4抽样误差与假设检验
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N(? ,? 2 n)
Z? X?? ?n
标准正态分布
N（0，12）
t? X?? ? X??,
S n SX
Student t分布 v ? n ? 1 自由度：n-1
在实际工作中，由于 ? x 未知，常用 sx
x??
代替，此时
服从 t 分布（t-distribution ）即：
sx
t ? x ? ? ,v ? n?1
1.表 示个 体变量 值 的变异 度大 小， 即原 始变 量值的
离散程度。公式为： S ? ? (X ? X)2 n?1
2.计 算变 量值的 频数分 布范围 ，如 ：
（ X ? 1.96S ）。
3.可 对某 一个变 量 值是否 在正 常值 范围 内作 出初步 判断。 4. 用 于计 算标准 误。
1. 表示 样本均数 抽样误差 的大小 ，即样 本均 数的 离散程
布，当υ =∞时，t分布就完全成正态分布 。
? t分布曲线是一簇曲线，而不是一条曲线。
?t分布下面积分布规律：查 t分布表。 ?t-分布曲线下面积为 1
t 分布表
同标准正态分布曲线一样，统计应用中最 为关心的是t分布曲线下的尾部面积（即概率p） 与横轴t值间的关系。
为使用方便，统计学家编制了不同自由度 v下的t界值表（附表2）。
当单侧概率 p=0.05 时，v=16，单侧 t0.05,16 ? 1.746 当双侧概率 p=0.05时，v=16，双侧 t0.05/2 ,16 ? 2.120
α
α/ 2
α/ 2
0
tα
ห้องสมุดไป่ตู้
(a)
Tα为单侧临界值
-tα/2 0
tα/2
(b)
Tα/2为单侧临界值
单双侧t分布示意图
从t界值表中亦可看出：
在相同自由度时， t 值越大，概率 p越小；
在t界值表中，横标目为自由度v，纵标目 为概率p。表中数字表示当v和p确定时，对应的 t临界值（critical value）。
该表中分别给出了单侧概率和两侧尾部 面积之和的双侧概率所对应的t临界值。
单侧概率相对应的t临界值用符号 t? ,v 表示。 双侧概率相对应的t临界值用符号t? /2,v 表示。 例如：
? 与样本含量的关系
标准差：随样本含量的增多，逐渐趋于稳定
标准误：随样本含量的增多逐渐减小。
? 联系 1、标准差与标准误都是变异指标，说明个体值之间 差异是用标准差，说明样本均数之间差异时用标准 误。
2、当样本含量不变时，标准差越大，标准误越大。
标准差和标准误的区别
标 准 差 （S）
标 准 误S( ) X
参数估计
点估计(point estimation) 区间估计(interval estimation)
1.点估计 ： 用样本统计量直接作为总体参数的估计值 。
而在相同t值时，双侧概率 p为单侧概率p的两倍。 即：
t0.10 / 2,16 ? t0.05,16 ? 1.746
第四章 抽样误差与假设检验
第四章 抽样误差与假设检验
第一节 均数的抽样误差与标准误差
第二节 总体均数的估计
第二节 总体均数的估计
一、参数估计的概念
统计推断包括参数估计和假设检验。参数估计就 是用样本指标（统计量）来估计总体指标（参数）。
第四章 抽样误差与假设检验
第四章 抽样误差与假设检验
第一节 均数的抽样误差与标准误差
第一节 均数的抽样误差与标准误
一、抽样误差 ? 从总体当中随机抽取一份样本，计算均数。 这个均数不同于总体的均数。为什么？
? 再从该总体中随机抽取一份样本，再计算均数。 前后两个均数不等。为什么？
——抽样误差！
样本均数抽样分布具有如下特点： 1、各样本均数未必等于总体均数； 2、各样本均数间存在差异； 3、样本均数围绕总体均数呈正态分布； 4、样本均数变异范围较原变量变异范围大大缩小， 这100个样本均数的均数为 167.69cm ，标准差为 1.69cm 。 在非正态分布总体中可进行类似抽样。
? ??
x
n
（标准误）
反映样本均数间的离散程度。
S? S
x
n
（标准误的估计值）
例1 2000年某研究所随机调查某地健康成年 男子27人，得到血红蛋白的均数为 125g/L，标准 差为15g/L 。试估计该样本均数的抽样误差。
SX ? S / n ? 15 / 27 ? 2.89g / l
标准差与标准误的区别与联系
度。公 式为 ：S X ?
