第1部分：质点动力学01

Biblioteka Baidu

2 定常约束和非定常约束 2. 定常约束 定常约束：
,t 0 非定常约束：f r1 , r2 , r3 , , rn ; r1 , r2 , r3 , , r n
3. 双侧约束和单侧约束 约束方程是等式表示为双侧约束；若约束方程含有不 等式为单侧约束。 单侧约束只在某一侧限制系统的运动, 至于向另一侧的 运动则是完全自由的. 例如单摆的不可伸长的悬绳限制 摆球不得向绳伸长的方向 动 但向绳缩短的方向 动 摆球不得向绳伸长的方向运动，但向绳缩短的方向运动 却是自由的.
主要内容: • 分析力学的基础知识
• • • • • • 虚功原理 哈密顿原理 拉格朗日方程 拉格朗日方程的广义动量积分和广义能量积分 多自由度系统在稳定平衡位置附近的微振动 拉格朗日方法的特点和意义 对称性与守恒律
动力学的研究对象&约束
动力学的研究对象__ 力学模型
质点：只有质量、没有大小的物体。 质点系：由若干质点组成的 有内在联系的集合 质点系：由若干质点组成的、有内在联系的集合。 刚体 特殊的质点系 任两点的距离保持不变 刚体：特殊的质点系，任两点的距离保持不变。 柔体：基本的质点系，任两点的距离保持可能会变。
f r1 , r2 , r3 , , rn , t 0
是否完整约束没对质点 的速度有限制? 完整约束的 微商形式
n
对时间求导
f f f f i i i ) ( x y z 0 yi z i t i 1 x i
f f f f ( dt 0 dxi dyi dzi ) yi z i t i 1 x i
y
B
C
x2 , y 2
y
A
z2 0
O
x1 , y1
x 2 x1
y1 y 2 yC 2 y 2 y C 1 y 2
2
y 2 y1 l 2
2
1 x 2 x C C点的速度： x 2 1 y 2 y 2 y1 y 则约束方程为： 或 1 x 2 x x 2 x1
我的困惑
如何使学生既掌握数学分析的方法又理解力学的物理本质； 难于找到合适的应用例题，传统例题过于简单，反映不出动力学的 威力 ，有如杀鸡用牛刀。
第6页
动力学的研究对象&约束
动力学的研究对象__ 动力学的两大特点
数学方法上的严密性，用纯分析的方法进行推理 和论证是这门课程的传统特点 和论证是这门课程的传统特点； 适用范围的广泛性，用最一般的方法、方式讨论 了系统可能遇到的各种约束条件，包括了实际可能 出现的各种离散系统。 出现的各种离散系统 与初等力学相比，动力学令人感到十分抽象而 不易理解，本质的东西被复杂冗长的数学推导所掩 盖。


--------约束方程,即坐标和速度必需满足约束条件的数 学方程. 例如: 1.长为 l 的刚性轻杆,一端被光滑铰链悬挂在天花 板，另一端与小球连接组成球面摆。 端 连接
x y z l 0
2 2 2 2
2. 半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动,车轮受 到轨道约束,约束方程为:
c 0 yc R y 初始条件 ,积分 c R 0 xc R 0 x
非完整约束举例分析： 考虑一个冰面上滑行的冰鞋上装有的冰刀,冰面限制 使得冰刀只有纵向速度 则以冰刀质心坐标和转角 使得冰刀只有纵向速度，则以冰刀质心坐标和转角 为位置坐标，其冰刀的约束方程为
c x cot dxc cot dy yc c y
三. 自由度
对于完整系，确定系统位置所需要的独立坐标的数目， 称为该系统的自由度。 称为该系统的自由度 n 个质点， 个质点 k 个约束的系统的自由度： 个约束的系统的自由度
第9页
§2.1 分析力学的基础知识 § 一. 约束
由约束物体预先给定对力学系统运动的限制,称为约束. 可表现为对系统各质点位置和速度限制,其数学表达式 为:
,t 0 f r1 , r2 , r3 , , rn ; r1 , r2 , r3 , , r n
数学分析：高等数学、常微分方程、微分几何、拓扑学、实变函数、… 1788年，Lagrange：《Mécanique Analylique》 拉格朗日在书的序言中曾自豪地说“本书中无一图 拉格朗日在书的序言中曾自豪地说 本书中无一图，在我所要阐明的 在我所要阐明的 方法既不需要作图，也不需要任何几何或力学的论述，而仅需要按照统一 规定的步骤进行代数运算。爱好分析的人将会高兴地看到并感谢我使力学 规定的步骤进行代数 算 爱好分析的人将会高 地看到并感谢我使力学 称为分析的一个分支” 讲授动力学难点有二：
s 624
四. 广义坐标
在给定的约束条件下确定力学系统空间位置的一组 q1 , q2 , , qs 表示 独立变 独立变量，称为广义坐标，用 称为广义坐标 表 ,其对时 其 时 间的导数为广义速度: q 广义坐标 q i可以是长度、面积、体积、分子内能、熵、 热量和电极化强度等广延量 度等广 ,摆脱了牛顿力学对坐标限制 脱 学 . 坐标变换方程:
第8页
动力学的研究对象&约束
动力学的研究对象__ 动力学在一般力学学科的地位
近年来，由于科学技术的高速发展，建立了许 多新学科，如宇宙力学、自动控制、运动与过程控 制等理论 与动力学密切相关 互相渗透 制等理论，与动力学密切相关，互相渗透。 动力学 动力学的基本方法和原则对研究刚体力学、振 本方 则对研究刚体力学 振 动理论、运动稳定性理论、回转仪和天体力学是必 需的基本知识 这些专题的研究又丰富了动力学的 需的基本知识，这些专题的研究又丰富了动力学的 内容 内容。
n
非完整约束: 约束方程含有质点的坐标、坐标对时间的 导数或坐标的微分,并且不能通过积分使之转化为仅包 含坐标和时间的完整约束方程的约束.
,t 0 f r1 , r2 , r3 , , rn ; r1 , r2 , r3 , , r n
不受非完整约束的系统为完整系，反之为非完整系； 这里我们只研究完整系。
x i x i ( q 1 , q 2 , , q s ; t ) y i y i ( q 1 , q 2 , , q s ; t ) z i z i ( q 1 , q 2 , , q s ; t ) ri ri (q1 , q2 ,, qs ; t ) ( i 1,2,, n)
第7页
动力学的研究对象&约束
动力学的研究对象__ 动力学的发展史 1788年：法国学者 Lagrange出版“动力学”（Mécanique Analylique） 引入广义坐标，建立力学最重要的动力学方程； 1834年：英国学者 年 英国学者Hamilton，引入广义动量的概念，建立另 引 广义动量的概念 建立另 一套形式完整的力学系统方程－正则方程（Canonic equation ） 以偏微分方程形式出现的动力学方程 ），以偏微分方程形式出现的动力学方程； 1837年：Jacobi用正则方程解动力学问题的完整理论，合称 H ilt J bi方程 Hamilton-Jacobi 1894年：德国学者Hertz提出完整系统与非完整系统的区别 ，奠定了非完整系统 奠定了非完整系统 1879年：Gibbs 吉普斯得到实用与非完整系统的动力学方程 但当时无人理解他的成果的重要性 ，但当时无人理解他的成果的重要性。 1896年：Appell 出版“理性力学”，重新得到动力学方程， 随后发现存在严重错误并予以改正 随后发现存在严重错误并予以改正。
s 3 n k 个（完整系）
例1:细杆AB一端被约束在水平面上,长为 l ,确定其自由度。 ( x A , yA , z A ), ( xB , yB , z B )
zA 0 2 2 x A x B z A yB 2 2 x z l A B
第二章 质点系动力学

