2-1控制系统的时域数学模型
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自动控制原理课程授课计划教案1
自动控制原理授课计划教案本课程主要教学内容安排表采用教材及教学大纲情况表备注：教学手段主要是、自动控制的基本概念（0.5学时）自动控制技术（人工控制和自动控制）2、自动控制系统的分类（0.7学时）自动控制系统的分类（1）分类方法（2）分类控制系统的几个概念线性、非线性、连续、离散、定常、时变等3、自动控制系统的发展简史（0.5学时）1．控制理论胚胎与萌芽期2．经典控制理论的孕期与形成时期(Classical Control)3．现代控制时期(Modern Control)4．智能控制时期4、对自动控制系统的基本要求（0.2学时）1．基本要求的提法（1）稳定性（2）快速性（3）准确性●教学小结与拓展：自动控制的基本原理和方式●布置作业或思考题：简述自动控制原理教案●新课导入：通过案例，导入本课内容●教学过程和教学内容设计：§2-1控制系统的时域数学模型（0.4学时）一、数学模型（0.2学时）1．数学模型的概念2．数学模型的形式3．数学模型的建立二、列写微分方程的一般方法（0.2学时）举例说明列写微分方程的一般方法§2-2控制系统的复数域数学模型（1.6学时）一、传递函数的定义（0.2学时）二、传递函数的局限性（0.2学时）三、传递函数的性质（0.3学时）四、传递函数的表达形式（0.3学时）1．零—极点表达形式2．时间常数表达形式五、典型环节及其传递函数（0.6学时）1．比例环节 2．惯性环节 3．一阶微分环节 4．积分环节5．理想微分环节 6．振荡（二阶振荡）环节 7．二阶微分环节8．延迟环节●教学小结与拓展：传递函数的概念、定义和性质；传递函数的求取方法。
●布置作业或思考题：课后习题教案首页-学年第一学期顺序号：（ 3 ）●新课导入：通过案例，导入本课内容●教学过程和教学内容设计：一、结构图的等效变换及简化举例讲解等效变换的应用二、信号流图及梅森增益公式1．信号流图的组成及性质（1）信号流图（2）信号流图使用的术语（3）信号流图的性质（4）信号流图的绘制（5）信号流图的等效变换2．梅森增益公式（1）梅森增益公式（2）举例（案例分析）●教学小结与拓展：结构图的等效变换；梅森增益公式。
自控第2章(1)
例1 试列写如图所示RLC无源网络的微分方程 试列写如图所示RLC RLC无源网络的微分方程
解: (1) 确定电路的输入量和输出量 ＋ (2) 列出原始微分方程式 (3) 消去中间变量，把微分方程 ur(t) 消去中间变量， 整理成标准形式 －
L R i C － ＋ uc(t)
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = ur ( t ) 2 dt dt
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 KmKt )
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′ = KC KC
(i + K1K2 K3 Km Kt )
2.2 控制系统的复数域数学模型
2.2.1传递函数 2.2.1传递函数 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 传递函数：是在零初始条件下， 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统， 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； r(t)以及其各阶导数均为零 t=0时，系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； 二是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0 c(t)及其各阶导数在t=0时的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
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自动控制理论
制作人：范 娟 制作人：
课堂练习
如图a和 所示均为自动调压系统 设空载时， 所示均为自动调压系统。 与图b 如图 和b所示均为自动调压系统。设空载时，图a与图 与图 发电机端电压均为110V。试问 带上负载后，图a与图 所示系 带上负载后， 与图b所示系 发电机端电压均为 。 与图 统哪个能保持110V电压不变？哪个系统的电压会稍低于 电压不变？ 统哪个能保持 电压不变 哪个系统的电压会稍低于110V？ ？ 为什么？ 为什么？
2-1控制系统的时域数学模型
(2)消去中间变量 i(t) (2) (t)
duo (t ) ui (t ) = RC + uo (t ) dt
(3)标准化
duo (t ) RC + uo (t ) = ui (t ) dt
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
由基尔霍夫电压定律
机械力学系统的数学模型： 机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
相似系统 相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
小结
取一次近似， 取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [θ0 ,ϕ0 ]
Class is over. ByeBye-bye!