S n
2. 计算 总体均 数的可 信区 间，如 ：
（X ? 1.96S ）。 X 3. 可对 总体均 数的大 小作 出初步 的判断 。
4. 用于 进行假 设检验 。
t 分布
一、t分布的概念
随机变量X N（? ，? 2）
Z?
X?? ?
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
可得到如下结论： ? 若变量服从正态分布，则各样本均数也服从正态 分布。
? 若变量不服从正态分布，当样本量足够大时，各 样本均数 近似服从正态分布，当样本量很小时， 则样本均数为非正态分布。
样本均数的总体均数为μ，而样本均数的标准差比 原来个体值的标准差要小，为区别两者，我们用 ? x来表示，其计算公式为
? 标准差：描述个体值间的变异，标准差较小，表 示观察值围绕均数的波动较小，说明样本均数的代 表性就越好。
? 标准误：描述样本均数的抽样误差，标准误较小， 表示样本均数与总体均数较接近。说明样本均数的 可靠性。
? 用途 标准差：表示变量值离散程度的大小，结合均数估计
参考值范围。
标准误：表示抽样误差的大小，估计总体均数的可信 区间。
sx
从正态总体 N(μ,σ2)中进行无数次样本含量为 n 的随机抽样，每次均可得到一个 X 和一个S，通过
t? X?? ? X??
SX S n
公式转换，可得无数个 t值，t值的分
布即为含量为 n的t值的总体或称 t-分布。
? t值的分布与自由
度? 有关（实际
是样本含量 n不 同）。
? t 分布的图形不是 一条曲线，而是 一簇曲线。
二、t 分布的图形和t 分布表
t分布曲线特点：
?t分布曲线是单峰分布，以 0为中心，左右两侧对称
?曲线的中间比标准正态曲线（ Z分布曲线）低，两 侧翘得比标准正态曲线略高。
?t分布曲线随自由度 υ而变化，当样本含量越小
（严格地说是自由度 υ =n-1越小），t分布与Z分
布差别越大；当逐渐增大时， t分布逐渐逼近于 Z分
Z? X?? ?n
标准正态分布
N（0，12）
t? X?? ? X??,
S n SX
Student t分布 v ? n ? 1 自由度：n-1
在实际工作中，由于 ? x 未知，常用 sx
x??
代替，此时
服从 t 分布（t-distribution ）即：
sx
t ? x ? ? ,v ? n?1
1.表 示个 体变量 值 的变异 度大 小， 即原 始变 量值的
离散程度。公式为： S ? ? (X ? X)2 n?1
2.计 算变 量值的 频数分 布范围 ，如 ：
（ X ? 1.96S ）。
3.可 对某 一个变 量 值是否 在正 常值 范围 内作 出初步 判断。 4. 用 于计 算标准 误。
1. 表示 样本均数 抽样误差 的大小 ，即样 本均 数的 离散程
布，当υ =∞时，t分布就完全成正态分布 。
? t分布曲线是一簇曲线，而不是一条曲线。
?t分布下面积分布规律：查 t分布表。 ?t-分布曲线下面积为 1
t 分布表
同标准正态分布曲线一样，统计应用中最 为关心的是t分布曲线下的尾部面积（即概率p） 与横轴t值间的关系。
为使用方便，统计学家编制了不同自由度 v下的t界值表（附表2）。
当单侧概率 p=0.05 时，v=16，单侧 t0.05,16 ? 1.746 当双侧概率 p=0.05时，v=16，双侧 t0.05/2 ,16 ? 2.120
α
α/ 2
α/ 2
0
tα
ห้องสมุดไป่ตู้
(a)
Tα为单侧临界值
-tα/2 0
tα/2
(b)
Tα/2为单侧临界值
单双侧t分布示意图
从t界值表中亦可看出：
在相同自由度时， t 值越大，概率 p越小；
在t界值表中，横标目为自由度v，纵标目 为概率p。表中数字表示当v和p确定时，对应的 t临界值（critical value）。
该表中分别给出了单侧概率和两侧尾部 面积之和的双侧概率所对应的t临界值。
单侧概率相对应的t临界值用符号 t? ,v 表示。 双侧概率相对应的t临界值用符号t? /2,v 表示。 例如：
? 与样本含量的关系
