华北电力大学 核反应堆物理分析 第4章-均匀反应堆临界理论
第四章：均匀反应堆的临界理论
一、反射层节省
在芯部包有反射层以后，芯部临界大小尺寸的减少量通常可以用
反射层节省 来表示。 对于圆柱形反应堆，反射层节省通常分别用径向和轴向的反射层节 省来表示，即
反射层对临界的影响可以用反射层节省这个量来表示。它表示反应堆由 于加上反射层所引起的临界尺寸的减少。因此，可以把有反射层反应堆 的几何曲率用芯部外形尺寸增大2δ 后的等效裸堆的几何曲率来表示。
1 2 2 1 L Bg
不泄漏几率
k k P
1
L
1
再次说明，k1是有效增殖系数
1 B: PL 2 2 1 L Bg
反应堆的中子泄漏不仅与扩散长度有关，而且与
几何曲率有关。从前面平板状反应堆的例子中可以看 到，当反应堆体积增大时，Bg2就减小，因而正如所预 料的那样，不泄漏几率也就增大。 同样，扩散长度 L 愈大，意味着中子自产生到 被吸收所穿行的距离也愈大，因而从反应堆中泄漏出 去的几率也就增大，不泄漏几率PL就要减小
2 对于给定的曲率 Bg ，对芯部半径为 R0 的球形裸堆有
2 Bg R0
2
R B g
2 0
2
设具有反射层时芯部的临界半径为R，则
Bg
R
R
对有反射层的球形堆有
2 Bg (
)2
可以把有反射层的球形堆的几何曲率用一个尺寸等于 R 的等效 裸堆的几何曲率来表示
芯部
反 射 层 反 射 层
k<1，调整k∞使 其临界
① 带有反射层的球形堆
考虑一个芯部半径为R，带有厚度为T（包括外推距离在内）的反射层 的球形堆。采用球坐标系，并把坐标远点取在球心上。根据中子通量 密度在堆内处处为有限值的条件，得到芯部方程
核反应堆物理基础Chapter4
二、反应性温度效应 (4)
2.3 慢化剂的反应性温度系数
慢化剂温度变化时影响慢化剂的慢化能力，主要途径如下： 慢化剂温度变化时影响慢化剂的慢化能力，主要途径如下： 慢化剂密度变化。以水为例，温度升高慢化能力降低， 慢化剂密度变化。以水为例，温度升高慢化能力降低，能谱变 硬。 慢化剂温度变化引起中子温度变化。温度升高时能谱变硬。 慢化剂温度变化引起中子温度变化。温度升高时能谱变硬。 对于热中子反应堆来讲，一般情况下，能谱变硬时，反应性降低。 对于热中子反应堆来讲，一般情况下，能谱变硬时，反应性降低。因 为能谱变硬时，燃料的共振吸收增加，裂变材料的裂变截面降低， 为能谱变硬时，燃料的共振吸收增加，裂变材料的裂变截面降低，中 子泄漏也会有所增加。但这并非是绝对的。影响反应性有诸多因素。 子泄漏也会有所增加。但这并非是绝对的。影响反应性有诸多因素。 各种因素因为能谱的变化进而影响反应性的趋势不尽相同， 各种因素因为能谱的变化进而影响反应性的趋势不尽相同，要看最后 的综合效果，也看反应堆的设计。 的综合效果，也看反应堆的设计。有些强吸收体的中子截面呈 1/v 变 化规律。能谱变硬时，吸收能力减弱，引起反应性增加。 化规律。能谱变硬时，吸收能力减弱，引起反应性增加。如果这种吸 收作用在反应堆中占主导地位，则总的反应性温度系数就会是正的。 收作用在反应堆中占主导地位，则总的反应性温度系数就会是正的。
二、反应性温度效应 (1)
2.1 反应性温度系数 反应性温度系数(1) 反应堆停堆时处于常温状态，即冷态。 反应堆停堆时处于常温状态，即冷态。运行时 温度升高到运行温度。 温度升高到运行温度。材料温度的改变一般情况下 对反应性有很大的影响。温度变化一个单位(K, C) 对反应性有很大的影响。温度变化一个单位 带来的反应性变化定义为反应性温度系数α 带来的反应性变化定义为反应性温度系数 T： αT = dρ/dT = dK/dT /K2 ≈ dK/dT /K 反应堆内温度的变化是不均匀的， 反应堆内温度的变化是不均匀的，各种材料温 度变化对反应性的影响也不尽相同， 度变化对反应性的影响也不尽相同，所以温度的变 化要有所指，如燃料温度，慢化剂温度等。 化要有所指，如燃料温度，慢化剂温度等。对应的 温度系数称为燃料反应性温度系数， 温度系数称为燃料反应性温度系数，慢化剂反应性 温度系数等。 温度系数等。
核反应堆物理基础第4章
§4.1 均匀裸堆的单群理论
§4.2 有反射层反应堆的单群扩散理论
§4.3 反应堆功率分布
第四章 均匀反应堆的临界理论
前面两章讨论的是中子在非增殖介质内的慢化和扩散问题。本章 将研究由燃料和慢化剂组成的有限均匀增殖介质（反应堆系统） 内的中子扩散问题。在增殖介质内，中子在扩散过程中，一方面 被不断地吸收，同时又由于核裂变反应不断地有新的中子产生。
∆k = −11100 PCM k
讨论反应堆动态问题时,反应性常用“元”为单位：＄ 1＄=100￠ （1元等于100分）
1元反应性为1个βeff (有效缓发中子产额,若为0.007△k/k )
1＄=700PCM
三、圆柱体裸堆的几何曲率（常见的反应堆形状 ）和 中子通量密度分布
裸堆单群临界计算的关键在于求几何曲率 Bg 和波动方程的基波解 中子通量密度只取决于r和z两个变量 通过严格的解析求解，半径为R，高为H 的圆柱裸堆的几何曲率为
反应堆也无法维持一个恒定中子通量密度分布 （3）k1等于1，这时只有对应n=1的一项不随时间变化，其余随时间衰减
π π π 2 a/2 φ ( x, t ) = φ ( x) = ∫ ϕ 0 ( x) cos xdx cos x = A cos x a a a a −a / 2
2 ∇ 2φ ( r ) + B g φ ( r ) = 0
2 Bg
由临界方程
k∞ k1 = =1 2 2 1+ L B
（4-17）
可以得到临界尺寸，对无限平板堆，临界方程为
k1 = k∞ π 1 + L2 a
2
=1
显然，系统的材料组成给定,即 k ∞ , L2
核反应堆物理分析习题答案 第四章共6页
第四章1.试求边长为,,a b c （包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。
设有一边长0.5,0.6a b m c m ===（包括外推距离）的长方体裸堆，0.043,L m =42610m τ-=⨯。
（1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为15000, 4.01f kW m -∑=，求中子通量密度分布。
