最优化方法
最优化方法及其应用
最优化方法及其应用最优化方法可以分为无约束优化和约束优化两种情况。
无约束优化是指在没有任何限制条件下，通过优化算法寻找函数的最小值或最大值。
约束优化则是在一定的约束条件下，寻找函数的最优解。
无约束优化问题可以通过求导数或者对函数进行逼近来解决，而约束优化问题往往需要使用更为复杂的方法，如拉格朗日乘数法、内点法等。
最优化方法在工程领域中有着广泛的应用。
例如在电力系统中，需要优化电力分配，以确保电力的高效利用和供应的稳定性。
另外，在机器学习算法中，最优化方法被用于调整模型参数，以提高模型的预测能力。
最优化方法还被广泛应用于交通流优化、资源分配、供应链管理等各种工程问题中。
经济学中的优化方法可以帮助决策者在有限资源下做出最佳的决策。
例如，在企业决策中，需要通过优化方法确定生产数量和价格，以实现最大的利润。
此外，最优化方法还可以帮助经济学家解决资源配置、市场设计等问题。
最优化方法在运筹学中也有着重要的应用。
运筹学是一门研究如何有效利用有限资源的学科，最优化方法在其中发挥着重要的作用。
例如，在物流领域中，需要通过最优化方法确定最短路径和最佳资源分配，以提高物流运输的效率。
此外，最优化方法还可以应用于排产调度、库存管理等问题中。
最优化方法的常见算法主要有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
梯度下降法是一种迭代优化算法，通过不断迭代更新参数值，直至达到最优解。
牛顿法基于函数的泰勒展开式，通过求解线性方程组来逼近最优解。
拟牛顿法则是对牛顿法的改进，通过近似求解Hessian矩阵，减少计算量。
除了传统的最优化方法，近年来深度学习的兴起也为最优化方法带来了新的挑战和应用。
深度学习网络中的参数优化也可以看作是一种最优化问题，通过梯度下降法或其他优化方法来调整参数值，以降低模型在训练数据上的误差。
随着深度学习的发展，越来越多的变种最优化算法被提出和应用于不同的深度学习架构中。
总结来说，最优化方法是一种解决最优化问题的强大工具，可以应用于各个领域中的决策问题。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化方法全部课件
f x0
据此有
ⅰ) 等号成立当且仅当 p 与f x0 同方向或与 f x0
同方向。且当
p与
f x0
同方向时，f x0
p
取到最大值
f x0 。当 p 与 f x0 同方向时，f x0 取到最小值 p
f x0
第1章 预备知识
1.1 经典极值问题 1. 例子， 2. 数学模型 第一，无约束极值问题
min f x1, x2, , xn 或 max f x1, x2, , xn
解法：解方程组 第二，仅含等式约束的极值问题
min f x1, x2, , xn s.t. hi x1, x2, , xn 0, i 1, 2, ,l(l n)
p
思考：f x 与
f x f x f x
,
,,
的异同。
p
x1 x2
xn
根据极限理论，易见
若
f x0
p
0，则p方向是 f
x
在点
x0 处的上升方向；
若 f x0 0，则 p方向是 f x在点 p
x0
处的下降方向。
因此，方向导数的正负决定了函数值的升降。
例1.8 P19
几个常用函数的梯度公式
（1）若 f x C ，则 f x 0
（2） bT x b ；
（3） xTQx 2Qx ；
（4） xT x 2x .
