矩阵的对角化及其应用教学文稿

矩阵的对角化及其应用湖北民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名：赵远安学号： 021241015 专业：数学与应用数学指导老师：刘先平答辩时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.25A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Diagonalization of the Matrix and its ApplicationsStudent Name: ZHAO Yuanan Student No.: 021241015 Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor: Liu XianpingDate of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式AbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the diagonal matrixis very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomial目录摘要 (I)Abstract (II)绪言 (1)课题背景 (1)目的和意义 (1)国内外概况 (1)预备知识 (2)相关概念 (2)矩阵的对角化 (4)特殊矩阵的对角化 (14)矩阵对角化的应用 (22)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)独创声明 (28)1 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3 国内外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破. 实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中. 矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善.2 预备知识给出本文内容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解. 定义1 常以n m P ⨯表示数域P 上n m ⨯矩阵的全体，用E 表示单位矩阵.定义2 n 阶方阵A 与B 是相似的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异的方阵矩阵T n n P ⨯∈，使得AT T B 1-=或者BT T A 1-= .根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AE E A 1-=； ②对称性：若A 相似于B ，则B 相似于A ； ③传递性：如果A 相似于B ，B 相似于C ，那么A 相似于C .定义3 n 阶方阵A 与B 是合同的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异方阵T n n P ⨯∈，使得B =T T AT 或者BT T A T =.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A =AE E T ；②对称性：由AT T B T =即有11)(--=BT T A T ；③传递性：由111AT T A T =和2122T A T A T =有)()(21212T T A T T A T =.定义4 式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯m b b b 000000021 的m 阶方阵叫对角矩阵，这里i b 是数（),2,1m i ⋯⋯=.定义5 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A 1-=，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可相似对角化.定义6 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A T =，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i 行(列)于j 行(列)； ⑵用非零数c P ∈乘以矩阵第i 行(列)；⑶把矩阵第j 行的t 倍加到第i 行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(j i P 且),(),(1j i P j i P =-；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((t i P 且)/1(())((1t i P t i P =-；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(t j i P 且))(,())(,(1t j i P t j i P -=-.定义9 设方阵n n P B ⨯∈，若E B =2，就称B 为对合矩阵.定义10 设方阵n n P A ⨯∈，若A A m =，就称A 为幂幺矩阵.定义 11 设方阵C n n P ⨯∈，若C C =2，就称C 为幂等矩阵.定义 12 设方阵n n P A ⨯∈，P ∈λ，若存在向量，满足X Al λ=，我们就称λ是A 的特征值，X 是A 属于特征值λ的特征向量.