本章介绍分析力学的基础知识,并阐述分析 力学的变分原理,即微分变分原理(虚功原理) 和积分变分原理(哈密顿原理)，并由哈密顿 原理导出拉格朗日方程.
本章要求:掌握约束方程的不同分类,理解掌 握虚位移和理想约束的概念,并利用虚功原 理 哈密顿原理处理力学系统的问题 以及 理、哈密顿原理处理力学系统的问题，以及 用拉格朗日方法建立完整约束的有势系的运 动微分方程.

O
xC
A
dt 0 C dt r x

dxC dr 0
x1 x 2 C点的坐标 ： xC 2
1 y 2 x 2 x1 x 1 x 2 y 2 y1 y
第19页
例3：半径为r的圆柱在粗糙的平直轨道上滚动而不滑动
y
C
yC
C x

yC r
0 C r vA x
x
几何约束 运动约束
A yB y A zB z A
A yB y A zB z A y A x B x A z A x B x A 0 x
C x B x A
第18页
B x B x A
例2：两质点以刚性杆连接，杆长为l，在(x, y)平面内运动，约束条件为杆 中点的速度始终沿杆向。 约束方程： z1 0
动力学的研究对象是质点系
第3页
动力学的研究对象&约束
动力学的研究对象__ 模型的分类
自由质点：质点的位置和运动不受限制，称为自由 质点。 质点 非自由质点：质点的位置和运动受到限制，称为非 自由质点。 自由质点 自由质点系（自由系统）：由自由质点组成的、有 内在联系的集合称为～（位置和质点不 受限制 受限制）。 非自由质点系（非自由系统）：由非自由质点组成 的 有内在联系的集合称为～（位置和 的、有内在联系的集合称为 （位置和 质点受到限制）。
第4页
动力学的研究对象&约束
动力学的研究对象__ 动力学的研究对象
质点系力学 质点个数n=1,2,…, 质点系力学：质点个数 =1 2 ∞。 故研究对象包括质点力学和刚体力学 近代把动力学的研究方法扩充到研究流体力学、固 体力学形成连续介质动力学。
第5页
动力学的研究对象&约束
动力学的研究对象__ 动力学的研究方法 分析力学 运用纯粹数学分析的方法研究质点系的机械运动。
3. 一质点始终在球心固定的球面上运动 质点始终在球心固定的球面上运动,球的半径为 R R0 at , 质点的约束方程为
x y z R0 at 0
2 2 2 2
二 约束的分类 二.
根据约束方程的不同特点对约束进行分类. 1. 完整约束和非完整约束 约束方程仅含质点的坐标和时间的约束,称为完整约束.
练习：
例1：跟踪系统，见示意图，A，B两个运动质点，其速度分别为 v 、 ， v A B 要求A点的速度始终指向B点。
z
B
vB
A yB y A y 约束方程： x A xB x A
A zB z A z A xB x A x
A
vA
O x
y
或
A x B x A x A yB y A 0 y A z B z A 0 A x B x A x z

0 f r1 , r2 , r3 , , rn ; r1 , r2 , r3 , , r n



4 理想约束和非理想约束 4. 根据约束力的性质可分为理想和非理想约束，这部分 内容在2.1.2节中阐述。
举例分析以上四种不同角度对 约束方程的分类。