可得⎰⎰⎰⎰⎰⎰----==Dar r Dy x r r r r y x 2d ed d d ed d e2222πθθ)e 1(4d ]e 21[22020 a a r ---=-=⎰πθπ．例10.2.7 求由球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+所围且含于柱面内的立体体积．图10.2.16 a 图10.2.16 b解 如图10.2.16 a 所示，由于这个立体关于xOy 面与xOz 面对称，所以只要计算它在第一卦限的部分．这是以球面2224y x a z --=为顶，以曲线22x ax y -=与x 轴所围成的半圆D 为底(如图10.2.16 b )的曲顶柱体，其体积为σd 44222⎰⎰--=Dy x a V ．在极坐标下，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,cos 20),(πθθθa r r D ，于是得到 θθθππθd )4(34d 4d 4cos 2 0223222cos 2 022a a r a r r a r V ⎰⎰⎰--=-=)43(916d )sin 1(3323233-=-=⎰πθθπa a ． 习题10.21.画出积分区域并计算下列二重积分． (1)(1)d d Dx y x y --⎰⎰，:0, 0,1D x y x y ≥≥+≤；(2) 22(),D xy d σ+⎰⎰其中D 是矩形闭区域：||1,||1;x y ≤≤；(3)cos(),Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域.；(4)e d d xy Dy x y ⎰⎰，1:2, 12D y x x≤≤≤≤．2.将二重积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰化为二次积分，其中积分区域D 是:(1) 以(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域； (2) 由直线2,==x x y 及双曲线)0(1>=x xy 所围成的区域．3.交换下列二次积分的积分次序．(1)112 0 d (,)d xx x f x y y -⎰⎰； (2) 0d (,)d aa x f x y y -⎰⎰；(3)dx y x f dyeey⎰⎰10),(； (4) 1 22 0 0 1 0d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰．2924.画出下列积分区域，并把二重积分⎰⎰Dy x y x f d d ),(化成极坐标系下的二次积分．(1) D ：)0(2222b a b y x a <<≤+≤； (2) D ：x y x 222≤+.5.将积分 22 0 0d ()d Rx f x y y +⎰⎰化成极坐标形式．6.利用极坐标计算下列积分． (1)(632)d d Dx y x y --⎰⎰，D ：222R y x ≤+；(2)d Dx y ⎰⎰，D ：22224ππ≤+≤y x ；(3)D，D ：122≤+y x ．7.选择适当的坐标系计算下列积分．(1)2d d Dy x y ⎰⎰，D 由, , 0, cos 4x x y y x ππ====所围成；(2)22ln(1)d d Dx y x y ++⎰⎰；D ：222x y R +≤，0, 0x y ≥≥；(3)22d d Dx yx y x y ++⎰⎰，D ：122≤+y x ，1≥+y x ． 8.求圆锥面221y x z +-=与平面z = x ，x = 0所围成的立体体积．9. 求由平面0=x ，0=y ，1=z ，1=+y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.10.3 三重积分10.3.1 三重积分的概念将二重积分的概念推广，就得到三重积分的概念.在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，那么除了包含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域i v ∆为长方体. 设长方体小闭区域i v ∆的边长为j x ∆、k y ∆、l z ∆,则l k j i z y x v ∆∆∆=∆.因此在直角坐标系中,有时也把体积微元dv 记作dxdydz ,而把三重积分记作⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积微元.当函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上连续时，(10.3.1)式右端的和的极限必定存在，也就是函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上的三重积分必定存在. 以后我们总假定函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上是连续的.关于二重积分的一些术语，例如，被积函数、积分区域等，也可相应地用294到三重积分上. 