双向不等式的巧思妙解

此题与以下 ２００１年广东及浙江高考试题 ｘ一４）…（１）， — －＝ Ｉ＿；兰 ｘ一４）…（２），
为同一类型．
在（１）、（２）中令 Ｙ＝０，得直线 ＡＮ 、ＢＭ 与Ｘ轴
例２如图２，已知椭圆等＋Ｙ４７－＝Ｉ的右准 的交点的横坐标分别为：ｚ＝二
＋４
线 ｚ与ｚ轴相交于Ｅ，过椭 圆右焦点 Ｆ的直线 与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点，点 Ｃ在右准线 ｚ上 ， 且 ＢＣ／／Ｘ轴，求证直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中 点．
厂（ｚ）≤ａｇ（ｘ），
定理：不等式 口≤ ≤６（口≤６）与不等
即［ｆ（ｘ）一ａｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）一 （ｚ）］≤０．
式［ Ｘ）一ａｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）一 （ｚ）］≤０等价．
综上，无论 ｇ（ｘ）＞０还是 ｇ（Ｘ）＜０，不等
证明：当ｇ（ｚ）＞０，原不等式等价于
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２００５年第７期
０的两根为 ｚ１，ｚ２，满足：０＜Ｘｌ＜ ２＜ ．求
ｆ ｖ／ １一ｚ ｆ＜２．
证 ：当 ｚ∈（０，ｚ１）时， ＜厂（ｚ）＜Ｘ１．
解：原不等式等价于 一２＜￣／２ｘ一１一Ｚ＜
２，
即：（￣／／ 一ｚ＋２）（ 二Ｉ＿１一Ｘ一２） ＜０…①
设ｖ厂 二１：￡（￡≥０）即ｚ：蔓兰｝ ，代入
．
‘ 。
（ｚ— １） ＞０，ｚｌ—ｚ２＜０，
ａ（ｘ—ｚ２）＋１＝ａ，２７一ａ，２７２＋１＞１一ａｘ２＞
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０，
．
‘ ．
［ｆ（ｘ）一Ｘ］［ｆ（ｘ）一Ｘ１］＜Ｏ，
．
‘ ．
ｚ＜，（ｚ）＜ｚ１．
例 ６ 已知 口＞ ｂ≥ ０，求 证 ：
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例 １ （２ ００４高考 ，浙江理
（１１）题）设 厂（ｚ）是函数 ｆ（ｘ） 的导函数，Ｙ＝厂（Ｘ）的图像如
图所示 ，则 Ｙ＝厂（ｚ）的图像最有 可能是（ ）．
＝ｍｉｒ，ｔｆ（一３），厂（一１），厂（０）｝＝一１７．选（ｃ）． 例３（２００４高考，湖北 ２２题）已知 ｂ＞一１．
（Ａ）１，一１ （Ｂ）１，一１７
纵观以上实例，只要我们掌握了对这个 函
（ｃ）３，一１７ （Ｄ）９，一１９
数的研究方法，了解了这些性数的理解水平．在解题时无论是容易题还
另０为 １和 一１，‘．’一１∈［一３，０］，所 以厂（ｚ） ＝ｌｎａｘ｛厂（一３），ｆ（一１），ｆ（０）｝＝３，厂（ ） －ｍ
又 ， 厂（ ）＝ｇ（ ）’．．．（６＋１） ：
函数，则 Ｙ＝厂（ｚ）的图像给出了如下信息：
４ｃ，‘．‘ｂ＞ 一１，ｃ＞０，．‘．ｂ＝ 一１＋２ ．
ｆ）ａ＞０（排除（Ｂ）、（Ｄ））；
（１Ｉ）Ｆ（ｘ）＝厂（ｚ）ｇ（ｚ）＝Ｘ ＋２ｂｚ ＋（ｂ
②导函数方程两根是 ０，２，（ｆ（Ｘ）对称中 ＋ｃ）ｘ＋ｂｃ，
心的横坐标是 １）；