，即 C 0 ；
2. Hesse矩阵
问：函数 f x 关于变量 x 的二阶导数又是什么？
1.5 梯度和Hesse矩阵
本段讨论都基于对函数 f x 可微的假定。
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
最优化方法求解技巧
最优化方法求解技巧最优化问题是数学领域中的重要课题，其目标是在给定一组约束条件下寻找使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
解决最优化问题有多种方法，下面将介绍一些常用的最优化方法求解技巧。
1. 直接搜索法：直接搜索法是一种直接计算目标函数值的方法。
它的基本思路是在给定变量范围内，利用迭代计算逐步靠近最优解。
常用的直接搜索法包括格点法和切线法。
- 格点法：格点法将搜索区域均匀划分成若干个小区域，然后对每个小区域内的点进行计算，并选取最优点作为最终解。
格点法的优点是简单易行，但对于复杂的问题，需要大量的计算和迭代，时间复杂度较高。
- 切线法：切线法是一种基于目标函数的一阶导数信息进行搜索的方法。
它的基本思路是沿着目标函数的负梯度方向进行迭代搜索，直到找到最优解为止。
切线法的优点是收敛速度较快，但对于非光滑问题和存在多个局部最优点的问题，容易陷入局部最优。
2. 数学规划法：数学规划法是一种将最优化问题转化为数学模型的方法，然后借助已有的数学工具进行求解。
常用的数学规划法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
- 线性规划：线性规划是一种求解目标函数为线性函数、约束条件为线性等式或线性不等式的优化问题的方法。
常用的线性规划求解技巧包括单纯形法和内点法。
线性规划的优点是求解效率高，稳定性好，但只能处理线性问题。
- 非线性规划：非线性规划是一种求解目标函数为非线性函数、约束条件为非线性等式或非线性不等式的优化问题的方法。
常用的非线性规划求解技巧包括牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。
非线性规划的优点是可以处理更广泛的问题，但由于非线性函数的复杂性，求解过程相对较复杂和耗时。
- 整数规划：整数规划是一种在变量取值为整数的前提下求解优化问题的方法，是线性规划和非线性规划的扩展。
由于整数规划的复杂性，常常利用分支定界法等启发式算法进行求解。
3. 近似法：近似法是一种通过近似的方法求解最优化问题的技巧，常用于处理复杂问题和大规模数据。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化方法是指为了在给定的条件和约束下，找到一个最优解或者接近最优解的问题求解方法。
这些方法可以用于解决各种实际问题，例如优化生产计划、项目管理、机器学习、数据分析等。
下面将介绍五种常见的最优化方法。
1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是一种数学优化技术，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的问题。
线性规划方法可以用于优化生产计划、资源分配、供应链管理等问题。
它的基本思想是将问题转化为一个线性目标函数和线性约束条件的标准形式，然后使用线性规划算法求解最优解。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming）：与线性规划不同，非线性规划处理非线性目标函数和约束条件。
非线性规划方法适用于一些复杂的问题，例如优化机器学习模型、最优化投资组合配置等。
非线性规划方法通常使用梯度下降、牛顿法等迭代算法来逐步优化目标函数，找到最优解。
3. 整数规划（Integer Programming）：整数规划是一种数学优化技术，用于求解在决策变量为整数的情况下的优化问题。
整数规划方法通常用于优化工程排程、选址和布局问题等。
整数规划在求解时需要考虑变量取值范围的整数要求，使用分支定界、割平面等方法求解，保证最优解是整数。
4. 动态规划（Dynamic Programming）：动态规划是一种将复杂问题分解为一系列子问题来求解的最优化方法。
它通常用于处理具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，例如最优路径问题、背包问题等。
动态规划方法通过记忆化或者状态转移的方式来求解最优解，可以有效避免重复计算，提高求解效率。
5. 元启发式算法（Metaheuristic Algorithm）：元启发式算法是一类基于启发式的最优化方法。
与传统的优化方法不同，元启发式算法通常不需要依赖目标函数的导数信息，适用于处理复杂问题和无法建立数学模型的情况。
常见的元启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等，它们通过模拟自然界中的生物群体行为来最优解。
最优化计算方法PPT课件
0.91
0.91
3 (x 5)2 ( y 3)2 18 (x 1)2 ( y 1)2
