经济利润问题中的利润最大化问题

2015湖北省公务员备考——经济利润问题中的利润最大化

问题

湖北华图 黄晖

在经济利润问题中，常常涉及到定价与利润的问题。在实际生活中，商品的价格除了受商品的价值量影响外，还收价值规律的影响。在成本一定的情况下，商品售价提高时，单价商品的利润会上升，但同时商品的销量会下降，二者是反比例关系。在公务员考试中，经常会根据这种反比例关系进行命题，条件是销量随着定价的升高而降低，要求求出商品总收入或者总利润最大，本质上是一个二次函数求最值的问题，方法主要有以下三种：

（1）求导法。对于任意的多次函数121210n n n n n n y a x a x a x a x a ----=+++

++，可以用求导法求出最值。当()()'12312211220

n n n n n n y na x n a x n a x a x a x -----=+-+-+++=时，求得的x 值代入原式可得到最大值或者最小值。

（2）配方法。二次函数()2

224024b ac b y ax bx c a x a a a -⎛⎫=++=++≠ ⎪⎝⎭，当0a >时，2b y a =-时，2

44ac b a

-为最小值；当0a <时，2b y a =-时，244ac b a -为最大值。 （3）不等式法。当a 、b 均大于0时，有()24

a b ab +≤，故a b +为定值时，当a b =时，ab 的乘积取得最大值。

【例1】（2013下半年-四川-55）某报刊以每本2元价格发行，可发行10万份，若该报刊单价每提高0.2元，发行量将减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元？

( )

A.24

B.23.5

C.23

D.22.5

【答案】D

【解析】方法一：设提价x 次，则售价为（0.2x ＋2）元，销量为（10－0.5x ）万份，则销售收入为。因为（x+10）与（20－x ）的和为定值，要使总的销售收入最大，需要，此时，此时销售收入为()()()()0.22100.50.11020y x x x x =+⨯-=⨯+⨯-1020x x +=-5x =

万元。因此，本题选择D 选项。

方法二：设提价x 次，则售价为（0.2x ＋2）元，销量为（10－0.5x ）万份，则销售收入为()()()2

20.22100.50.1200.1522.5y x x x x x =+⨯-=-++=--+，则x ＝5时，y ＝22.5为最大值。因此，本题选择D 选项。

方法三：设提价x 次，则售价为（0.2x ＋2）元，销量为（10－0.5x ）万份，则销售收

入为()()20.22100.50.120y x x x x =+⨯-=-++，导数为'0.210y x =-+=，即x ＝5时，y 有最大值，为22.5，即最大销售收入为22.5万元。因此，本题选择D 选项。

【例2】（2014下半年-重庆-68）某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出；当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的汽车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大？（ ）

A.155

B.165

C.175

D.185 【答案】D

【解析】方法一：设租金增加5x 元，则未出租的车增加4x 辆，则总收益为，要使总收益最大，需要满足，即，此时每辆车的日租金为。因此，本题选择D 选项。

方法二：设租金增加5x 元，则未出租的车增加4x 辆，则总收益为()()()22100520200420348002068016000y x x x x x x =+-⨯-=-++=-++，故当6801740

x ==时，日收益最大，此时日租金为1005185x +=元。因此，本题选择D 选项。 方法三：设租金增加5x 元，则未出租的车增加4x 辆，则总收益为

()()210052020042068016000y x x x x =+-⨯-=-++，导数'406800y x =-+=，即x ＝17

时，利润最大，此时日租金为1005185x +=元。因此，本题选择D 选项。

【例3】（2013-广东-52）一厂家生产销售某新型节能产品。产品生产成本是168元，销售定价为238元。一位买家向该厂家预订了120件产品，并提出如果产品售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中能获得的最大利润是（ ）元。

A.17920

B.13920

C.10000

D.8400

【答案】C 0.1151522.5y =⨯⨯=()()()()1005202004201650x x x x +-⨯-=+⨯-1650x x +=-17x =1005185x +=

【解析】方法一：销售降低2元，就多订购8件，即降低1元，多订购4件。原来的每件利润为238－168＝70元。设降价x 元，则总利润为()()()()70120447030y x x x x =-⨯+=-⨯+，要使总利润最大，需要7030x x -=+，即50x =时，此时最大利润为4505010000y =⨯⨯=元。因此，本题选择C 选项。

方法二：销售降低2元，就多订购8件，即降低1元，多订购4件。原来的每件利润为

238－168＝70元。设降价x 元，则总利润为()()270120441608400y x x x x =-⨯+=-++，当160208

x ==时，利润为5020010000y =⨯=元。因此，本题选择C 选项。 方法三：销售降低2元，就多订购8件，即降低1元，多订购4件。原来的每件利润为

238－168＝70元。设降价x 元，则总利润为()()270120441608400y x x x x =-⨯+=-++，

导数'81600y x =-+=，即x ＝20时，利润最大，此时利润为5020010000y =⨯=元。因此，本题选择C 选项。

经济利润问题是湖北省公务员考试中最接近生活实际的题型，常常结合生活实际考查，是每年必考的一类题型。而经济利润问题中的二次函数的最值问题，也是考试中较难的一类题型，但只要掌握了方法，按照方法求解，难度不大。最后，祝大家在2015湖北省公务员考试中取得优异的成绩！