2019山西中考数学专题训练—几何应用题3类10道

几何应用题

类型一 与三角形有关的应用题

↓1.如图①是写毛笔字时用于搁字帖的架子，方便临帖．当支架按如图①所示的方式放置时，人的视觉感受最舒服．如图②经测量，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝36°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，则线段CD 的长为_____．

第1题图

AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝36°，∴∠BAC ＝∠C ＝72°，∵AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝36°，∴∠CAD ＝∠ABC ，

又∵∠C 是公共角，∴△ACD ∽△BCA ，∴CD CA ＝AC BC ，设CD ＝x ，则AC ＝

AD ＝BD ＝2－x ，∴x 2－x

＝2－x 2，解得x 1＝3＋5＞2，故舍去，x 2＝3－ 5.∴线段CD 的长为3－ 5.

↓2.如图，书桌上的一种新型台历由一块主板AB 、一个架板AC 和环扣(不计宽度，记为点A )组成，其侧面示意图为△ABC ，已知AC ⊥BC ，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，现为了书写记事方便，需调整台历的摆放，将点C 移动到点C ′，此时∠C ′＝30°，则移动的距离CC ′的长度约为________cm.(结果取整数，其中3≈1.732，21≈4.583)

5【解析】过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D，在△ABC中，∵AC⊥BC，AB＝5 cm，AC＝4 cm，∴由勾股定理得BC＝3 cm.当动点C移动至C′时，

A′C′＝AC＝4 cm，在△A′DC′中，∵∠C′＝30°，∠A′DC′＝90°，∴A′D＝1

2A′C′

＝2 cm，C′D＝3A′D＝23cm.在△A′DB中，∵∠A′DB＝90°，A′B＝AB＝5 cm，A′D＝2 cm，∴BD＝A′B2－A′D2＝21cm，∴CC′＝C′D＋BD－BC＝23＋21－3，∵3≈1.732，21≈4.583，∴CC′≈2×1.732＋4.583－3≈5.故移动的距离CC′的长约为

5 cm.

第2题解图

3.近年来由于旅游行业的带动，拉杆箱等物品的销售稳步提升．一款拉杆箱使用时的截面示意图如图所示，EC⊥CD，AG⊥地面MG，BF⊥AG 于点F，CE与⊙O相切于点E，DE∥MG，已知AB＝41 cm，BC＝50 cm，AF＝40 cm，CD＝

4.32 cm，EM为⊙O的直径且EM＝8 cm，则点A到地面的距离AG＝cm.

100.8【解析】如解图，延长AD 与地面MG 交于点N ，∵CE 与⊙O 相切于点E ，∴CE ⊥EM ，又∵EC ⊥CD ，∴CN ∥EM ，又∵DE ∥MG ，∴四边形DNME 是平行四边形，∴DN ＝EM ＝8 cm ，∵AG ⊥地面MG ，BF ⊥AG 于点F ，∴BF ∥MG ，∵DE ∥MG ，∴∠ANG ＝∠ABF ，又∵∠AGN ＝∠AFB ＝90°，

∴△AGN ∽△AFB ，∴AN AB ＝AG AF ，∵AN ＝AB ＋BC ＋CD ＋DN ＝41＋50＋4.32

＋8＝103.32 cm ，∴103.3241＝40

AG ，∴AG ＝100.8 cm.

第3题解图

4.小明家为响应“全民健身”的号召，周末和家人一起去某百货商场购买了一台跑步机，爱动脑筋的小明想用刚刚学过的三角函数的有关知识求跑步机踏板的长度. 图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机手柄的一端A 距地面的高度约为1.1 m ，踏板CD 与地面的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0.8 m ，∠ACD 为80°，则跑步机踏板CD 的长度约为m ．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)

第4题图

1.7 【解析】如解图，过C 点作FG ⊥AB 于点F ，交DE 于点G ，∵CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，∠ACD 为80°，∴∠ACF ＝∠FCD － ∠ACD ＝∠CGD ＋∠CDE －∠ACD ＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF ＝68°，在Rt △ACF 中，CF ＝AC ·sin ∠CAF ＝0.8×sin68°≈0.744(m)，则CG ＝h －CF ＝

1.1－0.744＝0.356(m)，在Rt △CDG 中，CD ＝CDE CG ∠sin ＝︒21sin 356.0≈0.3560.21

≈1.7(m)．∴跑步机踏板CD 的长度约为1.7 m.

第4题解图

类型二 与四边形有关的应用题

5.如图①是一张创意电脑桌，图②是其平面示意图，已知以A 、E 、F 、H 为顶点的矩形，点C 、D 在AE 上，点G 在HF 上，测得AC =CD =2DE ，DE =43

GF ，AB =CB =31.2cm ，AH =50cm ，∠BAH =40°，则GH 的长的为cm （精确到0.1.参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）.

第5题图 第5题解图

85.3 【解析】如解图，过B 点作BN ⊥AE 于点N .∵AB =CB =31.2cm ，

∠BAH =40°，∠HAC =90°，cos50°=0.643，∴∠BAC =50°,∴AC =2AB ·cos ∠BAC =2×31.2×0.643≈40.1cm.∵AC =CD =2DE .

DE =43

GF .AE =HF ，∴AE =AC +CD +DE ≈40.1 +40.1+（40.1÷2）=100.3（cm ），∴HF ≈100.3cm ，GF =34

× (40.1÷2)≈15.0(cm)，∴GH =HF －GF ≈100.3－15.0=85.3cm.

↓6.将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图②是它的平面示意图，AP ＝6 cm.请根据图中的信息，则容器中牛奶的高度为cm ．(结果精确到0.1 cm.参考数据：3≈1.73，2≈1.41)

第6题图

7.2【解析】如解图，过点P 作PN ⊥AB 于点N ，由题意可

得：AP ＝6 cm ，AB ＝CD ＝10 cm ，则BP ＝AB 2－AP 2＝8 cm ，

在Rt △APN 和 Rt △ABP 中，∠ANP ＝∠APB ＝90°，∠NAP ＝

∠BAP ，∴△APN ∽△ABP ，则NP BP ＝AP AB ，∴NP ＝6×810＝4.8 cm ，

∴DE ＝12－4.8＝7.2cm.即容器中牛奶的高度为7.2 cm.

↓7.如图①是一张矩形台球桌，图②是台球桌的平面图，其中A 、B 、C 、