0.91
0.91
8 (x 3)2 ( y 1)2 6 (x 5)2 ( y 1)2 ] / 84
▪ 问题为在区域0=<x=<6, 0=<y=<6上求z=f(x,y)的 最小值。
•15
绘制目标函数图形
xnew=a+(b-a)*rand(1); ynew=c+(d-c)*rand(1); znew=subs(z,[x,y],[xnew,ynew]); if znew<zmin
xmin=xnew; ymin=ynew; zmin=znew; fprintf('%4.0f %1.6f %1.6f %1.6f\n', n, xmin, ymin, zmin); end end
•16
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200
20
15
10
5
5 0
5 0
-5
-5
y
x
•17
绘制等值线图
ezcontourf(z,[0 6 0 6])
colorbar, grid on
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200 6
据的统计分析给出：对离救火站r英里打来
的求救电话，需要的响应时间估计
为
。下图给出了从消3.防21管.7r0员.91 处得到
的从城区不同区域打来的求救电话频率的
估计数据。求新的消防站的最佳位置。
•13
最优化方法 总结
最优化方法总结
最优化方法是一种用于求解最优化问题的数学工具和技术。
最优化问题是指在给定约束条件下寻找使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
最优化方法主要分为两类：无约束优化和约束优化。
在无约束优化中，最优化方法包括：
1. 梯度下降法：通过不断迭代来寻找函数的最小值点，在每一步迭代中通过计算函数的梯度来确定下降的方向和步长。
2. 牛顿法：使用函数的一阶和二阶导数来近似估计最小值点，通过迭代计算来逐步逼近最小值点。
3. 拟牛顿法：使用函数的梯度信息来估计牛顿法的一阶导数信息，以减少计算二阶导数的复杂性。
4. 共轭梯度法：通过迭代来求解线性最小二乘问题，可以高效地求解大规模问题。
在约束优化中，最优化方法包括：
1. 等式约束优化：利用拉格朗日乘数法将等式约束转化为无约束优化问题，并使用无约束优化方法求解。
2. 不等式约束优化：使用罚函数、投影法或者序列二次规划等方法将不等式约束转化为无约束优化问题，并使用无约束优化方法求解。
3. 信赖域方法：通过构造信赖域来限制搜索方向和步长，以保证在搜索过程中满足约束条件。
4. 内点法：通过转化为等式约束问题，并使用迭代法来逐步逼近约束边界。
总体来说，选择适当的最优化方法取决于问题的性质和约束条件的类型。
不同的最优化方法有不同的优缺点，适用于不同的问题，因此需要在具体应用中进行选择和调整。
最优化方法及matlab
最优化方法及matlab
最优化方法是一种数学优化方法，目标是在一定的约束条件下寻找目标函数的最优值。
常用的最优化方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
在MATLAB中，可以利用优化工具箱中的函数来实现最优化。
常用的函数有fmincon、fminunc、fminsearch等。
下面以fmincon函数为例，简单介绍一下如何在MATLAB中实现最优化。
fmincon函数用于求解带约束的非线性最优化问题。
它的基本语法是：
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
其中，fun是目标函数，x0是初始点，A和b是不等式约束，Aeq和beq是等式约束，lb和ub是变量的上下界。
首先，定义目标函数fun，例如：
fun = @(x) (x(1)-2)^2 + (x(2)-3)^2
然后，定义初始点x0：
x0 = [0, 0]
接下来，定义不等式约束A和b、等式约束Aeq和beq以及变量的上下界lb 和ub，如果没有约束条件可以省略。
例如：
A = [-1, 0; 0, -1]
b = [0; 0]
Aeq = []
beq = []
lb = []
ub = []
最后，调用fmincon函数求解最优化问题：
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
通过指定不同的目标函数、初始点和约束条件，可以得到不同的最优解。
除了fmincon函数，MATLAB还提供了其他的最优化函数，可以根据实际情况选择合适的方法和函数进行最优化求解。
数学中的优化理论与最优化方法
数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。
2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。
优化方法
