因数的个数

因数的个数

例：30的因数有多少个？140的因数有多少个？

解答要点：

方法一：可根据一个合数的因数出现的“成对性”，进行从小到大的有序排列。

“成对性”口诀：弟弟牵着哥哥的手，一对一对向中间走；

中间相同就取一个，1和它本身不能丢。

方法二：分解质因数法

将这个合数分解质因数，相同的质因数按指数的形式计，如M＝2a×3b×5c×7d×……。则这个合数的因数个数等于每个质因数的指数加上1再连乘的积。如M的因数个数为（a＋1）×（b＋1）×（c＋1）×（d＋1）×……。

例题解答：

因为30＝21×31×51，所以30的因数个数等于（1＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝8（个）

因为140＝22×51×71，所以30的因数个数等于（2＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝12（个）

拓展练习：

1、写出一个只有6个因数的最小合数。

分析：因为M＝□5或M＝□1×□2，

所以M＝25或M＝21×32或M＝31×22

则M最小为：31×22＝3×4＝12。

2、只有24个因数的最小合数是多少？

分析：M＝□23

＝□11×□1＝□7×□2＝□5×□3

＝□5×□1×□1＝□3×□2×□1

＝□2×□1×□1×□1

则M＝23×32×51＝8×9×5＝360

窍门：在判断是否是最小的合数时，多采用从小质因数开始“试一试”的办法。但在“试一试”的过程中，可利用以下三点规律：（1）指数要尽量用小的；（2）指数大的，它下边的质因数（底数）要尽量小；（3）整个式子不应拉得过长。

3、A、B两个数，都只含有质因数3和5，它们的最大公因数是75。已知A有12个因数，B有10个因数，求A＋B。

分析：因为A、B两个数，都只含有质因数3和5，

所以A＝□5×□1＝□3×□2

B＝□1×□4

又因为它们的最大公因数是75＝31×52，所以A＝□3×□2。

即：A＝33×52＝（31×52）×32＝675

B＝31×54＝（31×52）×52＝1875

故A＋B＝675＋1875＝2550

4、甲、乙两数都只含有两种质因数，甲只有18个因数，乙只有16个因数。已知甲、乙两数的最小公倍数是864，求甲、乙两数的最大公因数是多少？

分析：因为甲、乙两数都只含有两种质因数，所以

甲＝□1×□8＝□2×□5

乙＝□1×□7＝□3×□3

又因为甲、乙两数的最小公倍数是864＝25×33

所以甲＝□2×□5＝32×25

乙＝□3×□3＝33×23

则甲、乙两数的最大公因数为：32×23＝9×8＝72。