全国百强名校2020届高三下学期“领军考试” 理科数学
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及答案解析(13页)
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。
【KS5U解析】全国百强名校领军考试2020届高三下学期数学(理)试题 Word版含解析
【答案】近线方程为y ，圆心坐标为（1，0），半径为 ，计算 ，化简得到答案.
【详解】取双曲线C： 一条渐近线方程为y ，即bx﹣ay＝0.
化圆 为 ，则圆心坐标为（1，0），半径为 .
由题意可得： ，即 ，
∴ ，则c2＝5a2，得e .
故选：C.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
6.已知实数x，y满足约束条件 ，则3x﹣y的取值范围是（ ）
A B. C. [﹣2，2]D. [﹣2，3]
【答案】A
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】由约束条件作出可行域如图：
令z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，
故选：B
【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
2.已知集合 ，则（ ）
A.A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}B.A∩B＝{x|1＜x＜2}
C.A∪B＝{x|x＞﹣2}D.A∪B＝{x|x＜1}
【答案】C
【解析】
【分析】
计算到A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x＞﹣1}，再计算交集并集得到答案.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据回归直线方程过样本中心点，求得 ，再根据对数运算求得 的值.
【详解】 ，代入 得 ，解得 .所以 .由 ＝ ，得 ＝ ＝ ＝ ，令 ＝ ，则 ＝ ，∴ ＝ ，则 ＝ ．
故选：D
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查非线性回归有关计算，属于基础题.
5.双曲线C： 的两条渐近线与圆 相切，则双曲线C的离心率为（ ）
s＝1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝2，s＝4，
2019-2020学年下学期全国百强名校“领军考试”高三理科综合参考答案
2019—2020学年下学期全国百强名校“领军考试”高三理科综合参考答案生物部分1.【答案】A【解析】人体补充Na+、Cl－主要用于维持细胞外液渗透压的稳定与平衡，A错误；SARS病毒的遗传物质是RNA，含有P元素，可用同位素标记法使其带有32P放射性，B正确；糖类既可以存在于细胞膜上，也可存在于细胞壁和细胞核中，C正确；脂质主要含有C、H、O，是存在于所有细胞的重要有机化合物，D正确。
2.【答案】B【解析】换用洋葱鳞片叶内表皮细胞进行实验也可得到图中类似的结果，因为洋葱鳞片叶内表皮细胞也能进行质壁分离与复原，A错误；甲~戊的实验结果均表明细胞A的细胞液浓度较高，B正确；实验后戊溶液中细胞B的体积无变化，说明渗透平衡，丙溶液中细胞B的吸水，浓度下降，故实验后丙溶液中细胞B的吸水能力比戊溶液中细胞B的吸水能力弱，C错误；戊中A的体积增大的过程中，由于植物细胞有细胞壁，故细胞发生渗透吸水时两侧浓度不相等，但渗透已平衡，D错误。
3.【答案】C【解析】杂合圆粒豌豆自交时，在减数第一次分裂前期若发生交叉互换，等位基因R与r并未完全分离，R、r的分离可能发生在减数第二次分裂后期，A正确；DNA复制过程中，如果有外界干扰，碱基互补配对出现错误的频率就会提高，B正确；破伤风杆菌是原核生物，无染色体，C错误；基因突变是基因内部碱基序列发生改变，基因重组是非等位基因间发生重组，D正确。
4.【答案】C【解析】题目中说研究者提取受过电刺激的海蜗牛腹部神经元的RNA注射到后者颈部，发现原本没有受过电击的海蜗牛也“学会”了防御，而对照组则没有此现象，是对照组也注射了提取没受电刺激的海蜗牛的腹部神经元RNA，但没有蜷缩的方式，故C项错误。
5.【答案】B【解析】由图可知，各年份伊犁绢蒿种群密度均在轻度放牧情况下达到最大，重度放牧下达到最小，A正确；随放牧强度增加，2012年丰富度指数呈现增加趋势，2013年丰富度指数呈现先增加后减趋势，B错误；调查表明适度放牧利于增加该地群落的丰富度，以此维持草地群落的稳定性，C正确；2013年物种丰富度高但种群密度却低可能是气候条件适宜、草食压力大导致，D正确。
2020届全国100所名校高三理科数学模拟金典试题(三)及参考答案
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１００所名校高考模拟金典卷 数学试卷（三） 第 ２ 页 共 ６ 页
二填空题本题共+小题每小题'分共!";1!设#(' 满足约束条件-'*"
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2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
河南省八市重点高中联盟＂领军考试＂2020届高三数学第三次测评试题 理(含解析)
