剪力弯矩方程
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工 程 力 学 第 5 章 弯Leabharlann Baidu曲 内 力
FA=Fb/l, FB=Fa/l
FA A
F a xC F x l
b
FB B x
4. CB 段剪力和弯矩方程
FA − F − FS ( x) = 0
Fa ∴ FS ( x) = − FB = − l
(a < x < l )
(a < x < l )
FA A
FS(x) M(x) x Fb/l
M ( x) − FA x = 0
（0 ≤ x < a)
（0 ≤ x < a)
（0 ≤ x < a )
FA A x
FS(x) M(x) Fb/l
+
x
FS
Fb ∴ M ( x) = FA x = x l
（0 ≤ x < a )
Fab/l M
+
x
3. AC 段剪力图和弯矩图
版权所有 钟艳玲 张强
x
例 2 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
受集中力作用的 梁的剪力和弯矩图： （a） 剪力图为平直线， 弯矩图为一次曲线；
F a xC F x Fb/l
+
b l FS(x)
FB B x
A
FA A
（b） 在集中力作用位置， 剪力发生突变， 突变量等于该集中力的值； FS 弯矩连续。
M(x) x
-
x Fa/l
Fab/l M
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+
x
例 3 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
FA A
M0
a xC l FS(x) x
+
b
FB B x
FA=M0/l, FB=M0/l 2. AC 段剪力和弯矩方程
FA − FS ( x) = 0 M0 ∴ FS ( x) = FA = l
M ( x) − FA x = 0 M0 ∴ M ( x) = FA x = x l
(0 < x < a ) (0 < x < a )
FA A
M(x) M0/l
x
(0 < x < a ) FS (0 < x < a )
x M0a/l M
+
3. AC 段剪力图和弯矩图
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x
例 3 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
x M0a/l
+ -
x
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M0b/l
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
受集中力偶作用的梁的剪力和弯矩图： （a）剪力图为直线，弯矩图为一次曲线； （b）在集中力偶作用位置，弯矩发生突变，突 变量等于该集中力偶的值；剪力连续。
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例 4 如图所示悬臂梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 剪力和弯矩方程
例 1 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力 FA=FB=ql/2
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
FA A x
q l FS(x) M(x)
FB B x
2. 剪力和弯矩方程
FA − FS ( x) − qx = 0
ql ∴ FS ( x) = − qx 2
（0 ≤ x < l )
-
ql2/8 M
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x ql/2 x
+
例 2 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
FA A
F a x C l
b
FB B x
FA=Fb/l, FB=Fa/l 2. AC 段剪力和弯矩方程
FA − FS ( x) = 0 Fb ∴ FS ( x) = FA = l
x F/2 M F/2 Fa/2 x
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Fa/2
+
x ql/2 x
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例 1 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 FA
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
q x l FS(x) M(x)
FB B x
受均布载荷作用的 梁的剪力和弯矩图： 均布载荷为平直线， 剪力图为斜直线， 弯矩图为二次曲线。
A
FA A
q x ql/2
+
x
FS
3. 按剪力方程与弯矩方程绘制剪力图和弯矩图
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
1 F =− F S1 2 1 F = F S2 2 1 F =− F S3 2
A FA a FS
C F 2a F/2
F D a FB B
1 M =− F 1 x 1 2 1 M2 = Fx2 −Fa 2 1 M3 =− Fx3 +2Fa 2
1 F = F A 4
5 F = F B 4
FA
2. 分段列写剪力与弯矩方程
0< x < 4a: 1
1 F =−F = − F S1 A 4 1 M = −F x = − Fx 1 A 1 1 4 4a < x2 <5a:
A
F =−F +F = F S2 A B
M2 = −F x2 +F (x2 −4a) = Fx2 −5Fa A B
F =−qx M = −1 qx2 S1 1 1 1 2 q
A a FS C
F =−qa S2
MB B a FB
1 M2 = −qax2 + qa2 2
