安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2020届高三数学上学期2020五校2020联考试题文(含解析)

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安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2020届高三数学上学期＂五校＂联考试题理(含解析)

安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2020届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，所以，故选D．2. 函数的大致图象是（）【答案】A【解析】函数是偶函数，所以选项C、D不正确，当时，函数是增函数，所以B不正确，故选A．请在此填写本题解析!3. 已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，根据等差数列的性质，可得，又数列的公差为，所以，故选C．4. 已知函数，，则“”是“函数的最小正周期为”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，当时，函数的周期充分性成立，若函数的最小正周期为，则，解得，必要性不成立，故“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件，故选B.5. 函数是定义在上的单调递增的奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数是定义在上单调递增的奇函数，由，则，又，则，所以，所以，故选A．6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A. 向右平移移动个单位B. 向左平移移动个单位C. 向上平行移动个单位D. 向下平行移动个单位【答案】C【解析】由，所以只需把函数的图象向上平移1个单位，即可得到，故选C．7. 已知非零向量，，满足，向量，的夹角为，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以与的夹角为，故选B．8. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为，所以，即，又，令，解得或（舍去），由于函数在区间内不是单调函数，所以，即，解得，综上可得，故选D．9. 若函数，满足，则称，为区间上的一组正交函数．给出三组函数：①，；②，；③．其中为区间上的正交函数的组数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】函数满足，则为奇函数，对于①：，所以为奇函数，所以在区间上是一组正交函数；对于②：，则为偶函数，所以在区间上不是一组正交函数；对于③：，，则为偶函数，所以在区间上不是一组正交函数，故选B．10. 已知正项等比数列（）满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵正项等比数列{a n}满足：，又q＞0，解得，∵存在两项a m，a n使得，∴，即，∴，当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又，所以只有当，取得最小值是．故选C．点睛：本题解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质，利用等比数列的通项公式，解得，运用均值不等式求最值，一般运用均值定理需要要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式．11. 已知为上的可导函数，为的导函数且有，则对任意的，，当时，有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，则，因为当，，即，则，所以函数为单调递减函数，又且，所以，故选A．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用问题，其中解答中涉及到导数四则运算公式的逆用，利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小等知识点的运用，试题比较基础，属于基础题，解答中根据题意构造新函数，利用新函数的单调性解答的关键．12. 已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，为单调递增函数，且，当时，，又对任意，总存在使得，所以，所以，综上，实数的取值范围是，故选D．点睛：本题主要考查分段函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的单调性与值域，基本不等式的应用求最值，以及命题的转化等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据题意转化为两段函数的最值之间的关系是解答本题的关键．13. 已知点，则向量在方向上的投影为__________．【答案】【解析】由题意得，所以，所以向量在方向上的投影为．........................【答案】【解析】由题意得，画出约束条件所表示的平面区域如图所示又，设，当取可行域内点时，此时取得最大值，由，得，此时，所以的最大值为．15. 若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】函数的导数为，因为函数存在与直线平行的切线，所以方程在区间上有解，即在区间上有解，因为，则，所以．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用问题，其中解答中涉及到函数的导数的求解，导数的几何意义的应用，以及存在性问题的转化等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中把存在性命题转化为方程的有解问题是解答的关键．16. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数的图象如图所示，令，则由图象可得：当时，方程只有1解；当或时，方程有2解；当时，方程有4解；因为，所以或，因为有解，所以又两解，所以或．点睛：本题主要考查了方程根的个数的判定与应用问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的求解，函数的图象的应用等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中正确作出函数的图象和合理应用的根的个数的应用是解答的关键．17. 已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）若在区间上的最大值与最小值的和为1，求的值．【答案】（1）,（）．（2）．【解析】试题分析: （Ⅰ）根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简函数,求出函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）由x的范围,求出的范围,画出正弦函数的图象,求出函数的最大值与最小值的和等于1,解出a的值.试题解析:（Ⅰ）所以．由，得．故，函数的单调递增区间是（）．（Ⅱ）因为，所以．所以．因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以．18. 已知是等比数列，公比，前项和为，且，数列满足：.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和公式，求得，即可求出通项公式；（2）由（1）求得，利用裂项求和的方法，即可求解数列的和，由此可作出证明．试题解析：（1）故解得所以，．（2）设，，因为，所以，．19. 已知分别为角的对边，它的外接圆的半径为为常数），并且满足等式成立.（1）求；（2）求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得，再由余弦定理，即可求得的值，从而求解的值；（2）由（1）知，，利用两角和与差的正弦，即可求解，从而求得三角形面积的最大值．试题解析：（1）由，∴，由正弦定理得，，，代入得，由余弦定理，∴．（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，．20. 设数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）（3）．【解析】试题分析：解：(1)当n=1时，，所以当n≥2时，，且所以得：则数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以：数列的通项公式是。