三重积分的性质也与二重积分的性质类似，这里不再重复了.如果(,,)f x y z 表示某物体在点),,(z y x 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，(,,)f x y z 在Ω上连续，则i ni iiiv f ∆∑=1),,(ζηξ是该物体的质量m 的近似值，这个和当0→λ时的极限就是该物体的质量m ，所以⎰⎰⎰Ω=dv z y x f m ),,(当(,,)1f x y z ≡时，⎰⎰⎰Ωdv 积分值就等于积分区域Ω的体积.10.3.2 在直角坐标系下三重积分的计算 1 先一后二法设函数(,,)f x y z 在空间有界闭区域Ω上连续.设区域Ω在xoy 面上的投影区域为D ,如果平行于z 轴且穿过区域Ω的直线与Ω的边界曲面的交点不超过两个,此区域表示为{}D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(,),(),(),,(21.即过区域Ω在xoy 面上的投影区域D 内任一点),(y x ，做平行于z 轴的直线，穿进Ω的点总在曲面1∑:),(1y x z z =上，穿出Ω的点总在曲面2∑:),(2y x z z =上，且),(),(21y x z y x z ≤（如图10.3.1）.此时三重积分可化为⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z dz z y x f d dv z y x f ),(),(21),,(),,(σ即先对z 积分再计算在D 上的二重积分（先一后二法）.假如闭区域},)()(),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=把这个二重积分化为二次积分,于是得到三重积分的计算公式 即把三重积分化为先对z ,再对y ,最后对x 的三次积分如果平行于x 轴或y 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S 相交不多于两点,也可把闭区域Ω投影到yoz 面上或xoz 面上,这样便可以把三重积分化为按其他顺序的三次积分.因此,在直角坐标系下的三重积分可能有6种不同顺序的三次积分.如果平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与边界曲面S 的交点多于两个,也可像处理二重积分那样,把Ω分成若干部分,使Ω上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和.例10.3.1 计算三重积分⎰⎰⎰Ω=z y x x I d d d ，其中积分区域Ω为平面12=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域.,)296解 积分区域Ω是如图10.3.2所示的四面体， 将Ω投影在xoy 面，投影区域D 为 }10,210),{(≤≤-≤≤=x xy y x D在D 内任取一点),(y x ,过此点作平行于z 轴的直线,该直线通过平面0=z 穿入Ω内,然后通过平面y x z 21--=穿出Ω外,所以,积分区域Ω表示为 ),,{(z y x =Ωy x z 210--≤≤，}10,210≤≤-≤≤x xy . 于是,由公式(10.3.2)得⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω--==Dyx xdz dxdyz y x x I 210d d d⎰⎰⎰---=yx x xdz dydx2102101dy y x xdx x⎰⎰---=2101)21(481)2(411032=+-=⎰dx x x x 例10.3.2 计算三重积分⎰⎰⎰Ωv x d ，其中积分区域Ω为椭圆抛物面222z x y =+及抛物柱面22z x =-所围成的闭区域.解 积分区域Ω如图10.3.3所示,Ω在xoy 坐标面上的投影区域为}1),{(22≤+=y x y x D .积分区域Ω表示为 ),,{(z y x =Ω}),(,22222D y x x z y x ∈-≤≤+于是x⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=22222d x y x Dxdz d v x σ2221212xx y dx xdz --+=⎰⎰1221(1)dx x x y dy -=--⎰0= 图10.3.32 先二后一法有时,我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间区域Ω如图10.3.4所示,则12c z c ≤≤,12(,)z c c ∀∈,过z 点作z 轴的垂面,与区域Ω的截面为z D ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩzDc cd z y x f dz dv z y x f σ),,(),,(21即先计算在z D 上的二重积分,再对z 积分（先二后一法）.例10.3.3 计算三重积分⎰⎰⎰Ωv z d 2,其中Ω是椭球体),,{(z y x =Ω2222221x y z a b c ++≤}. 