x qa M qa2/2 x
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3qa2/2
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
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例 7 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 F 1 C D 解 1. 支座反力 F = F = F B B A A 2 2. 分段列写剪力与弯矩方程 a F 2a a FA 1 FB 0 < x < a: F =−F =− F FA S1 A 1 2 1 M1 A M =−F x =− Fx 1 A 1 1 2 x1 FS1 1 a < x2 <3a: F =−F + F = F S2 A FA 2 1 C M2 = F(x2 −a) −F x2 = Fx2 −Fa A M2 A 2 F x FS2 3a < x2 < 4a: 2 1 FA F =−F + F −F =− F S3 A F M3 2 C D M3 = −F x3 + F(x3 −a) −F(x3 −3a) A A F 1 x3 FS3 = − Fx3 +2Fa 2
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
q
− FS ( x) − qx = 0
（0 ≤ x < l )
A
x q
B x l FS(x) M(x) x
∴ FS ( x) = −qx
（0 ≤ x < l )
A FS
-
x M ( x) + qx = 0 （0 ≤ x < l ) 2 x q 2 ∴ M ( x) = − qx = − x 2 2 （0 ≤ x < l )
（0 ≤ x < l )
FA A
q x ql/2
+
x
x M ( x) + qx − FA x = 0 （0 ≤ x < l ) 2 q 2 x ql ∴ M ( x) = FA x − qx = x − x 2 2 2 （0 ≤ x < l ) 3. 剪力图和弯矩图
最大弯矩在 FS=0 处
FS
-
ql2/8 M
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
FA A
M0
a x C l
b
FB B x FB
FA=M0/l, FB=M0/l 4. CB 段剪力和弯矩方程
FS ( x) − FB = 0
M0 ∴ FS ( x) = FB = l
(a < x < l )
(a < x < l )
FS(x) A x M(x) M0/l
+
x
M ( x) + FB (l − x) = 0
(a < x < l ) FS
M0 ∴ M ( x) = − FB (l − x) = − (l − x) l M (a < x < l )
5. CB 段剪力图和弯矩图
x M0a/l
+ -
x
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M0b/l
例 3 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 FA
Fa
例 6 如图所示悬臂梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
q A C a
∑F =0:
y
F −qa =0 B
MB B FB
a ⇒ F = qa B 3 3 2 ∑MB =0: qa⋅ 2 a−MB =0 ⇒ MB = 2 qa 2. 分段列写剪力与弯矩方程 q A x1 q A x2 C FS1
2. 剪力图和弯矩图
x
x ql
悬臂梁外载为均布载荷， 剪力图为一次曲线，弯矩图为二次曲线 最大剪力和弯矩均在固定端。
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M
-
x ql2/2
例 5 如图所示外伸梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
A
F B 4a C a FB FA M1 x1 FS1 FA A x2 FB B FS2 M2
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力 M0
受集中力偶作用的 梁的剪力和弯矩图： （a） 剪力图为平直线， 弯矩图为一次曲线；
a x C l
b
FB B x FB
A
FS(x) A x M(x) M0/l
+
x
（b） 在集中力偶作用位置， 弯矩发生突变， F 突变量等于该集中力偶的值； S 剪力连续。 M
M ( x) − FA x + F ( x − a ) = 0
(a < x < l )
FS
Fa Fab ∴ M ( x) = − ( x − a) + l l (a < x < l )
5. CB 段剪力图和弯矩图
+ -
x Fa/l
Fab/l M
+
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x
例 2 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 FA
M1
0 < x < a: F =−qx 1 S1 1 1 2 M = − qx 1 1 2 a < x2 < 2a: F =−qa S2
1 2 M2 = −qax2 + qa 2
M2 FS2
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3. 按剪力方程与弯矩方程绘制剪力图和弯矩图
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
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工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