解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为： 边界条件： (/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ===（以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法：将方程化为：22221k X Y ZX Y Z L∞-∇∇∇++=- 设：222222,,x y z X Y Z B B B X Y Z∇∇∇=-=-=- 想考虑X 方向，利用通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+代入边界条件：1cos()0,1,3.5,...2x nx x a n A B B n B a aππ=⇒==⇒=同理可得：0(,,)cos()cos()cos()x y z x y z aaaπππφφ=其中0φ是待定常数。
其几何曲率：22222()()()106.4g B m a b cπππ-=++=（1）应用修正单群理论，临界条件变为：221gk B M∞-= 其中：2220.00248M L m τ=+=（2）只须求出通量表达式中的常系数0φ2.设一重水—铀反应堆的堆芯222221.28, 1.810, 1.2010k L m m τ--∞==⨯=⨯。
试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。
解：对于单群理论：在临界条件下：2222110.781311g m B L B LΛ===++ （或用1k ∞Λ=）对于单群修正理论：2220.03M L m τ=+=在临界条件下：2222110.781311g m B M B M Λ===++ （注意：这时能用1k ∞Λ=，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄露几率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了。
堆物理第三、四章
慢化长度
热中子年龄：
徒动长度
令
1 2 L1 = r s = τ th 6 裂变中子慢化到热中子的年龄。 τth
rm = r s + rd
cosθ
1 2 2 M = L + τ th = rs + rd 6
2 2
(
)
对上式两边取均方值 r 2 = r 2 + r 2 + 2 r r cos θ m s d d s 由于 rs 和 r 的方向彼此不相关，因而两者的夹角余 的方向彼此不相关， d 的平均值等于零， 弦 的平均值等于零，即
1 裴克定律
玻尔兹曼输运方程： 玻尔兹曼输运方程：描述中子输运过程的 精确方程。 精确方程。 扩散方程： 扩散方程：近似地认为中子通量密度的角 分布于运动方向 Ω 的依赖性很弱甚至无 关，通过这种近似简化得到的方程称为扩 散方程。 散方程。
中子流密度
称为中子流密度： 定义 J 称为中子流密度：表示它是由许多具有 不同方向的微分中子束矢量合成的量， 不同方向的微分中子束矢量合成的量，表示该处 中子的净流动情况。 中子的净流动情况。
核反应堆物理
主讲： 主讲：王虎
第三章 中子扩散理论
φ r, E ,Ω ,t
(
)
1.各向同性 大型堆中心） 无关。 1.各向同性 （大型堆中心） 与 Ω 无关。 2.稳态 无关。 2.稳态 与 t 无关。 3.单能 或单速） 单能（ 无关。 3.单能（或单速） 与 E 无关。
单能中子扩散方程
1 2 3 4 裴克定律 单能中子扩散方程的建立 边界条件 扩散长度、慢化长度和徒动长度
1 2 1 2 2 M = rs + rd = rm 6 6
华北电力大学 核反应堆物理分析 第4章-均匀反应堆临界理论..
研究思路：从容易的着手，逐步精确化
7
二、均匀裸堆的单群理论
1. 单群中子扩散方程的建立
2. 均匀裸堆的单群扩散方程的解
3. 热中子反应堆的临界条件
4. 几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度
分布
5. 反应堆曲率和临界计算任务 6. 单群理论的修正
8
1.单群理论的建立
裸堆：无反射层的反应堆 单群：全部中子都在一个能群里。实际上是假设 堆内里所有中子都是热中子。 热中子不能再慢化了，故方程非常简单，只需考 虑中子的产生、吸收和泄漏。
9
对于由燃料与慢化剂组成的均匀增殖介质反应堆系统，单位时 间、单位体积内的裂变中子源强为：
SF (r, t ) f (r, t )
根据无限介质增殖因子定义
S F (r, t ) ka (r, t )
代入单群中子扩散方程可得
?
1 (r , t ) D 2 (r , t ) a (r , t ) k a (r , t ) S0 (r , t ) t
均匀反应堆的临界理论
主讲：马续波
1
Contents
前言 均匀裸堆的单群扩散理论 有反射层反应堆的单群扩散理论 功率分布展平概念
2
一、前言
在上一章中我们讨论了中子在非增殖介质内扩散 的规律和中子扩散方程的解法。现在我们进一步 将其用于讨论由核燃料和慢化剂等组成的有限均 匀增殖介质（反应堆系统）内的中子扩散问题。 中心问题是讨论反应堆的临界。
求解(4-28)可得 其中 圆柱裸堆的几何曲率为
Z ( z) F cos Bz z
Bz2 H
2
(4-36)
2 2
2.405 2 Bg Br2 Bz2 R H
核反应堆物理分析复习重点