这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下， 这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下，合 理的组织生产，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 理的组织生产，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时， 寻求变量x 满足一组约束条件的同时 ， 寻求变量 1 和 x2 的值使目标函 数取得最小值。 数取得最小值。
max z=5x1+2x2 30x1+20x2≤160 5x1+ x2 ≤15
甲种药品每周产量不应超过4吨的限制 甲种药品每周产量不应超过 吨的限制 计划生产数不可能是负数， 计划生产数不可能是负数，
x1≤4 x1≥0 x2≥0
每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 维生素（公斤） 设备（ 设备（台） 单位利润(万元 单位利润 万元) 万元 30 5 5 乙 20 1 ２
主要参考书目： 主要参考书目： 理论方面： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社 解可新、韩健， 最优化方法》 天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 何坚勇， 最优化方法》 清华大学出版社， 计算方面： 计算方面： (3) 曹卫华，郭正， 《最优化技术方法及 曹卫华，郭正， 最优化技术方法及MATLAB的实现》， 的实现》 的实现 化学工业出版社， 化学工业出版社，2005 (4) 朱德通，《最优化模型与实验》, 同济大学出版社， 2003 朱德通， 最优化模型与实验》 同济大学出版社， 其它参考书： 其它参考书： (5)卢名高、刘庆吉编著，《最优化应用技术》，石油工业出版社 卢名高、 卢名高 刘庆吉编著， 最优化应用技术》 石油工业出版社,2002 (6)唐焕文，秦学志 《实用最优化方法》，大连理工大学出版社，2004 唐焕文， 唐焕文 秦学志,《实用最优化方法》 大连理工大学出版社， (7)钱颂迪，《运筹学》，清华大学出版社，1990 钱颂迪， 运筹学》 清华大学出版社， 钱颂迪 (8)袁亚湘、孙文瑜著，《最优化理论与方法》，科学出版社，2005 袁亚湘、 袁亚湘 孙文瑜著， 最优化理论与方法》 科学出版社，
最优化方法概述
X(1)=(0, 0,120,50)T 相当于O(0,0)
20
x2 50 Q3¨0£ 40£ £ ¬ © 40 30 Q2¨15£ 20£ £ ¬ © É ò ¿ Ð Ó 10
X(2)=(25, 0,20,0)T 相当于Q1(25,0)
20
Q1¨25£ 0£ £ ¬ ©
O£ 0£ 0£ ¨ ¬ © 10 20 30 40 x
迭代数 函数计算数 使用的算法 PCG迭代数(large-scale algorithm only) 最终步长(medium-scale algorithm only)
无约束非线性规划
一元函数无约束优化问题
多元函数无约束优化问题
min{ f (x)| x ∈En }, 这里x =(x1 , x2 , …, xn)T.
S= 0
0 X3 1 0 0 0 X4 0 1 0 120 50 0 b Θ
x2 50 Q3¨0£ 40£ £ ¬ © 40 30 Q2¨15£ 20£ £ ¬ © É ò ¿ Ð Ó 10 Q1¨25£ 0£ £ ¬ © O£ 0£ 0£ ¨ ¬ © 10 20 30 40 x
X(1)=(0, 0,120,50)T 相当于O(0,0)
•x称为决策变量， •满足所有约束的变量称为可行解或可行点，可行点 的集合称为可行域。 •问题的求解是指在可行域中找一点x*，使得目标函 数在该点取极小值，这样的点称为问题的最优点，也 称为最小点，而相应的目标函数值f(x*)称为最优值， (x*,f(x*))称为最优解，习惯上x*称为最优解。
定义1：整体（全局）最优解：若x* D，对于一切 x D ， 恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题的整体最优解。
局部最优解
最优化问题的求解方法
最优化问题的求解方法在日常工作和学习中，我们经常会遇到各种各样的问题，而这些问题可以被形式化为最优化问题。
最优化问题是指在一定的约束条件下，寻求一个使得目标函数值最大或最小的解的问题。
这里的目标函数可以是任何一种函数，比如线性函数、非线性函数、二次函数等。
最优化问题的求解是一个非常重要的问题，它涉及到众多领域，比如经济学、金融学、工程学、自然科学等。
在计算机科学领域中，最优化问题的求解也是一项重要的研究方向。
解决最优化问题的方法可能因为问题不同而异，但是所有的方法都可以归纳为以下几种：1. 暴力穷举法暴力穷举法是最简单、最直观的最优化问题求解方法。
它的基本思路是枚举所有可能的解，并计算它们的目标函数值，最后选择其中最优的解作为最终答案。
虽然这个方法的思路非常简单，但是它的计算复杂度往往非常高，如果问题规模过大，很难在可接受的时间内得到答案。
2. 迭代法迭代法是求解最优化问题的一种常用方法。