标准差：随样本含量的增多，逐渐趋于稳定
标准误：随样本含量的增多逐渐减小。
? 联系 1、标准差与标准误都是变异指标，说明个体值之间 差异是用标准差，说明样本均数之间差异时用标准 误。
2、当样本含量不变时，标准差越大，标准误越大。
标准差和标准误的区别
标 准 差 （S）
标 准 误S( ) X
参数估计
点估计(point estimation) 区间估计(interval estimation)
1.点估计 ： 用样本统计量直接作为总体参数的估计值 。
而在相同t值时，双侧概率 p为单侧概率p的两倍。 即：
t0.10 / 2,16 ? t0.05,16 ? 1.746
第四章 抽样误差与假设检验
第四章 抽样误差与假设检验
第一节 均数的抽样误差与标准误差
第二节 总体均数的估计
第二节 总体均数的估计
一、参数估计的概念
统计推断包括参数估计和假设检验。参数估计就 是用样本指标（统计量）来估计总体指标（参数）。
第四章 抽样误差与假设检验
第四章 抽样误差与假设检验
第一节 均数的抽样误差与标准误差
第一节 均数的抽样误差与标准误
一、抽样误差 ? 从总体当中随机抽取一份样本，计算均数。 这个均数不同于总体的均数。为什么？
? 再从该总体中随机抽取一份样本，再计算均数。 前后两个均数不等。为什么？
——抽样误差！
样本均数抽样分布具有如下特点： 1、各样本均数未必等于总体均数； 2、各样本均数间存在差异； 3、样本均数围绕总体均数呈正态分布； 4、样本均数变异范围较原变量变异范围大大缩小， 这100个样本均数的均数为 167.69cm ，标准差为 1.69cm 。 在非正态分布总体中可进行类似抽样。
? ??
x
n
（标准误）
反映样本均数间的离散程度。
S? S
x
n
（标准误的估计值）
例1 2000年某研究所随机调查某地健康成年 男子27人，得到血红蛋白的均数为 125g/L，标准 差为15g/L 。试估计该样本均数的抽样误差。
SX ? S / n ? 15 / 27 ? 2.89g / l
标准差与标准误的区别与联系
度。公 式为 ：S X ?
S n
2. 计算 总体均 数的可 信区 间，如 ：
（X ? 1.96S ）。 X 3. 可对 总体均 数的大 小作 出初步 的判断 。
4. 用于 进行假 设检验 。
t 分布
一、t分布的概念
随机变量X N（? ，? 2）
Z?
X?? ?
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
可得到如下结论： ? 若变量服从正态分布，则各样本均数也服从正态 分布。
? 若变量不服从正态分布，当样本量足够大时，各 样本均数 近似服从正态分布，当样本量很小时， 则样本均数为非正态分布。
样本均数的总体均数为μ，而样本均数的标准差比 原来个体值的标准差要小，为区别两者，我们用 ? x来表示，其计算公式为
? 标准差：描述个体值间的变异，标准差较小，表 示观察值围绕均数的波动较小，说明样本均数的代 表性就越好。
? 标准误：描述样本均数的抽样误差，标准误较小， 表示样本均数与总体均数较接近。说明样本均数的 可靠性。
? 用途 标准差：表示变量值离散程度的大小，结合均数估计
参考值范围。
标准误：表示抽样误差的大小，估计总体均数的可信 区间。
sx
从正态总体 N(μ,σ2)中进行无数次样本含量为 n 的随机抽样，每次均可得到一个 X 和一个S，通过
t? X?? ? X??
SX S n
公式转换，可得无数个 t值，t值的分
布即为含量为 n的t值的总体或称 t-分布。
? t值的分布与自由
度? 有关（实际
是样本含量 n不 同）。
? t 分布的图形不是 一条曲线，而是 一簇曲线。
二、t 分布的图形和t 分布表
t分布曲线特点：
?t分布曲线是单峰分布，以 0为中心，左右两侧对称
?曲线的中间比标准正态曲线（ Z分布曲线）低，两 侧翘得比标准正态曲线略高。
?t分布曲线随自由度 υ而变化，当样本含量越小
（严格地说是自由度 υ =n-1越小），t分布与Z分
布差别越大；当逐渐增大时， t分布逐渐逼近于 Z分