6、 宏观截面：表征一个中子与单位体积内所有原子核发生核反应的平均概率；表征一个中子在介质中穿行 单位距离与核发生反应的概率。单位：1/m 7、 平均自由程 λ: 中子在介质中运动时，与原子核连续两次相互作用之间穿行的平均距离。或：平均每 飞行λ距离发生一次碰撞。 λ= 1/ 8、核反应率：单位时间、单位体积内的中子与介质原子核发生作用的总次数（统计平均值） 。 9、中子通量密度：表示 1 立方米内所有的中子在 1 秒钟内穿行距离的总和。 10、中子能谱分布：在核反应堆内，中子并不具有同一速度 v 或能量 E，中子数关于能量 E 的分布称为中子 能谱分布。 11、平均截面（等效截面） ： 12、截面随中子能量的变化： 一、微观吸收截面： ① 低能区（E<1eV） ： ：中、重核在低能区有共振吸收现象 ② 高能区（1eV<E<keV） ： 重核：随着中子能量的增加，共振峰间距变小，共振峰开始重叠，以致不再能够分辨。因此随 E 的 变化，虽有一定起伏，但变得缓慢平滑了，而且数值甚小，一般只有几个靶。 轻核：一般要兆电子伏范围内才出现共振现象，且其共振峰宽而低。 二、微观散射截面： 弹性散射截面 σe ：多数元素与较低能量中子的散射都是弹性的。基本上为常数，截面值一般为几 靶。 轻核、中等核：近似为常数； 重核：在共振能区将出现共振弹性散射。 非弹性散射截面 σin ：有阈能的特点，质量数愈大，阈能愈低 三、微观裂变截面： （与重核的吸收截面的变化规律类似） ① 热能区（E<1eV） ：裂变截面随中子能量减小而增加，且其截面值很大。 ② 共振区（1eV<E<keV） ：出现共振峰 ③ 快中子区（E>keV） ：裂变截面中子能量的增加而下降到几靶。 13、描述共振截面变化特性的三个共振参数： 共振能：E0 ； 峰值截面：σ0； 能级宽度 Γ：等于在共振截面曲线上，当 σ= σ0/2 时所对应的能量宽度。 14、单能级布赖特-维格纳公式： r E0 2 辐射俘获共振： r (E) 0 2 2
3601高等核反应堆物理分析-华北电力大学研究生院
华北电力大学2019年博士生入学考试初试科目考试大纲科目代码：3601科目名称：高等核反应堆物理分析一、考试的总体要求掌握中子与原子核相互作用的机理、中子截面和核反应率的定义；了解非增殖介质内中子扩散方程及其理论推导；掌握中子的弹性散射过程、扩散-年龄近似、双群扩散理论、多群扩散理论、栅格的非均匀效应；了解核燃料中重同位素成分随时间的变化、核燃料的转换与循环、可燃毒物控制及化学补偿控制。
熟练掌握核裂变过程；单速中子扩散方程；无限均匀介质内中子的慢化能谱、均匀介质中的共振吸收；裂变产物中毒、反应性随时间的变化与燃耗深度；反应性温度系数；反应性控制的任务和方式。
熟练掌握多普勒效应；扩散长度；均匀裸堆的单群扩散方程及其解、热中子反应堆的临界条件、各种几何形状的裸堆的几何曲率和中子通量密度分布、反应堆曲率和临界计算、有反射层反应堆的单群扩散理论及计算；单根中心控制棒价值的计算；点堆动态方程、反应堆周期；掌握中子输运理论与中子输运方程，了解中子输运方程数值求解方法。
二、考试的内容1. 核反应堆的中子物理基础：中子与原子核的相互作用，中子截面和核反应率，共振吸收，核裂变过程（裂变能量的释放、反应堆功率和中子通量密度的关系、裂变产物与裂变中子的发射），链式裂变反应，四因子模型。
2. 中子慢化和慢化能谱：中子的弹性散射过程（弹性散射时能量的变化、弹性散射中子能量的分布、对数能降和平均对数能降增量、平均散射角余弦、慢化剂的选择、弹性慢化时间），无限均匀介质内中子的慢化能谱（无限均匀介质内中子的慢化方程、在含氢介质内的慢化、在A>1的无限介质内的慢化），均匀介质中的共振吸收（共振峰间距很大时的逃脱共振吸收几率、有效共振积分的近似计算、温度对共振吸收的影响），热中子能谱和热中子平均截面。
3. 中子输运与扩散理论：单能中子扩散方程（斐克定律、单能扩散方程的建立、扩散方程的边界条件、斐克定律和扩散理论的适用范围），非增殖介质内中子扩散方程的解，扩散长度、化慢长度、动长度；中子输运方程。
核反应堆的核物理第4章 均匀反应堆的临界理论
根据边界条件及初始条件，利用数理方程相关知识得：
(x)
An
cos Bn x
An
cos
(2n 1)
a
x
得：
Tn Ce(kn 1)t / ln
(x,t)
n1
An
[cos
(2n
a
1)
x]e(kn 1)t / ln
利用初值条件得：
An
2 a
a/ a
2 /2
0
(
x)
cos
(2n
1)
a
xdx
代入方程：
措施： ▪ 芯部分区布置； ▪ 可燃毒物的合理布置； ▪ 采用化学补偿剂及部分长度控制棒以展平轴向通量 分布。
谢谢
2
2
0
x
a
a
2
2
由上述条件的偏微分方程
1
D
( x, t )
t
2 ( x, t )
k L2
1
(
x,
t)
利用分离变量方法，令 (x,t) (x)T (t) 偏微分方程化为：
2 ( x) (x)
1
DT (t)
dT (t) dt
k 1 L2
得：
2(x) B2(x) 0
其通解为：
(x) Acos Bx C sin Bx
(x,t) [ 2 n1 a来自a/ a2 /2
0
(
x)
cos
(2n
a
1)
xdx][cos (2n 1)
a
x]e(kn 1)t / ln
热中子反应堆的临界条件
次临界状态：对于一定几何形状和体积的反应堆芯部，
若 对B应12 的k1小于1，那么，其余的
《核反应堆物理分析》公式整理
第1章—核反应堆物理分析中子按能量分为三类: 快中子(E﹥0、1MｅＶ),中能中子(1ｅV﹤E﹤０.1 MeV),热中子(Ｅ﹤1eV)。
共振弹性散射ＡＺＸ+ ０1n →［Ａ+1Z X]＊→A ZＸ+ ０１ｎ势散射ＡZＸ＋01n→A Z X ＋０１n辐射俘获就是最常见得吸收反应。
反应式为A ZＸ＋01n →[A+1ＺX］*→A+１Z X＋γ23５U裂变反应得反应式23５92U + 01ｎ→[23692U］＊→A1Z１X+ A２Z２X ＋ν01n微观截面ΔI=-σIＮΔx宏观截面Σ= σN单位体积内得原子核数中子穿过x长得路程未发生核反应,而在ｘ与x+ｄx之间发生首次核反应得概率P(ｘ)dx= e—ΣxΣdx核反应率定义为单位就是中子∕m3 s中子通量密度总得中子通量密度Φ平均宏观截面或平均截面为辐射俘获截面与裂变截面之比称为俘获－—裂变之比用α表示有效裂变中子数有效增殖因数四因子公式中子得不泄露概率热中子利用系数第2章－中子慢化与慢化能谱在L系中,散射中子能量分布函数能量分布函数与散射角分布函数一一对应在C 系内碰撞后中子散射角在θc 附近d θc 内得概率:能量均布定律 平均对数能降当A 〉10时可采用以下近似 L 系内得平均散射角余弦慢化剂得慢化能力 ξ∑s慢化比 ξ∑s /∑a 由E 0慢化到E t ｈ所需得慢化时间ｔＳ热中子平均寿命为 (吸收截面满足1/v 律得介质)中子得平均寿命 慢化密度(,)(,)(,)(,)(,)(1)(1)EE Eas s EE E r E r E dE E E q r E dE r E r E dE E E ααϕαϕαα''''∑-''''==∑''--⎰⎰⎰ 稳态无限介质内得中子慢化方程为无吸收单核素无限介质情况 无限介质弱吸收情况ｄE 内被吸收得中子数 逃脱共振俘获概率第j 个共振峰得有效共振积分 逃脱共振俘获概率等于整个共振区得有效共振积分 热中子能谱具有麦克斯韦谱得分布形式中子温度 核反应率守恒原则,热中子平均截面为若吸收截面a 服从“1/ｖ"律若吸收截面不服从“1/v ”变化,须引入一个修正因子第3章—中子扩散理论菲克定律中子数守恒(中子数平衡)中子连续方程 如果斐克定律成立,得单能中子扩散方程设中子通量密度不随时间变化,得稳态单能中子扩散方程直线外推距离 扩散长度慢化长度Ｌ１ 2221111112110100ln 3th a tr E D D L L E ϕϕϕϕξ∇-∑=∇-=→==∑∑∑L 21 称为中子年龄,用τth 表示, 即为慢化长度。