它的基本思想是从一个初始值开始，不断地运用某个算法，逐步地接近最优解。
在不断进行迭代的过程中，如果算法能保证每次迭代后目标函数值都会变得更优，那么最终的结果就会逐渐趋近最优解。
迭代法适用于一些问题求解困难或者解析解不存在的情况，但是它对初始值的选取十分敏感，可能会导致陷入局部最优解而无法逼近全局最优解。
3. 线性规划法线性规划法是最常用的求解最优化问题的方法之一。
它适用于目标函数和约束条件均为线性函数的情况，可以比较高效地求解问题。
线性规划法基于线性规划模型，通过对变量进行线性组合来表示目标函数值，然后将约束条件表示为一组线性方程或线性不等式，再利用单纯形法等算法来求解问题。
4. 动态规划法动态规划法是一种常用的求解最优化问题的方法，它适用于一些具有重复子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划法的基本思想是利用大问题的最优解可以由小问题的最优解推导出来的原理，将问题划分为若干个相互依赖的子问题，从而在不重复计算的情况下将其逐一求解。
第1章 最优化方法的一般概念
第1章最优化方法的一般概念最优化问题就是依据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目的，寻找一个最优控制规律或设计出一个最优控制方案或最优1控制系统。
针对最优化问题，如何选取满足要求的方案和具体措施，使所得结果最佳的方法称为最优化方法。
1.1 目标函数、约束条件和求解方法根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，给出约束条件和目标函数最优化方法解决实际工程问题的步骤：2（或性能指标）；对所建立的模型进行具体分析和研究，选择合适的最优化求解方法；根据最优化方法的算法，列出程序框图并编写程序，用计算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等做出评价。
目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题的三个基本要素。
1．目标函数：就是用数学方法描述处理问题所能够达到结果的函数。
该函数的自变量是表示可供选择的方案及具体措施的一些参数或函数，最佳结果就表现为目标函数取极值。
32．约束条件：在处理实际问题时，通常会受到经济效率、物理条件、政策界限等许多方面的限制，这些限制的数学描述称为最优化问题的约束条件。
3．求解方法：是获得最佳结果的必要手段。
该方法使目标函数取得极值，所得结果称为最优解。
4解：①目标函数：122max (cos )sin S x x x ②约束条件：a x x 21212(0,0)x x （非线性）（线性）说明：5这是一个非线性带等式约束的静态最优化问题。
这类问题有时可以方便地将等式约束条件带入到目标函数中，从而将有约束条件的最优化问题转换为无约束条件的最优化问题，以便求解。
例如：将例1-1转换为无约束条件的最优化问题，目标函数变为：sin )cos 2(max 222x x x a S例1-2（P2）（※）仓库里存有20m 长的钢管，现场施工需要100根6m 长和80根8m 长的钢管，问最少需要领取多少根20m 长的钢管？解：用一根20m 长的钢管，截出8m 管和6m 管的方6法只有三种：设x 1为一根20m 管截成两根8m 管的根数；x 2为一根20m 管截成一根8m 管和两根6m 管的根数；x 3为一根20m 管截成三根6m 管的根数。
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一、 课程介绍 1.课程描述：
最优化方法是近几十年发展和形成的一门新兴的应用学科。它利用数学、计算机 科学以及其它科学的新成果研究各种系统和实际问题的优化设计，控制和管理的途径 以及策略，为决策者和管理者提供科学决策的理论依据和实际操作手段与方法，是集 理论性与应用性为一体的学科，在生产管理和工程技术等许多领域中有广泛的应用前 景。本课程为运筹学课程的后续进阶课程，针对高年级数学类专业学生开设，侧重非 线性最优化问题的理论和方法，包括最优化方法的若干基本内容：无约束最优化方法 （最速下降法和 Newton 类方法）、共轭梯度方法、非线性最小二乘问题及数值解法、 约束最优化问题的数值解法等。通过课程学习，要求学生掌握最优化的基本理论和方 法，能够利用这些理论方法并借助计算机软件对实际问题进行建模、分析和求解，进 而提升对应用数学的理解，培养应用数学知识解决实际问题的能力。 2.设计思路：
学基础等 并行课程：泛函分析；微分方程数值解法等 后置课程：《计算复杂性理论》、《时间序列分析》、《现代数值方法选讲》等。 二、课程目标
本课程目标是为数学类专业高年级学生提供最优化理论和算法的基本知识框架和 主流成果，使学生了解学科发展的历程和前沿研究动态，同时引导并培养学生用数学 语言和数学思维来描述和解决实际问题的能力，增强沟通能力和团队合作意识。课程 结束时，学生应能： （1）理解和掌握最优化方法的基本理论，常用算法的构造思想和途径，并能针对简单 问题给出这些算法的计算步骤和结果。 （2）提高数学理论分析能力，理解并掌握本课程中较常采用的数学思想和技巧，并且