定义13 n n P A ⨯∈，定义)(λA m 为矩阵A 的最小多项式 ，)(λA m 的一个根为A 而且比其他以A 为根的多项式的次数都低，)(λA m 首项系数是1.3 矩阵的对角化本章介绍数域P 上n 阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1 如果1μ，…，k μ是矩阵Q 的不同的特征值，而,1i α…，i ir α是属于特征值i λ的线性无关的特征向量，2,1=i …,k ，那么,11α…,11r α，…,1k α，…，k kr α也线性无关.证明：假设++12121111ααt t …++1111r r t α…++11k k t α…k k kr kr t α+=0，P t ij ∈，令+11i i t α…+i i i i k k t α=i η，则i i i Q ηλη=（2,1=i ...k ,）， 且 ++21ηη...k η+=0 (1)分别用,,,2Q Q E …1,-k Q 左乘以（1）两端，再由引理4得：i i i m Q ηλη=，（1...2,1-=k m ;t i ,...,1=),由此有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++---.0......................................,0...,0...,0...12121112222121221121k k k k k k K k K k ηληληληληληληληληληηη 该线性方程组的系数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11211211111k k k k k D λλλλλλ，D 为范德蒙行列式，又由)...2,1(k i i =λ互异有0≠D . 根据克拉默法则就有0=i η，即+11i i t α…+i i i i k k t α=0，再由i ir i αα,...,1线性无关得：)...2,1(0...21k i t t t i i i i k ===== ，故k i kr ir r αααα...,...,,...,1111线性无关.推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1 Q n n P ⨯∈与对角阵相似⇔Q 有n 个特征向量，它们是线性无关的.证明：Q 可以对角化⇔∃可逆矩阵21,(T T T =，…，)n T 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n QT T λλλ00211 ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T QT λλλ0021⇒ ,,(21QT QT …),n QT =（,,21T T λλ…n T λ,）.因此Q 可以对角化⇔存在i T （2,1=i …n ,）P ∈使得i i i T QT λ=，也即Q 有n 个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵n n P Q ⨯∈有n 个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q 有n 个不同的特征值及引理1的推论有Q 有n 个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q 可以对角化. 注意：该推论为对角化的充分条件.定理2 t μμμ,...,,21（互不相同）是B n n P ⨯∈的特征值，),...,2,1(t i P i =∈μ， B 可对角化⇔n t B E r ti i)1()(1-=-∑=μ （r 表示矩阵的秩）.证明：0)(=-X B E i μ的基础解系的一组基向量的个数为：)(B E r n i --μ，我们可以得到关于i μ的线性无关的特征向量的个数是)(B E r n i --μ（),...,2,1t i =，再由引理1推出矩阵B 有))((1B E r n ti i --∑=μ个线性无关的特征向量.根据定理1就有：n 阶方阵B 可对角化⇔B 有n 个线性无关的特征向量 ⇔))((1B E r n ti i--∑=μ=n ，⇔n t B E r ti i)1()(1-=-∑=μ.定理3 n n P Q ⨯∈与对角矩阵相似的充要条件：)...,2,1(t i P i =∈λ且i i r Q E n =--)(λ (i r 表示i λ的代数重数).证明：设i λ的线性无关的特征向量为i ir i i βββ,...,,21，由引理1有：titr ir r βββββ,...,,...,,...,,111211线性无关.若n r r r t =+++...21，那么Q 就有n 个线性无关的特征向量⇔Q 可以对角化. 若Q 与对角矩阵相似，则Q 的属于不同特征值的特征向量总数一定为n . 否则根据定理1就可以推出t λλλ,...,,21线性相关，矛盾.相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2 设n 阶方阵B A ,n n P ⨯∈，则有)()()(B r A r B A r +≤+.证明：先证)()(],[B rank A rank B A rank +≤……(2). 根据矩阵秩的定义有 ≤],[B A r n n 2⨯阶矩阵],[B A 的线性无关的行数≤方阵A 的线性无关的行数+方阵B 的线性无关的行数 ≤)()(B r A r +.对方阵矩阵=+A B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡E E A B ],[，由(2)式有],[)(B A r A B r ≤+，所以)()()(B r A r B A r +≤+.