图10.3.4 解 将Ω投影到z 轴上,则c z c -≤≤,对任意),(c c z -∈,过点),0,0(z 的平面截椭球体得到椭圆域为z D ：2222221x y z a b c+≤-,),(c c z -∈(如图10.3.5),即空间闭区域Ω可表示为{}c z c cz b y a x z y x ≤≤--≤+=Ω,1),,(222222,于是zy22y +2983222221541d abc dz z c z ab dxdy dz z v z zD cc cc ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω但是,若采用“先一后二法” 将Ω投影到xoy 平面上得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D则⎰⎰⎰Ωv z d22a adx dz -=⎰⎰⎰32223222)3a a x y c dx dy a b -=--⎰⎰. 此积分很难完成. 图10.3.5 10.3.3柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算 1 利用柱坐标系计算三重积分.空间直角坐标系中，将xoy 面用极坐标系表示所建立的坐标系就是柱坐标系. 设),,(z y x M 为空间直角坐标系中一点图10.3.6此点在xoy 面上投影点)0,,(y x P 表示成相应的极坐标形式为),(θr ，则M 点的柱坐标为),,(z r θ(如图10.3.6).这里规定r ,θ,z 的变化范围为+∞<≤r 0,02θπ≤≤,+∞<<∞-z在柱坐标系中： 0r r =（常数）,表示以z 轴为中心的圆柱面；θ=0θ（常数）,表示通过z 轴的半平面，此半平面与zox 面的夹角为0θ；z =0z （常数）,表示平行于xoy 坐标面的平面.空间直角坐标与柱坐标的关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z r y r x θθ (10.3.2)现在要把三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(中的变量变换为柱面坐标.为此,用=r 常数，θ=常数，z =常数把Ω分成许多小闭区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外,这种小闭区域都是柱体.考虑由r ,θ,z 各取得微小增量dr ,θd ,dz 所成的柱体的体积(如图10.3.7).这个体积等于高和底面积的乘积.现在高为dz 、底面积在不计高阶无穷小时为θrdrd (即极坐标系中的面积元素),于是得dz rdrd dv θ=，这就是柱面坐标系中的体积元素.300图10.3.7再注意到关系式(10.3.2),就得到三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式(10.3.3).设空间区域Ω在xoy 面上的投影区域}),()(),{(21βθαθϕθϕθ≤≤≤≤=r r D ， 空间区域Ω}),(),,(),(),,{(21D r r z z r z z r ∈≤≤=θθθθ 则柱坐标系下的三重积分化为三次积分为：dz rdrd z r r f θθθ⎰⎰⎰Ω),sin ,cos (⎰⎰⎰=),(),()()(2121),sin ,cos (θθθϕθϕβαθθθr z r z dz z r r f rdrd例10.3.4 计算三重积分⎰⎰⎰Ωv z d ，其中Ω是由圆锥面z =、圆柱面222x y x +=与平面0z =所围成的闭区域.解 积分区域Ω在xoy 平面上的投影区域(如图10.3.8)，20y =}2),{(22x y x y x D ≤+=,并且0z ≤≤图10.3.8于是，}22,cos 20,0),,{(πθπθθ≤≤-≤≤≤≤=Ωr r z z r . 43d 0cos 2022πθθθππ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-ΩΩrzdz rdr d dz drd zr v z . 例10.3.5 计算三重积分⎰⎰⎰Ω++221d d d yx z y x ,其中Ω是由抛物面z y x 422=+及 平面)0(>=h h z 所围成的闭区域.解 在柱坐标系下积分区域Ω表示为 (如图10.3.9)}20,20,),,{(42πθθ≤≤≤≤≤≤=Ωh r h z z r r则⎰⎰⎰Ω++221d d d yx zy x ⎰=πθ20d ⎰+hr rr202d 1⎰hr z 42d]4)41ln()41[(4h h h -++=π.图10.3.92 利用球坐标系计算三重积分除直角坐标系、柱坐标系之外,空间点还可以用球坐标系表示.设),,(z y x M 为空间直角坐标系中一点,此点在xoy 面上投影点为)0,,(y x P ，用r 表示点M 到原点o 的距离,θ表示x 轴正向按逆时针到向量OP 的转角, ϕ表示z 轴正向与向量OM 的夹角,则坐标),,(ϕθr 称为点M 的球坐标(如图10.3.10).