2020年安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中五校高考数学模拟试卷

2020年安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、涡阳一中五校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题四个选项中只有一项是符合题意的）1. 已知集合M={x|0≤x≤1}，N={x∈N|x2−2x−3<0}，则M∩N=( )A.[0,1]B.(0,1]C.{1}D.{0,1}2. 设z=3+i1−2i，则|z|＝（）A.2B.√3C.√2D.13. 已知a＝log3e，b＝ln3，c＝log1312，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.b>c>a4. 已知(1−x)6＝a0+a1x+a2x2+……+a6x6，则|a0|+|a1|+|a2|+……+|a6|＝（）A.0B.64C.1D.325. 函数y＝−sin x|cos x|在[−π, π]上的图象大致是（）A.B.C.D.6. 中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队打完3场比赛，则该球队积分情况共有几种（）A.8B.9C.10D.117. 已知非零向量a→，b→满足|a→|=34|b→|，cos<a→，b→>=13，若(ma→+4b→)⊥b→，则实数m的值为（）A.9B.10C.11D.−168. 在如图所示的算法框图中，若输入的x=45，则输出结果为（）A.15B.25C.35D.459. 设{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且a1＝b1>0，a9＝b9，则下列关系正确的是（）A.a5>b5B.a5<b5C.a5≥b5D.a5≤b510. 已知函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−1，(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象（）A.关于直线x=π3对称 B.关于直线x=π6对称C.关于点(−π6, −1)对称 D.关于点(π12, −1)对称11. 定义在[−2, 2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为−12，−16，1，43，则函数y=f(x)e x的单调递减区间是( )A.(−16, 43) B.(−12, 1) C.(−12, −16) D.(1, 2)12. 已知椭圆C的右焦点为F(1, 0)，点A在椭圆C上，且AF与x轴垂直，点B与点A关于原点O对称，直线BF与椭圆C的另一个交点为P，若PA⊥AB，则C的方程为（）A.x22+y2＝1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知函数f(x)＝ln(2x+1)，则f(x)在x＝0处的切线方程为________．数列{a n}为等比数列，且a1＝f(x−3)，a2＝3，a3＝f(x+1)，其中f(x)＝3⋅2x，则a nf(n)+f(n)a n的最小值为________．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别是F1，F2，M是C渐近线上一点，且|OF2|＝|OM|，|MF1|−|MF2|＝2√2a，则双曲线的离心率为________2√33．在三棱锥P−ABC中，AB＝BC＝CA=√3，PA＝1，PB＝2，二面角P−AB−C的平面角大小为π3，则此三棱锥的外接球表面积为________13π3．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a⋅(2sin A+sin C)+c⋅(2sin C+sin A)＝2b⋅sin B．（1）求角B的大小；（2）若b=√3，且△ABC的面积为√34，求△ABC的周长．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PCD，AD // BC，AB⊥BC，AP＝AB＝BC=12AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O．（1）证明：PO⊥平面ABCD．（2）若OB＝1，求点C到平面PAB的距离．在《新冠病毒肺炎诊疗标准（试行第七版）》中，出院标准为连续两次痰、鼻咽等呼吸道标本核酸检测为阴性，即对患者两次核酸检测结果均为阴性，才能出院．由于病毒的含量达到一定程度才能检测出来，在少数情况下，病毒携带者可能检测为阴性，也就是常说的“假阴性”．假定核酸检测对痊愈者检测结果一定为阴性，对病毒携带者检测结果为阳性的概率为45．（1）求一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率；（2）假设有5名患者经过治疗后，仍有2名病毒携带者，现对这5名患者逐一进行核酸检测，若第一次检测为阳性，则认为该患者为未康复，不再进行检测，继续治疗，若第一次检测为阴性，第二次检测为阳性，则认为该患者未康复，继续治疗，若连续两次检测为阴性则判断为符合出院标准，可以出院，设对5名患者共需要检测的次数为X，求X的分布列和数学期望．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于P，Q两点，|PQ|＝10．（1）求抛物线C的方程；（2）过点(3, 0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，已知M(−3, 0)，且以线段AM为直径的圆与直线x＝−3的另一个交点为N，试问在x轴上是否存在一定点，使得直线BN恒过此定点．若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=cos xx，g(x)＝x sin x+cos x，（1）判断函数g(x)在区间(0, 2π)上的零点的个数；（2）记函数f(x)在区间(0, 2π)上的两个极值点分别为x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)<0．[选修4-4坐标系与参数方程]=√2+ρsinθ，直线l的极坐标方程为：ρ(cosθ−sinθ)=在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为：2√2−ρsinθ1，设l与C交于A，B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E，F．以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy．(1)求C的直角坐标方程及点M的直角坐标；(2)求证：|MA|⋅|MB|＝|ME|⋅|MF|．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x−1|−2|x+3|．(1)求不等式f(x)<1的解集；(2)若存在实数x，使不等式m2−3m−f(x)<0成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020年安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、涡阳一中五校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题四个选项中只有一项是符合题意的）1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，集合M={x|0≤x≤1}，N={x∈N|x2−2x−3<0}={x∈N|−1<x<3}={0, 1, 2}，∴M∩N={0, 1}．故选D.2.【答案】C【考点】复数的模【解析】利用复数模的运算性质即可得出．【解答】z=3+i1−2i ，则|z|=√32+1222=√2．3.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】∵0＝log31<a＝log3e<log33＝1，b＝ln3>ln e＝1，c＝log1312=log32<a＝log3e，∴b>a>c．4. 【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】令x＝−1求得a0−a1+a2−...+a6，再由|a0|+|a1|+|a2|+……+|a6|＝a0−a1+a2−...+a6求得结果．【解答】令x＝−1有a0−a1+a2−...+a6＝26＝64，又由题意可得|a0|+|a1|+|a2|+……+|a6|＝a0−a1+a2−...+a6＝64，5.【答案】B【考点】正弦函数的图象二倍角的三角函数【解析】根据函数y＝−sin x|cos x|在[−π, π]上是奇函数，排除选项A，D；再根据0≤x≤π时y＝−sin x|cos x|≤0，排除选项C．【解答】函数y＝−sin x|cos x|在[−π, π]上是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除选项A，D；当0≤x≤π时，sin x≥0，所以y＝−sin x|cos x|≤0，排除选项C．6.【答案】B【考点】计数原理的应用【解析】写出可能出现的胜负情况，进而得出积分情况，由此得解．【解答】打完3场比赛，可能出现的胜负情况为：三胜，二胜一平，二胜一负，一胜二平，一胜二负，一胜一平一负；三平，二平一负，一平二负；三负；对应的积分依次为：9，7，6，5，3，4，3，2，1，0；共9种积分情况．7.【答案】D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，求得实数m的值．【解答】∵已知非零向量a→，b→满足|a→|=34|b→|，cos<a→，b→>=13，若(ma→+4b→)⊥b→，∴ (ma →+4b →)⋅b →=ma →⋅b →+4b →2=m ⋅34|b →|⋅|b →|⋅13+4|b →|2=0，求得m ＝−16， 8.【答案】 A【考点】程序框图【解析】根据程序框图功能，先进行模拟计算，得到x 的值具备周期性，利用周期性进行计算即可．【解答】x =45，n ＝1，x =35，n ＝2，x =15，n ＝3，x =25，n ＝4，x =45，n ＝5，故呈现出周期为4的特点，当n ＝2019时，输出结果与n ＝3相同，为x =15， 9.【答案】 C【考点】等比数列的性质基本不等式及其应用等差数列的性质【解析】利用等差数列与等比数列的性质可得：a 5=a 1+a 92，b 5=√b 1b 9=√a 1a 9，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】设等差数列{a n }公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1>0，a 9＝b 9，则b 9＝b 1q 8>0，∴ a 9＝b 9>0． a 5=a 1+a 92，b 5=√b 1b 9=√a 1a 9，由基本不等式的性质可得：a 1+a 92≥√a 1a 9，∴ a 5≥b 5． 10.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用正弦函数的图象的对称性得出结论．【解答】∵ 函数f(x)＝sin ωx +√3cos ωx −1＝2sin (ωx +π3)−1； ∴ T =2πω=π⇒ω＝2；∴ f(x)＝2sin (2x +π3)−1；∵ 当x =π3时，f(x)＝−1，不是最值，故A 错误，当x =π6时，f(x)=√3−1，不是最值，故B 错误，故C 不成立；当x =−π6时，f(x)＝−1，故C 对；当x =π12时，f(x)＝1为最大值，故D 错误， 11.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】要求函数y =f(x)e x的单调递减区间，结合选项，令y′<0，由函数f(x)与其导函数f′(x)的图象解求得答案．【解答】解：∵ y =f(x)e x ， ∴ y′=f ′(x)−f(x)e x，令y′<0，得：f′(x)−f(x)<0，即f′(x)<f(x)，由图可知，当−12<x <1时，f′(x)<f(x)， ∴ 函数y =f(x)e x的单调递减区间是(−12, 1)．故选B . 12. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程【解析】设A ，P 的坐标代入椭圆的方程可得y 12−y 02x12−x 02=−b 2a 2，由题意可得B 的坐标，进而求出直线PA ，PB 的斜率之积，再由椭圆可得A ，B 的坐标，进而求出直线PB 的斜率进而求出PA ，AB 的斜率可得a ，b 的关系，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程．【解答】设A(x 1, y 1)，P(x 0, y 0)，则由题意可得B(−x 1, −y 1)，可得{x 12a2+y 12b 2=1x 02a 2+y 02b 2=1，所以可得y 12−y 02x 12−x 02=−b 2a2，所以k PB ⋅k PA =y 0+y 1x0+x 1⋅y 0−y 1x0−x 1=y 02−y 12x02−x 12=−b 2a 2，由题意且AF 与x 轴垂直，可得A(1, b 2a)，B(−1, −b 2a)，所以k PB ＝k BF =0−(−b 2a)1+1=b 22a，所以k PA =−2a，因为k AB ＝k OA =b 2a，又因为PA ⊥AB ，所以k AB ⋅k PA ＝−1，所以−2a ⋅b 2a=−1，所以a 2＝2b 2，而c ＝1，a 2＝b 2+c 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】y ＝2x 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到所求切线方程．【解答】函数f(x)＝ln (2x +1)的导数为f′(x)=22x+1，可得切线的斜率为2，切点为(0, 0)，则切线方程为y ＝2x ．【答案】 2【考点】数列与函数的综合【解析】由函数解析式结合a 1＝f(x −3, a 3＝f(x +1)求得a 1，a 3，由等比中项的概念列式求得x 的值，即可求得数列{a n }的通项公式，再由基本不等式可求得最小值．【解答】∵ f(x)＝3⋅2x ，a 1＝f(x −3)＝3⋅2x−3，a 3＝f(x +1)＝3⋅2x+1，数列{a n }为等比数列，∴ a 22＝a 1a 3，即9＝9⋅22x−2，解得x ＝1， ∴ a 1＝，a 2＝3，a 3＝12， ∴ a n ＝3⋅4n−2，则a nf(n)+f(n)a n ≥2√a nf(n)⋅f(n)a n=2，当且仅当f(n)＝a n ，即n ＝4时取等号，则an f(n)+f(n)a n的最小值为2．【答案】2√33．【考点】双曲线的离心率【解析】设M 的坐标，由题意可得F 1M ⊥F 2M ，进而可得F 1M →⋅F 2M →=(x 0+c, ba x 0)(x 0−c, ba x 0)＝0，解得M 的坐标，求出|MF 1|，|MF 2|的值再求|MF 1||MF 2|=√4c 4−4a 2c 2，由题意可得|MF 1||MF 2|，两式联立可得a ，c 的关系，进而求出离心率的值．【解答】由|OF 2|＝|OM|=12|F 1F 2|＝c ，可得F 1M ⊥F 2M ，设M(x 0, bax 0)，F 1M →⋅F 2M →=(x 0+c, ba x 0)(x 0−c, ba x 0)＝0，可得x 02−c 2+b 2a 2x 02＝0，解得x 02＝a 2，即M(a, b)， |MF 1|=√(a +c)2+b 2=√2c 2+2ac ，|MF 2|=√(a −c)2+b 2=√2c 2−2ac ，所以|MF 1||MF 2|=√4c 4−4a 2c 2，①而||MF 1|−|MF 2|＝2√2a ，两边平方可得|MF 1|2|+|MF 2|2−2|MF 1||MF 2|＝(2√2a)2，而|MF 1|2+|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c)2，所以|MF 1||MF 2|＝4a 2−2c 2②，由①②可得(2a 2−c 2)2＝c 4−a 2c 2，可得4a 2＝3c 2，所以离心率e =ca =2√33，【答案】13π3【考点】二面角的平面角及求法【解析】由题意可得PA ⊥AB ，三角形ABC 为等边三角形，取AB 中点E ，PB 中点F ，连接CE ，EF ，可得AB ⊥平面CEF ．则∠CEF 为二面角P −AB −C 的平面角等于π3，得到平面CEF ⊥平面PAB ，平面CEF ⊥平面ABC ，可知F 为△PAB 的外心，设G 为△ABC 的外心，分别过F 、G 作平面PAB 、ABC 的垂线，相交于O ，则O 为三棱锥P −ABC 的外接球的球心，由四点E 、F 、O 、G 四点共圆求得OE ，进一步求出三棱锥P −ABC 外接球的半径OA ，再由球的表面积公式求解．