河南省八市重点高中联盟“领军考试”2020届高三数学第三次测评试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为2的抛物线，写出其准线方程即可.【详解】抛物线的标准方程为，焦准距，，所以抛物线的准线方程为，故选A.【点睛】该题考查的是有关抛物线的准线方程的问题，在解题的过程中，注意首先需要将抛物线方程化为标准形式.3.己知复数，给出下列四个结论：①；②；③的共轭复数．④的虚部为．其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意可得复数，据此分别计算和的虚部即可确定所给的命题是否正确.【详解】复数，故，①不正确；，②正确；，③不正确；的虚部为，④不正确；故只有②正确．故选B．【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念，复数的虚部等知识，属于基础题.4.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.【详解】由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点。
故选【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.5.“对任意的正整数，不等式都成立”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.或【答案】B【分析】原不等式等价于，当时，，，成立，当时，，要使成立，只需成立，即，由此求得原不等式成立的充要条件，从而可以从选项中确定出原不等式成立的充分不必要条件.【详解】原不等式等价于，当时，，，成立，当时，，要使成立，只需成立，即，由，知最小值为，所以，所以或是原不等式成立的充要条件，所以是原不等式成立的充分不必要条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关充分不必要条件的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求解，充分不必要条件的定义与选取，在解题的过程中，正确求出充要条件对应参数的范围是解题的关键.6.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A. 84B.C.D.【答案】C【分析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4，利用相关公式求得结果. 【详解】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，所以五棱柱的表面积为，故选C.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的求解问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，柱体的表面积问题，属于简单题目.7.已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（）A. 1B.C.D. 0【答案】C【解析】试题分析：因为函数是上的单调函数，且，所以可设（为常数），即，又因为，所以，令，显然在上单调递增，且，所以，，，故选C.考点：1.函数的表示与求值；2.函数的单调性.8.如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据定积分求阴影部分面积，再根据几何概型概率公式求结果.【详解】阴影部分面积为，所以所求概率为，选A.【点睛】本题考查利用定积分求面积以及几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知一个高为l的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，内有一个体积为的球，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意，确定出满足条件的球为该棱锥的内切球，利用相关公式得到结果.【详解】依题意，当球与三棱锥的四个面都相切时，球的体积最大，该三棱锥侧面的斜高为，，，所以三棱锥的表面积为，设三棱锥的内切球半径为，则三棱锥的体积，所以，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的内切球的问题,涉及到的知识点有椎体的内切球的半径的求法，对应的等量关系式为大棱锥的体积等于若干个小棱锥的体积，从而建立其内切球半径所满足的条件，从而求得结果.10.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.11.己知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图像沿轴向左平移个单位，得到函数的图像，关于函数，下列说法正确的是（）A. 在上是增函数 B. 其图像关于直线对称C. 函数是奇函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】试题分析：，函数图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，故函数的最小正周期为，所以；函数图象沿轴向左平移个单位得，，故为偶函数，并在区间上为减函数，所以A、C错误．，所以B错误．因为，所以，，所以D正确．考点：1、三角函数辅助角公式；2、三角函数图像平移；3、三角函数奇偶性单调性．12.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A. -3B. -4C. -5D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，即在上恒成立，结合二次函数在某个闭区间上的最值，求得结果.【详解】函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其对称轴为，当即时，在上恒成立等价于，由线性规划知识可知，此时；当即时，在上恒成立等价于，，即；当即时，在上恒成立等价于，此时；综上可知，，故选.【点睛】该题考查的是有关式子的最值的问题，涉及到的知识点有函数在给定区间上单调对应的等价条件，二次函数在给定区间上的最小值的求解，属于较难题目.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是__________．