三角比与三角函数知识点整理

三角比、三角恒等变换与
解三角形
1．弧度制的定义：l R
α=
角度与弧度的换算公式： 1180
π
= 180
1(
)π
=
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 一个式子中不能角度,弧度混用
弧长公式：l R α=；扇形面积公式：2
1122
S lR R α=
=。

2．三角比定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：
,cos ,sin r
x r
y =
=
ααtan ,sec ,csc y r r x
x
y
ααα=
=
=
3．三角比符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”） 4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限” 5．同角三角比的基本关系：x
x
x x x tan cos sin ;
1cos
sin
2
2
==+等8个
6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±
③β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=± ④)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα⋅±=±
⑤sin cos a b αα+=)αϕ+ (其中,辅助角ϕ由
sin cos tan b a
ϕϕϕ==
=
决定).
7.二倍角公式
(含万能公式、降幂公式) ①θ
θθθθ2
tan 1tan 2cos sin 22sin +=
=
②θ
θθθθθθ22
2
222tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos +-=-=-=-=
③θ
θθ2
tan 1tan 22tan -= ④2
2cos 1sin 2
θ
θ-=
⑤2
2cos 1cos 2θ
θ+=
8.半角公式（及其变式）
（符号的选择由2
θ
所在的象限确定）
①2cos 12
sin
θ
θ-±
= ②2
cos 12
sin
2
θ
θ
-=
③2cos 12
cos
θ
θ+±
=④2
cos 12
cos 2
θ
θ
+=
⑥
⑤θ
θθ
θθ
θθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12
tan
-=
+=
+-±=
⑥2
sin
2cos 12
θ
θ=- 2
cos 2cos 12
θ
θ=+ 2
1sin (sin cos )2
2θ
θ
θ-=- 21sin (sin
cos
)
2
2
θ
θ
θ+=+
9．正、余弦定理： ⑴正弦定理：
R C
c B
b A
a 2sin sin sin ==
=
（R 2是ABC ∆外接圆直径 ）
注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；
②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③
C
B A c b a C
c B
b A
a sin sin sin sin sin sin ++++=
=
=。

⑵余弦定理：
a 2
=b 2
+c 2
﹣2bccosA cosA=
bc
a
2c b 2
22-+
b 2=a 2+
c 2
﹣2accosB cosB=
ac b
c a 22
2
2-+
c 2=a 2+b 2
﹣2abcosC cosC=ab
c
b a 22
2
2
-+
正余弦定理在实际中的应用
题型1 计算高度 题型2 计算距离 题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计
10.几个公式:⑴三角形面积公式：①111222
a b c S ah bh ch ==
=
（a b c h h h 、、分别表示
a 、
b 、
c 边上的高）；②111sin sin sin 2
2
2S ab C bc A ca B =
=
=.
11．常见三角不等式:（1）若(0,
)2
x π
∈，则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,
)2
x π
∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
12.在△ABC 中，有
①()22
2
C A B A B C C A B π
ππ+++=⇔=-+⇔
=
-
222()C A B π⇔=-+；
②B A b a sin sin >⇔>（注意是在ABC ∆中）（在ABC ∆中为充要条件）
13．三角函数图象与性质表格
)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2
x k π
ωϕπ+=+
，得2
;k x ππϕ
ω
+
-=
对称中心：
))(0,(Z k k ∈-ω
ϕ
π；
)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ω
ϕ
π-=
k x ；对称中心：
))(0,2
(
Z k k ∈-+ω
ϕ
ππ；
周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ω
π
2=T (A 、ω、ϕ为常
数，且A ≠0).
②函数()φω+=x A y tan 的周期ω
π=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).
三角函数的单调区间及对称性：
⑴sin y x =的单调递增区间为2,22
2k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥
⎣
⎦
,单调递减区间为
32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦，对称轴为()2x k k Z π
π=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈. ⑵cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为
[]2,2k k k Z πππ+∈，
对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k π
π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
()k Z ∈. ⑶tan y x =的单调递增区间为,2
2k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪
⎝
⎭
，对称中心为⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2
πk ()Z k ∈.
(5)sin()y A x b ωϕ=++,,,,A b ωϕ的作用（图像变换） 14、反三角函数
15、三角方程 （1）sin x a = （2）cos x a = （3）tan x a =。