【解答】如图，由PA ＝1，AB =√3，PB ＝2，得PA 2+AB 2＝PB 2，则PA ⊥AB ，三角形ABC 为等边三角形，取AB 中点E ，PB 中点F ，连接CE ，EF ，可得EF ⊥AB ，CE ⊥AB ，又EF ∩CE ＝E ，得AB ⊥平面CEF ．则∠CEF 为二面角P −AB −C 的平面角等于π3，而AB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面ABC ，∴ 平面CEF⊥平面PAB ，平面CEF ⊥平面ABC ，F 为△PAB 的外心，设G 为△ABC 的外心，分别过F 、G 作平面PAB 、ABC 的垂线，相交于O ，则O 为三棱锥P −ABC 的外接球的球心．四点E 、F 、O 、G 四点共圆，EF =12PA =12，EG =13CE =13√3−34=12，则△EFG 为等边三角形， ∴ OE =12sin π3=√33．则三棱锥P −ABC 外接球的半径为OA =√OE 2+AE 2=√13+34=√1312． ∴ 此三棱锥的外接球表面积为4π×(√1312)2=13π3．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】因为a ⋅(2sin A +sin C)+c ⋅(2sin C +sin A)＝2b ⋅sin B ．所以由正弦定理可得：a ⋅(2a +c)+c ⋅(2c +a)＝2b ⋅b ⇒a 2+c 2−b 2＝−ac ；① 所以：cos B =a 2+c 2−b 22ac=−12；∵ 0<B <π； ∴ B =2π3；∵ △ABC 的面积为√34， ∴ 12ac sin B =12ac ×√32=√34⇒ac ＝1；∵ a 2+c 2−b 2＝−ac ⇒(a +c)2−b 2＝ac ⇒a +c ＝2； ∴ △ABC 的周长为：2+√3．【考点】正弦定理【解析】（1）先根据正弦定理结合余弦定理即可求得结论；（2）先根据面积公式求出ac ，再结合余弦定理求出a +c ，进而求得结论．【解答】因为a ⋅(2sin A +sin C)+c ⋅(2sin C +sin A)＝2b ⋅sin B ．所以由正弦定理可得：a ⋅(2a +c)+c ⋅(2c +a)＝2b ⋅b ⇒a 2+c 2−b 2＝−ac ；① 所以：cos B =a 2+c 2−b 22ac=−12；∵ 0<B <π； ∴ B =2π3；∵ △ABC 的面积为√34， ∴ 12ac sin B =12ac ×√32=√34⇒ac ＝1；∵ a 2+c 2−b 2＝−ac ⇒(a +c)2−b 2＝ac ⇒a +c ＝2； ∴ △ABC 的周长为：2+√3．【答案】证明：∵ AP ⊥平面PCD ，∴ AP ⊥CD ．∵ AD // BC ，BC =12AD ，∴ 四边形BCDE 为平行四边形， ∴ BE // CD ，∴ AP ⊥BE ．又∵ AB ⊥BC ，AB =BC =12AD ，且E 为AD 的中点，∴ 四边形ABCE 为正方形，∴ BE ⊥AC ．又AP ∩AC ＝A ，∴ BE ⊥平面APC ，则BE ⊥PO ．∵ AP ⊥平面PCD ，∴ AP ⊥PC ，又AC =√2AB =√2AP ， ∴ △PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点， ∴ PO ⊥AC 且AC ∩BE ＝O ，∴ PO ⊥平面ABCD ． ∵ OB ＝1，∴ PA =PB =AB =√2．设C 到平面PAB 的距离为d ，由V C−PAB ＝V P−ABC ，得13×√34×(√2)2×d =13×12×(√2)2×1，解得点C 到平面PAB 的距离为d =2√33．【考点】点、线、面间的距离计算直线与平面垂直【解析】（1）推导出AP⊥CD．四边形BCDE为平行四边形，从而BE // CD，进而AP⊥BE．推导出四边形ABCE为正方形，从而BE⊥AC．进而BE⊥平面APC，则BE⊥PO．由AP⊥平面PCD，得AP⊥PC，推导出PO⊥AC，由此能证明PO⊥平面ABCD．（2）设C到平面PAB的距离为d，由V C−PAB＝V P−ABC，能求出点C到平面PAB的距离．【解答】证明：∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD．∵AD // BC，BC=12AD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE // CD，∴AP⊥BE．又∵AB⊥BC，AB=BC=12AD，且E为AD的中点，∴四边形ABCE为正方形，∴BE⊥AC．又AP∩AC＝A，∴BE⊥平面APC，则BE⊥PO．∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥PC，又AC=√2AB=√2AP，∴△PAC为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，∴PO⊥AC且AC∩BE＝O，∴PO⊥平面ABCD．∵OB＝1，∴PA=PB=AB=√2．设C到平面PAB的距离为d，由V C−PAB＝V P−ABC，得13×√34×(√2)2×d=13×12×(√2)2×1，解得点C到平面PAB的距离为d=2√33．【答案】一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率为：P＝(1−45)(1−45)=125．X的可能取值有8，9，10，且P(X＝8)=45×45=1625，P(X＝9)=45×15×2=825，P(X＝10)=15×15=125，∴X的分布列为：E(X)＝8×1625+9×825+10×125=425．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算；（2）计算X的可能取值对应的概率，得出分布列与数学期望．【解答】一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率为：P＝(1−45)(1−45)=125．X的可能取值有8，9，10，且P(X＝8)=45×45=1625，P(X＝9)=45×15×2=825，P(X＝10)=15×15=125，∴X的分布列为：E(X)＝8×1625+9×825+10×125=425．【答案】由抛物线的方程可得焦点F(p2, 0)，由题意设直线PQ的方程为：x=12y+p2，设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，联立直线与抛物线的方程：{x=12y+p2y2=2px整理可得：y2−py−p2＝0，所以y1+y2＝p，x1+x2=12(y1+y2)+p=32p，由抛物线的性质可得|PQ|＝x1+x2+p=52p＝10，所以p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝8x；显然直线AB的斜率不为0，由题意设直线AB的方程为x＝ty+3，A(x3, y3)，B(x4, y4)，联立直线AB与抛物线的方程可得：{x=ty+3y2=8x，整理可得y2−8ty−24＝0，y3+y4＝8t，y3y4＝−24，由题意可得MN⊥AN，所以N(−3, y3)，假设存在定点E(a, 0)满足条件，则B，N，E三点共线，所以k BN＝k NE，即y3−y4−3−x4=y3−0−3−a，整理可得3y3+ay3−3y4−ay4＝3y3+x4y3，即ay3−3y4−ay4＝(ty4+3)y3＝ty3y4+3y3，所以a(y3−y4)＝ty3y4+3(y3+y4)＝−24t+3⋅8t＝0，又y3≠y4，所以a＝0，即存在定点(0, 0)满足条件．【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的标准方程【解析】（1）设直线PQ 的方程与抛物线联立求出两根之和，又由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离可得p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，假设存在E 点满足条件，由三点共线可得斜率相等，求出等式，将两根之和及两根之积代入可得定点的坐标为(0, 0)．【解答】由抛物线的方程可得焦点F(p2, 0)，由题意设直线PQ 的方程为：x =12y +p2，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立直线与抛物线的方程：{x =12y +p2y 2=2px整理可得：y 2−py −p 2＝0，所以y 1+y 2＝p ，x 1+x 2=12(y 1+y 2)+p =32p ，由抛物线的性质可得|PQ|＝x 1+x 2+p =52p ＝10，所以p ＝4，所以抛物线的方程为：y 2＝8x ；显然直线AB 的斜率不为0，由题意设直线AB 的方程为x ＝ty +3，A(x 3, y 3)，B(x 4, y 4)，联立直线AB 与抛物线的方程可得：{x =ty +3y 2=8x ，整理可得y 2−8ty −24＝0，y 3+y 4＝8t ，y 3y 4＝−24，由题意可得MN ⊥AN ，所以N(−3, y 3)，假设存在定点E(a, 0)满足条件，则B ，N ，E 三点共线，所以k BN ＝k NE ，即y 3−y 4−3−x 4=y 3−0−3−a ，整理可得3y 3+ay 3−3y 4−ay 4＝3y 3+x 4y 3，即ay 3−3y 4−ay 4＝(ty 4+3)y 3＝ty 3y 4+3y 3，所以a(y 3−y 4)＝ty 3y 4+3(y 3+y 4)＝−24t +3⋅8t ＝0，又y 3≠y 4，所以a ＝0，即存在定点(0, 0)满足条件．【答案】g′(x)＝x cos x ，x >0，当x ∈(0,12π)时，g′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(12π,32π)时，g′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(3π2,2π)时，g′(x)>0，函数单调递增，且g(0)＝1>0，g(12π)=12π>0，g(π)＝−1<0，g(3π2)=−3π2<0，g(2π)＝1>0，故函数g(x)在(0, 12π)，(π,3π2)上不存在零点，存在x 1∈[12π,π]，使得g(x)＝0，同理x 2∈[3π2,2π]使得g(x)＝0 综上，g(x)在区间(0, 2π)上的零点有2个， f ′(x)=−x sin x+cos xx 2，由（1）可得，g(x)＝x sin x +cos x 在区间(12π,π)，(3π2,2π)上存在零点，所以f(x)在(12π,π)，(3π2,2π)上存在极值点x 1<x 2，x 1∈(12π,π)，x 2∈(3π2,2π)，同理在(nπ,(n +1)π)上存在极值点x n ，又因为y ＝sin x 在(12π,32π)上单调递减，则sin x 1>sin (x 2−π)＝−sin x 2， ∴ sin x 1+sin x 2>0，又因为x i sin x i +cos x i ＝0(i ＝1, 2)，即1x i=−tan x i ，又12π<x 1<π<3π2<x 2<2π，∴1x 1>1x 2即−tan x 1>−tan x 2，∴ tan x 1<tan x 2＝tan (x 2−π)，∵ x 1∈(12π,π)，x 2∈(3π2,2π)，x 2−π∈(12π,π)，由y ＝tan x 在(12π,π)上单调递增可得12π<x 1<x 2−π<π． ∴ f(x 1)+f(x 2)=cos x 1x 1+cos x 2x 2=−sin x 1−sin x 2再由y＝sin x在(12π,π)上单调递减，得sin x1>sin(x2−π)＝−sin x2，∴sin x1+sin x2>0，所以f(x1)+f(x2)<0．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，然后再结合零点判定理即可求解；（2）结合极值存在的条件及正弦与正切函数的性质进行分析可证．【解答】g′(x)＝x cos x，x>0，当x∈(0,12π)时，g′(x)>0，函数单调递增，当x∈(12π,32π)时，g′(x)<0，函数单调递减，当x∈(3π2,2π)时，g′(x)>0，函数单调递增，且g(0)＝1>0，g(12π)=12π>0，g(π)＝−1<0，g(3π2)=−3π2<0，g(2π)＝1>0，故函数g(x)在(0, 12π)，(π,3π2)上不存在零点，存在x1∈[12π,π]，使得g(x)＝0，同理x2∈[3π2,2π]使得g(x)＝0综上，g(x)在区间(0, 2π)上的零点有2个，f′(x)=−x sin x+cos xx2，由（1）可得，g(x)＝x sin x+cos x在区间(12π,π)，(3π2,2π)上存在零点，所以f(x)在(12π,π)，(3π2,2π)上存在极值点x1<x2，x1∈(12π,π)，x2∈(3π2,2π)，同理在(nπ,(n+1)π)上存在极值点x n，又因为y＝sin x在(12π,32π)上单调递减，则sin x1>sin(x2−π)＝−sin x2，∴sin x1+sin x2>0，又因为x i sin x i+cos x i＝0(i＝1, 2)，即1x i=−tan x i，又12π<x1<π<3π2<x2<2π，∴1x1>1x2即−tan x1>−tan x2，∴tan x1<tan x2＝tan(x2−π)，∵x1∈(12π,π)，x2∈(3π2,2π)，x2−π∈(12π,π)，由y＝tan x在(12π,π)上单调递增可得12π<x1<x2−π<π．∴f(x1)+f(x2)=cos x1x1+cos x2x2=−sin x1−sin x2再由y＝sin x在(12π,π)上单调递减，得sin x1>sin(x2−π)＝−sin x2，∴sin x1+sin x2>0，所以f(x1)+f(x2)<0．[选修4-4坐标系与参数方程]【答案】(1)解：曲线C的极坐标方程为22−ρsinθ=√2+ρsinθ，转换为直角坐标方程为C:x2+2y2=2,x22+y2=1．直线l的极坐标方程为ρ(cosθ−sinθ)=1转换为直角坐标方程为：y=x−1，联立C与l的方程得：3x2−4x=0，解得A(0,−1),B(43,13)．由于AB中点为M，∴M(23,−13)．(2)证明：由(1)利用两点间的距离公式的应用得：|MA|=|MB|=2√23，∴|MA|⋅|MB|=89．又设AB的垂直平分线EF:{x=23−√22t,y=−13+√22t,代入C的方程得：32t2−4√23t−43=0，∴|ME|⋅|MF|=|−4332|=89．∴|MA|⋅|MB|=|ME|⋅|MF|．【考点】圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】(1)解：曲线C的极坐标方程为2√2−ρsinθ=√2+ρsinθ，转换为直角坐标方程为C:x2+2y2=2,x22+y2=1．直线l的极坐标方程为ρ(cosθ−sinθ)=1转换为直角坐标方程为：y=x−1，联立C与l的方程得：3x2−4x=0，解得A(0,−1),B(43,13 )．由于AB中点为M，∴M(23,−13)．(2)证明：由(1)利用两点间的距离公式的应用得：|MA|=|MB|=2√23，∴|MA|⋅|MB|=89．又设AB的垂直平分线EF:{x=23−√22t,y=−13+√22t,代入C的方程得：32t2−4√23t−43=0，∴|ME|⋅|MF|=|−4332|=89．∴|MA|⋅|MB|=|ME|⋅|MF|．[选修4-5：不等式选讲]【答案】解：(1)f(x)=|x−1|−2|x+3|={−x−7,x≥1,−3x−5,−3<x<1, x+7,x≤−3,当x≥1时，−x−7<1，解得x≥1；当−3<x<1时，−3x−5<1，解得−2<x<1；当x≤−3时，x+7<1，解得x<−6．综上得x<−6或x>−2．∴不等式的解集为(−∞, −6)∪(−2, +∞).(2)∵存在实数x，不等式m2−3m−f(x)<0成立，∴存在实数x，不等式m2−3m<f(x)成立．∴存在实数x，不等式m2−3m<[f(x)]max成立．又f(x)={−x−7,x≥1,−3x−5,−3<x<1, x+7,x≤−3,∴f(x)max=f(−3)=4，∴m2−3m<4，解得−1<m<4．∴m的范围是(−1, 4)．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得存在实数x，不等式m2−3m<[f(x)]max成立，由一次函数的单调性可得f(x)的最大值，结合二次不等式的解法可得所求范围．【解答】解：(1)f(x)=|x−1|−2|x+3|={−x−7,x≥1,−3x−5,−3<x<1,x+7,x≤−3,当x≥1时，−x−7<1，解得x≥1；当−3<x<1时，−3x−5<1，解得−2<x<1；当x≤−3时，x+7<1，解得x<−6．综上得x<−6或x>−2．∴不等式的解集为(−∞, −6)∪(−2, +∞).(2)∵存在实数x，不等式m2−3m−f(x)<0成立，∴存在实数x，不等式m2−3m<f(x)成立．∴存在实数x，不等式m2−3m<[f(x)]max成立．又f(x)={−x−7,x≥1,−3x−5,−3<x<1,x+7,x≤−3,∴f(x)max=f(−3)=4，∴m2−3m<4，解得−1<m<4．∴m的范围是(−1, 4)．第21页共22页◎第22页共22页。