引理3 对于n 阶方阵D C ,有n B r A r AB r -+≥)()()(.证明：先证⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+D O T C r D O O C r D r C r )()(……（3），其中T 为任意n 阶方阵.显然当D C ,中有一个为O 时结论成立；另设q D r p C r ==)(,)(，则C 有p 阶子式01≠M ，D 有q 阶子式02≠M .于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛D O T C 有q p +阶子式0*2121≠=M M M OM , 因此)()(D r C r q p D O T C r +=+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.要证n B r A r AB r -+≥)()()(，只需证明：)()()(B r A r n AB r +≥+运用分块矩阵的初等变换有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A O E B O A B E AB A O E AB OO E n nnn，有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：)()()(B r A r A O E B r n AB r n +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+. 另证：令p A r =)(，则存在可逆矩阵D C ,使得CAD =⎪⎪⎭⎫⎝⎛O OO E p，若令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--p n E O O O C 11-D =H ,则)(H r p n -=以及A H +=11--D C . 又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此)(B r =r (B D C 11--) =)()(HB r AB r + ≤r(AB)+r(H) p n AB r -+≤)(.引理3的一般形式：（Syl 希尔维斯特不等式）设A ，B ，C n n P ⨯∈分别为t k k j j i ⨯⨯⨯,,矩阵，则)()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥.证明：要证)()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥只需证明 )()()()(BC r AB r B r ABC r +≥+, 因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛BC B O ABO E E O E C O E B O O ABC E O A E ， 也即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛BC B O AB B BC AB O B O AB ABC B O O ABC ，再有定理(3)就得)()(BC rank AB rank BC B O ABrank B O O ABC rank +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 推论3设t B B B ,...,,21为数域P 上的n 阶方阵，则)...()1()(...)()(2121t t B B B r n t B r B r B r +-≤+++.定理4 设n 阶方阵Q n n P ⨯∈，21μμ≠，且0))((21=--Q E Q E μμ，则Q 可对角化.证明：由21μμ≠，0))((21=--Q E Q E μμ有矩阵Q 的特征值为1μ或2μ，根据引理2，引理3得：n Q E r Q E r =-+-)()(21μμ，从而Q 的特征向量(线性无关)共有n Q E r n Q E r n =--+--)()(21μμ个.由定理1即得矩阵Q 可对角化.定理4' 设n 阶方阵Q n n P ⨯∈,t μμμ,...,,21两两互不相等，若0))(())((121=--⋯---Q E Q E Q E Q E t t μμμμ则Q 与对角阵相似.证明：根据0))(())((121=--⋯---Q E Q E Q E Q E t t μμμμ有Q 的特征值在t μμμ,......,21中取得. 再由引理3的推论有n t Q E r Q E r Q E r t )1()(...)()(21-≤-++-+-μμμ,从而方阵Q 的线性无关的特征向量的个数为)(...)()(21Q E r n Q E r n Q E r n t --++--+--μμμ))(...)()((21Q E r Q E r Q E r tn t -++-+--=μμμn t tn )1(--≥n =.又因为n Q r ≤)(，故方阵Q 的线性无关的特征向量的个数为n ，由此矩阵Q 可对角化.推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：n t Q E r Q E r Q E r t )1()(...)()(21-=-++-+-μμμ.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.定理5 设t μμμ,...,,21（互不相同）是n n P Q ⨯∈的的特征值，重数分别为t s s s ,...,,21且n s s s t =+++...21，Q 可对角化⇔0)(1=-∏=Q E ti iμ.