《核反应堆物理分析》名词解释及重要概念整理
《核反应堆物理分析》名词解释及重要概念整理第一章—核反应堆的核物理基础直接相互作用：入射中子直接与靶核内的某个核子碰撞，使其从核里发射出来，而中子却留在了靶核内的核反应。
中子的散射：散射是使中于慢化(即使中子的动能减小)的主要核反应过程。
非弹性散射：中子首先被靶核吸收而形成处于激发态的复合核，然后靶核通过放出中子并发射γ射线而返回基态。
弹性散射：分为共振弹性散射和势散射。
111001100[]AA A ZZ Z AA Z Z X n X X n X n X n +*+→→++→+微观截面：一个粒子入射到单位面积内只含一个靶核的靶子上所发生的反应概率，或表示一个入射粒子同单位面积靶上一个靶核发生反应的概率。
宏观截面：表征一个中子与单位体积内原子核发生核反应的平均概率大小的一种度量。
也是一个中子穿行单位距离与核发生相互作用的概率大小的一种度量。
平均自由程：中子在介质中运动时，与原子核连续两次相互作用之间穿行的平均距离叫作平均自由程。
核反应率：每秒每单位体积内的中子与介质原子核发生作用的总次数(统计平均值)。
中子通量密度：某点处中子密度与相应的中子速度的乘积，表示单位体积内所有中子在单位时间内穿行距离的总和。
多普勒效应：由于靶核的热运动随温度的增加而增加，所以这时共振峰的宽度将随着温度的上升而增加，同时峰值也逐渐减小，这种现象称为多普勒效应或多普勒展宽。
瞬发中子和缓发中子：裂变中，99％以上的中子是在裂变的瞬间(约10-14s)发射出来的，把这些中子叫瞬发中子；裂变中子中，还有小于1％的中子是在裂变碎片衰变过程中发射出来的，把这些中子叫缓发中子。
第二章—中子慢化和慢化能谱慢化时间：裂变中子能量由裂变能慢化到热能所需要的平均时间。
扩散时间：无限介质内热中子在自产生至被俘获以前所经过的平均时间。
平均寿命：在反应堆动力学计算中往往需要用到快中子自裂变产生到慢化成为热中子，直至最后被俘获的平均时间，称为中子的平均寿命。
第一章：核反应堆物理分析
一.中子的产生 分为三大类：同位素中子源，反应堆中子源，加速 器中子源。 1、同位素中子源：利用核素衰变放出的射线，经 ( ,n ) 或 ( ,n ) 核反应产生中子。优点是体积小，方便。 缺点是强度低，能谱复杂。而且，必须注意其活度 随时间指数减小：
I I0e t
241
10 5 10 5 10 5 10 4 108
源尺度：几cm
Am-Be
239
Am
Pu-Be
244
Pu Cm
106
Cm-Be
1.06×
常用的 -Be 源结构
双层钢壳防泄漏
不锈钢
放射性反应芯
发射体＋靶物质
典型 Be(,n) 源的双层壳结构
2）
－中子源
基于两个反应：
中子的散射
中子与原子核发生散射反应时，中子改变了飞行方向和飞行 速度。 能量比较高的中子经过与原子核的多次散射反应，其能量会 逐步减少，这种过程称为中子的慢化。 散射反应有两种不同的机制。 一种称为弹性散射。在弹性散射前后，中子——原子核体系 的能量和动量都是守恒的。任何能量的中子都可以与原子核发生 弹性散射。 另一种称为非弹性散射。中子与原子核发生非弹性散射，实 际上包括两个过程。 ①中子被原子核吸收，形成一个复合核。 ②但这个复合核处于不稳定激发态,很快它就会又放出一个中 子，并且放出射线，回到稳定的基态。
计算单位体积内原子核数N
2.2.2
平均自由程 λ(mean free path)：
如把中子在介质中运动时，与原子核连续两次相互作 用之间穿行的平均距离叫做平均自由程λ。
显然：平均自由程表示的是中子在介质中运动时，平
《核反应堆物理分析》公式整理
第1章—核反应堆物理分析中子按能量分为三类: 快中子(E ﹥0、1 MeV),中能中子(1eV ﹤E ﹤0、1 MeV),热中子(E ﹤1eV)、共振弹性散射 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A Z X + 01n 势散射 A Z X + 01n → A Z X + 01n辐射俘获就是最常见的吸收反应、反应式为 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A+1Z X + γ235U裂变反应的反应式 23592U + 01n → [23692U]* → A1Z1X + A2Z2X +ν01n微观截面 ΔI=-σIN Δx /I I IIN x N xσ-∆-∆==∆∆ 宏观截面 Σ= σN 单位体积内的原子核数 0N N Aρ=中子穿过x 长的路程未发生核反应,而在x 与 x+dx 之间发生首次核反应的概率P(x)dx= e -Σx Σdx核反应率定义为 R nv =∑ 单位就是 中子∕m 3⋅s 中子通量密度nv ϕ=总的中子通量密度Φ 0()()()n E v E dE E dE ϕ∞∞Φ==⎰⎰平均宏观截面或平均截面为 ()()()EEE E dERE dEϕϕ∆∆∑∑==Φ⎰⎰辐射俘获截面与裂变截面之比称为俘获--裂变之比用α表示 fγσασ=有效裂变中子数 1f f a f γνσνσνησσσα===++ 有效增殖因数 eff k =+系统内中子的产生率系统内中子的总消失（吸收泄漏）率四因子公式 s deff n pf k k nεη∞ΛΛ==Λ k pf εη∞=中子的不泄露概率 Λ=+系统内中子的吸收率系统内中子的吸收率系统内中子的泄露率热中子利用系数 