安徽省怀远一中、蒙城一中等五校2020届高三联考数学(理)试题及参考答案

）
A. 0
B.
1
C.
2
D.
3
12. 锐角 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 sin A C 5
则 ABC 面积的取值范围是
b sin A uuur uuur ， BA BC
uuur uuur AB AC
2 2c ．
a
A.
14 ,
B.
33
3, 2 3
C.
1,2
D.
43 3,
A. 1
B.
3
C.
6
D.
8
7. 已知正项等比数列 an 的公比为 q ，前 n 项和为 Sn ，则“ q 1 ”是“ S10 S12 2 S11 ”的 (
)
五校联考理科数学第 1 页（共 9 页）
A. 充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
8. 函数 f ( x)
∵ an+1 -
bn+1
=
3 an -
4
1 bn +1 4
骣琪琪桫34 bn
-
1 an -
4
1
= an - bn + 2 ，
∴数列 an bn 是首项 3、公差为 2 等差数列，
故 an bn 2n 1 . ………………………… 6 分
(2) 由 (1) 可知， an bn
1 2n
1
，
an
bn
2n 1，
22. （ 12 分）
已知函数 f ( x) ex 1 cos x 1 ax( a R) . （ 1）若 f (x) 在 1, 上单调递增，求实数 a 的取值范围；（ 2）当 a 1 时，若实数 x1, x 2 (x1 x2 ) 满足 f (x1) f (x2) 2 ，求证： x1 x2 0 .

安徽省2020届高三数学上学期10月联考试题文(最新整理)

安徽省2020届高三数学上学期10月联考试题文时间:120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分。

每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1.若集合，则A 。

B 。

C. D. 2。

在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限 B 。

第二象限 C.第三象限 D 。

第四象限3。

已知，则A 。

a>b>cB 。

b>c 〉aC 。

a 〉c>b D.c>a 〉b 4.已知等差数列｛a n｝的前9项和为45，a 3＝－1，则a 7＝ A.11 B 。

10 C.9 D 。

85.如图所示,在平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点,N 为线段AM 上靠近M 点的三等分点，则A 。

B 。

C. D 。

6.函数y=log a (x ＋4)＋2（a>0，且a≠1)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则cos2θ＝A.－B.C. D 。

7。

己知命题p:在△ABC 中，若A 〉B ，则cosA<cosB ，命题q ：，则下列命题为真命题的是 A.p ∧q B.(p)∧q C。

p∨(q ） D 。

(p)∧（q)8.己知函数f （x)的图像如图所示，则对应的解析式可能是{(2)0},{10}A x x x B x x =->=->AB ={10}x x x ><或{02}x x <<{2}xx >{1}x x >13i+0.21.90.21.9,l o g 1,0.2a b c ===DN =1233A B A D-+1536A B A D-1233A B A D-1334A B A D-5131213-5131213(0,),s i n x xx ∃∈+∞>⌝⌝⌝⌝A 。

y ＝2x －x 2－1 B 。

y ＝2xsinx C 。

D.y ＝(x 2－2x ）e x9.定义在R 上函数f （x ）满足，且当x∈[－1，1)时，，若，则f （5a)＝A. B. C.D.10.己知函数的全部零点构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图像沿x 轴向左平移个单位，得到函数g （x)的图像，关于函数g(x)，下列说法正确的是A 。