式中：
T1 = R1C1
T2 = R2C2
T3 = R1C2
牛顿定律约束
机械系统
例3 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体受 到的外作用力，y(t)为物体的 位移。试列写质量m在外力 F(t)作用下，位移y(t)的运动 方程。
元件约束
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt dt
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理ch2
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 二 非线性微分方程的线性化 1 非线性问题的提出 这种将非线性微分方程在一定条件下近似转化为 线性微分方程的方法，称为非线性微分方程线性化。 尽管经过线性化得到的线性微分方程只是有条件、 近似的描述系统的动态特性，但却能使系统动态特性 的分析工作大为简化。
数值亦增大同样的倍数。因此可以采用单位典型外作用(例如 1-单位阶跃函数2-单位脉冲函数)对系统进行分析研究，既简 化了问题又不影响结果的正确性。
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 二 非线性微分方程的线性化
1 2
非线性问题的提出 非线性线性化方法
第二章 控制系统的数学模型
平衡点附近展开泰勒级数。
2 dy 1d y ( x − x0 ) +L y = f ( x ) = y0 + x0 ( x − x0 )+ 2 x0 dx 2! dx 2
忽略二次以上的各项，上式可写成：
dy y = f ( x ) = y0 + x0 ( x − x0 ) dx
Δy
y
y0
y
Δy
A
Δx
第二章 控制系统的数学模型 2-0 引言
输入量
θr
输出量
工作机械
ur
uc
放 大
θc
Ri
Li
θm
us
器
ur
ia
自动控制系统加上输入信号以后，输出量的运动 方程可以用联系输入量和输出量的微分方程加以描 述。因为它既能定性又能定量地描述整个系统的运 动方程，所以微分方程是系统的一种数学模型。
第二章 控制系统的数学模型 2-0 引言
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
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控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制系统的数学模型(卢京潮课件)
取一次近似，且令
y( x ) y( x ) y( x0 )
E0 sin x0 ( x x0 )
即有
y E0 sin x0 x
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
s j
复函数 F ( s ) Fx ( s ) jF y ( s ) 例1 F ( s ) s 2 2 j
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i (t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
例7 例8 例9
1 1 L 1 t e Le ss sa sa s3 s - 3t 2 L e cos 5t 2 2 2 s 3 5 s 5 s s 3
f (t ) e
F ( s ) F ( s A) 右 dt源自00
0
0-f 0 s f t e st dt sF s f 0 右
L f n t s n F s s n-1 f 0 s n- 2 f 0 sf n- 2 0 f n1 0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程（1）
y( x ) y( x ) y( x0 )
E0 sin x0 ( x x0 )
即有
y E0 sin x0 x
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
s j
复函数 F ( s ) Fx ( s ) jF y ( s ) 例1 F ( s ) s 2 2 j
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i (t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
例7 例8 例9
1 1 L 1 t e Le ss sa sa s3 s - 3t 2 L e cos 5t 2 2 2 s 3 5 s 5 s s 3
f (t ) e
F ( s ) F ( s A) 右 dt源自00
0
0-f 0 s f t e st dt sF s f 0 右
L f n t s n F s s n-1 f 0 s n- 2 f 0 sf n- 2 0 f n1 0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程（1）
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
第1讲 控制系统的时域数学模型
例.试列出图示弹簧-阻尼器-质量的机械位移系统的 运动方程。输入量为外力F，输出量为位移x。
F m f
k
x
解：图中，m为质量，f为粘性阻 尼系数，K为弹性系数。先对 质量块进行受力分析，然后 根据牛顿定理，可列出该系 统的微分方程如下：
m x f x Kx F
x为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m、f和K的单位分别为： , N .s / m, N / m kg
例：在例2-8中，若已知 L 1H , C 1F , R 1 ，且电容上初始电 u0 (0) 0.1 i0 ( 1A 压 ，初始电流 V ，电源电压0) 0.。试求电 路突然接通电源时，电容电压 的变化规律。 ui (t ) 1V u0 (t ) 解：在前例中已求得网络微分方程：
令 x x x0 K ( df ( x) / dx) x0
y Kx
略去增量符号
y f (x)
y Kx
K (df ( x) / dx) x0 是比例系数，是函数f ( x)在A点的切线斜率。
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作 状态是可行的。原因：
自动控制系统在正常情况下都处于稳定的工作状 态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一致， 控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望 值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减 小或消除这个偏差，因此，控制系统中被控量的偏 差一般不会很大，只是“小偏差”。 在建立控制系统数学模型时，通常是将系统的 稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运 动情况，也就是只研究相对于平衡状态下，系统输 入量和输出量的运动特性，这正是增量线性化方程 所描述的系统特性。
y
y0
df dx x0 y f (x)
自动控制原理第2版全篇
=
△
- + - 其中:△称为系统特征式 △= 1 ∑La ∑LbLc ∑LdLeLf+…
—∑La 所有单独回路增益之和
∑L∑和dLLebLLf—c—所有所三有个互两不两接互触回不路接增益触乘回积路之增和益乘积之
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
△k称为第k条前向通路的余子式 去掉第k条前向通路后所求的△
x0
(x x0 )
1 d 2 f (x)
2!
