高中数学复习教案：基本不等式

第三节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0,b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ,b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a ＋b2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则(1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． [常用结论] 重要不等式链 若a ≥b ＞0,则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4. ( )(3)x >0,y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件． ( ) (4)若a >0,则a 3＋1a 2的最小值为2a . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81,当且仅当x ＝y ＝9时,等号成立．故选C.] 3．若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0,∴A 错误；对于B,C,当a <0,b <0时,明显错误． 对于D,∵ab >0, ∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.]4．若x ＞1,则x ＋4x －1的最小值为________． 5 [x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥2(x －1)×4x －1＋1＝5, 当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立．] 5．若实数x ,y 满足xy ＝1,则x 2＋2y 2的最小值为________． 22 [由xy ＝1得x 2＋2y 2≥22x 2y 2＝2 2. 当且仅当x 2＝2y 2时等号成立．]利用基本不等式求最值►考法1【例1】 (1)(2018·天津高考)已知a ,b ∈R ,且a －3b ＋6＝0,则2a ＋18b 的最小值为________． (2)已知x ＜54,则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(1)14 (2)1 [(1)由题知a －3b ＝－6,因为2a ＞0,8b ＞0,所以2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝2×2a －3b ＝14,当且仅当2a ＝18b ,即a ＝－3b ,a ＝－3,b ＝1时取等号．(2)因为x ＜54,所以5－4x ＞0, 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x,即x ＝1时,等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.] ►考法2 常数代换法求最值【例2】 已知a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1,则1a ＋1b 的最小值为________． 4 [因为a ＋b ＝1,所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b 时,等号成立．][拓展探究] (1)若本例条件不变,求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值；(2)若将本例条件改为a ＋2b ＝3,如何求解1a ＋1b 的最小值． [解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时,等号成立． (2)因为a ＋2b ＝3,所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223.当且仅当a ＝2b 时,等号成立．[规律方法] 利用基本不等式求最值的三种思路,利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有三种思路：(1)利用基本不等式直接求解.(2)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(3)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.(1)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值,则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x ＞0,不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤15(3)已知正实数x ,y 满足2x ＋y ＝2,则2x ＋1y 的最小值为________． (1)C (2)A (3)92 [(1)当x >2时,x －2>0,f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4,当且仅当x －2＝1x －2(x >2),即x ＝3时取等号,即当f (x )取得最小值时,即a ＝3,选C. (2)由x ＞0,得xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15,当且仅当x ＝1时,等号成立．则a ≥15,故选A.(3)∵正实数x ,y 满足2x ＋y ＝2, 则2x ＋1y ＝12(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×2y x ·2x y＝92,当且仅当x ＝y ＝23时取等号． ∴2x ＋1y 的最小值为92.]基本不等式的实际应用【例3】 某厂家拟定在2018年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？ [解] (1)由题意知,当m ＝0时,x ＝1(万件), 所以1＝3－k ⇒k ＝2,所以x ＝3－2m ＋1, 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元),所以2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0,16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8, 所以y ≤－8＋29＝21,当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时,y ma x ＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元． [规律方法] 利用基本不等式解决实际问题的3个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ,而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30,t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值． [解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t －4t ，20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时,401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t ＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时,因为W (t )＝559＋140t －4t 递减, 所以t ＝30时,W (t )有最小值W (30)＝44323, 所以t ∈[1,30]时,W (t )的最小值为441万元．。