这里r ,θ,ϕ的变化范围为0r ≤<+∞,02θπ≤≤,πϕ≤≤0302点M 的球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩(10.3.4)图10.3.10在球坐标系下,r =常数，表示中心在原点的球面；θ=常数,表示过z 轴的半平面；ϕ=常数,表示原点为顶点,z 轴为中心轴的圆锥面.为了把三重积分中的变量从直角坐标系变换为球面坐标,设),,(z y x f 定义在空间有界闭区域Ω上的连续函数，用r =常数,θ=常数,ϕ=常数,分割空间区域Ω,考虑由r ,θ,ϕ各取得微小增量dr ,θd ,ϕd 所成的六面体的体积(如图10.3.11).不计高阶无穷小,可把这个六面体看作长方体,其经线方向的长为ϕrd ,纬线方向的宽为θϕd r sin ,向径方向的高为dr ,于是得ϕθϕd drd r dv sin 2=.这就是球面坐标系中的体积元素.图10.3.11再注意到关系式(10.3.4),就得到三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式(10.3.5).要计算变量变换为球面坐标后的三重积分,可把它化为对r 、对θ及对ϕ的三次积分. 例10.3.6计算三重积分⎰⎰⎰Ω++z d y d x d z y x )(222,其中Ω是由圆锥面22z x y =+与球面2212z x y =--.解 在球坐标系下,圆锥面22z x y =+的方程为4πϕ=,球面2212z x y =--的方程为32=z .如图10.3.12所示，Ω表示为 图10.3.12Ω),,{(θϕr =03r ≤≤02θπ≤≤，04πϕ≤≤}于是⎰⎰⎰Ω++z d y d x d z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=ϕθϕd d r d r r sin 2223r =4πϕ=ϕθϕϕθϕθϕd drd r r r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ= (10.3.5)304⎰=πθ20d ⎰40d sin πϕϕ⎰3204d r r)22(53288-=π. 习题 10.31.化三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(为三次积分，其中积分区域Ω分别是：(1) 由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成的闭区域；(2) 由圆柱面122=+y x 及平面1=z ,0=z ,0=x ,0=y 所围成的位于第一卦限内的闭区域.2.计算三重积分,zdxdydz Ω⎰⎰⎰其中积分区域Ω是由三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.3.利用柱面坐标计算下列积分.(1) ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(222,其中Ω是由圆柱体122=+y x 、0=z 及3=z 所围成的闭区域.(2) ⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x 22,其中Ω是由曲面229z x y =--与0z =所围成的闭区域；(3)⎰⎰⎰Ωdxdydz x 2,其中Ω是由曲面221z x y =+=与0z =所围成的闭区域.4.利用球面坐标计算下列积分.(1) 2,y dxdydz Ω⎰⎰⎰其中积分区域Ω为介于两球面2222x y z a ++=与2222x y z b ++=之间的部分()0a b ≤≤；(2) 22(),x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰其中积分区域Ω是由曲面z与z 所围成的闭区域.5.选用适当的坐标计算下列三次积分.(1) 11310;dx dz -⎰(2) 1;dx ⎰6.一个物体由旋转抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成,已知其任一点处的密度ρ与到z 轴距离成正比,求其质量m .10.4 重积分的应用我们曾用元素法讨论了定积分的应用问题，该方法也可以推广到重积分的应用中． 假设所求量U 对区域D 具有可加性，即当区域D 分成若干小区域时，量U 相应地分成许多部分量，且量U 等于所有部分量之和．在D 内任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x 是σd 上任一点，如果与σd 相应的部分量可以近似地表示为σd ),(y x f 的形式，那么所求量U 就可用二重积分表示为⎰⎰=Dy x f U σd ),(，其中σd ),(y x f 称为所求量U 的元素或微元，记为U d ，即σd ),(d y x f U =．10.4.1 立体体积和平面图形的面积设一立体Ω，它在xOy 面上的投影为有界闭区域D ，上顶与下底分别为连续曲面),(2y x z z =与),(1y x z z =，侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，求此立体的体积V (如图10.4.1)．