dx2
x0
(x x0 )2
忽略二阶以上各项，可写成
y
f
(x0 )
df (x)
dx x0
(x
x0 )
2、对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量 为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作 点为y0＝ f(x10, x20) 。
注意：相加点和分支点一般不能变位
25
2.3.3闭环传递函数
1、给定输入单独作用下的系统闭环传递函数
(s) G1G2 G1G2 1 G1G2H 1 Gk
2、扰动输入单独作用下的闭环系统
n
(
s)
1
G2 G1G2
H
G2 1 Gk
3、误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信 号的拉氏变换之比。
（1）给定输入单独作用下的闭环系统
Er
(
s)
1
1 G1G2
H
1 1 Gk
（2）扰动输入单独作用下的闭环系统
En
(
s)
1
G2 H G1G2
H
G2H 1 Gk
4)给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输
出量和偏差输出量
自动控制原理胡寿松第六版
便于求出其传递函数。 作用：对复杂系统，可以避免解线性方程组求传递函数。
为避免发生错误，在变换过程中应遵循的原则： ➢前向通道各环节传递函数的乘积保持不变； ➢闭合回路各环节传递函数的乘积保持不变； 1）串联环节的简化：多个环节串联的作用等于一个环节的作用。
这个环节的传递函数等于这几个串联环节的乘积。
信号在这地方分成若干路，流向不同的地方，每一路
(s)
的信号完全相同。通常这种情况出现在信号测量处，
所以也称为测量点。
➢比较点（或综合点）：若干信号的汇合点，经过加 （减）运算，形成一个新的信号。流入信号增加使流 ui (t)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e(t )
出信号增加，在线段旁注“+”；流入信号增加使流出 信号减小，在线段旁注“—” 。通常将“+”符号省略。
解调与直流放大电路：Ua (s) K0U2 (s)
U2 (s) U~ (s) Ut (s)
其中： 直U a流放大器输出， 内U回t 路反馈电压。
直流电动机：
m (s) Ua (s)
s(TKm sm电1)动机的m转角。
内回路反馈电压： Ut (s) Kt sm (s)
其中：Kt测速电机转换系数， 分压系数。
T12s2 3T1s 1 T2s 1
u2
K0 ua
Km s(Tms 1)
m 1/i
r
l
u校
ut
K
校
s Ts
1 1
up
Kt s
K1
• 结构图的等效变换和简化
等效变换：用另外一种方式，画系统结构图，但保持系统传递关系 不变，即系统的输入输出传递函数保持不变。
化简：用简单的结构图表示复杂的结构图。 目的：通过等效变换，使一个复杂的系统结构，变成简单的结构，
为避免发生错误，在变换过程中应遵循的原则： ➢前向通道各环节传递函数的乘积保持不变； ➢闭合回路各环节传递函数的乘积保持不变； 1）串联环节的简化：多个环节串联的作用等于一个环节的作用。
这个环节的传递函数等于这几个串联环节的乘积。
信号在这地方分成若干路，流向不同的地方，每一路
(s)
的信号完全相同。通常这种情况出现在信号测量处，
所以也称为测量点。
➢比较点（或综合点）：若干信号的汇合点，经过加 （减）运算，形成一个新的信号。流入信号增加使流 ui (t)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e(t )
出信号增加，在线段旁注“+”；流入信号增加使流出 信号减小，在线段旁注“—” 。通常将“+”符号省略。
解调与直流放大电路：Ua (s) K0U2 (s)
U2 (s) U~ (s) Ut (s)
其中： 直U a流放大器输出， 内U回t 路反馈电压。
直流电动机：
m (s) Ua (s)
s(TKm sm电1)动机的m转角。
内回路反馈电压： Ut (s) Kt sm (s)
其中：Kt测速电机转换系数， 分压系数。
T12s2 3T1s 1 T2s 1
u2
K0 ua
Km s(Tms 1)
m 1/i
r
l
u校
ut
K
校
s Ts
1 1
up
Kt s
K1
• 结构图的等效变换和简化
等效变换：用另外一种方式，画系统结构图，但保持系统传递关系 不变，即系统的输入输出传递函数保持不变。
化简：用简单的结构图表示复杂的结构图。 目的：通过等效变换，使一个复杂的系统结构，变成简单的结构，
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
《自动控制原理》-胡寿松-002-自动控制原理-第二章ppt
3
2-0 预备知识—牢记一些典型时域数学模型
1.电容 2 .电感 3弹簧弹性力 4 阻尼器 5 牛顿定律 6 电机 7 二阶方程的通解
4
§2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换
▪ 傅里叶 变换 自学
5
拉氏变换及其性质
1.定义 X (s) x(t )est dt 0 记 X(s) = L[x(t)]
24
2.2 时域模型 - 微分方程
2.2.1. 建立系统或元件微分方程的步骤
I. 确定元件输入量和输出量