f =燃料吸收的热中子被吸收的热中子总数第2章-中子慢化与慢化能谱211A A α-⎛⎫= ⎪+⎝⎭在L 系中,散射中子能量分布函数 []'1(1)(1)cos 2c E E ααθ=++- 能量分布函数与散射角分布函数一一对应 (')'()c cf E E dE f d θθ→=在C 系内碰撞后中子散射角在θc 附近d θc 内的概率:2d 2(sin )sin d ()42c c r rd f d r θπθθθθθθπ===对应圆环面积球面积能量均布定律 ()(1)dE f E E dE Eα'''→=--平均对数能降 2(1)11ln 1ln 121A A A A αξαα-+⎛⎫=+=- ⎪--⎝⎭当A>10时可采用以下近似 223A ξ≈+L 系内的平均散射角余弦0μ001223c c d Aπμθθ==⎰慢化剂的慢化能力 ξ∑s 慢化比 ξ∑s /∑a 由E 0慢化到E th 所需的慢化时间t S()thE s s E E dE t v E λλξ⎤=-=-⎰热中子平均寿命为 00()11()()a d a a E t E vE v v λ===∑∑(吸收截面满足1/v 律的介质)中子的平均寿命 s d l t t =+ 慢化密度 0(,)(,)()(,)s EEq r E dE r E f E E r E dE ϕ∞''''=∑→⎰⎰(,)(,)(,)(,)(,)(1)(1)EE Eas s EE E r E r E dE E E q r E dE r E r E dE E Eααϕαϕαα''''∑-''''==∑''--⎰⎰⎰ 稳态无限介质内的中子慢化方程为 ()()()()()()Et s E E E E f E E dE S E ϕϕ∞''''∑=∑→+⎰无吸收单核素无限介质情况 ()()()()(1)Es t EE E E E dE Eαϕϕα''∑'∑='-⎰无限介质弱吸收情况dE 内被吸收的中子数 ()()()a dq q E q E dE E dE ϕ=--=∑0()exp()E a Es dE q E S E ξ'∑=-'∑⎰逃脱共振俘获概率00()()()exp()E aE s E q E dE p E S E ξ'∑==-'∑⎰第j 个共振峰的有效共振积分 ,*() ()jj AE I E E dE γσφ≡⎰逃脱共振俘获概率i p 等于 1exp A iA i i s s N I N p I ξξ⎡⎤=-=-⎢⎥∑∑⎣⎦整个共振区的有效共振积分 ()()i a EiI I E E dE σϕ∆==∑⎰热中子能谱具有麦克斯韦谱的分布形式 /1/23/22()()n E kT n N E e E kT ππ-=中子温度 ()(1)a M n M SkT T T Cξ∑=+∑ 核反应率守恒原则,热中子平均截面为 0()()()()()()ccc c E E E E E N E vdEE N E EdEN E vdEN E EdEσσσ==⎰⎰⎰⎰若吸收截面a 服从“1/v”律()(0.0253)0.0253a a E E σσ=若吸收截面不服从“1/v ”变化,须引入一个修正因子n g(0.0253)2931.128a a n ng T σσ=第3章-中子扩散理论菲克定律 J D φ=-∇ 3sD λ=01s tr λλμ=- 023Aμ= 001()46z s J z ϕϕ-∂=+∑∂ 001()46z s J z ϕϕ∂=∑∂＋－ 01()3z z z s J J J zφ+-∂=-=-∑∂ 33ssx y z J J i J j J k grad λλφφ=++=-=-∇中子数守恒(中子数平衡)(,)(S)(L)(A)V dn r t dV dt=--⎰产生率泄漏率吸收率 中子连续方程 (,)(,)(,)(,)a n r t S r t r t divJ r t tϕ∂=-∑-∂如果斐克定律成立,得单能中子扩散方程 21(,)(,)(,)(,)a r t S r t D r t r t v tϕϕϕ∂=+∇-∑∂设中子通量密度不随时间变化,得稳态单能中子扩散方程 2()()()0a D r r S r ϕϕ∇-∑+=直线外推距离 trd 0.7104l = 扩散长度 220011363(1)3(1)a tr a s a a s D L r λλλλμμ=====∑-∑∑-慢化长度L1 2221111112110100ln 3th a tr E D D L L E ϕϕϕϕξ∇-∑=∇-=→==∑∑∑ L 21 称为中子年龄,用τth 表示, 即为慢化长度。
核反应堆物理分析第四章-均匀反应堆临界理论
π π c φ r ( x, y, z ) = B ′ cos( x) cos( y ) sh[ K r ( + T − z )]
a a 2
7
在利用交界面的边界条件： c c c φ c (± ) = φ r (± ) ⇒ A′ cos( B z ) = B ′sh( K r T ) 2 2 2 c ′ = Dr φ r′ ⇒ A′Dc B z sin( B z ) = B ′ K r ch( K r T ) Dc φ c 2 上下式相比，得： c Dc B z tg ( B z ) = Dr K r cth( K r T ) 2
2
2.长方体堆
φ ( x, y, z ) = X ( x)Y ( y ) Z ( z )
1 d 2 X ( x) 1 d 2Y ( y ) 1 d 2 Z ( z) 2 + + + Bg =0 Z ( z ) dz 2 Y ( y ) dy 2 X ( x) dx 2 − B x2
2 − By
− B z2
分离变量：φ (r , t ) = ϕ (r )T (t ), 代入(1)式，有 ∇ 2ϕ ( r )
ϕ (r )
＝
1 dT (t ) k ∞ − 1 − DvT (t ) dt L2
∴
∇ 2ϕ ( r )
ϕ (r )
＝－B 2 ⇒ ∇ 2ϕ (r ) + B 2ϕ (r ) = 0 (3)
( 2)
n
′ϕ n (r )e ∴ φ (r , t ) = ∑ An
n
( k n −1) t / l n
反应堆物理分析CHAPTER 4-1
Bn随着n 单调递增，而kn随着n 单调递减。同 时Bn与系统尺寸有关，通过改变系统的尺寸 就可以改变kn的值.