安徽省1号卷A10联盟2020届高三上学期摸底考试数学(文) 含答案

1号卷∙A10联盟2020届高三摸底考数学（文科）试题巢湖一中合肥八中淮南二中六安一中南陵中学舒城中学天湖中学天长中学屯溪一中宣城中学滁州中学池州一中阜阳一中灵璧中学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ券(非选择题)两部部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.已知集合{}{}{}09,1,3,6,0,2,5,6,8,9U x N x M N =∈≤≤==，则()U M N ð＝( )A.{2，5，8，9}B. {0，2，5，8，9}C. {2，5}D. {2，5，6，8，9} 2.“若α>β，则sinα>sinβ”的逆否命题是( )A.若α<β，则sinα<sinβB.若sinα>sinβ，则α>βC.若α≤β，则sinα≤sinβD.若sinα≤sinβ，则α≤β3.若复数z ＝x ＋yi(x 、y ∈R ，i 是虚数单位)满足：2z i -=，则动点(x ，y)的轨迹方程是( ) A.x 2＋(y －1)2＝4 B.x 2＋(y ＋1)2＝4 C.(x －1)2＋y 2＝4 D.(x ＋1)2＋y 2＝44.某高中数学兴趣小组准备选拔x 名男生、y 名女生，若x 、y 满足约束条件251127x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则数学兴趣小组最多可以选拔学生( )A.21人B.16人C.13人D.11人 5.函数cos ()xf x x=的部分图象大致为()6.在△ABC 中，D 为边BC 的中点，且5AD CD⋅＝，AB ＝6，则AC ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.57. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在x ＝x 1，x ＝x 2，x ＝x 3(x 1<x 2<x 3)处的函数值分别为y 1＝f(x 1)，y 2＝f(x 2)，y 3＝f(x 3)，则在区间[x 1，x 3]上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x ≈++---，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---。

2020年1月安徽省淮南市普通高中2020届高三毕业班第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前安徽省淮南市普通高中2020届高三毕业班上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)2020年1月注意事项：1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的信息.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效，在试题卷、草稿卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的）1.若集合{}|21A x x =-≤，|B x y ⎧==⎨⎩，则A B =（） A. []1,2-B. (]2,3C. [)1,2D. [)1,3【答案】C【解析】【分析】先求出集合A ,集合B 中元素的范围,然后求交集即可. 详解】解：由已知{}{}|21|13A x x x x =-≤=≤≤,{}||2B x y x x ⎧===<⎨⎩, [)1,2A B ∴⋂=,故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.2.已知R a ∈,i 为虚数单位,若复数1a i z i +=+是纯虚数,则a 的值为（） A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】()()()()()()111=1112a i i a a i a i z i i i +-++-+==++-为纯虚数. 则110,022a a +-=≠ 所以1a =-故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,属于基础题．3.已知a ,b 都是实数,那么“lg lg a b >”是“a b >”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用对数函数单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数,由“lg lg a b >”有a b >成立,反之不成立,例如2,0a b ==. 所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件.。

2020届皖北五校联考理科数学+答案

2020届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）命题单位：安徽省怀远第一中学审题单位：安徽省怀远第一中学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，共150分，共4页。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={4,a },B ={1,a2}，a ∈R ，则A B 不可能．．．是 A.{}1,1,4- B.{}1,0,4 C.{}1,2,4 D.{}2,1,4-2.复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为A.iB. i -C.1D.1-3.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为1.732≈≈）A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945 米4.数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k = A.10 B.15 C.20 D.255.已知向量(),1λ=-a ，()1,3=-b ，若，则λ的值为（）A.3-B.2-C.0D.16.曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为 A.1 B.3 C.6 D.87.已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1>q ”是“1012112+>S S S ”的()怀远一中蒙城一中淮南一中颍上一中涡阳一中A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.函数2211()sin 4f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为9.已知平面,,αβγ仅有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系 A.两两平行 B.两两异面 C.两两垂直 D.两两相交10.安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A.0.04y x =B. 1.0151x y =-C.tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()11log 310y x =-11.设函数()()21ln x f x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．则函数()f x 的零点个数为（） A.0 B.1 C.2D.312.锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b A a+=，BA BC AB AC ⋅+⋅=．则ABC ∆面积的取值范围是A.14,33⎛⎫⎪⎝⎭B. C.()1,2 D.⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR的最大值是．14.cos102cos 20cos10-⋅= ．15.若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则b = ．16.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的表面积为平方分米.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知221a b +=.（1）求证：1a b ab -≤-；（2）若0a b ⋅>，求()()33a b a b +⋅+的最小值.18.（12分）把正弦函数函数图象沿x 轴向左平移6π个单位，向上平移12个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来1ω()0ω>，所得曲线是()f x .点,,P Q R 是直线()0y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且123PQ QR π==. （1）求()f x 解析式；（2）求m 的值.19.（12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1a b ==-，131144n n n a a b +-=+ ，111443n n n b b a +-=-.（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；（2）若22n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .20.（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，,E F 分别为AB 的三等分点FG ED BC ∥∥，BC AB ⊥，BC CD ⊥， 3 ,2AB BC ==，若沿着,FG ED 折叠使得点,A B 重合，如图2所示，连结,GC BD .（1）求证：平面GBD ⊥平面BCE ；（2）求二面角C GB D --的余弦值.21.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =.（1）求C ；（2）若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠. 求AM ．22.（12分）已知函数()1()cos 1()x f x ex ax a R +=++-∈.（1）若()f x 在()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当 1a =-时，若实数1212,()x x x x <满足12()()2f x f x +=，求证：120x x +<.安徽省怀远第一中学等2020届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACBAADCCADCD二、填空题13.90； 14. 15.0或1-； 16.33π三、解答题17.【解析】（1）要证原不等式，即证： ()()221a b ab -≤-，只需证：()()22110a b--≤，∵221a b +=， ∴221,1a b ≤≤ ∴()()22110a b --≤，故原不等式成立. …………………………5分（2）()()334334a b a baab a b b +⋅+=+++44a b ≥+ ()2221a b=+=…………………………10分18.【解析】（1）由题意可得()()1sin 062f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， T PQ QR π=+=，∵2T πω=，且0ω>，∴2ω=.()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. …………………………6分（2）设()0,P x m ，0,3Q x m π⎛⎫+⎪⎝⎭，则0011sin 2sin 262362x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得02k x π=()k Z ∈，则1sin 62m k ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵0m >∴1m =. …………………………12分19.【解析】（1）由题意可知131144n n n a a b +-=+，111443n n n b b a +-=-，111a b +=，113a b -=，∴()11313111144442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=++=+---+，即()1112n n n n a b a b ++=++，∴数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，故112n n n a b -+=，…………………………3分∵1131311124444n n n n n n n n a b a b b a a b ++⎛⎫ ⎪=+-=-+ ⎪⎝⎭----，∴数列{}n n a b -是首项3、公差为2的等差数列，故21n n a b n -=+.…………………………6分 (2)由(1)可知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=+， ∴()()221212n n n n n n n n n c a b a b a b -+=-=-⋅+=，…………………………8分()0111113521222n n S n -=⨯+⨯+++⨯ ①①式两边同乘12，得()()1211111135212122222n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯++⨯ ② ①－②得()0111111132122222n n n S n -⎛⎫=++++-+⨯ ⎪⎝⎭ ∴125102nn n S -+=-…………………………12分20.【解析】（1）取,BD BE 的中点分别为,O M ，连结,,GO OM MF .OM ED ∥且12OM DE =，又∵GF ED ∥，且12GF ED =∴GF OM ∥且GF OM=∴四边形OMFG 是平行四边形，故GO FM ∥∵M 是EB 的中点，三角形BEF 为等边三角形，故FM EB⊥∵平面EFM ⊥平面BCDE∴FM ⊥平面BCDE ，因此GO ⊥平面BCDE 故平面GBD ⊥平面BCE …………………………6分（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()0,1,2C ，()0,0,2D，1,12G ⎫⎪⎪⎝⎭，故()0,0,2BC =，1,12BG ⎫=-⎪⎪⎝⎭，()0,1,2BD =-设平面CBG 的法向量为m (),,x y z =，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m BC m BG，即2020z y z =⎧⎪-+=，令1x =得m ()=，设平面DBG 的法向量为n (),,x y z =，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n BD n BG，即2020y z y z -=⎧⎪-+=，令1z =得n ()0,2,1=，cos ,m n =⋅⋅m n mn ==∵二面角C GB D --的平面角是锐角，设为θ∴cos θ= (12)分21.【解析】（1）由(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =，得()222a b c ab +-=，即222a b c +=∴90C =； …………………………4分（2）令CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，则在AMB ∆中，902,180MBA BMA θθ∠=-∠=- 由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM ABθθ=--，即cos 2sin AB AM θθ⋅=…………………………8分在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ∠=∠=由正切定义：tan 2AC θ=在ACB ∆中，90,ACB BAC θ∠=∠= 由正切定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，…………………………10分 ∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅==.…………………………12分22.【解析】（1）()1()sin 1x f x e x a +'=-+-由()f x 在()1,-+∞上单调递增，故当1x >-时，()1sin 10x e x a +-+-≥恒成立即()1sin 1x a ex +≤-+设()()()1sin 11x g x ex x +=-+>-，()()1cos 1x g x e x +'=-+，∵1x >-，∴()11,cos 11x ex +>+≤∴()0g x '>，即()g x 在()1,-+∞上单调递增，故()()11g x g >-=∴1a ≤；…………………………5分（2）当1a =-时，()()1cos 1x f x ex x +=+++，()()1sin 110x f x e x +'=-++>∴()fx 在R 上单调递增，又∵()11f -=且()()122f x f x +=，故121x x <-<要证120x x +<，只需证21x x <-即证()()21f x f x <-，只需证()()112f x f x -<- 即证()()1120f x f x +--> 令()()()2h x f x f x =+--，()h x '()()()()11sin 11sin 11x x e x e x +-=-+++-+--112cos1sin x x e e x +-=--⋅令()112cos1sin x x x ee x ϕ+-=--⋅，()112cos1cos 22cos1cos 0x x x e e x e x ϕ+-'=+-⋅≥-⋅>∴()x ϕ在(),1-∞-上单调递增∴()()211sin 20x e ϕϕ<-=--<，故()h x 在(),1-∞-上单调递减，∴()()()12120h x h f >-=--=，故原不等式成立. …………………12分。