证明：先证明必要性Q 与V =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T μμμ21相似，则存在非奇异矩阵T 满足 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-t t E E E T TVT Q μμμ221111-T ， 其中),...2,1(t i E i =为i s 阶单位矩阵，于是1)()(--=-T V E T Q E i i μμ=12211)()()(-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---T E E E T t t i i i μμμμμμ ， 从而有∏∏=-=-=-ti it i iTV E T Q E 111)()(μμ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∏∏∏i t t i iii i E E E T )()()(2211μμμμμμ1-T . 由于),...,2,1(0)(t j E ij j i ==-∏μμ，因此0)(=-∏Q E ii μ.再证充分性：对于n 阶矩阵Q ，存在可逆矩阵T ，使得1211--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==T J J J T TJT Q t， ),...,2,1(t i J i =是Jordan 块，若=j J j j E μ),...2,1(t j =，Q 就可以对角化，而1)()(--=-T J E T Q E i i μμ12211)()()(-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=T E J E J E J T t t i i i μμμ ， 12211)()()()(-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-∏∏∏∏T E J E J E J T Q E i t t i iii i ii μμμμ. 所以，若0)(=-Q E i μ，则因T 可逆有),...,2,1(0)(t j J E ij i i ==-∏μ，又因为当ji ≠时，(j i μμ≠0)≠，)(j j i J E -μ可逆，所以0)(=-j j j J E μ，即),...,2,1(t j J E j j j ==μ. 引理 4 nn PX ⨯∈,1∂,2∂…...m ∂是X 的关于特征值λ的特征向量，我们有imi i k ∂∑=1（m i k i ,...,2,1,=不全为0，P k i ∈）也是X 的关于λ的特征向量.证明：已知i i X ∂=∂λ，则i i i i k X k ∂=∂λ，也即i i i i k Xk ∂=∂λ，因此i mi i i m i i k k X ∂=∂∑∑==11λ，又i k 不全为0，因此01≠∂∑=i m i i k ，由特征向量的定义有i mi i k ∂∑=1是矩阵X 的属于特征值λ得特征向量.定理6 t μμμ,...,,21(互不相同)是n 阶矩阵Q 的所有特征值，它们的代数重数依次是t s s s ,...,,21，则方阵Q 与对角矩阵相似⇔),...,2,1()(t j s A r j j ==,∏≠-=ji i j Q E A )(μ.证明：先证必要性.Q 可对角化⇒存在可逆矩阵T 使得121),...,,(-=T Tdiag Q t μμμ，从而)(Q E A ji i j -=∏≠μ12211)()()(-≠≠≠⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∏∏∏T E E E T j i t t i ji ij i i μμμμμμ11)(-≠⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∏T O E O T t ji jj iμμ， 其中j O 为j s 阶0矩阵，j E 为j s 阶单位矩阵（),...,2,1(t j =. 因T 可逆，且j i μμ≠，所以有j j j j ji i j s E r E r A r ==-=∏≠)())(()(μμ),...,2,1(t j =.再证充分性：用反证法.假设方阵Q 不与对角矩阵相似，由几何重数≤代数重数得：至少存在一个整数q ，使得q q s n Q E r ->-)(μ，于是当q j ≠时，由引理3有∑∏≠≠---≥-=ji i ji i j n t Q E r Q E r s )2()())((μμ∑≠--->ji j n t s n )2()(∑≠----=ji i s n t n t )2()1(j j s s n n =--=)(.矛盾，假设不成立，故Q 与对角矩阵相似.定理7 t μμμ,...,,21(互不相同)是n 级方阵Q n n P ⨯∈的所有特征根，若对任意m +∈Z 满足)()(Q E r Q E r i m i -=-μμ,则矩阵Q 与对角矩阵相似.证明：设t μμμ,...,,21的重数分别为t s s s ,...,,21，由Hamilton Cayley -定理(高等代数第三版，高等教育出版社)得：O Q E Q E Q E t s t s s =---)...()()(2121μμμ，再有引理3的推论就有t s t s s Q E r Q E r Q E r )(...)()(2121-++-+-μμμ))...()(()1(11t s t s Q E Q E r n t --+-≤μμn t )1(-=.对任意正整数m ，有)()(Q E r Q E r i m i -=-μμ，因此n t Q E r Q E r Q E r t )1()(...)