II. 根据物理或化学定律，列出元件的原始方 程
III. 在可能条件下，对各元件的原始方程进行 适当简化，略去一些次要因素或进行线性 化处理
IV. 消去中间变量，得到描述元件输入和输出 关系的微分方程
t
0
t
0
t0
0
t
A
解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 )
X (s) A A et0s A (1 et0s )
ss
s
13
例2-7 求e at 的拉氏变换。
解:
X (s) eat est dt
1
e(as)t
1
0
as
0 sa
X (s) L 1(t )eat 1 sa 例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。 解：
论： （1） D(s) = 0无重根。
16
X (s) c1 c2
cn
n
ci
(s p1 ) (s p2 )
(s pn ) i1 (s pi )
式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。
ci
lim(s
2-0 预备知识—牢记一些典型时域数学模型
1.电容 2 .电感 3弹簧弹性力 4 阻尼器 5 牛顿定律 6 电机 7 二阶方程的通解
4
§2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换
▪ 傅里叶 变换 自学
5
拉氏变换及其性质
1.定义 X (s) x(t )est dt 0 记 X(s) = L[x(t)]
24
2.2 时域模型 - 微分方程
2.2.1. 建立系统或元件微分方程的步骤
I. 确定元件输入量和输出量
II. 根据物理或化学定律，列出元件的原始方 程
III. 在可能条件下，对各元件的原始方程进行 适当简化，略去一些次要因素或进行线性 化处理
IV. 消去中间变量，得到描述元件输入和输出 关系的微分方程
t
0
t
0
t0
0
t
A
解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 )
X (s) A A et0s A (1 et0s )
ss
s
13
例2-7 求e at 的拉氏变换。
解:
X (s) eat est dt
1
e(as)t
1
0
as
0 sa
X (s) L 1(t )eat 1 sa 例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。 解：
论： （1） D(s) = 0无重根。
16
X (s) c1 c2
cn
n
ci
(s p1 ) (s p2 )
(s pn ) i1 (s pi )
式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。
ci
lim(s
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
23
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
自动控制原理2控制系统的时域数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 2-1 控制系统的时域数学模型(2) • 2-2 控制系统的复域数学模型(2) • 2-3 控制系统的结构图(4)
2-1 控制系统的时域数学模型
• 1.线性元件的微分方程 • 2.控制系统微分方程的建立 • 3.线性系统的特性 • 4.线性定常微分方程的求解 • 5.非线性元件微分方程的线性化 • －－切线法或小偏差法
uo (t )
ui (t )
uo (t)
1.线性元件的微分方程(2)
例：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：由牛顿运动定律有
d 2 x(t)
m dt 2
F (t) F1 (t) F2 (t)
F (t) f dx(t) Kx(t) dt
2.控制系统微分方程的建立(1)
步骤：
① 原理图
方块图；
② 分别列写各元件的微分方程；
③ 消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。
注意：
1）信号传递的单向性。即前一个元件的输出量是后一个元件的输入，一级一级地单向 传递。
2）前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。如齿轮系统对电动机转动惯量的 影响等。
当增量(
x )很x0小时，略去其d高f (次x)幂项，则有
令 y y0 f (x) f (x0 ) ( dx )x0 (x x0 )
则线性y 化 方y 程y可0 简f记(x为) f (x0) x x x0 K (df (x) / dx)x0
略去增量符号 ，便得函数y=f(x)y在工K作点xA附近的线性化方程
式中F1（t）是阻尼器阻力，F2（t）是弹簧弹力
比较:
LC
• 2-1 控制系统的时域数学模型(2) • 2-2 控制系统的复域数学模型(2) • 2-3 控制系统的结构图(4)
2-1 控制系统的时域数学模型
• 1.线性元件的微分方程 • 2.控制系统微分方程的建立 • 3.线性系统的特性 • 4.线性定常微分方程的求解 • 5.非线性元件微分方程的线性化 • －－切线法或小偏差法