安徽省亳州市2020届高三数学上学期期末教学质量检测试题理(含解析)

安徽省亳州市2020届高三数学上学期期末教学质量检测试题理（含解析）共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）{}2|340A x x x =--<{}|1B x x =>A B ⋂=A.B.C.D.()1,4(]1,4(]2,4[]2,4【答案】A 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，再根据集合的交运算，求得结果.A 【详解】对集合：，解得；A 2340x x --<()1,4x ∈-根据集合的交运算，解得.()1,4A B ⋂=故选：A.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2.设，其中为虚数单位，则（）12iz i -=+i z =A. B. C. D. 125i +125i -135i +135i -【答案】C 【解析】【分析】利用复数乘法和除法，化简复数，然后求其共轭复数即可.z 【详解】因为，12i z i -=+()()()()1213225i i i i i ---==+-故.z =135i+故选：C.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，以及共轭复数的求解，属基础题.3.已知，则是的（）,a b ∈R 0ab ≠220a b +≠A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据逆否命题和原命题的真假性一致，即可判断充分性和必要性.【详解】因为若，则是真命题220a b +=0ab =故若，则是真命题，0ab ≠220a b +≠故是的充分条件；0ab ≠220a b +≠同理，因为若，则是假命题，0ab =220a b +=故若，则是假命题，220a b +≠0ab ≠故是不必要条件.0ab ≠220a b +≠综上是的充分不必要条件，0ab ≠220a b +≠故选：A.【点睛】本题考查互为逆否的两命题的真假一致，以及对充分条件和必要条件的判定，属基础题.4.等差数列中，，则（）{}n a 1269a a a ++=24a a +=A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】由数列的基本量对已知条件和目标式进行化简，从而求得结果.【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 则等价于，1269a a a ++=123a d +=又等价于.24a a +()1226a d +=故选：D.【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，属基础题.5.为庆祝中华人民共和国成立七十周年，某中学高三年级举办庆祝中华人民共和国成立七十周年知识竞赛活动.现将高三年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30、0.15、0.10、0.05，第二小组的频数是40.则这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第______小组内.（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据长方形面积之和为1，求得第二组的频率，再结合分割点是将面积平分的意义，进行估计即可.【详解】由长方形面积之和为1，可得第二组的频率为；0.4根据频率分布直方图中位数的估计，中位数应该落在第二组内.故选：B.【点睛】本题考查对频率分布图的认知，属基础题.6.已知向量.若，则（）()()1,2,1,a b m ==()a b a+⊥m =A. -4 B. -3C. -2D. -1【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式，即可代值求解.【详解】因为，又()2,2a b m +=+()a b a+⊥故可得，解得.()2220m ++⨯=3m =-故选：B.【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，属基础题.7.函数一个周期的图像如图所示，则（()()sin 0,0,02y A x A ωϕωϕπ=+>><<ϕ=）A. B. C. D. 或4π34π54π4π54π【答案】C 【解析】【分析】根据图像解得周期，进而得参数，再根据五点作图法求得.ωϕ【详解】由图可知，解得；24T ππω==12ω=由五点作图可知：，解得.13222πϕπ⨯+=54πϕ=故选：C.【点睛】本题考查由五点作图法求三角函数的解析式，属基础题.8.函数的部分图象大致为（）sinln y x x=⋅A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，即可排除、，又根据当时，函数A C 0x →值趋近于零，即可得出答案.【详解】解：定义域为()sin ln y f x x x==⋅ ()(),00,-∞⋃+∞所以为偶函数，图象关于轴对称，()()()sin ln sin ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=()f x y 故排除、，A C 又时，，，0x →sin 0x →ln x →-∞()sin ln 0y f x x x ∴==⋅→即可排除，B 故选：D【点睛】本题考查函数图象的识别，判断函数的图象可以通过定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊值进行排除．一般不需要直接列表描点作图，属于基础题．9.双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为C 1F 2F 2F，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的离心率为（）P 1PF Q Q 1PF CC. 2【答案】A 【解析】【分析】根据等面积法求得点的坐标，进而求得点的坐标，根据点满足渐近线的方程，故而可P Q Q 得离心率.【详解】设点所在渐近线方程为，故可得，P b y xa =2,F P b OP a ==在中，由等面积法可知，又因为点在上，2OPF Q ab y c =P by xa =代入可得，故点坐标为2P a x c =P 2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭又因为点为的中点，故可得Q 1F P 21,22a ab Q c c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为点满足，代入可得Q by xa =-222a c =故离心率e =故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，问题的关键是要根据点在渐近线上，点的坐标满足渐近线方程，从而求得齐次式.,a c 10.定义在上的函数，当时，，且R ()f x [)1,x ∈+∞()()()[)()[)1213,1,312,3,2x x x f x f x x ⎧---∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩为偶函数.函数，则方程所有根的和为（()1y f x =+()2log 1g x x =-()()0f xg x -=）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】C【分析】根据与的解析式，以及函数性质，画出函数图像，数形结合即可求解.()f x ()g x 【详解】因为为偶函数，故关于对称，()1y f x =+()f x 1x =容易知也关于对称，故方程所有根的和为，()g x 1x =2n 为在区间上，与交点的个数；n [)1,+∞()f x ()g x 在同一直角坐标系中画出与的图像如下所示：()f x ()gx 由图可知，两函数在上，与有5个交点，[)1,+∞()f x ()g x 故方程所有根的和为为.()()0f xg x -=2510⨯=故选：C.【点睛】本题考查方程根的个数的求解，涉及数形结合，以及函数性质，属中档题.11.长方体中，，，，是棱上的动点，则1111ABCD A B C D -1AB =2AD =15AA =P 1DD 的面积最小时，（）1PA C ∆DP =A. 1 B. 2C. D. 452【答案】A 【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，赋予点坐标，求出以及夹角，建立面积1,PA PC 1A PC ∠关于的函数，从而求函数的最值即可.DP 【详解】根据题意，以为坐标原点，以所在直线为轴A 1,,AB AD AA ,,x y z建立空间直角坐标系如下图所示：设，(),05DP x x =≤≤故可得()()()10,2,,0,0,5,1,2,0P x A C 由空间中两点之间的距离公式可得：，1A P ==PC =1AC =故在三角形中，由余弦定理可得：1PAC 22211112A P PC A C cos A PC A P PC+-∠==⨯则1sin A PC ∠==故11112A PC S sin A PC A P PC =∠⨯⨯12===当且仅当时，的面积最小.1x =1PA C ∆故满足题意时，.1DP =故选：A.【点睛】本题考查利用空间直角坐标系，求解动点问题，属经典题型.12.数列满足，值最小的整数（{}n a 11a =211n n n n a a a a +=++k-k =）A. 43 B. 44C. 45D. 46【答案】C 【解析】【分析】根据递推公式，结合数列每一项的取值，求得，进而估算出整数.2020a k 【详解】因为，故可得211n n n n a a a a +=++111n n na a a +=++故23423113,4,5,a a a a a ==+=+ 由此归纳总结：-111n n a n a =++又因为是单调递减数列，且从开始小于，1n a 21a 12故可得，且远远小于，且接近于0，2020201912021a a =+20191a 12故可得44.96=≈≈值最小的整数.k-k =45故选：C.【点睛】本题考查由数列的递推公式，估算数列的某一项的值，属综合性困难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足，则的最大值为______.x y 023320x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩y x -【答案】125【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得目标函数的最值.【详解】根据题意，不等式组表示的平面区域如下图所示：设，整理得，与直线平行，z y x =-y x z =+y x =结合图像，不难看出，当且仅当目标函数过点时，取得最大值，A 又点坐标为直线与直线的交点，解得A 23y x =+1322y x =-+39,55A ⎛⎫-⎪⎝⎭故目标函数的最大值为.z 9312555⎛⎫--= ⎪⎝⎭故答案为：.125【点睛】本题考查简单线性规划问题，属基础题.14.已知是抛物线上一动点，则点到直线的距离的最小值为______.P 24y x =P 2y x =+【解析】【分析】求出与直线平行且与抛物线相切的直线方程，再求两平行线之间的距离即为所求.2y x =+【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为2y x =+y x m=+联立抛物线方程，可得24y x =()22240x m x m +-+=由，可得，()222440m m =--= 1m =故该直线方程为，1y x =+故两平行线之间的距离即为所求.d.【点睛】本题考查抛物线上一点到直线距离的最值问题，属经典基础题.15.《周髀算经》是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高”（太阳高度）的方法.大意为：“在两处立表（古代测望用的杆子，即“髀”），设表高均为，测得,A B h 表距为，两表日影长度差为，则可测算出日高”由所学知识知，日高d ()0εε>__________．（用表示）H =,h d 【答案】()h d εε+【解析】【分析】如图，由题意可知，，设，，则AD BC h ==AB d =EF H =AE x =1AA y =，由题可知且，利用三角形相似得到边的1BB y ε=+11A AD A EF ∆∆∽11B BC B EF ∆∆∽比例关系，再化简即可得到.【详解】解：如图，由题意可知，，AD BC h ==AB d =设，，则EF H =AE x =1AA y =1BB y ε=+由题可知且11A AD A EF ∆∆∽11B BC B EF∆∆∽，11A E EF AD A A ∴=11B EEF BC B B=即，H x y hy +=H x y d h y εε+++=+即①，②，()Hy h x y =+()()()()H y h x y d h x y h d εεε+=+++=+++②减①得()H h d εε=+()h d H εε+∴=故答案为：()h d εε+【点睛】本题考查解三角形的应用，题目新颖，属于难题.16.已知函数，.若恒成立，则实数()()()sin 2ln 1f x x a x x =--+(]0,x π∈()0f x >的取值范围为______.a 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】将不等式半分离参数，数形结合，将问题转化为直线与函数图像的位置关系，找()0f x >出临界值即可得参数的范围.【详解】等价于，()0f x >()()2ln 1sinxa x x >-+令()()()(),2ln 1sinxg x m x a x x ==--+对函数，求导可得()g x ()()()2ln 11ln 1sinx x cosx x g x x +-+'=+令，故可得()()ln 11sinx h x x cosx x =+-+()()()21ln 11h x sinx x x ⎡⎤=-+⎢⎥+⎢⎣⎦'⎥因为是减函数，()()21ln 11y x x =-++且时，，时，，0x =10y =>x π=()()21ln 101y ππ=-+<+即存在，使得在区间上单调递增，在上单调递减；()00,x π∈()h x ()00,x ()0,x π又，()()()00,ln 10h h ππ==-+<故存在使得在区间上单调递增，在上单调递减，()10,x x π∈()g x ()10,x ()1,x π又因为当趋近于0时，趋近于1，且x ()g x ()0g π=而函数为过点且斜率为的直线，()m x ()2,0a -故若满足题意，只需直线在函数的下方，()m x ()g x 在同一直角坐标系中画图如下：由图可知，当且仅当直线过点时，是一种临界状态，()2y a x =--()0,1此时直线斜率，解得，11022a -==--12a =又函数在处无意义，故要满足题意，直线的斜率可取.