kn
k 1 L Bn
2 2
(2n 1) ( k n 1) t / ln ( x, t ) An cos xe a n
பைடு நூலகம்
若k1<1，则kn 均小于1 ，此时的通量密度 将随时间按指数规律衰减，此时系统处于 次临界状态。 若k1>1，则(k1-1)>0,此时中子通量密度将随 时间不断地增长，系统处于超临界状态。 若k1=1 ，则kn 均小于1 ，此时的通量密度 将趋于稳定，此时系统处于临界状态。
裸堆单群近似的“临界条件”为：
k1 k 1 L B
2 2
1
2为最小特征值 B 2，记为 B 2，称 其中B g 1
为几何曲率
当反应堆处于临界时通量密度服从波动方程
(r ) Bg (r ) 0
2 2
k1
k 1 L B
2 2
1等式的物理意义
堆内中子不是从堆内泄漏出去，就是被堆 内物质吸收，则不泄漏概率可以表示为：
B R
2 g 2
(r ) A
sin r R r
有限高圆柱形反应堆
2.405 B B B R H
2 g 2 r 2 z 2 2
2.405 (r , z ) FJ 0 r cos z R H
n 1 n 1
n An cos Bn x
Tn Ce
ln kn Bn
( k n 1) t / l n
《核反应堆物理分析》公式整理
第1章—核反应堆物理分析中子按能量分为三类: 快中子(E ﹥0.1 MeV),中能中子(1eV ﹤E ﹤0.1 MeV),热中子(E ﹤1eV).共振弹性散射 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A Z X + 01n 势散射 A Z X + 01n → A Z X + 01n 辐射俘获是最常见的吸收反应.反应式为 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A+1Z X + γ235U 裂变反应的反应式 23592U + 01n → [23692U]* → A1Z1X + A2Z2X +ν01n微观截面 ΔI=-σIN Δx /I I IIN x N xσ-∆-∆==∆∆ 宏观截面 Σ= σN 单位体积内的原子核数 0N N Aρ=中子穿过x 长的路程未发生核反应，而在x 和 x+dx 之间发生首次核反应的概率P(x)dx= e -Σx Σdx核反应率定义为 R nv =∑ 单位是 中子∕m 3⋅s 中子通量密度nv ϕ=总的中子通量密度Φ 0()()()n E v E dE E dE ϕ∞∞Φ==⎰⎰平均宏观截面或平均截面为 ()()()EEE E dERE dEϕϕ∆∆∑∑==Φ⎰⎰辐射俘获截面和裂变截面之比称为俘获--裂变之比用α表示 fγσασ=有效裂变中子数 1f f a f γνσνσνησσσα===++ 有效增殖因数 eff k =+系统内中子的产生率系统内中子的总消失（吸收泄漏）率四因子公式 s deff n pf k k nεη∞ΛΛ==Λ k pf εη∞=中子的不泄露概率 Λ=+系统内中子的吸收率系统内中子的吸收率系统内中子的泄露率热中子利用系数 f =燃料吸收的热中子被吸收的热中子总数第2章-中子慢化和慢化能谱211A A α-⎛⎫= ⎪+⎝⎭在L 系中，散射中子能量分布函数 []'1(1)(1)cos 2c E E ααθ=++- 能量分布函数与散射角分布函数一一对应 (')'()c cf E E dE f d θθ→=在C 系内碰撞后中子散射角在θc 附近d θc 内的概率:2d 2(sin )sin d ()42c c r rd f d r θπθθθθθθπ===对应圆环面积球面积能量均布定律 ()(1)dE f E E dE Eα'''→=--平均对数能降 2(1)11ln 1ln 121A A A A αξαα-+⎛⎫=+=- ⎪--⎝⎭当A>10时可采用以下近似 223A ξ≈+L 系内的平均散射角余弦0μ001223c c d Aπμθθ==⎰慢化剂的慢化能力 ξ∑s 慢化比 ξ∑s /∑a 由E 0慢化到E th 所需的慢化时间t S()thE s s E E dE t v E λλξ⎤=-=-⎰热中子平均寿命为 00()11()()a d a a E t E vE v v λ===∑∑（吸收截面满足1/v 律的介质）中子的平均寿命 s d l t t =+ 慢化密度 0(,)(,)()(,)s EEq r E dE r E f E E r E dE ϕ∞''''=∑→⎰⎰(,)(,)(,)(,)(,)(1)(1)EE Eas s EE E r E r E dE E E q r E dE r E r E dE E Eααϕαϕαα''''∑-''''==∑''--⎰⎰⎰ 稳态无限介质内的中子慢化方程为 ()()()()()(Et s E E E E f E E dE S E ϕϕ∞''''∑=∑→+⎰无吸收单核素无限介质情况 ()()()()(1)Es t EE E E E dE Eαϕϕα''∑'∑='-⎰无限介质弱吸收情况dE 内被吸收的中子数 ()()()a dq q E q E dE E dE ϕ=--=∑0()exp()E a Es dE q E S E ξ'∑=-'∑⎰逃脱共振俘获概率00()()()exp()E aE s E q E dE p E S E ξ'∑==-'∑⎰第j 个共振峰的有效共振积分 ,*() ()jj AE I E E dE γσφ≡⎰逃脱共振俘获概率i p 等于 1exp A iA i i s s N I N p I ξξ⎡⎤=-=-⎢⎥∑∑⎣⎦整个共振区的有效共振积分 ()()ia EiI I E E dE σϕ∆==∑⎰热中子能谱具有麦克斯韦谱的分布形式 /1/23/22()()n E kT n N E e E kT ππ-=中子温度 ()(1)a M n M SkT T T Cξ∑=+∑ 核反应率守恒原则，热中子平均截面为()()()(()(ccc c E E E E E N E vdEE N E N E vdEN E σσσ==⎰⎰⎰⎰若吸收截面a 服从“1/v”律(a a E σσ=若吸收截面不服从“1/v ”变化，须引入一个修正因子n ga n σ=第3章-中子扩散理论菲克定律 J D φ=-∇ 3sD λ=01s tr λλμ=- 023Aμ= 001()46z s J z ϕϕ-∂=+∑∂ 001()46z s J z ϕϕ∂=∑∂＋－ 01()3z z z s J J J zφ+-∂=-=-∑∂ 33ssx y z J J i J j J k grad λλφφ=++=-=-∇中子数守恒（中子数平衡）(,)(S)(L)(A)Vdn r t dV dt =--⎰产生率泄漏率吸收率 中子连续方程 (,)(,)(,)(,)a n r t S r t r t divJ r t tϕ∂=-∑-∂如果斐克定律成立，得单能中子扩散方程 21(,)(,)(,)(,)a r t S r t D r t r t v tϕϕϕ∂=+∇-∑∂ 设中子通量密度不随时间变化，得稳态单能中子扩散方程 2()()()0a D r r S r ϕϕ∇-∑+= 直线外推距离 trd 0.7104l = 扩散长度 220011363(1)3(1)a tr a s a a s D L r λλλλμμ=====∑-∑∑-慢化长度L1 2221111112110100ln 3th a tr E D D L L E ϕϕϕϕξ∇-∑=∇-=→==∑∑∑ L 21 称为中子年龄，用τth 表示， 即为慢化长度。