3. 按剪力方程与弯矩方程绘制剪力图和弯矩图 1 1 F =F M2 = Fx2 −5Fa F =− F M =− Fx S2 S1 1 1 4 4 F A C B FA FS 4a (b) a FB F x F/4 M x
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FA=Fb/l, FB=Fa/l
FA A
F a xC F x l
b
FB B x
4. CB 段剪力和弯矩方程
FA − F − FS ( x) = 0
Fa ∴ FS ( x) = − FB = − l
(a < x < l )
(a < x < l )
FA A
FS(x) M(x) x Fb/l
M ( x) − FA x = 0
（0 ≤ x < a)
（0 ≤ x < a)
（0 ≤ x < a )
FA A x
FS(x) M(x) Fb/l
+
x
FS
Fb ∴ M ( x) = FA x = x l
（0 ≤ x < a )
Fab/l M
+
x
3. AC 段剪力图和弯矩图
版权所有 钟艳玲 张强
x
例 2 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
受集中力作用的 梁的剪力和弯矩图： （a） 剪力图为平直线， 弯矩图为一次曲线；
F a xC F x Fb/l
+
b l FS(x)
FB B x
A
FA A
（b） 在集中力作用位置， 剪力发生突变， 突变量等于该集中力的值； FS 弯矩连续。
M(x) x
-
x Fa/l
Fab/l M
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+
x
例 3 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
FA A
M0
a xC l FS(x) x
+
b
FB B x
FA=M0/l, FB=M0/l 2. AC 段剪力和弯矩方程
FA − FS ( x) = 0 M0 ∴ FS ( x) = FA = l
M ( x) − FA x = 0 M0 ∴ M ( x) = FA x = x l
(0 < x < a ) (0 < x < a )
FA A
M(x) M0/l
x
(0 < x < a ) FS (0 < x < a )
x M0a/l M
+
3. AC 段剪力图和弯矩图
版权所有 钟艳玲 张强
x
例 3 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
x M0a/l
+ -
x
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M0b/l
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
受集中力偶作用的梁的剪力和弯矩图： （a）剪力图为直线，弯矩图为一次曲线； （b）在集中力偶作用位置，弯矩发生突变，突 变量等于该集中力偶的值；剪力连续。
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例 4 如图所示悬臂梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 剪力和弯矩方程
例 1 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力 FA=FB=ql/2
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
FA A x
q l FS(x) M(x)
FB B x
2. 剪力和弯矩方程
FA − FS ( x) − qx = 0
ql ∴ FS ( x) = − qx 2
（0 ≤ x < l )
-
ql2/8 M
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x ql/2 x
+
例 2 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
FA A
F a x C l
b
FB B x
FA=Fb/l, FB=Fa/l 2. AC 段剪力和弯矩方程
FA − FS ( x) = 0 Fb ∴ FS ( x) = FA = l
x F/2 M F/2 Fa/2 x
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Fa/2
+
x ql/2 x
版权所有 钟艳玲 张强
例 1 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 FA
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
q x l FS(x) M(x)
FB B x
受均布载荷作用的 梁的剪力和弯矩图： 均布载荷为平直线， 剪力图为斜直线， 弯矩图为二次曲线。
A
FA A
q x ql/2
+
x
FS
3. 按剪力方程与弯矩方程绘制剪力图和弯矩图
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
1 F =− F S1 2 1 F = F S2 2 1 F =− F S3 2
A FA a FS
C F 2a F/2
F D a FB B
1 M =− F 1 x 1 2 1 M2 = Fx2 −Fa 2 1 M3 =− Fx3 +2Fa 2
1 F = F A 4
5 F = F B 4
FA
2. 分段列写剪力与弯矩方程
0< x < 4a: 1
1 F =−F = − F S1 A 4 1 M = −F x = − Fx 1 A 1 1 4 4a < x2 <5a:
A
F =−F +F = F S2 A B
M2 = −F x2 +F (x2 −4a) = Fx2 −5Fa A B
F =−qx M = −1 qx2 S1 1 1 1 2 q
A a FS C
F =−qa S2
MB B a FB
1 M2 = −qax2 + qa2 2
x qa M qa2/2 x