Ｆ（ｚ）的导方程为：３ｘ ＋４ｂｘ＋ｂ ＋ｃ＝０，
③在［０，２］上厂（ｚ）＜０，厂（ｚ）减函数；在 因为 Ｆ（ｚ）有极值点，所以，△＝４（ｂ 一３ｃ）＞
（一∞，０］或［２，＋∞）上 厂（Ｘ）＞０，ｆ（ｚ）增函 ０，．‘．６＜ 一 ３ｃ或ｂ＞ ３ｃ，．‘．一１＋２√ｃ＜
是难题，都能找到明确的解题思路，拓宽解题思 维 ．
双 向 不 等 式 的 巧 思 妙 解
云南玉溪元江民族中学 （６５３３００） 张荣华
对于不等式 口≤ ≤６（口≤ｂ）是一类 常见的问题 ，按常规解法往往需要讨论 ，显得比 较复杂，下面介绍关于它的一种简便解法 ：
（ｚ）≤ （ ）≤ｂｇ（ｚ）， 即［厂（ｚ）一ａｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）一 （ｚ）］≤０； 当ｇ（ｘ）＜０，原不等式等价于 （ｚ）≤
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式 口≤ ≤６（口≤６）与不等式［厂（ ）一
又 ‘．‘￡≥≥０’．．．０≤ｔ＜３，即：
＜３．
ａｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）一 （ｚ）］≤０等价． 值得我们重视的是 ，利用这个定理 ，可以使
很多不等式获得简便巧妙的解法，也能很简便
）ｚ＜０．
１） ≥≥０，
· ． ’ ｚ＞０’．．．原不等式∞ｚ（ｚ一 ）＜０∞０
．
‘ ．
原不等式成立．
＜ ｚ＜ ，
‘ 原不等式的解集为 ｛ｚ；０＜ｚ＜￣／６｝．
．．
例 ６ （１９９７年全 国高考题）设二次 函数 ｆ（ｘ）＝ａ３７ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０），方程 ｆ（ｘ）一 ＝
例３ （２００２年北京高考题）解不等式
ｃ＞０，函数ｆ（ｘ）＝Ｘ＋ｂ的图像与函数ｇ（ｚ）＝ Ｘ ＋ｋ ＋ｃ的图像相切．
（Ｉ）求 ｂ与 ｃ的关系式（用 ｃ表示 ６）； （Ⅱ）设函数 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（Ｘ）在（一∞， ＋ｏｏ）内有极值点 ，求 ｃ的取值范围．
解：（Ｉ）依题意，厂（Ｘ）＝ｇ （Ｘ），得 Ｘ＝
分析：根据图像特征 ，不妨设 厂（ｚ）是三次
． 一·． （口一６ｓＩｎ口）２鲁（口２ —６２），／ｕ成肭立且，’
甘｛
一 ｝｛
一 ｝
即 ≤
≤ ．
用 梯 形 性 质 妙 解 高 考 题
浙江省诸暨市草塔中学 （３１１８１３） 杨 宣文 杨 国平
解析几何是用代数的方法解决几何问题的
例 ３ 如 图 ３，设抛物线 ｙ ＝２ｐｘ（Ｐ＞Ｏ）
①式得 ：
ｘ２）＋（ｚ— １）］
（￡一 一２）（￡一 十２）＜ｏ，
＝ａ（ｘ—ｘ１） （ —ｘ２）［ａ（ｘ—ｘ２）＋１］．
去 卜母得（ｔ 一２￡＋５）（ｔ 一２￡一３）＜０． 又‘．‘￡ —２ｔ＋５恒大于 ０，
‘ ｔ —２ｔ一３＜Ｏ 一１＜ｔ＜３，
．．
又 ‘．‘０＜ ＜Ｘｌ＜ ２＜ ，口＞０，
－ ＦＩ学科．用平面几何性质解相应的解析几何 的焦点 Ｆ，经过点 Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ
问题 ，在许多情况下可以收到意想不到的效果 ． 两点，点 Ｃ在抛物线的准线上，且 ＢＣ／／Ｘ轴．