()()ln 1sinx g x x =+0x =12且当直线斜率大于均满足题意，1,02a ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭故解得.10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题，涉及半分离参数，数形结合，属综合性困难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 231n n S a =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，求数列的前项和.{}n b 31log nn b a +=11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）（2）()13n n a n N -+=∈1nn +【解析】【分析】（1）利用即可求解通项公式；1n n n a S S -=-（2）由（1）中所求，可得，再用裂项求和即可求得前项和.n b n n T 【详解】（1）由得，.()231n n S a n N +=-∈()112312n n S a n --=-≥两式相减并整理得，.()132n n a a n -=≥令，由得，.1n =()231n n S a n N +=-∈11a =故是以1为首项，公比为3的等比数列，因此.{}n a ()13n n a n N -+=∈（2）由，结合得，.31log n n b a +=13-=n n a nb n =则()1111111n n b b n n n n +==-++故12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+1111112231n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L .1nn =+【点睛】本题考查由和的关系求解数列的通项公式，以及利用裂项求和求解数列的前n a n S 项和，属综合基础题.n 18.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.ABC ∆A B C a b c sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求角的大小；A （2）设为的垂心，且，求的范围.H ABC ∆1AH =BH CH +【答案】（1）（2）3A π=2BH CH ⎤+∈⎦【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用余弦的差角公式，以及辅助角公式化简，并求解三角方程，即可求得角的值；A （2）利用垂心的定义，结合正弦定理，将表示为角度的三角函数，求解三角函数,BH CH 的值域即可.【详解】（1）由，结合正弦定理得sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，sin cos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭整理得，sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又为锐角，故.A 3A π=（2）由是锐角三角形，则垂心必在内部，ABC ∆H ABC ∆不妨设，则.BAH α∠=0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由为的垂心，则.H ABC ∆6ABH ACH π∠=∠=在中使用正弦定理得，ABH ∆，整理得：.sin sin AH BHABH BAH =∠∠2sin BH α=同理在中使用正弦定理得，.ACH ∆2sin 3CH πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2sin 2sin 2sin 33BH CH ππααα⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得.2BH CH ⎤+∈⎦【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，以及利用正弦定理解三角形，涉及线段长度的范围问题；本题的难点是构造函数，以及求解函数的最值.19.习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高.已知该厂每月的污水处理量最少为150万吨，最多为300万吨，月处理成本（万元）与月处理量（万吨）y x 之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一万吨污水产生的收益价2114010005y x x =-+值为0.3万元.（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低；（2）该厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润.【答案】（1）200万吨（2）每月能获利，利润最大为22.5万元【解析】【分析】（1）根据题意，求出每万吨污水的处理成本，利用均值不等式求解最小值即可；（2）构造每个月获利与处理量之间的函数，求函数的最大值即可.【详解】（1）由题意可知，每万吨污水的处理成本为：140111000555y x x x =-+≥=当且仅当时，即时，取得最小值.401000x x =200x =故该厂每月污水处理量为200万吨时，才能使每万吨的处理成本最低，最低成本为万元.15（2）设该厂每月获利为万元，则Z ()221110.34025022.5100051000Z x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭因为，所以，[]150,300x ∈[]12.5,22.5Z ∈当时，有最大值22.5.250x =Z 故该污水处理厂每月能获利，当月处理量为250万吨时，利润最大，为22.5万元.【点睛】本题考查函数模型的应用，涉及均值不等式的使用，属综合性基础题.20.如图①，平行四边形中，为的中点，，，，PBCD A PD 2PD=PB =45P ∠=︒连接，将沿折起，得到四棱锥，如图②，点在线段上，若AB PAB ∆AB P ABCD -E PA 平面.//PC BDE （1）求证：；2PE AE =（2）若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值.P AB C --60︒PBCPCD 【答案】（1）证明见详解；（2）17【解析】【分析】（1）根据线面平行，推证出线线平行，再根据三角形相似线段成比例，求得线段的比例关系；（2）取的中点，连接，以为坐标原点，建立直角坐标系，求出两个平面的法AD O PO O 向量，用向量法求解二面角的大小.【详解】（1）证明：连接交于，连接，作图如下：AC BD FEF 因为平面，平面，平面平面，//PC BDE PC ⊂PAC BDE ⋂PAC EF =所以，所以，//EF PC AE AFPE FC =又因为//，且，所以，AD BC 12AD BC=12AF AD FC BC ==所以，12AE PE =故，即证.2PE AE =（2）取的中点，连接，过作交于.AD O PO O //OG AB BC G 由图（1）得：，，所以就是二面角的平面角，AB AD ⊥AB AP ⊥PAD ∠P AB C --所以，60PAD ∠=︒又因为，所以为等边三角形，所以.1AD AP ==PAD ∆OP AD ⊥又，所以平面，因为，所以平面，AD ⋂AP A =AB ⊥PAD //OG AB OG ⊥PAD 所以，，两两互相垂直，OP OD OG 以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系：OG x OD y OP z 则，，，，11,,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，.PB 11,,2⎛=- ⎝BC ()0,2,0=PD 10,,2⎛= ⎝DC ()1,1,0=设平面的一个法向量为，PBC m ()111,,x y z =则，所以，令.00m BC m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111110220x y z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩1x =m)2=设平面的一个法向量为，PCD n ()222,,x y z =则，所以，令，得.00n DCn PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22221020y z x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩21x =n 1,1,⎛=- ⎝设平面与平面夹角为，.PBC PCD θ17m n cos m n θ⋅==平面与平面夹角的余弦值为.PBC PCD 17【点睛】本题考查由线面平行求解线段的长度，以及用向量法求解二面角的大小，属综合性基础题；本题中需要注意对已知二面角大小的应用.21.在平面直角坐标系中，长为3的线段的两端点，分别在轴、轴上滑动，动xoy A B x y 点满足.P 12AP PB=（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）、、为曲线上三个动点，满足，判断四边形的面积A B Q C OQ OA OB =+OAQB 是否为定值，若为定值，求出其值.【答案】（1）（2）是定值，2214x y +=OAQBS =【解析】【分析】（1）设点，根据等量关系列出方程，整理化简即可；（2）根据题意，可知四边形为平行四边形，设出直线方程，联立椭圆方程，AB y kx t =+根据以及点在椭圆上，求得的关系，再将平行四边形面积转化为三角OQ OA OB =+Q ,k t 形面积，利用弦长公式，以及点到直线的距离公式即可求得.【详解】（1）设、、，则由得，.(),0A m ()0,B n (),P x y 3AB =229m n +=又，则，.整理可得，12AP PB = 12x m x -=-()12y n y =-，即为所求轨迹方程.2214x y +=（2）当直线斜率不存在时，1︒AB 不妨设直线在轴左侧，结合题意可知，四边形为菱形，AB y OAQB 且与椭圆的左顶点重合，Q C ，.2OQ =AB =故12OAQB S OQ AB =⋅=当直线斜率存在时，2︒AB 设直线的方程为，联立，消得，AB y kx t =+2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ，()222148440k x ktx t +++-=由，得.()2216410k t ∆=+->22410k t +->设、，则由根与系数关系知，()11,A x y ()22,B x y ，由知，，12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩OQ OA OB =+ ()1212,Q x x y y ++即.2282,1414kt t Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又在椭圆上，则，Q C ()()()()22222282141414kt t k k +=++整理得，.22414t k =+122OAQB OAB S S x x t ∆==-⋅=综上所述，可知四边形的面积为定值，且OAQB OAQB S =【点睛】本题考查轨迹方程的求解，以及椭圆中四边形面积恒为定值的证明，属综合性中档题；需要注意的是，本题要对直线的斜率进行分类讨论，以免漏解.AB 22.已知函数，为自然对数的底.()()201xe f x a ax =>+e （1）若函数有两个极值点，求实数的范围；()f x a （2）若为的极值点，求证：.()1212,x x x x <()f x ()()12f x f x e +<【答案】（1）（2）证明见详解.1a >【解析】【分析】（1）将有两个极值点的问题，转化为导数有两个根的问题，根据导数进一步转化为二()f x 次方程有两个根的问题，进而求解；（2）结合（1）中结论，构造函数，将问题转化为求证()()222121x x g e e e x x x -=+-+-+的最大值小于0的问题，利用导数求解即可.()g x 【详解】（1）由知，.()21xe f x ax =+()()()22221'1x e ax ax f x ax -+=+由函数有两个极值点知，方程有两不等实数根，则()f x 2210ax ax -+=，解得.24400a a a ⎧∆=->⎨>⎩1a >（2）因为，()()1212221211x x e e f x f x ax ax +=+++要证，结合，()()12f x f x e +<1a >只需证即可.12221211x x e e e x x +<++由（1）知，，且.122x x +=1201x x <<<令，，()()222121x x g e e e x x x -=+-+-+()0,1x ∈则只需证：，.()0g x <()0,1x ∈()()()()()222222211145'x x e x e x x x x x g ---=-+-+()()()()()()()2212212222221451451145x x x e x e x x x e x x x x x x ---⎡⎤⎡⎤--+++-+-+⎣⎦⎣⎦=+-+令，，()()()122451x e x h x x x -=-+-+()0,1x ∈则，()()1212'2x e x h x x x -=-+-设，则，()()'x h x ϕ=()()12'120x e x x ϕ-=--<故在内单调递减，又，.()'h x ()0,1()1'00h e =>()'120h =-<由零点存在定理知，存在，()00,1x ∈使得，且时，；时，.()0'0h x =()00,x x ∈()'0h x >()0,1x x ∈()'0h x <又，，故，.()5010h e =->()10h =()0h x >()0,1x ∈因此，即在内单调递增，()'0g x >()g x ()0,1又，故，.()10g =()0g x <()0,1x ∈综上所述，原结论成立.【点睛】本题考查由函数极值点的个数，求参数的范围问题，以及利用导数证明不等式恒成立问题，涉及构造函数，二次求导，属导数综合性困难题.。