uo (t )
ui (t )
uo (t)
1.线性元件的微分方程(2)
例：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：由牛顿运动定律有
d 2 x(t)
m dt 2
F (t) F1 (t) F2 (t)
F (t) f dx(t) Kx(t) dt
2.控制系统微分方程的建立(1)
步骤：
① 原理图
方块图；
② 分别列写各元件的微分方程；
③ 消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。
注意：
1）信号传递的单向性。即前一个元件的输出量是后一个元件的输入，一级一级地单向 传递。
2）前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。如齿轮系统对电动机转动惯量的 影响等。
当增量(
x )很x0小时，略去其d高f (次x)幂项，则有
令 y y0 f (x) f (x0 ) ( dx )x0 (x x0 )
则线性y 化 方y 程y可0 简f记(x为) f (x0) x x x0 K (df (x) / dx)x0
略去增量符号 ，便得函数y=f(x)y在工K作点xA附近的线性化方程
式中F1（t）是阻尼器阻力，F2（t）是弹簧弹力
比较:
LC
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ui
(t)
RC
duo (t) dt
uo
(t)
(3)标准化
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
解：对L1，由KVL得 ui (t) uR1(t) uC1(t) 0
对L2，由KVL得 uC1(t) uR2 (t) uo (t) 0
➢ 数学模型建立（建模）的方法
❖ 分析法 ❖ 试验法
二 时域数学模型-微分方程
➢微分方程的一般形式
单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程 的一般形式为：
dn
d n1
d
a0 dt n c(t) a1 dt n1 c(t) an1 dt c(t) anc(t)
b0
dm dt m
r(t) b1
第二章 控制系统的数学模型
第一节 时域数学模型 —微分方程
第一节 控制系统的时域数学模型
项目
内容
教学目的
如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物 理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何
建立控制系统的时域数学模型。
教 学 重 点 如何建立控制系统的时域数学模型。
教 学 难 点 关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂， 及 其 处 理 逐步分层次讲解。
一 引言
➢ 数学模型的基本概念
中学时的函数概念：
研
y f (x) x 自变量，y 因变量
究 对
在电路的学习中对函数概念的理解：
象 的
复
激励x 电路系统 响应y
自动控制系统对函数概念的理解：
杂 程 度
加
控制量x 控制系统 被控制量y
深
同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式 发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的概 念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可 以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题， 可以通过自动控制原理课程把数学、工程、控 制三者联系统一起来。
位移y(t)的运动过程如何变化？
作业： 2-2 2-3 2-4
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r (t )
bm r (t )
式中，c(t)是输出量；r(t)是输入量。为了所表示系统
的可实现性，一般限定m n。
➢建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤
1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量 和输出量；
2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化 学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列 写原始方程式，构成微分方程组；
小结
建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤
1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量 和输出量；
2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化 学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列 写原始方程式，构成微分方程组；
