数学解方程方法

如何解初中出现的几种方程
一 、一元一次方程解法步骤：
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

一般解法：
1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；
2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号）
3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号
4.合并同类项：把方程化成ax=b(a ≠0)的形式；
5.系数为成1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b/a.
一元一次方程具体解题例题：
例1小船在静水中速度为12千米每小时，水流速度是3千米每小时。

小船先从上游甲点顺流而下到乙点，又从乙点逆流而上到丙点（丙在甲的上游），两段行程共花费2小时，已知甲丙相距10千米，求甲乙相距多远？】
分析： 本题关键句为两段行程共花费2小时，就是甲->乙，乙->丙两段时间和是2小时。

上游 >>-------------->>-------->> 下游
丙 10 千米 甲 ? 乙
顺水船速=静水船速+水流速度...........船从甲到乙的速度是（12+3）千米每小时 逆水船速=静水船速- 水流速度......... 船从乙到丙的速度是（12-3）千米每小时 解：设甲乙相距距离为x
由题意得到这个方程 ： 23
1210312=-+++x x 看看如何解这个方程，我们套用上面的步骤， 1.去分母2.去括号3.移项4.合并同类项5.系数为成1。

这个方程应该先整理方程，在去分母，但是去分母之后没有括号，则这一步省略，然后移项，再合并同类项，最后系数化为1，所以说我们不要生搬硬套解一元一次方程的解法，该省则省，要灵活变通，活学活用。

23
1210312=-+++x x （整理方程）
29
1015=++x x （去分母） 3x+5x+50=90 （移项合并同类项）
x=5 （系数化为1）
答：甲乙相距5千米。

例2一个三位数的百位数字是十位数字的2倍，个位数字比十位数字少1，若把这个三位数的百位数字跟个位数字对调，得到的新三位数比原三位数小396，求原三位数】
分析：先找关键句---“若把三位数的百位数字跟个位数字对调以后得到的新三位数比原三位数小396”，做这道题还要会用x 表示三位数。

若设原三位数的个位数字是x ，由题意十位数字为x+1，百位数字是2（x+1） 原来三位数大小可表示为2（x+1）×100+（x+1）×10+x
对调后新的三位数个位数字是2（x+1），则十位数字为x+1，百位数字是x 新三位数大小可表示为100x+（x+1）×10+2（x+1）
解：设原来三位数的个位数字是x
由题意得到方程（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+396
我们来分析一下这个方程的解法，第一步还是先看看解一元一次方程的步骤，1.去分母2.去括号3.移项4.合并同类项5.系数为成1。

但是这一题中没有分母，则这一步省略，但是第二步我们是不是就去括号，很显然不是，我们发现等式的两边有两个完全相同的代数式（x+1）×10,所以我们先约去，第三步我们在去括号，第四步在移项，第五步在合并同类项，第六步在系数化为1.如果这里不先约去两个代数式，则解这一题相对来说比较麻烦，一元一次方程的解法步骤，我们要牢记，但是一定要注意灵活运用，且应注意简便的省时间的方法。

2（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+396（约去代数式) 2（x+1）×100+x=100x+2（x+1）+396(去括号）
200x+200+x=100x+2x+2+396 （移项，合并同类项）
99x=198 （系数化为1）
x=2
原来的数字个位2，十位x+1=3，百位2（x+1）=6。

该三位数为632
答：原来的三位数是632
二 、解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：
1、直接开平方法；
2、配方法；
3、公式法；
4、因式分解法。

一元二次方程具体解法例题 :
例1、直接开平方法
把方程ax 2
+c ＝0(a ≠0)，
这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

0822=-x （移项）
22x =8
2
x =4 （二次项系数化为1）
x=±2 （开平方）
例2、配方法
将一元二次方程化成一般形式，如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax 2+bx ＝-c ；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1， x a
b x
2
例1解方
程：2x 2＋3
＝5x ．
解：移项，得：2x 2-5x ＋3＝0，
3、公式法
只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法
=0的根。

