大学中常用不等式放缩技巧
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大学中常用不等式,放缩技巧
大学中常用不等式,放缩技巧
一:一些重要恒等式
ⅰ:12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ:cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a/2n+1sina
ⅳ: e=2+1/2!+1/3!+…+1/n!+a/(n!n) (0<a<1)
ⅴ:三角中的等式(在大学中很有用)
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式e∏i=-1 (i是虚数,∏是pai)
ⅶ:组合恒等式(你们自己弄吧,我不知怎样用word编)
二重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单,常用)
2:伯努利不等式
(1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)
3:柯西不等式
(∑ai bi)2≤∑ai2∑bi2
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三:常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1:1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1);
2:1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3:n!<【(n+1/2)】n
4:nn+1>(n+1)n n!≥2n-1
5:2!4!…(2n)!>{(n+1)!}n
6:对数不等式(重要)x/(1+x)≤㏑(1+x)≤x
7:(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了(绝对的重点)
9:(1+1/n)n<4
四:一些重要极限
(书上有,但这些重要极限需熟背如流)
假如高等数学是棵树木得话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎,可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先对极限的总结如下
极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致
1 极限分为一般极限,还有个数列极限,(区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种)
2解决极限的方法如下:(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???)1 等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在
)e的X次方-1 或者(1+x)的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记
(x趋近无穷的时候还原成无穷小)
2 LHopital 法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)
首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!
必须是X趋近而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件
(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)
必须是函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死!!)
必须是0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!!
当然还要注意分母不能为0
LHopital 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷时候直接用
2 0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了
3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0)
3泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!!!!)
E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则最大项除分子分母!!!!!!!!!!!
看上去复杂处理很简单!!!!!!!!!!
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候,尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!!!
6夹逼定理(主要对付的是数列极限!)
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)
8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。这两个很重要!!!!!对第一个而言是X趋近0时候的sinx 与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都
有对有对应的形式
(地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)
11 还有个方法,非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!
x的x次方快于x!快于指数函数快于幂数函数快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!!!!!
当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中13假如要算的话四则运算法则也算一种方法,当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法,
就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用证明单调性!!!!!!
16直接使用求导数的定义来求极限,
(一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式,看见了有特别注意)
(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义!!!!)
(从网上发现,谢谢总结者)
大学中常用不等式,放缩技巧
一:一些重要恒等式
ⅰ:12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ:cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a/2n+1sina
ⅳ: e=2+1/2!+1/3!+…+1/n!+a/(n!n) (0<a<1)
ⅴ:三角中的等式(在大学中很有用)
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式e∏i=-1 (i是虚数,∏是pai)
ⅶ:组合恒等式(你们自己弄吧,我不知怎样用word编)
二重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单,常用)
2:伯努利不等式
(1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1) 3:柯西不等式
(∑ai bi)2≤∑ai2∑bi2
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三:常见的放
缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1:1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1);
2:1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3:n!<【(n+1/2)】n
4:nn+1>(n+1)n n!≥2n-1
5:2!4!…(2n)!>{(n+1)!}n
6:对数不等式(重要)x/(1+x)≤㏑(1+x)≤x
7:(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了(绝对的重点)
9:(1+1/n)n<4
四:一些重要极限
(书上有,但这些重要极限需熟背如流)
常用放缩方法技巧
常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一.先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二.先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: (1)用数学归纳法证明: (2),求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、
数列不等式(放缩法)
用放缩法证明不等式的方法与技巧 一.常用公式 1. )1(11)1(12-<<+k k k k k 2. 1 21 12-+<<++k k k k k 3.22 k k ≥()4≥k 4.1232k k ???????≥(2≥k ) 5. ?? ????--≤!!(!k k k 1)11211 6.b a b a +≤+ 二.放缩技巧 所谓放缩的技巧:即欲证A B ≤,欲寻找一个(或多个)中间变量C ,使A C B ≤≤, 由A 到C 叫做“放”,由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 (1)若0,,t a t a a t a >+>-< (2) < > 11> n >= (3)21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- (4 )= <=<= (5)若,,a b m R + ∈,则,a a a a m b b m b b +>< + (6)21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ (7)22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--(因为211(1)n n n < -) (7)1111111112321111 n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111 123222222n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ (8 )1???+>???+== 三.常见题型 (一).先求和再放缩: 1.设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +,求证:1n S < 2.设1n b n = (n N *∈),数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ,求证:34 n T <
常用放缩方法技巧
常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: a a >+12;n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+;2) 1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2 222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论: Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) : 2111(1)(1) k k k k k <<+-(程度大) Ⅲ. 21k 的放缩(2):22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+(程度小) Ⅳ. 2 1k 的放缩(3):221 4112()412121k k k k <=+--+(程度更小) Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现,在高考试题中占有重要地位,在近几年的高考试题中,多个省份都有所考查,甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法,笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时,普遍感到困难,找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩,消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, (Ⅰ)求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析:(Ⅰ)数学归纳法。 (Ⅱ)本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积,可将其放缩为等差型两项之积,通过裂项求和。 (Ⅰ)略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+,. (Ⅱ)11115612 a b =<+.n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??,综上,原不等式成立. 点评: 数列和式不等式中,若数列的通项为分式型,可考虑对其分母进行放缩,构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外,熟悉一些常用的放缩方法, 如: ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=,222121n x x x +++=,求证:n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤+-++++=*n N n a n n a n x f x x x x 给定 求证:)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828 e ≈) 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 数列型不等式放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一 利用重要不等式放缩 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+第一轮复习 放缩法技巧全总结
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)
不等式证明的常用基本方法
数列型不等式放缩技巧
大学中常用不等式 放缩技巧