3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及 其各阶导数的微分方程；
4、标准化。
列出各元件的输入变量和输出变量的关系式
R1：uR1(t) R1i1(t)
R2：uR2 (t) R2i2 (t)
C1：uC1 (t )
1 C1
[i1(t) i2 (t)]dt
C2：uo
(t )
1 C2
i2 (t)dt
R1C1R2C2
d
2uo (t) dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
duo (t) dt
Ff
(t
)
m
d
2 y(t dt 2
)
由虎克定律：
Fk (t) k[ y(t) y0 ]
摩擦力和速度成正比：
其中ky0 mg
Ff (t) f v f dy(t) dt
2、消去中间变量Fk(t)和Ff(t)，并整理得： f
m
d
2 y(t) dt 2
f
dy(t) ky(t) F (t) dt
❖提醒注意 两级滤波电路网络的数学模型：
R1C1R2C2
d
2uo (t) dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
duo (t) dt
uo (t)
ui
(t )
机械力学系统的数学模型：
d 2 y(t) dy(t)
m
dt 2
f
dt
ky(t) F (t)
相似系统
相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
ui (t)
机械系统
例4 一个由弹簧、质量、
阻尼器组成的做直线运动的力
学系统。图中，m为物体的质
量，k为弹簧系数，f为粘性摩
擦(阻尼)系数，F(t)为物体受
到的外作用力，y(t)为物体的
f
位移。试列写质量m在外力F(t)
作用下，位移y(t)的运动方程。
1、由牛顿第二定律：
F
(t
)
mg
Fk
(t
)
数学模型的定义：能够描述控制系统输出 量和输入量数量关系的表达形式。
实际物理系统 理想化 物理模型 数学化 数学模型 线性化
线性数学模型无量纲化 可用数学模型 标准化 标准数学模型
➢ 数学模型的分类
按输入输出的表达形式 微分方程（时间域） 传递函数（复数域） 动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）
解：1、由KCL： i0 (t) i1(t) 0
由KVL： R0i0 (t) ui (t)
R1i1
(t
)
1 C
i1(t)dt uo (t)
2、消去中间变量 i0 (t)、i1(t) 并标准化，得：
R0C
duo (t) dt
R1C
dui (t) dt
ui
(t)
或
duo (t) dt
T
dui (t) dt
机械系统
m
d
2 y(t dt 2
)
f
dy(t) ky(t) F (t) dt
例4 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体 受到的外作用力，y(t)为物 体的位移。试列写质量m在 外力F(t)作用下，位移y(t)的 运动方程。
uo
(t )
ui (t)
或
T1T2
d
2uo (t) dt 2
(T1
T2
T3 )
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
式中： T1 R1C1 T2 R2C2 T3 R1C2
❖提醒注意
上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的 输入，直接利用例1的结论，可列方程如下：
R1C1
duc1 (t ) dt
3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及 其各阶导数的微分方程；
4、标准化。
电气系统
例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
解：(1)由KVL，得
ui (t) Ri(t) uo (t)
又因为
i(t) C duo (t) dt
(2)消去中间变量 i(t)
uc1 (t )
ui
(t)
R2C2
duo (t) dt
uo (t)
uc1 (t )
消去中间变量uc1(t)，得：
R1C1R2C2
d
2uo (t) dt 2
(R1C1
R2C2 )
duo (t) dt
uo (t)
ui
(t )
原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。
负载效应
例3 由理想运算放大器组成的有源网络如图，列写以ui(t) 为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
非线性数学模型线性化
实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：
弹簧系数 是位移的函数 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关 电动机本身的摩擦、死区
思考
电气系统
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入
量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
uo(t)输出量的变化过程是什么？