例题1．2x2+7x-4＝0
∵a＝2，b＝7，c＝-4．
b2-4
ac＝72-4
×2×
(-4)＝
49+32＝81
例题2.4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)
x2-3ax+2a2-ab-b2＝0
∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2
b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)
＝9a2-8a2-4ab+4b2
＝a2-4ab+4b2
＝(a-2b)2
当(a-2b ≥0)时，得
4. 十字相乘法
c bx ax ++2
∴))((22112c x a c x a c bx ax ++=++
口诀：破首尾，交叉乘，和等中间刚好行。

例题1、02522=+-x x
套用上面方法a a a 21 c c c 21 c a c a b 1
221 可以分解为（x-2)(2x-1)=0
解得x 1=2 x 2=2
1 三 、二元一次方程
代入消元法
（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）代入法解二元一次方程组的步骤
①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）. 加减消元法
例题：
8 2317 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=⎩
由x+y=8得x=8-y
把x=8-y代入，2x+3y=17
y =1,把y=1代入2x+3y=17得：
x =4
说以方程组的解为x=4,y =1。

加减消元法
（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
（2）加减法解二元一次方程组的步骤
①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；
②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）消元:
“消元”是解二元一次方程的基本思路。

所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。

这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

例题1 234
443
x y x y +=⎧⎨-=⎩ ①乘以2得到：4x+6y=8 得到③式，
③-②式得10y=5得到y=
2
1, 把y= 21代入③式得到x=4
5 所以方程解为x=45 y= 21.
预投栏目：初中数学总复习
初中数学总复习并不是对以前所教的知识进行简单的回忆和再现。

最主要的是要通过对知识系统复习，使每一章节中的各个知识点联系起来，找出其变化规律、性质相似之处及不同点等从而形成完整的知识体系，达到以点成线，以线成面，以面成体的目的，只有这样学生才能把所学的知识融会贯通。

一、章节复习——善于转化 我国著名数学家华罗庚先生指出“学习有两个过程，一个是从薄到厚，另一个是从厚到薄”，前者是“量”的积累，后者则是质的飞跃，教师在复习过程中，不仅应该要求学生对所学的知识、典型的例题进行反思，而且还应该重视对学生巩固所学的知识由“量”到“质”的飞跃这一转化过程。

按常规的方式进行复习，通常是按照课本的顺序把学生学过的知识，如数学概念、法则、公式和性质等原本地复述梳理一遍。

这样做学生感到乏味又不易记忆。

针对这一情况，我在复习概念时，采用章节知识归类编码法，即先列出所要复习的知识要点，然后归类排队，再用数字编码，这样做可增加学生复习的兴趣，增强学生的记忆和理解，最主要的是起点了把章节知识由量到质的飞跃，实现厚薄间的转化。

例如，复习“直线、线段、射线”这一节内容，我把主要知识编码成（1）（2）（3）（4）。

（1）——一个基础；（2）——两个要点；（3）——三种延伸；（4）——四个异同点。

这种复习提纲一提出，学生思维立即活跃，有的在思维，有的在议论，有的在阅读课本，设法寻找提纲的答案，我趁势把知识进行必要的讲解和点拨，其答案如下：（1）——一个基础。

是指以直线为基本图形，线段和射线是直线上的一部分。

（2）——两个要点。

①两点确定一条直线；②两条直线相交只有1个交点。

（3）——三种延伸。

三种图形的延伸。

直线可以向两方无限延伸；线段不能延伸；射线可以向一方无限延伸。

（4）四个异同点。

①端点个数不同；②图形特征不同；③表示方法不同；④描述的定义不同；事实证明，这种善于转化的复习确实能提高复习效率。

二、例题讲解——善于变化
复习课例题的选择，应选择最有代表性和最能说明问题的典型习题。

应能突出重点，反映大纲最主要、最基本的内容和要求。

对例题进行分析和解答，发挥例题以点带面的作用，有意识有目的地在例题的基础上作系列的变化，达到能挖掘问题的内涵和外延、在变化中巩固知识、在运动中寻找规律的目的，实现复习的知识从量到质的转变。