【答案】45【解析】试题分析：的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解之得，所以的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.考点：二项式定理.14.设变量满足约束条件：，则的最小值__________．【答案】-8【解析】画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.15.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先求出的零点，然后求出f的值，作出函数的图象，利用数形结合以及排除法进行求解即可．【详解】当时，由得，得，当时，由得，得，由得，即，，作出函数的图象如图：，当时，，函数是增函数，时，，函数是减函数，时，函数取得最大值：，当时，即时，有4个零点；当时，即时有三个零点；当时，有1个零点；当时，则有2个零点，当时，即时，有三个零点；当，解得函数有三个零点，综上，函数有3个零点．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．16.三角形中，且，则三角形面积的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设，由，得C点轨迹为以为圆心，以为半径的圆，可求三角形高为时，最大，即可得解.【详解】设，则由得，化简得，所以点轨迹为以圆心，以为半径的圆，所以最大值为，所以三角形面积的最大值为.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积的最值问题，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解，在解题的过程中，注意对题意进行正确的分析，得出在什么情况下取得最值是正确解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在公差不为0的等差数列中，成等比数列，数列的前10项和为45．（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列关于公差与首项的方程组，再将结果代入通项公式得结果，（2）利用裂项相消法求和.【详解】(1)设等差数列的公差为，由成等比数列可得，，即，，，.由数列的前10项和为45，得，即，故，.故数列的通项公式为；（2），【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D-FC-B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，，，，，，设平面的法向量为，则由得，令，则，，所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，，从而，所以直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19.某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量 1 1.5 2天数10 25 15频率0.2若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．【答案】（1）0.3125；（2）6.2.【解析】试题分析：第一问根据频率公式求得，第二问在做题的过程中，利用题的条件确定销售量为1．5吨的频率为，可以判断出销售量为1．5吨的天数服从于二项分布，利用公式求得结果，第二小问首先确定出两天的销售量以及与之对应的概率，再根据销售量与利润的关系，求得的分布列和，利用离散型随机变量的分布列以及期望公式求得结果．试题解析：（1）由题意知：a=0．5，b=0．3．①依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率p=0．5，设5天中该种商品有X天的销售量为1．5吨，则X～B（5，0．5），．②两天的销售量可能为2,2．5,3,3．5,4．所以的可能取值为4，5，6，7，8，则：，，，，，的分布列为：ξ 4 5 6 7 8P 0．04 0．2 0．37 0．3 0．09．考点：独立重复实验，离散型随机变量的分布列与期望．20.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点且的中点坐标为.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为l，试判断直线，是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】【分析】（Ⅰ）设，由点差法可得，MN的中点坐标为，则可得，由此能求出椭圆C的方程．（II）设直线AB：，联立方程得：由此利用韦达定理、直线斜率公式，结合已知条件能求出直线l经过定点．【详解】（I）设，则，两式相减得,，又MN的中点坐标为，且M、N、F、Q共线因为，所以，因为所以，所以椭圆C的方程为.（II）设直线AB：，联立方程得：设则，因为，所以，所以所以，所以，所以所以，因为，所以，所以直线AB：，直线AB过定点，又当直线AB斜率不存在时，设AB：，则，因为所以适合上式，所以直线AB过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线斜率公式、韦达定理的合理运用．21.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数在是否存在零点？如果存在，求出零点；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在零点.【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号确定单调性，（2）先利用导数求在上最大值，再构造函数，利用导数证得，化简证得，从而确定在不存在零点.【详解】（1）函数的定义域为，（一）当时，时，，单调递增；时，，单调递减.（二）时，方程有两解或1①当时，时，，在，上单调递减.