()(21-≤-++-+-μμμ.从而有方阵Q 的线性无关的特征向量的个数为)(...)()(21Q E r n Q E r n Q E r n t --++--+--μμμ )](...)()([21Q E r Q E r Q E r tn t -+-+--=μμμn n t tn =--≥)1(.又n Q r ≤)(，从而Q 的线性无关的特征向量的个数小于或等于n ，因此Q 共有n 个线性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵Q 与对角矩阵相似. 接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.定理8 n 阶方阵Q 与对角矩阵相似⇔矩阵Q 的最小多项式)(μQ m 无重根. 证明：先证必要性.Q 和对角阵相似⇒存在非奇异矩阵n n P T ⨯∈，满足1211--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==T T TVT Q n μμμ，从而有m m V T Q T =-1，令t μμμ,...,,21)(n t ≤是方阵Q 的互不相同的特征值,记 ))...()(()(21t f μμμμμμμ---= =t t t t s s s ++++--μμμ111....因为 T E s Q s Q s Q T T Q f T t t t t )...()(11111++++=----ET T s QT T s T Q T s T Q T t t t t 1111111...------++++==E s V s V s V t t t t ++++--111...)(V f =.又 E s V s V s V V f t t t t ++++=--111...)(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---t tt t n t t t n t ts s s s s s (111)2111121μμμμμμ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=---k t n t n kt t kt t s s s s s s (1)112121111μμμμμμ 0)()()(21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n f f f μμμ. 所以0)(=Q f ，于是)()(μμf m Q ，然而)(μf 无重根，故)(μQ m 无重根.再证充分性：)(μQ m 的互不相同的根是t μμμ,...,,21，由)(μQ m 无重根就有：)(μQ m ))()...()((121t t μμμμμμμμ----=-，于是0))...()(()(21=---=Q E Q E Q E Q m t Q μμμ.令i i q Q E r =-)(μ，则i μ的特征子空间的维数为i q n -，因此Q 总共有s q n q n q n t =-++-+-)(...)()(21个线性无关的特征向量，且n s ≤. 又因为n t q q q t )1(...21-≤+++，故n q n q n q n s t ≥-++-+-=)(...)()(21.从而n s =，也即矩阵Q 有n 个线性无关的特征向量，由定理1就得Q 可以对角化.4某些特殊矩阵的对角化4.1 实对称矩阵的对角化问题实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用，如常用来研究对称变换，对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步.引理5 ]每一个n 阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意n n C A ⨯∈，可逆矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλλ211*，其中n λλλ,...,,21是矩阵A 的特征值. 引理6 实对称矩阵的特征值为实数.证明：设0λ实对称矩阵A 的一个特征值，则存在非零向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x 21η，满足 ηλη0=A . 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 21η，i x 称为i x 的共轭复数),...2,1(n i =，则ηλη0=A .观察下面式子ηηηηηηηη)()()('='=''='A A A A ，上式左边等于ηηλ'0，右边等于ηηλ'0， 故ηηλ'0=,0ηηλ'又0...11≠++='n n x x x x ηη，故00λλ=，即0λ是一个实数.引理7 设N M ,为n n ⨯实方阵，我们有如下结论：N M ,在实数域上相似⇔N M ,在复数域C 上相似.证明：必要性显然，下面证明充分性.N M ,在复数域上相似⇒∃n 级可逆复矩阵，使得NP P M 1-=.令iD A P +=，n n R D A ⨯∈, ，则ND DM NA AM iD A N M iD A ==⇒+=+,)()(.所以对任意λ属于R 都有)()(D A N D A λλ+=+ (4)记D A x h λ+=)((实数系多项式)，因为0)(≠=+=P iD A i h ，所以0)(≠x h . 因此，D A λ+有有限个实数根，则存在η属于R ，使得0≠+D A η. 由(4)式得)()(1D A N D A M ηη++=-, 也即N M ,在实数域上相似. 定理9 ⑴n 级实对称矩阵A 的特称根全是实数⇔存在正交矩阵T ，满足D AT T AT T ='=-1，D 是上三角矩阵.