在区域D 内任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x 是σd 图 10.4.1 上任一点，以σd 的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，截立体得一个小柱形(如图10.4.1)，因为σd 的直径很小，且),(2y x z z =，),(1y x z z =在D 上连续，所以可用高为-=),(2y x z z ),(1y x z z =，底为σd 的小平顶柱体的体积作为小柱形体积的近似值，得体积元素为σd )],(),([d 12y x z y x z V -=将体积元素在D 上积分，即得立体的体积306例10.4.1 求由曲面22y x z +=及222y x z --=所围成的立体的体积．解 如图10.4.2所示，立体的上顶曲面是222y x z --=，下底曲面是22y x z +=，在xOy 面上的投影区域D 的边界曲线方程为122=+y x ，它是上顶曲面和下底曲面的交线在xOy 面上的投影，是从22y x z +=与222y x z --=中消去z 而得出的．利用极坐标，可得σσd )](1[2d ])()2[(222222y x y x y x V DD+-=+---=⎰⎰⎰⎰ππθπ=-⋅⋅=-=⎰⎰10422 010 2]42[22d )1(d 2r r r r r ．图10.4.2 图10.4.3例10.4.2 求曲线θsin 2=r 与直线6πθ=及3πθ=围成平面图形的面积(如图10.4.3)．解 设所求图形的面积为A ，所占区域为D ，则⎰⎰=DA σd ．利用极坐标可将区域D 表示为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤θπθπsin 2036r ，于是⎰⎰⎰⎰⎰===3 6 sin 202sin 2 036 d 21d d d ππθθππθθσr r r A D6d )2cos 1(d sin 23 63 6 2πθθθθππππ=-==⎰⎰．10.4.2 曲面面积假设曲面S 的方程为),(y x f z =，S 在xOy 面上的投影是有界闭区域xy D ，函数),(y x f 在xy D 上具有连续偏导数，求曲面S 的面积A ．在闭区域xy D 内任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x p 是σd 内任一点，则曲面S 上的对应点为)),(,,(y x f y x M ．过点M 作曲面S 的切平面T ，并以小区域σd 的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，它在曲面S 和切平面T 上分别截得小块曲面A ∆和小块切平面A d (如图10.4.4)．显然，A ∆与A d 在xOy 面上的投影都是σd ，因为σd 的直径很小，所以小块曲面的面积就可以用小块切平面的面积近似代替，即有≈∆A A d ，从而A d 为曲面S 的面积元素．图10.4.4 图10.4.5设曲面S 在点M 处的法向量与z 轴正向的夹角为锐角γ，则切平面T 与xOy 面的夹角也为γ (如图10.4.5)，于是cos d d γσ⋅=A ．注意到切平面的法向量为n =}1 ),( ),({，，z y f y x f y x --，所以 ),(),(11cos 22y x f y x f yx++=γ，即得 σγσd ),(),(1cos d d 22y x f y x f A y x ++==， 这就是曲面S 的面积元素，在xy D 上积分得曲面S 的面积为这就是计算曲面面积的公式．308如果曲面S 的方程为),(z y g x =或),(x z h y =，S 在yOz 面或zOx 面上的投影区域分别记为yz D 或zx D ．类似地，可得曲面S 的面积为例10.4.3 求球面22224a z y x =++被圆柱面ax y x 222=+截下部分的面积(如图10.4.6)．图10.4.6解 利用对称性，只需求出球面在第一卦限部分的面积，再4倍即可．在第一卦限，球面方程为2224y x a z --=，投影区域xy D 为半圆形区域:0≥y ， ax y x 222≤+．2224yx a x xz ---=∂∂，2224yx a y yz ---=∂∂，2222242)()(1yx a a yz x z --=∂∂+∂∂+，利用极坐标，得到r r ra a y x yx a a A a D xyd 42d 4d d 4242cos 2 022222⎰⎰⎰⎰-=--=πθθ⎰⎰-=--=22cos 20222d )sin 1(16d ]4[8πθπθθθar a a a)12(162-=πa ．10.4.3 平面薄片的重心由力学知道，由n 个质点构成的质点组的重心坐标为．∑∑====ni ini ii y mmx MM x 11，∑∑====ni ini ii x mmy MM y 11，其中),(i i y x 是第i 个质点的位置坐标，i m 是第i 个质点的质量，M 是n 个质点的总质量，x M 和y M 分别是质点组对x 轴和y 轴的静力矩．