三角函数的图像和性质

三角函数的图像和性质

【考点导读】

1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22

ππ

-

上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】

1. 已知简谐运动()2sin(

)()32f x x ππ

ϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相ϕ=__________．

2. 三角方程2sin(2

π

－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2

,0)(sin(R x x A y ∈π

<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为

______________________．

4. 要得到函数

sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛

⎫=- ⎪3⎝

⎭的图象向右平移__________个单位．

【范例解析】

例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．

（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上的图象，长度为一个周期；

（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ωϕ+形式．

解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2

+-=+= )4

2sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π

ππ

-+=-⋅+=x x x ．

列表，取点，描图：

6π

{2,}3

x x k k Z π

π=±∈ )48sin(4π+π-=x y 第3题

故函数)(x f y =在区间]

2

,2[-上的图象是：

（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移

4π个单位，得到sin()4

y x π

=-的图像，再把sin()4y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin(2)4

y x π

=-的图像，

然后把s i n (2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到

s i n (2)4y x π=-的图像，再将

)4y x π

=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到

1)4

y x π

=-的图像．

解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的1

2

（纵坐标不变），得到sin 2y x =的图像，再

把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π个单位，得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4

y x π

=-的

图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到)4

y x π

=-的图像，再将

)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4

y x π

=+-的图像．

例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；

（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．

分析：识别图像，抓住关键点． 解：（1

）由图知，A ，22(62)16π

ω

=⨯+=

，8

π

ω∴=

，即)8

y x π

ϕ=+

．

将2x =

，y =

sin()4πϕ+

=4πϕ=，即1()sin()84

f x x ππ

=+．

（2）设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ，与它关于直线8x =对称的对称点为(,)M x y '''， 得8,2.x x

y y '+⎧=⎪

⎨⎪'=⎩

解得16,.x x y y '=-⎧⎨'=⎩代入1()sin()84f x

x ππ''=+中，得2()sin()84f x x ππ=-．

（3）

y =

ω

，代入最高点或最低点求ϕ．

例3.右图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转到一周，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h ． （1）求h 与θ间关系的函数解析式；

（2）设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的函数解析式．

分析：理解题意，建立函数关系式． 解：（1）由已知作图，过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线角ON 于M 点，当2πθ>时，2

BOM πθ∠=-， 0.8 4.8sin() 5.62

h OA BM π

θ∴=++=-+，

经验证当02

π

θ≤≤

，上述关系也成立．