⑵A 正交且特征值全是实数⇒A 是对称矩阵.证明：先证明必要性，根据引理5有，存在可逆矩阵P ，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AP P λλλ211*. 再根据引理7，矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似，因此可以令P QT =为实矩阵，Q 乃正交矩阵，T 是上三角矩阵且主对角上元素全是实数，于是就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==---n T AP P T AQ Q λλλ21111*)( 由T 是上三角矩阵知他的逆1-T 也是上三角矩阵，再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知AQ Q 1-为上三角矩阵.再证充分性：A 为n 阶实矩阵，且存在正交矩阵Q 使得AQ Q AQ Q '=-1为上三角矩阵，即AQ Q AQ Q n '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-λλλ211*， 由此易知n λλλ,...,,21为实数且为A 的特征根.⑵由⑴容易得到AQ Q AQ Q '=-1D =为上三角矩阵(Q 是正交矩阵)，又正交矩阵的积为正交矩阵，从而D 为正交矩阵. 因而1-='D D ，但是1-D 是上三角矩阵，而D '为下三角矩阵，故D 必为对角矩阵.从而A Q QD Q D Q Q QD A ='=''=''=')(，也即A 为对称矩阵.引理8 设A 是对称变换，1V 是-A 子空间，则1V 的正交补也是-A 子空间. 定理10 对任意n 级实对称矩阵A ，存在n 阶正交矩阵T ，使得AT T AT T 1-='为对角矩阵.证明定义A 是与A 对应的对称变换，只要证A 有一组标准正交基（n 个向量组成）.下面用数学归纳法进行证明.当1=n 时结论明显成立.假设对1-n 结论成立. 对n 维欧氏向量空间n R ，1β为线性变换A 的一个特征向量，对应的特征值是1λ. 将1β单位化，并记为1α，再作1α的生成向量空间)(1αL 的正交补，记为1V ，由引理8有1V 是对称变换A 的不变子空间，他的维数为1-n ，显然A 限制在1V 上仍然是对称变换1V A ，根据假设1V A 有特征向量n ααα,...,,32做成1V 的标准正交基，从而n αα,...,1使n R 的标准正交基，又是A 的n 个特征向量.根据归纳假设定理得证. 例4.1 已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111101111011110A ， 求正交矩阵T 使得AT T 1-为对角矩阵.解：第一步，求矩阵A 的特征值. 由μμμμμ111111111111--------=-A E μμμμμμμμ1111100101011102---------=110101111)1(3μμ----=)3()1(3+-=μμ 由此有1（3重），-3为A 的特征值.第二步，求特征值1对应的特征向量. 将1=μ带入下式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--.0,0,0,04321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x μμμμ （5） 得基础解系为)0,0,1,1(1=μ， )0,1,0,1(2=μ， )1,0,0,1(3-=μ..将基础解系正交化，得)0,0,1,1(1=β，)0,1,21,21(2-=β，)1,31,31,31(3-=β..再将上式单位化，有)0,0,21,21(1=η， )0,62,61,61(2-=η， )123,121,121,121(3-=η. .上式为属于特征值1（三重）的三个标准正交特征向量.同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为)2/1,2/1,2/1,2/1(4--=η.特征向量4321,,,ηηηη构成4R 的一组标准交基，所求正交矩阵()4321,,,ηηηη''''=T ， 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31111AT T . 4.2幂等矩阵定理11幂等矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛O OO E r相似. 证明：根据A A =2有，矩阵A 的最小多项式)(λA m 整除λλ-2. 因02=-λλ无重根，由引理5 就有)(λA m 无重根，再由定理8就得矩阵A 可对角化.4.3对合矩阵定理12对合矩阵A 可对角化. 证明：E A =2⇒)(λA m 12-λ，易知12-λ=0无重根，根据引理5得)(λA m 无重根，再根据定理8，A 能够对角化.4.4幂幺矩阵引理9 λ是矩阵X 的任一特征根λ⇔是X 的最小多项式的根. 证明：用反证法假设0λ是矩阵X 的特征根而不是其最小多项式)(λX m 的根，则有1))(,(0=-λλλX m ，故存在多项式)(),(λϕλφ，使得1)()())((0=+-λλϕλλλφX m ， 将X 带入上式有E X m X E X X X =+-)()())((0ϕλφ， 即有 E E X X =-))((0λφ.所以E X 0λ-可逆（即00≠-E X λ），与0λ是矩阵X 的特征根矛盾. 故假设不成立，定理得证.定理13幂幺矩阵A 与对角矩阵相似.证明：因为E A m =，所以矩阵A 的最小多项式)(λA m 整除1-m λ（m 为正整数），而1-m λ无重根，根据引理9就得)(λA m 无重根，再由定理8即得矩阵A 与对角矩阵相似.