设有一平面薄板，它占有xOy 面上的有界闭区域D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x ρ，且),(y x ρ在D 上连续，求薄片的重心坐标(如图10.4.7)．为求薄片的重心坐标，在区域D 上任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x 是σd 上任一点，注意到),(y x ρ在区域D 上连续且σd 的直径很小，可知σd 上的部分质量近似等于σρd ),(y x ，从而得质量元素为d (,)d M x y ρσ=．图10.4.7可将小薄片σd 视为位于点),(y x 处的一个质点，则小薄片对x 轴和y 轴的静力矩分别为σρd ),(d y x y M x =，σρd ),(d y x x M y =．将上述元素在D 上积分，即得⎰⎰=Dy x M σρd ),(，⎰⎰=Dx y x y M σρd ),(，⎰⎰=Dy y x x M σρd ),(．因此平面薄片的重心坐标为特别地，如果薄片是均匀的，则面密度ρ为常数，从而薄片的重心即为薄片占有的平。
高等数学第十章重积分
高等数学第十章重积分1. 引言在高等数学中，积分是一个重要的概念。
在之前的学习中，我们学习了定积分和不定积分的概念和性质。
在本章中，我们将进一步学习一种扩展的积分形式，即重积分。
2. 重积分的引入和定义重积分是一种将函数在二维或更高维空间内的区域上进行积分的方法。
它的引入主要是为了解决在二维平面上对非矩形区域进行积分的问题。
在计算重积分之前，我们首先需要定义积分区域。
对于二维平面上的区域，我们可以使用极坐标或直角坐标来描述。
对于更高维的区域，我们则需要使用其他的坐标系。
一般来说，重积分可以分为两类：累次积分和二重积分。
累次积分是指先对一个变量进行积分，然后再对另一个变量进行积分。
而二重积分则是指在一个积分符号下同时对两个变量进行积分。
对于二重积分，我们可以使用迭代积分和换元积分的方法来计算。
迭代积分是将一个二重积分转化为两个累次积分的过程，而换元积分是利用变量替换的方法来简化计算。
3. 重积分的性质重积分具有一些和定积分相似的性质。
例如，重积分具有线性性质和保号性质。
线性性质指的是对于两个函数的重积分，其和函数的重积分等于两个函数分别取重积分后再相加。
保号性质指的是如果函数在积分区域上恒大于等于0，则函数的重积分也大于等于0。
此外，重积分还具有可加性和可积性。
可加性指的是如果一个积分区域可以被分割为多个不相交的子区域，则重积分可以拆分成多个子区域的重积分之和。
可积性指的是如果一个函数在有界闭区域上连续或只有有限个间断点，那么该函数的重积分存在。
4. 重积分的应用重积分在物理学、经济学和几何学等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，我们可以使用重积分来计算物体的质心、面积、体积等性质。
在经济学中，我们可以使用重积分来计算市场需求曲线和供给曲线之间的面积，从而得到市场的总需求量和总供给量。
在几何学中，重积分可以用来计算平面和空间中的曲线长度、曲面面积和体积。
例如，我们可以使用重积分来计算球体的体积和球冠的体积。
高等数学 第四节 重积分的应用
对 y 轴的转动惯量
I y ( x2 z2 ) ( x , y , z)d xd yd z
Ω
对原点的转动惯量
Iz ( x2 y2 z2 ) ( x , y , z)d xd yd z
Ω
第十章 第四节
16
如果物体是平面薄片，面密度为 ( x , y) ( x , y) D
则转动惯量的表达式是二重积分。
y2
x2
(x2 y2)
第十章 第四节
y
D
o
x
17
例4 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径
的转动惯量。
y
解
建立坐标系如图，D
:
x
2
y2
a2
y0
D
a o a x
I x D y2 d x d y D r3 sin2 d r d
0
sin
2
d
a
0 r
3
d
r
半圆薄片的质量 M 1 a2
2 1 M a2
D1 : x2 y2 ax ( x , y 0) 曲面方程 z a2 x2 y2
于是
1 ( z )2 ( z )2 x y
a a2 x2 y2
A 4
D1
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
4
D1
a dxdy
a2 x2 y2
4a
2 d
a cos
0
0
1
rdr a2 r2
2 a2 4a2
xd xdy
x D A
yd xdy
y D A
第十章 第四节
(A 为 D 的面积)
13
例3 求位于两圆
同济大学(高等数学)_第十章_重积分
D
f (x, y)d
D
n
lim f ( 0i 1
i,
i )Δ
i，
(10-1-1)
其中 D 叫做积分区域， f ( x , y ) 叫做被积函数， dσ叫做面积元素， f (x , y)dσ叫做被积表达
n
式， x 与 y 叫做积分变量，
f ( ξi ,ηi )Δσi 叫做积分和 .