时，，单调递增.②当时，令，得或（i）当时，时恒成立，在上单调递增；（ii）当时，.时，，在、上单调递增.时，，单调递减.（iii）当时，时，，在，单调递增.时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为、，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.（2）由（1）可知当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值也是最大值.令，则，令得，当，，当，，所以在定义域上先增后减，在处取最大值0，所以，，所以，，，所以即，又，所以函数在不存在零点.【点睛】函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等）.其中往往涉及分类讨论思想的运用.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）写出曲线和的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】试题分析：（1），；（2）设，结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值．到直线的距离，所以的坐标为。
2019-2020学年下学期全国百强名校“领军考试”高三理数试题参考答案
【解析】由 PA AB 3, PB 3 2 ,可得 PA AB ,由 PA 3, AC 5 , PC 34 ,可得 PA AC ,所以
PA 平面 ABC ，以△ABC 为底面,PA 为侧棱,把三棱锥 P ABC 补成一个直三棱柱,则该三棱柱的高
h 3 , 由 AB 3, AC 5, BC 7 可 得 cos BAC 1 , BAC 120 , 所 以 △ABC 的 外 接 圆 半 径 2
1 2
上的值域为
,
3
,若
a
1 ,则
f
x 在
1 2
,
上的值域为
2
loga
1 2
,
,所以
f
x 没有最大值；若 0
a
1 ,则
f
x
在
1 2
,
上的值域为
,
2
loga
1 2
,
若
f
x 有最大值,则 2
A0,0,
DP
0, B 0,1,
3, 1, 2
0,C
, DB
0,1,1 0,1,
, D 0, 0, 2, P
2 ,
DC
0,1,
3, 1, 0
, E
3 , 2
1 ,………………8
1 2
,1
所以 a2 2a1 ,数列an 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列,
所以 an 2n . …………6 分 (2) 由1, a2 , a4 , b1, b2 ,, bn, 成等差数列,得1 a4 2a2 ,又 a4 4a2 ,
2019～2020学年度下学期全国百强名校领军考试高三理科综合参考答案
5.【答案】B 【解析】由图可知，各年份伊犁绢蒿种群密度均在轻度放牧情况下达到最大，重度放牧下达到最小，A 正确； 随放牧强度增加，2012 年丰富度指数呈现增加趋势，2013 年丰富度指数呈现先增加后减趋势，B 错误；调查 表明适度放牧利于增加该地群落的丰富度，以此维持草地群落的稳定性，C 正确；2013 年物种丰富度高但种 群密度却低可能是气候条件适宜、草食压力大导致，D 正确。
2.【答案】B 【解析】换用洋葱鳞片叶内表皮细胞进行实验也可得到图中类似的结果，因为洋葱鳞片叶内表皮细胞也能进 行质壁分离与复原，A 错误；甲~戊的实验结果均表明细胞 A 的细胞液浓度较高，B 正确；实验后戊溶液中 细胞 B 的体积无变化，说明渗透平衡，丙溶液中细胞 B 的吸水，浓度下降，故实验后丙溶液中细胞 B 的吸水 能力比戊溶液中细胞 B 的吸水能力弱，C 错误；戊中 A 的体积增大的过程中，由于植物细胞有细胞壁，故细 胞发生渗透吸水时两侧浓度不相等，但渗透已平衡，D 错误。
科 理 三 高 试 考 军 领 校 名 强 百 国 全
2019—2020三理科综合参考答案
生物部分
1.【答案】A 【解析】人体补充 Na+、Cl－主要用于维持细胞外液渗透压的稳定与平衡，A 错误；SARS 病毒的遗传物质是 RNA，含有 P 元素，可用同位素标记法使其带有 32P 放射性，B 正确；糖类既可以存在于细胞膜上，也可存 在于细胞壁和细胞核中，C 正确；脂质主要含有 C、H、O，是存在于所有细胞的重要有机化合物，D 正确。
2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(有解析)
2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷(理科)(2月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设z =21+i +2i ，则z −的虚部是( )A. 2B. 1C. −2D. −12. 已知集合A ={x|x <−3}，B ={x|−5−2x >0}，则( )A. A ∩B ={x|x <−52} B. A ∪B ={x|x <−52} C. A ∩B =⌀D. A ∩B =R3. 已知角α终边经过一点P(−1,2)，则sin 2α=( )A. −45B. −35C. 45D. 354. 如表是某厂5～8月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，y 与x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ŷ=−x +a ̂，则a ̂=( ) A. 10.5 B. 10.25C. 10D. 5.155. 已知直线l 1，l 2为双曲线M ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线，若l 1、l 2与圆N ：(x −2)2+y 2=1相切，则双曲线M 离心率的值为( )A. √33B. 2√33C. √3D. 4√336. 