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3qa2/2
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
版权所有 钟艳玲 张强
例 7 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 F 1 C D 解 1. 支座反力 F = F = F B B A A 2 2. 分段列写剪力与弯矩方程 a F 2a a FA 1 FB 0 < x < a: F =−F =− F FA S1 A 1 2 1 M1 A M =−F x =− Fx 1 A 1 1 2 x1 FS1 1 a < x2 <3a: F =−F + F = F S2 A FA 2 1 C M2 = F(x2 −a) −F x2 = Fx2 −Fa A M2 A 2 F x FS2 3a < x2 < 4a: 2 1 FA F =−F + F −F =− F S3 A F M3 2 C D M3 = −F x3 + F(x3 −a) −F(x3 −3a) A A F 1 x3 FS3 = − Fx3 +2Fa 2
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
q
− FS ( x) − qx = 0
（0 ≤ x < l )
A
x q
B x l FS(x) M(x) x
∴ FS ( x) = −qx
（0 ≤ x < l )
A FS
-
x M ( x) + qx = 0 （0 ≤ x < l ) 2 x q 2 ∴ M ( x) = − qx = − x 2 2 （0 ≤ x < l )
（0 ≤ x < l )
FA A
q x ql/2
+
x
x M ( x) + qx − FA x = 0 （0 ≤ x < l ) 2 q 2 x ql ∴ M ( x) = FA x − qx = x − x 2 2 2 （0 ≤ x < l ) 3. 剪力图和弯矩图
最大弯矩在 FS=0 处
FS
-
ql2/8 M
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
FA A
M0
a x C l
b
FB B x FB
FA=M0/l, FB=M0/l 4. CB 段剪力和弯矩方程
FS ( x) − FB = 0
M0 ∴ FS ( x) = FB = l
(a < x < l )
(a < x < l )
FS(x) A x M(x) M0/l
+
x
M ( x) + FB (l − x) = 0
(a < x < l ) FS
M0 ∴ M ( x) = − FB (l − x) = − (l − x) l M (a < x < l )
5. CB 段剪力图和弯矩图
x M0a/l
+ -
x
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M0b/l
例 3 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 FA
Fa
例 6 如图所示悬臂梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
q A C a
∑F =0:
y
F −qa =0 B
MB B FB
a ⇒ F = qa B 3 3 2 ∑MB =0: qa⋅ 2 a−MB =0 ⇒ MB = 2 qa 2. 分段列写剪力与弯矩方程 q A x1 q A x2 C FS1
2. 剪力图和弯矩图
x
x ql
悬臂梁外载为均布载荷， 剪力图为一次曲线，弯矩图为二次曲线 最大剪力和弯矩均在固定端。
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M
-
x ql2/2
例 5 如图所示外伸梁，作剪力和弯矩图。 解 1. 支座反力
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
A
F B 4a C a FB FA M1 x1 FS1 FA A x2 FB B FS2 M2
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力 M0
受集中力偶作用的 梁的剪力和弯矩图： （a） 剪力图为平直线， 弯矩图为一次曲线；
a x C l
b
FB B x FB
A
FS(x) A x M(x) M0/l
+
x
（b） 在集中力偶作用位置， 弯矩发生突变， F 突变量等于该集中力偶的值； S 剪力连续。 M
M ( x) − FA x + F ( x − a ) = 0
(a < x < l )
FS
Fa Fab ∴ M ( x) = − ( x − a) + l l (a < x < l )
5. CB 段剪力图和弯矩图
+ -
x Fa/l
Fab/l M
+
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x
例 2 如图所示简支梁，作剪力和弯矩图。 FA
M1
0 < x < a: F =−qx 1 S1 1 1 2 M = − qx 1 1 2 a < x2 < 2a: F =−qa S2
1 2 M2 = −qax2 + qa 2
M2 FS2
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3. 按剪力方程与弯矩方程绘制剪力图和弯矩图
工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
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工 程 力 学 第 5 章 弯 曲 内 力
3. 按剪力方程与弯矩方程绘制剪力图和弯矩图 1 1 F =F M2 = Fx2 −5Fa F =− F M =− Fx S2 S1 1 1 4 4 F A C B FA FS 4a (b) a FB F x F/4 M x
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