核反应堆物理分析习题答案第四章
第四章1.试求边长为a,b,c (包括外推距离)的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。
设 有一边长a =b 0.5m,c=0.6m (包括外推距离)的长方体裸堆，L = 0.043m,.=6 10-m 2 o ( 1)求达到临界时所必须的 k. ；(2)如果功率为5000kW 〕f = 4.01m —1， 求中子通量密度分布。
长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：D (豊+空+空)锂3乙心0:X : y : z 边界条件：(a/2,y,z) (x,b/2,z) = (x, y,c/2) =0(以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离) 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法：*(x, y, z)=X(x)Y(y)Z(z)V 2X V 2Y V 2Za — 1 将方程化为：一X Y Z其中0是待定常数。
其中：M 2 =L 2 宀=0.00248m 2二 k ：： = 1.264求出通量表达式中的常系数 '0只须P 二 E f 「f dV 二 E f ' f o 2a COS (—x)dx 2cos(：y)dy 』cos(—z)dz 二 E 「f °abc(—)2_2 2 _2 22•设一重水一铀反应堆的堆芯k ：：=1.2 8,L =1.8 10 m ，•二1.2 0 10 m 。
试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄 露几率。
解: L 2V 2X 2 N 2Y202Z2设：〒一B x/p —By ，〒一B z想考虑X 方向，利用通解： X(x)二AcosB x x C sin B x Xn 二 a代入边界条件：Acos(Bx-^^B nx,n = 1,3.5,...— a ■iJITEJT同理可得：(x, y,z)二 0 cos(—x)cos( — y)cos( — z)aaaJIB 1x : a(1) 其几何曲率：B g应用修正单群理论， ■ 2・ 2=(I)(b )临界条件变为: --2_2(_)2 =106.4mck： -1 二B 2(2) 23P(2)3-■ '01.007 101Ef j abc（或用二=1：k：J对于单群修正理论：M 2= L2= 0.03m2BM 二k：J =9.33m，在临界条件下：1 12 2 2 2 = 0.78131 B J M2 1 B；M 2（注意：这时能用丸=1k：：,实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄露几率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了。
核反应堆物理分析
23592U + 01n → [23692U]* → 23692U +γ
a
16
1.2 中子截面和核反应率
1.2.1 微观截面
ΔI=-σINΔx 式中σ为比例常数，称为微观截面，它与靶核的性质和 中子的能量有关，
I I/I
INx Nx
ΔI/I为中子束中与靶核发生作用的中子所占的比例； NΔx是对应单位面积上的靶核数。
核
第一个激发态/MeV
第二个激发态/MeV
12C 16O 23Na 27Al 56Fe 238U
4.43 6.06 0.45 0.84 0.84 0.045
a
7.65 6.14 2.0 1.01 2.1 0.145
12
弹性散射：弹性散射在中子的所有能量范围内都能发生。 它可分为共振弹性散射和势散射。前者经过 复合核的形成过程，后者不经过复合核的形 成过程。
按引起裂变反应的中子能量不同：热中子反应堆和快中子 反应堆。
a
4
1.1 中子与原子核的相互作用
1.1.1 中子 中子是组成原子核的核子之一,中子不带电,它与原子
核不存在库仑相互作用,它亦不能产生初级电离。自由中 子的不稳定，可通过β衰变转变成质子,半衰期为10.3分 钟。在热中子反应堆中瞬发中子的寿命约为10-3 ～10-4 秒,比自由中子的半衰期短很多,因此在反应堆分析中可 以不考虑自由中子的寿命。
x Nixi
i
对于化合物，分子量为M, 密度为ρ，每个化合物分子中含
第i种元素的原子数目为υi则化合物中第i种元素的核子 密度为：
Ni
i
N0
M
a
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(4-18)
15
无限平板反应堆的临界条件为
k1
k
2
1 L ( ) a
1
2
(4-19)
若系统材料组成给定，则只有一个唯一的尺寸a0能使k1=1，即为临界大小； 当a>a0时，则k1>1，为超临界；当a<a0时，k1<1，系统处于次临界。
另一方面，若反应堆尺寸a给定，则必然可以找到一种燃料富集度(材料组 成)，使得由其所确定的k及L2值能使(4-19)式成立，使k1=1，系统处于临界。
(r ) AJ0 (Br r )
20
利用边界条件(2)，有
因而
( R) AJ0 ( Br R) 0
2
(4-32) (4-33) (4-34) (4-35)
2.405 Br2 R 2.405 (r ) AJ0 ( Br r ) AJ0 r R
2 Bg R
(4-24)
与此对应的临界反应堆内的中子通量密度分布为
sin r R (r ) C r
(4-25)
18
2. 有限高圆柱体反应堆
最常见的反应堆形状。中子通量密度只取决于r和z两个变量
2 (r , z ) 1 (r , z ) 2 (r , z ) 2 B (r , z ) 0 g 2 2 r r r z
d 2 ( x) d ( x) 2 x x x ( x) 0 2 dx dx
2
零阶贝塞尔函数曲线
其普遍解为
r A' I 0 (Br r) E ' K0 (Br r)
(4-31)
其中I0、K0分别为第一类及第二类零阶修正贝塞尔函数。根据边界条件(1)和(2)看出， Y0、I0及K0均应从上述解中消去。因此方程(4-27)的解为
临界时，反应堆内的中子通量密度分布为
( x) A cos
x a
(4-20)
16
k k1 1 2 2 1 L B1
反应堆内单位时间单位体积内的中子泄漏率为-D2， 根据(4-18)式，D2=DBg2，单位时间单位体积内中子的吸收率为a，不泄漏概率 为
中子吸收率 中子吸收率 中子泄漏率 a dV DB
9
对于由燃料与慢化剂组成的均匀增殖介质反应堆系统，单位时 间、单位体积内的裂变中子源强为：
SF (r, t ) f (r, t )
根据无限介质增殖因子定义
S F (r, t ) ka (r, t )
代入单群中子扩散方程可得
?