设x ，y 满足约束条件{x −2y ≤02x +y −10≤0x ≥1，设向量a ⃗ =(y −2x,m)，b ⃗ =(1,−1)，若a ⃗ //b ⃗ ，则m的最大值为( )A. −6B. 6C. 1D. −17. (x 2+1)(x −2)5的展开式的常数项是( )A. 5B. −10C. −32D. −428. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为8，则图中判断框内①处可以填( )A. k >4B. k ≥4C. k <4D. k ≤49. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1和AB 的中点，平面B 1EF 交棱AD于点P ，则PE =( )A. √156B. 2√33C. √32D. √13610. 设函数f(x)={(12)|x−a|,x <a +1−|x +1|−a,x ≥a +1，若f(x)的最大值不超过1，则实数a 的取值范围为( )A. [−32,+∞)B. (−32,+∞) C. [−54,0)D. [−32,−54)11. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >0)的一个焦点为直线l ：y =x −3与x 轴的交点，则椭圆C 的离心率为( )A. 310B. 3√1010 C. 2√147D. 1312. 已知函数f (x )=|sinx|+cosx ，则下列说法正确的是( )A. 函数f (x )的图象关于直线x =kπ(k ∈Z)对称B. 函数f (x )在[π,2π]上单调递增C. 函数f (x )的图象关于点(kπ+π2,0)(k ∈Z)对称 D. 函数f (x )的值域为[−√2,√2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f (x )=e 2x−1x 2，则函数f (x )在点(12,4)处的切线方程为______________。
全国百强名校2020届高三下学期“领军考试” 数学(理) (带答案)
2019－2020学年下学期全国百强名校“领军考试”高三数学(理数)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若12zi i=--，则z ＝ A.3＋3i B.1＋3i C.3－3i D.1－3i 2.已知集合A ＝{x|x 2<4}，B ＝{x|(12)x<2}，则 A.4∩B ＝{x|－2<x<1} B.A ∩B ＝{x|1<x<2} C.A ∪B ＝{x|x>－2} D.A ∪B ＝{x|x<1} 3.已知角α的终边经过点P(－3，1)，则cos2α＝ A.35 B.－35 C.45 D.－454.已知变量x ，y 的关系可以用模型y ＝ce kx 拟合，设z ＝lny ，其变换后得到一组数据如下：由.上表可得线性回归方程$4zx a =-+$，则c ＝ A.－4 B.e －4 C.109 D.e 109s.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与圆x 2＋y 2－2x ＋15＝0相切，则双曲线C 的离心率为A.52 2 5 D.1726.已知实数x ，y 满足约束条件22022011x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥--≤⎪⎪⎩，则3x －y 的取值范围是A.[72-，4]B.[52-，4] C.[－2，2] D.[－2，3]7.(x 2－3)(2x＋1)5的展开式中的常数项为 A.77 B.37 C.－3 D.－238.已知f(k)＝k ＋(－1)k ，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是A.s>3?B.s>5?C.s>10?D.s>15?9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点A 及C 1D 1中点作与直线BD 平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为5 132 5＋2 210.已知a>0且a ≠1，()181,212log ,2ax x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若f(x)有最大值，则a 的取值范围是A.(12，1) B.(0，12] C.(0，12)∪(1，＋∞) D.[12，1)∪[2，＋∞) 11.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：221(0)2x y a a a+=>+的蒙日圆为x 2＋y 2＝4，a ＝ A.1 B.2 C.3 D.412.关于函数f(x)＝|sinx|3有下述四个结论：①f(x)是周期函数：②f(x)的图象关于直线x ＝2k π(k ∈Z)对称；③f(x)在(－π，0)上没有零点；④f(x)的值域为[32]，其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国百强名校领军考试2020-2021学年高三9月理数试题(wd无答案)
全国百强名校领军考试2020-2021学年高三9月理数试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知是锐角，若，则（）A．B．C．D．(★) 3. 设，，则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 4. 已知函数，则（）A．2B．0C．D．(★★) 5. 函数的一个对称中心为，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知函数的图象在处的切线与直线相互垂直，则实数的值为（）A．2B．4C．6D．8(★★) 7. 已知函数关于直线对称，则为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位(★★) 8. 下列说法错误的是（）A．“”是“函数不存在零点”的充分不必要条件B．