i1
在直角坐标系中，我们常用平行于 x 轴和 y 轴的直线 ( y =常数和 x =常数 )把区域 D 分割成
小矩形，它的边长是 x 和 Δy ，从而 Δσ Δx Δy ，因此在直角坐标系中的面积元素可写成
d dx dy ，二重积分也可记作
n
f (x, y)dxdy lim 0
f ( i, i ) i .
D
i1
有了二重积分的定义， 前面的体积和质量都可以用二重积分来表示
数 z f (x , y ) 在区域 D 上的二重积分
x
2
yd
，D
{ x， y |x 2
y2
D
a2} ；
(2)
a2
x2
y2 d ， D
2
{ x，y | x
2
y
2
a }.
D
3.设 f x , y 为连续函数，求
lim
r0
1 πr 2
D
f ( x, y)d
,
2
2
D { x,y | x x0
y y0
4.根据二重积分性质，估计下列积分的值：
(1) I
4 + xyd ， D { x， y | 0 x 2，0 y 2} ；
性质 2
kf ( x, y)d k f (x, y)d .
同济高等数学第七版下册教材
同济高等数学第七版下册教材简介同济高等数学第七版下册教材是同济大学数学系编写的一本高等数学教材，是同济大学数学系本科生的必修课教材之一。
该教材是根据《国家教育部高等学校数学教学研究会》组织的高等数学教材编写研制工作的要求，经过多次修订和改进而编写而成。
该教材分为上、下两册，下册主要涵盖了微分方程、多元函数微分学、多重积分、曲线与曲面积分、数列与数学归纳法等内容。
下册教材着重介绍了高等数学的进一步深化和扩展的内容，为学生提供了更加广阔的数学知识和实践应用的基础。
作为一本高等数学教材，该教材具有以下特点： - 系统性强：教材内容安排精心，层次分明，逻辑清晰，涵盖了高等数学的各个方面。
- 理论与实践结合：教材注重理论与实践相结合，通过大量的例题和习题，帮助学生加深对数学理论的理解和应用。
- 扩展性强：教材中涵盖的内容较为全面，为学生提供了扩展学习和深入研究的基础。
主要内容下册教材主要包括以下内容：第一章微分方程• 1.1 常微分方程的基本概念• 1.2 一阶常微分方程的解法• 1.3 可降阶的高阶常微分方程• 1.4 线性常微分方程• 1.5 可降次的线性常微分方程• 1.6 高阶线性常微分方程的解法第二章多元函数微分学• 2.1 多元函数的概念• 2.2 多元函数的极限• 2.3 偏导数• 2.4 多元函数的微分• 2.5 隐函数与多元函数的全微分• 2.6 多元函数的积分第三章多重积分• 3.1 二重积分的概念与性质• 3.2 二重积分的计算方法• 3.3 三重积分的概念与性质• 3.4 三重积分的计算方法• 3.5 重积分的应用第四章曲线与曲面积分• 4.1 曲线积分• 4.2 曲面积分• 4.3 广义积分• 4.4 场论初步第五章数列与数学归纳法• 5.1 数列的定义与性质• 5.2 数列极限• 5.3 无穷级数与数项级数• 5.4 收敛级数的性质• 5.5 函数项级数优点与不足优点•教材内容系统全面，层次分明，逻辑性强，适合学生系统学习高等数学。
第十章-重积分的应用
第十章-重积分的应用第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。
尤其是在几何和物理两方面。
几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。
物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。
在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。
通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。
2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。
3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。
一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。
如图： y 1=xy （2，2）)21,2(O 1 2 x[错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S yDσ[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。
问题在于区域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。
[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y Ddx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。
[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。
高等数学下册(第10章)重积分及其应用教案
.