1 (r , t ) D 2 (r , t ) a (r , t ) k a (r , t ) S0 (r , t ) t
其中C为待定常数。对于一维平板反应堆，其中子通量密度的完全解就是对n=1到 n=所有项的总和，即
(2n 1) ( x, t ) A cos a n 1
' n
xe( kn 1)t / ln
(4-15)
13
3.热中子反应堆的临界条件
(2n 1) Bn a n 1,2,3,
3
在反应堆临界理论中，主要研究两方面的问题：
各种形状的反应堆达到临界状态的条件（临界条件）:
e.g., 临界时系统的体积大小(临界体积)和燃料成分（富集 度）及其装载量（临界质量）。 临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。
4
实际的反应堆系统
物理过程与中子能量 的复杂依赖关系 “分群理论” 几何与材料的复杂性 “均匀化”处理（均 匀反应堆） 均匀反应堆：是指这样一种堆，其堆芯的各种材料（燃料、 慢化剂、结构材料等等）是均匀地混合在一起的。因此整 个堆芯的材料特性是一致的，核截面等数据都是一样的。
令左端每一项均等于常数，有
1 d 2 (r ) 1 d (r ) 2 B r (r ) dr 2 r dr 1 d 2 Z ( z) 2 B z Z ( z ) dz2
2 Bg Br2 Bz2
(4-27) (4-28) (4-29)
19
求解(2-27)式，令x=Brr，将其代入(4-27)式，可 得零阶贝塞尔方程
研究思路：从容易的着手，逐步精确化
7
二、均匀裸堆的单群理论
1. 单群中子扩散方程的建立
2. 均匀裸堆的单群扩散方程的解
3. 热中子反应堆的临界条件
4. 几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度
分布
5. 反应堆曲率和临界计算任务 6. 单群理论的修正
8
1.单群理论的建立
裸堆：无反射层的反应堆 单群：全部中子都在一个能群里。实际上是假设 堆内里所有中子都是热中子。 热中子不能再慢化了，故方程非常简单，只需考 虑中子的产生、吸收和泄漏。
求解(4-28)可得 其中 圆柱裸堆的几何曲率为
Z ( z) F cos Bz z
Bz2 H
2
(4-36)
2 2
2.405 2 Bg Br2 Bz2 R H
(4-37)
其中Br2径向几何曲率，Bz2周向几何曲率。
(4-22)
(r ) C
sin Bg r r
E
cos Bg r r
(4-23)
根据边界条件：当r→0时中子通量密度为有限值，常数E必须为零，可得
(r ) C
sin Bg r r
根据边界条件(R)=0的要求，必须使BgR=n, n=1, 2, 3, …。对应于最小特征值，几 何曲率为 2
k kn 2 1 L2 Bn
' ( x, t ) An cos n 1
(2n 1) a
xe( kn 1)t / ln
三种情况：
1. 对于一定几何形状和体积的反应堆芯部，若B12对应的k1<1，则其余的 kn都将小于1，则(kn-1)为负值，(x,t)将随时间 t按指数规律衰减，系统 为次临界状态。 2. 若k1 >1，则(k1-1)为正值，中子通量密度(x,t)将随时间不断增加，系 统处于超临界状态。 3. 若调整堆芯尺寸或改变材料成分，使k1 =1，则其余(kn-1)都将为负值。 中子通量密度(x,t)第一项将与时间无关，而其它各项将随时间而衰减。 当时间足够长时，n>1各项将衰减到零，系统处于稳态，中子通量密度 按基波形式(B=B1)分布，系统处于临界状态。
边界条件是： (1) 中子通量密度在堆内各处均为有限值 (2) 当r=R或z=±H/2时，(r,z)=0。
(4-26)
采用分离变量法求解，设
(r , z ) (r ) Z ( z )
1 d 2 (r ) 1 d (r ) 1 d 2 Z ( z) 2 B g 2 (r ) r dr Z ( z ) dz2 dr
D / a L2 l ln 2 2 2 2 2 D (1 L Bn ) D (1 L Bn ) 1 L2 Bn
(4-13)
kn
k 2 1 L2 Bn
(4-14)
l为无限介质的热中子寿命，ln是有限介质热中子寿命。方程(4-12)解为
Tn Ce( kn 1)t / ln
V
a dV
V 2 g
dV
V
1 2 1 L2 Bg
(4-21)
则裸堆单群近似的临界条件(4-17)可写为
k1 k 1
17
4.几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度分布
1. 球形反应堆 普遍解为
d 2 (r ) 2 d (r ) 2 B g (r ) 0 2 dr r dr
由式(4-3)得
(4-6)
利用分离变量法求解，方程具有如下形式的解：
( x, t ) ( x)T (t )
将(4-7)式代入(4-6)式
(4-7)
2 ( x) 1 dT (t ) k 1 2 ( x) DT (t ) dt L
(4-8)
11
上式两端必须等于某一常数，设为-B2，有
12
由于特征函数的正交性，对于每一个n值的项都是线形独立，因此对应于每一个 Bn2值和n(x)，都有一个Tn(t)与之对应
dTn (t ) k 1 1 2 2 Bn DTn (t ) dt L
该式可转换为
式中
1 dTn (t ) kn 1 Tn (t ) dt ln
(4-12)
初始条件为 边界条件为
(4-3) (4-4) (4-5)
a/2
0
( x,0) 0 ( x) a a ( , t ) ( , t ) 0 2 2
1 ( x, t ) k 1 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) D t L
x
a/2
无限平板反应堆
2 ( x) B2 ( x)
或
2 ( x) B2 ( x) 0
(4-9)
波动方程(4-9)式的通解为
( x) A cos Bx C sin Bx
( x) A cos Bx
由于初始通量密度分布0(x)关于x=0平面对称，因此只能选择满足对称条件的解，即 由边界条件(4-5)式可导出(x)满足如下的边界条件：(±a/2)=0
D及 a是对中子能谱平均后的数值； 在反应堆运行初期，须考虑外源中子，大多数情况下忽略外中子，认为 裂变中子是反应堆内中子的唯一来源
10?ຫໍສະໝຸດ ??2.均匀裸堆的单群扩散方程的解
无外源无限平板反应堆单群扩散方程
1 ( x, t ) D 2 ( x, t ) a ( x, t ) k a ( x, t ) t