中国海洋大学本科生课程大纲
课程名称
最优化方法 Optimization Methods
课程属性 专业知识
课程代码 075103301333
课时/学分
48/3
课程性质 选修
实践学时
责任教师 曾雪迎
课外学时
96 (48×2)
课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修
约束优化与实际问题紧密相关，与无约束优化问题相比，约束优化问题要复杂得 多。本部分将为学生介绍如下基本知识：一般约束优化问题的基本概念及最优解条件 的刻画；简单约束优化问题的数值方法；将约束优化转化为无约束优化进行求解的罚 函数法和障碍函数法。 3. 课程与其他课程的关系： 先修课程：高等代数 I、II；数学分析 I、II、III；数值分析；数学实验基础；运筹
多约束优化方法的基础。本部分以光滑的多元函数求极小值问题为核心，介绍无约束 优化的基本框架，并且展开介绍不同类型的数值方法。主要包括：最优解条件的刻画、 最速下降法、Newton 法、拟 Newton 法及共轭梯度法。同时，针对一类特殊并且有广泛 应用背景的无约束优化问题，我们将介绍非线性最小二乘问题及其数值算法。
要完成所有的课程任务，学生必须： （1）按时上课，上课认真听讲，积极参与课堂讨论，课堂表现和出勤率是成绩考核的 组成部分。 （2）按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业， 才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。 （3）完成教师布置课外实验作业及课程项目。课外实验作业以程序和结果截图的形式 提交；课程项目带有一定的研究性，以论文的形式呈现结果，并进行课堂展示。课程 项目需要进行一定量的阅读文献和背景资料、编写程序，要求以小组合作形式完成。 项目作业能将课程理论内容学以致用，解决实际问题，同时促进同学间的团队合作、 相互学习、并能引导对某些问题和理论进行更深层次地思考。 四、参考教材与主要参考书 1、选用教材： 《数值最优化方法》，高立 编著，北京大学出版社，2014 年 8 月出版。 2、主要参考书： [1]《最优化方法》（第二版），孙文瑜，徐成贤，朱德通编著，高等教育出版社，2010 年出版。
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[2]《凸优化》，英文书名：Convex Optimization，Stephen Boyd 著，王书宁等译，清
华大学出版社，2013 年 1 月出版。
[3]《非线性规划》，英文书名：Nonlinear Programming，Dimitri P. Bertsekas 著，
பைடு நூலகம்
宋士吉等译，清华大学出版社，2013 年 12 月出版。
最速下降法及其收敛速度
基本 Newton 方法；阻尼 Newton 方法；混合方法； LM 方法
拟 Newton 条件；拟 Newton 方法的修正公式；拟 Newton 方法的基本性质
若干实际问 题的最优化 模型举例
Matlab 实现 梯度下降法 并检验收敛 速度 Matlab 实现 Newton 法并 检验收敛速 度
本课程在运筹学课程的基础上，旨在为数学类专业高年级本科生提供一个系统严 谨且包含最新成果的非线性最优化知识结构，提高学生的科学素质和能力，并为学生 将来从事相关领域的理论与算法研究或利用最优化方法解决实际问题打下坚实的基
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础。课程内容主要包括二个模块：无约束优化方法和约束优化方法。 无约束优化在最优化理论中占有重要地位，除了本身的意义与应用外，它也是许
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能够加以利用。 （3）利用计算机软件（Matlab 等）对最优化问题进行求解、并对结果进行合理分析、 并且针对问题的实际背景提供合理的科学解释； （4）针对实际问题开展项目研究（包括问题简化假设、建模、求解、结果分析等）， 并通过书面论文和课堂展示的形式提供研究结果；激发同学深入理解最优化方法在处 理实际问题时所遵循的理念，提升提出问题并解决问题的能力。 三、学习要求
五、进度安排
序号 专题
主题
1
引论
最优化简介及基 础知识
无约束 最优性条件及方
最优化 法的特性
2
方法的
基本结 构
线搜索方法及信 赖域方法
最速下降法
负梯度
方法与 Newton 方法
3
Newto n 型方
法 拟 Newton 方法
计划 课时
2 2 3 2
3 4
主要内容概述
实践内容
最优化方法的主要内容、 分类及应用实例；最优化 方法的基础知识 最优解的必要及充分条 件；无约束优化方法的基 本框架；收敛性及收敛速 度 精确和非精确线搜索准 则；线搜索法求步长；信 赖域方法的思想及算法