命题“在中，若，则为等腰三角形”是真命题C．设命题：，函数恒有意义，若为真命题，则的取值范围为D．命题“，”是真命题(★★★) 9. 函数的大致图象是（）A．B．C．D．(★★) 10. 函数的部分图象如图所示．则（）A．B．C．D．(★★) 11. 已知对任意实数，函数满足，当时，函数，设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，若函数有且仅有8个不同的零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知集合，则的子集个数为______．(★★★) 14. 已知集合，，若“ x∈ A”是“ x∈ B”的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是________．(★★)15. 已知，，，，则的值为______．(★★) 16. 若函数在区间有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．三、解答题(★★★) 17. 设命题：函数的定义域为；命题：不等式恒成立，如果命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数的取值范围．(★★★) 18. 已知函数是上的偶函数．（1）求的值并判断在上的单调性；（2）若，使得不等式，求实数的取值范围．(★★★) 19. 若函数，平面内一点坐标，我们称为函数的“相伴特征点”，为的“相伴函数”．（1）已知，求函数的“相伴特征点”；（2）记的“相伴函数”为，将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，作出在上的图象．(★★★) 20. 函数的两个相邻的最低点与最高点分别是，（1）问当向左最少平移多少个单位时，得到的函数关于坐标原点对称？（2）求证：对于任意的，都有．(★★★★) 21. 已知函数．（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；（2）若函数在区间上有且只有两个零点，求实数的取值范围，(★★★) 22. 已知函数，且函数在点处的切线为轴．（1）当时，证明：；（2）已知，，求证：．。
2020届全国百强名校“领军考试”高三理科综合试卷参考答案
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全国百强名校2020届高三下学期“领军考试” 数学(理) Word版含答案
2019－2020学年下学期全国百强名校“领军考试”高三 数学(理)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若12z i i=--，则z ＝ A.3＋3i B.1＋3i C.3－3i D.1－3i 2.已知集合A ＝{x|x 2<4}，B ＝{x|(12)x <2}，则 A.4∩B ＝{x|－2<x<1} B.A ∩B ＝{x|1<x<2} C.A ∪B ＝{x|x>－2} D.A ∪B ＝{x|x<1}3.已知角α的终边经过点P(－3，1)，则cos2α＝A.35B.－35C.45D.－454.已知变量x ，y 的关系可以用模型y ＝ce kx 拟合，设z ＝lny ，其变换后得到一组数据如下：由.上表可得线性回归方程$4zx a =-+$，则c ＝ A.－4 B.e －4 C.109 D.e 109 s.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与圆x 2＋y 2－2x ＋15＝0相切，则双曲线C 的离心率为5 2 5 176.已知实数x ，y 满足约束条件22022011x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥--≤⎪⎪⎩，则3x －y 的取值范围是A.[72-，4]B.[52-，4] C.[－2，2] D.[－2，3] 7.(x 2－3)(2x ＋1)5的展开式中的常数项为 A.77 B.37 C.－3 D.－238.已知f(k)＝k ＋(－1)k ，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是A.s>3?B.s>5?C.s>10?D.s>15?9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点A 及C 1D 1中点作与直线BD 平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为5 132 52 210.已知a>0且a ≠1，()181,212log ,2a x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若f(x)有最大值，则a 的取值范围是 A.(12，1) B.(0，12] C.(0，12)∪(1，＋∞) D.[12，1)∪[2，＋∞) 11.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：221(0)2x y a a a+=>+的蒙日圆为x 2＋y 2＝4，a ＝。
