组合数学参考答案(卢开澄第四版) - 修改版

1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。

当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。

1.3题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m,n 都是正整数，若(a)男生不相邻)1(+≤n m ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n 个女生先排成一排，形成n+1个空。

因为1+≤n m 正好m 个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。

则男生不相邻的排列个数为pp n mnn1+⋅(b) n 个女生形成一个整体有n ！种可能，把它看作一个整体和m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。

因此，共有)!1(!+⋅m n 种可能。

(c)男生A 和女生B 排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能， A 、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！(这里实际上是m+n-2个学生和AB 的组合形成的)种可能。

共有组合数为)!1(!2-+⋅n m 1.4题 26个英文字母进行排列，求x 和y 之间有5个字母的排列数 解：C （24，5）*13！1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。

解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232 1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。

+n·n ！ 解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！n·n!+(n-1)(n-1)!+。

+2·2!+1·1!+1= (n+1)!所以1·1！+2·2！+3·3！+。

+n·n ！=(n+1)!－１1.7题 试证：)2()2)(1(n n n ++被2n 除尽。

证明：因!)!12(!2)!2(-=n n n n!)!12(2!)!2(2!)2()2)(1(!2)2()2)(1(-==++=++n n n n n n n n n n n nn n 因为(2n-1)!!是整数所以)2()2)(1(n n n ++能被2n 除尽。

1．8题 求4010和3020的公因数数目。

解：因为1030404040405*5*25*210== 3020403060305*2*25*220==它们最大公因子为30405*2转化为求 最大公因子 能除尽的整数个数，能除尽它的整数是300,400,5*2<=<=<=<=b a ba根据乘法法则，能除尽它的数个数为 41*31=12711.9题 试证2n 的正除数的数目是奇数。

证明：设有20,a n n b n <<<<, 则一定有表达式2n a b =⨯，则 可知符合范围的a 和b 必成对出现，所以为偶数。

又当a=b=n 时，表达式2n =a ⨯b 仍然成立。

所以2n 的正除数的数目是“偶数1+”为奇数。

1.10题 证任一正整数n 可唯一地表成如下形式:,0≤a i ≤i,i ＝1,2,…。

证：对n 用归纳法。

先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。

假设对小于n 的非负整数，命题成立。

对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n -k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立，设，其中a k ≤k -1,，命题成立。

再证表示的唯一性：设, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,∑∑∑∑⋅-≥⋅-≥⋅>≥⋅-=⋅-!)(!!!!)(!)(i a b i a b i i j i a b j b a i i i i i i j j 矛盾，命题成立。

1.11题 证明nC(n-1,r)= (r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.证：(1)!(1)!(1)!(1,)(1)(,1)!(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!n r n r n nC n r nr C n r r n r r r n r r n r -+⋅+⋅-====++⋅--+⋅⋅--+⋅--所以左边等于右边组合意义：等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个；等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。

所以两种方案数相同。

1.12题 证明等式：112),(-==∑n nk n k n kC证明： []11110111(1,0)(1,1)(1,1)211nn n n k k s n n n n n n n C n C n C n n n k k s --===---⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-+-++--== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等式左边右边 1.13题 有N 个不同的整数，从中间取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数。

解题思路：（取法由大到小）第1步：从N 个数由大到小取一个数做为第一组，其它N-1个数为第二组，组合数为：c （n,1）*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n -1,n-1)}第2步：从N 个数由大到小取两个数做为第一组，其它N-2个数为第二组，组合数为：c （n,2）*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n -2,n-2)} …第n-2步：从N 个数由大到小取n-2个数做为第一组，其它2个数为第二组，组合数为：c （n,n-2）*{c(2,1)} 第n-1步：从N 个数由大到小取n-1个数做为第一组，其它1个数为第二组，组合数为：c （n,n-1）*{c(1,1} 总的组合数为：(,1){(1,1)(1,2)(1,1)}(,2){(2,1)(2,2)(2,2)}(,2){(2,1)(,1)(1,1)}C n C n C n C n n C n C n C n C n n C n n C C n n C ⋅-+-++--+⋅-+-++--++-⋅+-⋅1.14 题 6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定一引擎开始有多少种方案？解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。

所以共有C(3,1)•C(2,1)•C(2,1)=12种方案。

1.15题 求1至1000000中0出现的次数。

解：当第一位为0时，后面6位组成的数可以从1-100000，共100000个0；当第二位为0时，当第一位取0-9时，后面5位可以取1-9999，此外当第一位取0时，后面5位还可以取为10000，这样共有9999*10+1=99991个0；同理第三位为0时，共有99901个0； 第四位为0时，共有99001个0；第五位为0时，共有90001个0；第六位为0时，只有1个0；这样总共的0数为：100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。

1.16题 n 个相同的球放到r 个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。

解：如果用“O”表示球，用“|”表示分界线，就相当于用r-1个“|”把n 个“O”分成r 份，要求是每份至少有一个球。

如下图所示： 00|00000000|00000000|00000|000000……对于第一个分界线，它有n-1种选择，对于第二个分界线只有n-2个选择，(因为分界线不能相临，如果相临它们之间就没有了球，这不合要求)，依次第r-1个分界线只有n-(r-1)种选择。

但是这样的分法中存在重复，重复度为(r-1)!,所以总得放法为：(n-1)*(n-2)*…*(n -r+1)/(r-1)!=C(n-1,r-1)。