注意：幂幺矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21相似，其中),...,2,1(1n i m i ==λ. 4.5矩阵的逆、伴随矩阵的对角化定理14n n P A ⨯∈能够对角化⇒*1,A A -可对角化. 证明：(I)根据题设条件，存在非奇异矩阵T 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AT T μμμ211 由矩阵T 可逆就有),...,2,1(0n i i =≠μ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----1121111n T A T μμμ , 从而1-A 与对角矩阵相似. (II)由1*-=A A A 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---22111*1///μμμA A A T A T A T A T从而*A 也与对角矩阵相似.4.6某些正交矩阵的对角化 4.6.1二阶正交矩阵的对角化问题设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211b b b b A 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质就有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+01122211211222212221211b b b b b b b b ， 从而二阶正交矩阵A 有两种形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααααcos sin sin cos A 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααcos sin sin cos A . 定理15若⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααcos sin sin cos A ，则矩阵A 与对角矩阵相似. 证明：A 的特征多项式为μαμαμαμαμ-----=-cos sin sin cos E A1cos 22+-=αμμ由0=-E A μ得矩阵A 的特征值为1cos cos ,1cos cos 2221--=-+=ααμααμ.当01cos 2≠-α时，容易得到21μμ≠，故正交矩阵A 有两个不同的特征值，容易看出此时正交矩阵A 有两个线性无关的特征向量，由定理1即有正交矩阵A 可对角化.当01cos 2=-α，即1cos ±=α时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001，此时正交矩阵A 显然与对角矩阵相似.定理16若 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααcos sin sin cos A ，那么A 与对角矩阵相似. 该定理的证明与定理⑴类似，在此不做赘述.4.6.2几类三阶正交矩阵的对角化定理17正交矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33322322110000b b b b b A 可对角化.证明：由A 是正交矩阵可得，111±=a .当111=b 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001A ， )1cos 2)(1(cos sin 0sin cos 0012+--=----=-θλλλλθθθλθλλA E . i)当01cos 2≠-θ时，矩阵A 有三个不同的特征值，分别为1cos cos 21--=θθλ，1cos cos 22++=θθλ，13=λ.由定理1可得矩阵A 可对角化.ii)当01cos 2=-θ时，πθk 2=或)(2Z k k ∈+=ππθ.若πθk 2=，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001A ，显然可对角化.若ππθ+=k 2，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100010001A ，显然可对角化.当111-=b 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001A ， )1)(1(cos sin 0sin cos 00012---=-----=-λλλθθθλθλλA E .从而A 的特征值为121-==λλ（二重），13=λ，由定理5或7得A 可对角化. 定理18若三阶正交矩阵A 中只有三个非零元素，那么A 与对角矩阵相似. A 共有下面6种形式：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332112322113312312312213322311332211000000,00000,000000,000000,000000,000000b b b b b b b b b b b b b b b b b b 证明 (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=332211000000b b b A 显然可以对角化. (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000322311bb b A ，则λλλλ---=-3223110000a a a E A ))((3223211a a a --=λλ.