性质7（二重积分中值定理）设在闭区域上连续, 是的面积, 则在上至少存在一点, 使.
性质8（对称性质）设闭区域 关于 轴对.
（1）若被积函数关于变量为奇函数, 即, 则.
（2）若当被积函数关于变量为偶函数, 即时, 则.
性质9（轮换对称性）设闭区域关于轴对称,则.
注 （1）曲顶柱体的体积是函数在上的二重积分, 即＝.
（2）平面薄片的质量是面密度在薄片所占平面区域上的二重积分, 即.
（3）如果在闭区域上连续, 则在闭区域上的二重积分必定存在.
（4）若有界函数在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续, 则在上可积.
（5）二重积分的几何意义: 当时, 就是曲顶柱体体积; 当时, 柱体在面的下方, 此时二重积分是曲顶柱体体积的相反数; 如果在的若干部分是正的, 而在其他部分都是负的, 则我们可以把面上方的曲顶柱体体积取成正, 面下方的曲顶柱体体积取成负, 则在上的二重积分就等于这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和.
-型区域的特点是:在区域内, 任意平行于轴的直线与的边界至多有两个交点, 且左右边界的曲线方程是的函数.如果一个区域既是-型区域又是-型区域, 称为简单区域.
3.混合型区域 若有界闭区域, 它既不是-型区域又不是-型区域, 则称之为混合型区域.
其特点是:在区域内,存在平行于轴和轴的直线与的边界交点多于两个.
;
(3) 在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )为的变化范围, 即
.
(4) 将三重积分写成关于变量 的三次积分
.
一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或者扇形区域,被积函数含有或()时, 用柱面坐标计算比较简单.
高等数学下册第十章 重积分
sin x dxd y
π sin x dx
x
dy
Dx
0x
0
π
0 sin x dx
y yx
D xπ
o
πx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx
2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
y y 2(x) D
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
x o a y 1(x)b x
则
f (x, y) dx d y
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
D
即先对y后对x积分
y d
x 2(y)
(2)
若D为Y -型区域
D
:
1(
y) c
x y
2 ( y)
d
y
x 1(y)
例 计算二重积分
exyds 其中D {(x, y) x y 1}
D
答案为 e e1
-1
1
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
D2
为D 的面积, 则
1d d
D
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)复习笔记及课后习题和考研真题详解-第十章(圣才出品)
（1）若曲面 S 由方程 z＝f（x，y）给出，D 为积分区域，且函数 f（x，y）在 D 上具
有连续偏导数 fx（x，y）和 fy（x，y），则曲面 S 的面积公式为
A
D
1
z x
2
z y
D
顶柱体的体积；
②当 f（x，y）＜0 时， f x, y d 的绝对值等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，y）
D
为顶的曲顶柱体的体积；
③当 f（x，y）在 D 上有正有负时， f x, y d 等于 xOy 面上方的柱体体积减去 xOy
D
面下方的柱体体积所得之差。
2．二重积分的性质
（1）设α与β为常数，则
sin
z z
其中ρ（0≤ρ＜＋∞），表示以 z 轴为轴的圆柱面；θ（0≤θ≤2π），表示为过 z 轴的半
平面；z（－∞＜z＜＋∞），表示为与 xOy 面平行的平面，则柱面坐标形式的三重积分为
f x, y, z dxdydz F cos , sin , z dd dz
（3）利用球面坐标计算三频学习平台
第 10 章 重积分
10.1 复习笔记
一、二重积分的概念与性质
1．二重积分的概念
（1）定义
n
D
f x, y d
lim 0 i1
f i ,i i
（2）几何意义
①当 f（x，y）≥0 时， f x, y d 等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，y）为顶的曲
Dxy＝{（x，y）|y1（x）≤y≤y2（x），a≤x≤b}，则
f x, y, zdv
b
dx
y2 x dy
z2x,y f x, y, z dz
a
y1 x