在高考复习中，遇到了这样一道题 ：
证明直线 ＡＣ经过原点 ０．
例 １ 如图 １，过椭圆
参照上述两道高考题的解法 ，例 １的解答 如下 ：
数学第 ２册（上）Ｐ１７页例 １）
＋ｂ＋１＋ｏｈ ）（ａ＋ｂ一１一ｏｈ）＜０铺（口２—１）（１ 解：ｆ ｚ 一５ｘ＋５ ｌ＜１铺 一１＜ｚ 一５ｘ＋５
一 ｂ ）＜０．
＜１错（ｚ 一５ｘ＋６）（ｚ 一５ｚ＋４）＜０铺（ｚ一２） · （ＩＴ一３）（ｚ一１）（ｚ一４）＜０，
从而得解集 ｛ｚ ｆ １＜ｚ＜２或 ３＜ｚ＜４｝．
Ｊ －
’ ＾
’＾
辩 ∞爱 ＜ ＜蠹 铺（ 一…ｘ－３） 证明：原不等式铺［ ＋ ＋１一 １（ｚ ＋
辩 ）＜０， （２－
ｘ
。
一
＋ｚ
１）］［ｚ ＋ｚ＋１一詈（ ＋１）］≤０
番 ＜０ ＋ ）（ｚ一 铺 （ｚ２＋２ｚ＋１）． （一ｚ２＋２ 一１）４０ 铺 一（ｚ＋１） （ｚ一１） ≤０∞（ｚ＋１） （ 一
证明：‘．。ｚ１， ２是 ｆ（ｘ）一ｚ＝０的两根 ，
． ’ ． ｆ（ｘ）一ｚ＝口（ｚ—Ｘ１）（ｚ—ｚ２），
下面证明［ｆ（ｘ）一 ］［ｆ（ｘ）一 １］＜０．
‘‘ ．
［ｆ（ｘ）一ｚ］［ｆ（ｘ）一ｚ１］
＝ ［ｆ（ｘ）一ｚ］ｃ（厂（ｚ）一ｚ）＋（ｚ— １）］
＝ａ（ｘ—ｘ１）（ｘ—ｘ２）［ａ（ｘ—ｘ１）（ｘ—
‘
‘
．
ｆ ａ ｆ＜１，ｆ ｂ ｆ＜１，
． ‘ ． 口 ２—１＜０。１一 ｂ２＞ ０。
． ‘ ． （ａ 一１）（１一ｂ ）＜０成立 ，
ｆｚ＞０，
． 。 ． 原不等式成立．
解不等式组 辩 ＞ｆ ２ －Ｘ ｆ． ７ 例５已知ｚ∈Ｒ，求证： ≤钾 ≤
年全国高考题）
解 ：不 等式 ３ － ５１７＞ ｆ ２ －Ｘ ｆ铺 ｆ ２ － Ｘ ｆ＜ ２ ‘
，ｚ １ｚ ２ ：
． 联立
ｙ１＝忌（Ｘｌ一１）及 Ｙ２＝ｋ（Ｘ２—１），
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＋ ３＝１的右焦点 的直线交
设 Ａ（Ｘ１，Ｙ１），Ｂ（Ｘ２，Ｙ２），因为椭 圆的右
椭圆于 Ａ、Ｂ两 点，Ａ、Ｂ 在
准线方程为 ：Ｘ＝４，则有 Ｍ （４，Ｙ１），Ｎ（４，Ｙ２），
右准线 ｚ的射影 分别为 Ｍ、 图１
直线ＡＮ、ＢＭ的方程分别为： — ｚ＝ 主 ‘
Ｎ．求证 ＡＮ与ＢＭ 的公共点在Ｘ轴上 ．
数．故选（ｃ）． 例 ２ （２００４高考，江苏理（１０）题）函数
一
３ｃ或 一１＋２√ｃ＞、，／８ｃ，
解之得：０＜ｃ＜７—４√３或 ｃ＞７＋４√３．
厂（ｚ）＝Ｘ —３ｚ＋１在闭区间［一３，０］上的最大
故所求 ｃ的范围是（０，７—４√３）Ｕ（７＋
值、最小值分别是（ ）．
４ ，＋∞）．
． ‘· ． ‘｛ｌ２ ｚ 一１１ ＜ ９Ｉ。ｔ．‘￣．‘昙２ ≤ｚｚ＜＼ ５．’
例 ４ 已知ｆ口ｆ＜１，Ｉ ｂ ｆ＜１，求证 ｆ而ａ＋ｂ ｆ
地解答某些高考题 ．
＜１．（高中数学第二册（上）Ｐ 页例 ３）
例１ 解不等式 ｆ ｚ 一５ｚ＋５ ｆ＜１．（高中
证明：ｆ ｆ＜１铺 一１＜ ＜１铺（口
， Ｌ
ｆ
＾
厂一 。
Ｅ
Ｃ
图 ２
／一ｏ ／Ｆ ｊ
Ｃ ＼
… （３），ｚ：二
＋４…（４）
又设直线 ＡＢ的方程为Ｙ＝ｋ（Ｘ一１），则由
ｆＹ＝ｋ（ｘ一１），
１【 ＋ 一１ 得 ４ 。３
（３＋４忌 ）ｚ 一８ｋ Ｘ＋４ｋ 一１＝Ｏ．