全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(二)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （ ） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（ ）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（ ）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（ ）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（ ）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（ ）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅， 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的， 如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈， 所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈， 所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=， 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -， 点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =， 因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ， 平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥， 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$， 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和 （1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ， 所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ， 又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>， 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ， 因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ， 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥， 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤， 即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， （2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-， 由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。
全国百强名校2020届高三下学期“领军考试”数学(理)试题及答案
2020届高三下学期全国百强名校“领军考试”数学(理数)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若12z i i =--，则z ＝ A.3＋3i B.1＋3i C.3－3i D.1－3i 2.已知集合A ＝{x|x 2<4}，B ＝{x|(12)x <2}，则 A.4∩B ＝{x|－2<x<1} B.A ∩B ＝{x|1<x<2} C.A ∪B ＝{x|x>－2} D.A ∪B ＝{x|x<1}3.已知角α的终边经过点P(－3，1)，则cos2α＝A.35B.－35C.45D.－454.已知变量x ，y 的关系可以用模型y ＝ce kx 拟合，设z ＝lny ，其变换后得到一组数据如下：由.上表可得线性回归方程$4zx a =-+$，则c ＝ A.－4 B.e －4 C.109 D.e 109 s.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与圆x 2＋y 2－2x ＋15＝0相切，则双曲线C 的离心率为5 2 5 17 6.已知实数x ，y 满足约束条件22022011x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥--≤⎪⎪⎩，则3x －y 的取值范围是A.[72-，4]B.[52-，4] C.[－2，2] D.[－2，3] 7.(x 2－3)(2x＋1)5的展开式中的常数项为 A.77 B.37 C.－3 D.－238.已知f(k)＝k ＋(－1)k ，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是A.s>3?B.s>5?C.s>10?D.s>15?9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点A 及C 1D 1中点作与直线BD 平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为 5 132 52 210.已知a>0且a ≠1，()181,212log ,2a x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若f(x)有最大值，则a 的取值范围是 A.(12，1) B.(0，12] C.(0，12)∪(1，＋∞) D.[12，1)∪[2，＋∞) 11.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：221(0)2x y a a a+=>+的蒙日圆为x 2＋y 2＝4，a ＝ A.1 B.2 C.3 D.412.关于函数f(x)＝|sinx|3有下述四个结论：①f(x)是周期函数：②f(x)的图象关于直线x ＝2k π(k ∈Z)对称；③f(x)在(－π，0)上没有零点；④f(x)的值域为[3，2]，其中正确结论的个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国百强名校领军考试2019-2020学年下学期高三数学理科数学试题(Word版,含解析 )
