2-1控制系统的时域数学模型

uc1 (t )
ui
(t)
R2C2
duo (t) dt
uo (t)
uc1 (t )
消去中间变量uc1(t)，得：
R1C1R2C2
d
2uo (t) dt 2
(R1C1
R2C2 )
duo (t) dt
uo (t)
ui
(t )
原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。
负载效应
例3 由理想运算放大器组成的有源网络如图，列写以ui(t) 为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
非线性数学模型线性化
实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：
弹簧系数 是位移的函数 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关 电动机本身的摩擦、死区
思考
电气系统
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入
量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
uo(t)输出量的变化过程是什么？
解：1、由KCL： i0 (t) i1(t) 0
由KVL： R0i0 (t) ui (t)
R1i1
(t
)
1 C
i1(t)dt uo (t)
2、消去中间变量 i0 (t)、i1(t) 并标准化，得：
R0C
duo (t) dt
R1C
dui (t) dt
ui
(t)
或
duo (t) dt
T
dui (t) dt
列出各元件的输入变量和输出变量的关系式
R1：uR1(t) R1i1(t)
R2：uR2 (t) R2i2 (t)
C1：uC1 (t )
1 C1
[i1(t) i2 (t)]dt
C2：uo
(t )
1 C2
i2 (t)dt
R1C1R2C2
d
2uo (t) dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
duo (t) dt
小结
建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤
1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量 和输出量；
2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化 学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列 写原始方程式，构成微分方程组；
3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及 其各阶导数的微分方程；
4、标准化。
uo
(t )
ui (t)
或
T1T2
d
2uo (t) dt 2
(T1
T2
T3 )
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
式中： T1 R1C1 T2 R2C2 T3 R1C2
❖提醒注意
上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的 输入，直接利用例1的结论，可列方程如下：
R1C1
duc1 (t ) dt
ui
(t)
RC
duo (t) dt
uo
(t)
(3)标准化
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
解：对L1，由KVL得 ui (t) uR1(t) uC1(t) 0
对L2，由KVL得 uC1(t) uR2 (t) uo (t) 0
❖提醒注意 两级滤波电路网络的数学模型：
R1C1R2C2
d
2uo (t) dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
duo (t) dt
uo (t)
ui
(t )
机械力学系统的数学模型：
d 2 y(t) dy(t)
m
dt 2
f
dt
ky(t) F (t)
相似系统
相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
➢ 数学模型建立（建模）的方法
❖ 分析法 ❖ 试验法
二 时域数学模型-微分方程
➢微分方程的一般形式
单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程 的一般形式为：
dn
d n1
d
a0 dt n c(t) a1 dt n1 c(t) an1 dt c(t) anc(t)
b0
dm dt m
r(t) b1
Ff
(t
)
m
d
2 y(t dt 2
)
由虎克定律：
Fk (t) k[ y(t) y0 ]
摩擦力和速度成正比：
其中ky0 mg
Ff (t) f v f dy(t) dt
2、消去中间变量Fk(t)和Ff(t)，并整理得： f
m
d
2 y(t) dt 2
f
dy(t) ky(t) F (t) dt
第二章 控制系统的数学模型
第一节 时域数学模型 —微分方程
第一节 控制系统的时域数学模型
项目
内容
教学目的
如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物 理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何
建立控制系统的时域数学模型。
教 学 重 点 如何建立控制系统的时域数学模型。
教 学 难 点 关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂， 及 其 处 理 逐步分层次讲解。
一 引言
➢ 数学模型的基本概念
中学时的函数概念：
研
y f (x) x 自变量，y 因变量
究 对
在电路的学习中对函数概念的理解：
象 的
复
激励x 电路系统 响应y
自动控制系统对函数概念的理解：
杂 程 度
加
控制量x 控制系统 被控制量y
深
同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式 发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的概 念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可 以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题， 可以通过自动控制原理课程把数学、工程、控 制三者联系统一起来。
3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及 其各阶导数的微分方程；
4、标准化。
电气系统
例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
解：(1)由KVL，得
ui (t) Ri(t) uo (t)
又因为
i(t) C duo (t) dt
(2)消去中间变量 i(t)
数学模型的定义：能够描述控制系统输ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 量和输入量数量关系的表达形式。
实际物理系统 理想化 物理模型 数学化 数学模型 线性化
线性数学模型无量纲化 可用数学模型 标准化 标准数学模型
➢ 数学模型的分类
按输入输出的表达形式 微分方程（时间域） 传递函数（复数域） 动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）
ui (t)
机械系统
例4 一个由弹簧、质量、
阻尼器组成的做直线运动的力
学系统。图中，m为物体的质
量，k为弹簧系数，f为粘性摩
擦(阻尼)系数，F(t)为物体受
到的外作用力，y(t)为物体的
f
位移。试列写质量m在外力F(t)
作用下，位移y(t)的运动方程。
1、由牛顿第二定律：
F
(t
)
mg
Fk
(t
)
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r (t )
bm r (t )
式中，c(t)是输出量；r(t)是输入量。为了所表示系统
的可实现性，一般限定m n。
➢建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤
1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量 和输出量；
2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化 学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列 写原始方程式，构成微分方程组；
位移y(t)的运动过程如何变化？
作业： 2-2 2-3 2-4
机械系统
m
d
2 y(t dt 2
)
f
dy(t) ky(t) F (t) dt
例4 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体 受到的外作用力，y(t)为物 体的位移。试列写质量m在 外力F(t)作用下，位移y(t)的 运动方程。