排列(第一课时教案)

10．2排列 (第一课时)

教学目的：

1. 理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；

2. 能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；

3．掌握排列数的计算公式，能用排列数公式进行计算教学重点：排列、排列数的概念及排列数的计算

教学难点：排列数公式的推导教学过程：

一、复习引入： 1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法n m m m N +++= 21种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法

分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事

应用两种原理解题:

1.分清要完成的事情是什么；

2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；

3.有无特殊条件的限制

二、讲解新课： 1）问题：

问题1．2007年3月，我国15支中超俱乐部参加的2007年中超联赛将重燃战火，15支足球队将捉对厮杀，同学们能否计算出有多少场比赛？（比赛分主客场循环赛制）

问题2．从,,,a b c d 这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少

种不同的排法？

不同排法如下图所示：（方法指导-----枚举法）

abc bac cab dab

abd bad cad dac

acb bca cba dba

acd bcd cbd dbc

adb bda cda dca

adc bdc cdb dcb

2）归纳：这两个问题有什么共性？（共性：从若干个不同元素中，任取一些元素按一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？）

2．1）排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（m n

≤）个元素（这里的被取元素各不相同）

按照一定的顺序

．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

．．．．

2）辩析：

一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？

上述问题是不是排列问题？

注意：我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素．

例1: 下列问题是排列问题吗？

（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（不是排列）

（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（是排列）

（3）有10个车站，共需要准备多少种车票？

（是排列）

（4）有10个车站，共有多少种不同的票价？

（不是排列）

（5）从1到20十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（是排列）

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

“一定的顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同3．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（m n

≤）个元素的所有排列的个数叫做从n个

元素中取出m元素的排列数，用符号m

n

A表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．

排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列

4．排列数公式及其推导：

由2n A 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从

n 个元素12,,n a a a 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，

所有不同的填法的种数就是排列数2n A ．由分步计数原理完成上述填空共有

(1)n n -种填法，∴2n

A =(1)n n - 由此，求3n A 可以按依次填3个空位来考虑，∴3n A =(1)(2)n n n --，

求m n A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+，

排列数公式：

(1)(2)(1)

m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *

∈≤）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；

（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）

三、讲解范例：

例1．（课本P102）计算：（1）316A ； （2）66A ； （3）46A ．

例2．（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．

（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ．

例3．（1）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？55A