2019～2020 学年下学期全国百强名校“领军考试”高三数学(理数)注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若12z i i =--，则z = A.3+3i B.1+3i C. 3-3i D.1- 3i2.已知集合{}{}214,()22x A x x B x =<=<，则 A. {}21A B x x =-<<I B. {}12A B x x =<<IC. {}2A B x x =>-UD. {}1A B x x =<U3.已知角α的终边经过点P(-3,1),则cos2α=A. 35B. 35-C. 45D. 45- 4.已知变量x 、y 的关系可以用模型kx y ce =拟合，设ln z y =，,其变换后得到一组数据如下:由上表可得线性回归方程4z x a ∧∧=-+，则c =A. 4-B. 4e -C.109D. 109e5.双曲线C: 22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与圆221205x y x +-+=相切,则双曲 线C 的离心率为A.52 B. 2 C. 5 D. 1726.已知实数x 、y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩,则3x - y 的取值范围是 A.7[,4]2- B. 5[,4]2- C. [-2,2] D. [-2,3] 7. 252(3)(1)x x-+的展开式中的常数项为 A.77 B.37 C. -3 D. -238.已知()(1)kf k k =+- ，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4,则判断框内可填入的条件是A.8>3?B. s>5?C. s>10?D. 8>15 ?9.已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点A 及C 1D 1中点作与直线BD 平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为 A. 55 B. 13+2C. 25+32 D. 5210.已知a > 0且181,21,()12log ,2x a x x a f x x ⎧-≤⎪⎪≠=⎨⎪+>⎪⎩，若()f x 有最大值，则a 的取值范围是 A. 1(,1)2 B. 1(0,]2 C. 1(0,)(1,)2+∞U D. 1[,1[2,)2+∞U ）11.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆,若椭圆C: 221(0)2x y a a a+=>+的蒙日圆为224,x y a +== A.1 B.2 C.3 D. 412.关于函数()sin 3f x x x =有下述四个结论:①f (x )是周期函数:②f (x )的图象关于直线x = 2k π(k ∈Z)对称,③f (x )在(- π,0)上没有零点:④f (x )的值域为[3,2 ],其中正确结论的个数为A.1B. 2C.3D.4二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 1()x f x e x -=-的图象在x = 1处的切线方程为______________。
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全国百强名校2020届高三下学期“领军考试” 理科数学 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若12z i i
=--，则z ＝ A.3＋3i B.1＋3i C.3－3i D.1－3i 2.已知集合A ＝{x|x 2<4}，B ＝{x|(
12)x <2}，则 A.4∩B ＝{x|－2<x<1} B.A∩B ＝{x|1<x<2} C.A ∪B ＝{x|x>－2} D.A ∪B ＝{x|x<1}
3.已知角α的终边经过点P(－3，1)，则cos2α＝ A.35 B.－35 C.45 D.－45
4.已知变量x ，y 的关系可以用模型y ＝ce kx 拟合，设z ＝lny ，其变换后得到一组数据如下：
由.上表可得线性回归方程4z x a =-+，则c ＝
A.－4
B.e －
4 C.109 D.e 109 s.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与圆x 2＋y 2－2x ＋15
＝0相切，则双曲线C 的离心率为
6.已知实数x ，y 满足约束条件220
220
11x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥--≤⎪⎪⎩，则3x －y 的取值范围是 A.[72-，4] B.[52
-，4] C.[－2，2] D.[－2，3] 7.(x 2－3)(2x
＋1)5的展开式中的常数项为 A.77 B.37 C.－3 D.－23
8.已知f(k)＝k ＋(－1)k ，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是
A.s>3?
B.s>5?
C.s>10?
D.s>15?
9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点A 及C 1D 1中点作与直线BD 平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为
10.已知a>0且a≠1，()181,212log ,2
a x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若f(x)有最大值，则a 的取值范围是 A.(12，1) B.(0，12] C.(0，12)∪(1，＋∞) D.[12
，1)∪[2，＋∞) 11.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：22
1(0)2x y a a a
+=>+的蒙日圆为x 2＋y 2＝4，a ＝。