例如，在复习二次函数的内容时，我举了这样一个例题：二次函数的图象经过点（0，0）与（-1，-1），开口向上，且在x轴上截得的线段长为2。

求它的解析式。

因为二次函数的图象抛物线是轴对称图形，由题意画图后，不难看出（-1，-1）是顶点，所以可用二次函数的顶点式y=-a(x+m)2+n，再求得它的解析式（解法略）。

在数学中我对例题作了变化，把题例中的条件“抛物线在x轴上截得的线段2改成4”，求解析式。

变化后，由题意画图可知（-1，-1）不再是抛物线的顶点，但从图中看出，图像除了经过已知条件的两个点外，还经过一点（-4，0），所以可用y=a(x-x1)(x-x2)的形式求出它的解析式。

再对例题进行变化，把题目中的“开口向上”这一条件去掉，求解析式。

再次变化后，此题可有两种情况(i)开口向上；(ii)开口向下；所有有两个结论。

由于条件的不断变化，使学生不能再套用原题的解题思路，从而改变了学生机械的模仿性，学会分析问题，寻找解决问题的途径，达到了在变化中巩固知识，在运动中寻找规律的目的。

从而在知识的纵横联系中，提高了学生灵活解题的能力。

三、解题思路——善于优化
一题多解有利于引导学生沿着不同的途径去思考问题，可以优化学生思维，因此要将一题多解作为一种解题的方法去训练学生。

一题多解可以产生多种解题思路，但在量的基础上还需要考虑质的提高，要对多解比较，找出新颖、独特的最佳解才能成为名副其实的优解思路。

在数学复习时，我不仅注意解题的多样性，还重视引导学生分析比较各种解题思路和方法，提炼出最佳解法，从而达到优化复习过程，优化解题思路的目的。

如：已知2斤苹果，1斤桔子，4斤梨共价6元，又知4斤苹果，2斤梨，2斤桔子共价4元，现买4斤苹果，2斤桔子，5斤梨应付多少钱？（解题略）本题妙在不具体求出每种水果的单价，而是使用整体解题的思路直接求出答案为8元。

又如计算(6x+y/2)(3x-y/4)这是一题多项式的乘法运算，本题从表面上看无规律可找，学生也习惯按多项式系数，发现第一个因式提出公因数2后，恰能构成平方差公式的模型，显然后一种解题思路优于第一种解题的思路。

再如，计算若此题把各
因式计算后再相乘，很繁琐，若能把各因式逆用平方差公式，再计算、约分，可以迅速地求出结果。

在复习的过程中加强对解题思路优化的分析和比较，有利于培养学生良好的数学品质和思维发展，能为学生培养严谨、创新的学风打下良好的基础。

四、习题归类——善于类化
考查同一知识点，可以从不同的角度，采用不同的数学模型，作出多种不同的命题，教师在复习时要善于引导学生将习题归类，集中精力解决同类问题中的本质问题，总结出解这一类问题的方法和规律。

例如在复习应用题时，我选下列4个题目作为例题。

题目1：甲乙两人同时从相距10000米的两地相对而行，甲骑自行车每分钟行80米，乙骑摩托车每分钟行200米，问经过几分钟，甲乙两人相遇？题目2：从东城到西城，汽车需8小时，拖拉机需12小时，两车同时从两地相向而行，几小时可以相遇？题目3：一项工程，甲队单独做需8天，乙队单独做需10天，两队合作需几天完成？题目4：一池水单开甲管8小时可以注满，单开乙管12小时可以完成，两管同时开放，几小时可以注满？
上述四道复习应用题，题目表达方式不同，有的看似行程问题，有的看似工程问题，但本质基本相同，数量关系，解答方法基本一样。

通过这样的归类训练，学生便能在平时的学习中，注意做有心人，加强方法的积累和归纳，并能分析异同，把知识从一个角度迁移到另一个角度，最终达到常规图形能熟悉、常规结论要记忆、类同方法全套用、独创解法受启发的层次，提高举一反三、角类旁通的能力。

为使学生轻负担的复习，从题海战术中解脱出来，学得灵活，学得扎实，优化复习过程，提高复习效率，是一个行之有效的重要途径。

希同仁们不断思考，不断探索，为实施素质教育作出努力和贡献。