当13223=a a 时，A 有特征值i ±,1或i ±-,1，根据定理1，A 可对角化. 当13223-=a a 时，A 有特征值-1（二重），1，根据定理7，A 可对角化. 其它形式可模仿(2)进行证明.5矩阵对角化的应用本节主要讨论可对角化矩阵的应用问题，很多时候我们利用对角化后的矩阵会极大简便我们的计算，方便我们理解和处理比较复杂的问题.5.1求方阵的高次幂一般来说，求矩阵的高次幂最简单的方法便是根据矩阵乘法的定义进行傻瓜式的计算，像这样的计算除非进行编程用计算机进行计算，人工计算会花费大量时间，还很容易出错. 但是针对可以对角化的矩阵，我们利用矩阵相似的性质便会大大简化计算过程，而且不易出错，用这种方法进行编程计算也会方便很多. 下面先介绍这种方法的原理.定理19若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλλ211，这里),...2,1(n i i =λ为A 的特征值，T 非奇异，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-m n m mm T A T λλλ 211，其中m 为正整数. 这个定理是矩阵相似应用的特殊情况，一般来讲，若B AT T =-1，那么m m B T A T =-1.其中m 为正整数，B 为数域上的任意矩阵.例2 求m⎪⎪⎭⎫⎝⎛1421.解：由)221)(221(1421--+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-λλλE 得2211-=λ，2212+=λ.容易求得他们对应的特征向量分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=211η，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212η， 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221002212211142112211-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 从而mm⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221002212211142112211-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221214221221002212211m=()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎢⎣⎡⎥⎦⎤++⎢⎣⎡⎥⎦⎤++⎢⎣⎡⎥⎦⎤++m m m m mmmm22122-12122-1-22122422-12-2222122122-121 .5.2利用特征值求行列式的值例3 已知n 级实对称幂等矩阵A 的秩为r ，求行列式A E -2.解：A 为幂等矩阵，即A A =2，从而A 的特征值为1=λ或0，再由A 是实对称矩阵，所以A 与对角矩阵相似，从而B O OO E AP P r=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1， 这里P 可逆，r 为A 的秩，r E 为单位矩阵. 故A E -2r n rn rE E PBP PP ----==-=22211.6总结前面初步介绍了判定某个数域上矩阵是否对角化的一些充分必要条件和充分条件，但是判定条件也不局限于文中所给出的. 文中给出了大部分定理的证明，内容较多，需要较广的知识面才能理解；还给出一些特殊矩阵的对角化也只是涉及很少的点，其它方面需要读者根据自己研究的领域进行总结；还给出两点矩阵对角化的具体应用，仍然涉猎较少，只是起一个引导作用. 矩阵的对角化定义还能推广以及在群、域等上面的对角化判定也有所不同，希望广大读者倾注时间在这方面的研究.致 谢在论文完成之际，我首先要向我的指导老师刘先平老师和詹建明老师表示最真挚的谢意. 这篇论文从选题、查阅资料到截稿，我花了三个多月. 在此期间，詹老师和刘老师给我推荐选题以及资料，不厌其烦的解答我所有的疑问，他们严谨治学和蔼可亲的态度将一直影响我.参考文献[1] 刘九兰,张乃一, 曲问萍主编. 线性代数考研必读.天津:天津大学出版社，2000[2] 谢国瑞主编，线性代数及应用. 北京:高等教育出版社，1999[3] 张学元主编，线性代数能力试题题解. 武汉:华中理工大学出版社，2000[4]王萼芳，石生明. 高等代数[M]. 北京:高等教育出版社,，2007[5]周明旺，关于矩阵可对角化的一个充要条件[J]. 通化师范学院学报，2007，(28):10- 11[6]杨子胥，高等代数[M]. 济南:山东科学技术出版社，2001.[7]曲春平，矩阵可对角化的充分必要条件[J]. 辽宁省交通高等专科学校，2003，(5):51- 52[8]贺福利，万小刚，许德云. 关于矩阵可对角化的几个条件[J]. 高等函报，2004，17(1):14- 16[ 9]王萼芳，石生明，高等代数[M]. 北京:高等教育出版社，1988[10]徐刚，于泳波，对合矩阵探讨[J]. 高师理科学刊，2008，28(1):37- 38[13]钱吉林，矩阵及其广义逆[M]. 武汉:华中师范大学出版社，1988.[14] 周永佩，Jordan标准型定理的一种证法[J]. 中国科学技术大学学报，1990，15(4)，1991(12):34-37[15]NerignED. 1988. 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