2020年安徽省涡阳一中、淮南一中等五校高考数学模拟试卷(一)(4月份)(有答案解析)

2020年安徽省涡阳一中、淮南一中等五校高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，A={x|}，则∁R A等于（）A. {x|1≤x＜4}B. {x|1＜x＜4}C. {x|x≤4}D. {x|x＜4}2.已知i为虚数单位，是复数z的共轭复数，若=cos+i sin，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩；②A班数学兴趣小组成绩的众数小于B班成绩的众数；③A班数学兴趣小组成绩的极差小于B班成绩的极差；④A班数学兴趣小组成绩的中位数大于B班成绩的中位数．其中正确结论的编号为（）A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③4.抛物线y2=4ax（a≠0）的焦点坐标是（）A. （0，|a|）B. （0，a）C. （|a|，0）D. （a，0）5.三角函数f（x）=sin（2x-）-cos2x的振幅是（）A. 1B.C.D. 26.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A=，a=4，则△ABC的面积的最大值为（）A. 6B. 8C. 10D. 127.《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC=a，BC=b，过点C作CD⊥AB交圆周于D，连接OD．作CE⊥OD交OD于E．由CD≥DE可以证明的不等式为（）A. ≥（a＞0，b＞0）B. （a＞0，b＞0）C. ≥（a＞0，b＞0）D. a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）8.如图所示，在△ABC中，AB=AC=3，∠A=120°，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM＜的概率为（）A. B. C. D.9.设{a n}是等差数列，m，n，p，q为正整数，则“a m+a n＞a p+a q”是“m+n＞p+q”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不必要也不充分条件10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积S=（）A.B.C.D.11.已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上一点，线段F2P的垂直平分线过坐标原点O，若|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.12.已知函数，若存在x1＜x2＜x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•f（x2）•f（x3）的取值范围为（）A. B. C. （-1，0） D. （-1，0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则sinα+cosα=______．14.已知，，若向量与共线，则=______．15.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最小值为______．16.函数f（x）=cos3x-cos2x+cos x的值域为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=2，a n=2n•a n-1（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n•（log2a n）=1，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图所示，E-ABD和F-BCD均为棱长为2的正四面体，且A，B，C，D四点在同一平面内．（1）求证：EF⊥BD；（2）求多面体EFABCD的体积．19.已知焦点在x轴上的椭圆C过点（2，0），且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F的动直线m，交椭圆C于不同的两点A，B，交y轴于点M，且，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出λ+μ的值；若不是，请说明理由．20.某中学为了了解本校高三学生地理学习情况，在开学考结束后，从本校所有学生中随机抽取了100人，将他们的地理成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图．现规定：“地理成绩≥80分”为“优秀”，地理成绩“＜80分”为“非优秀”．1a优秀非优秀合计数学地理优秀40非优秀15合计100（2）请将下面的2×2列联表补充完整；根据已完成的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为“地理成绩与数学成绩有关”；（3）若从[40，50），[90，100]两组中，按照分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中抽取2人参加座谈会，求抽取的两人来自同一组的概率．附：（注：参考公式K2=，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.82821.设函数，（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当a＞1时，若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．（1）求曲线C1和C2的普通方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），直线l过定点P（0，1）且与曲线C2交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．23.设f（x）=|x-a|，a∈R；（1）当1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；（2）若对任意x∈R，f（x-a）+f（x+a）≥1-a恒成立，求实数a的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由≥1，则-1≥0，即≥0，解得x≥4或x＜1，故A={x|x≥4或x＜1}，故∁R A={x|1≤x＜4}，故选：A．先求出集合A，由此能求出∁U A．本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2.答案：C解析：【分析】由三角函数的求值化简z，进一步求得所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解答】解：∵=，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限角．故选：C．3.答案：A解析：解：对于A，由已知中的茎叶图可得：=（40+53+62+64+76+74+78+78+76+81+85+86+88+82+92+95）=78，=（45+48+51+53+56+62+64+65+73+73+74+70+83+82+91）=66，可得：＞，故正确．对于B，A班数学兴趣小组成绩的众数为：76，78，B班成绩的众数为73，故错误；对于C，A班数学兴趣小组成绩的极差为：95-40=55，大于B班成绩的极差为：91-45=46，A班成绩的极差大，故正确．对于D，A班数学兴趣小组成绩的中位数为：88，大于B班成绩的中位数78，故正确．故选：A．对于A，根据已知中茎叶图中数据，代入平均数公式，可得答案．对于B，众数是在一组数据中，出现次数最多的数，由图可得．对于C，极差指的是这些数字分开得有多远，计算方法是：用其中最大的数减去最小的数即可得解．对于D，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，注意：中位数和众数不同，众数指最多的数，众数有时不止一个，而中位数只能有一个．本题考查了茎叶图的应用问题，解题时能根据茎叶图计算数据的极差，中位数，平均值以及众数，是基础题．4.答案：D解析：解：抛物线y2=4ax（a≠0）的焦点坐标是（a，0）．故选：D．利用抛物线的标准方程，求解焦点坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：C解析：解：f（x）=sin（2x-）-cos2x=sin2x cos-cos2x sin-cos2x=sin2x-cos2x-cos2x=sin2x-cos2x=（-cos2x）=sin（2x-），则振幅为，故选：C．利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，结合两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．6.答案：B解析：【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系，余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，考查运算能力和转换能力，属于中档题．利用同角三角函数的基本关系求得sin A,利用余弦定理及基本不等式可求得bc的最大值，再由三角形面积公式即可求得结果.【解答】解：因为cos A=，A为三角形的内角，所以sin A=．由余弦定理得cos A=，所以≥2bc（当且仅当b=c时，取等号），所以bc≤20，所以=8（当且仅当b=c时，取等号），所以△ABC的面积的最大值为8，故选：B．7.答案：A解析：解：由射影定理可知CD2=DE•OD，即DE==，由DC≥DE得≥，故选：A．根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．本题考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：在△ABM中，AM===，即BM=AM，则∠BAM=30°，则BM＜的概率===，故选：A．根据余弦定理求出AM的值，以及∠BAM的角度，BM＜的概率等价为，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据余弦定理转化为的值是解决本题的关键．9.答案：D解析：解：若{a n}是等差数列，m，n，p，q为正整数，则a m+a n＞a p+a q，即2a1+（m+n-2）d＞2a1+（p+q-2）d，即（m+n-2）d＞（p+q-2）d，若d＞0，则m+n-2＞p+q-2，即m+n＞p+q，若d＜0，则m+n-2＜＞p+q-2，即m+n＜p+q，即充分性不成立，若数列a n=1，为等差数列，则满足3+4＞1+2，则a m+a n＞a p+a q不成立，即必要性不成立，即“a m+a n＞a p+a q”是“m+n＞p+q”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据等差数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及等差数列的性质是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：由三视图得到几何体如图：是正方体的一部分，四棱锥P-ABCD，所以几何体的表面积为：2×2+2××2×+×2×2+×2×2=6+2（+）；故选：C．首先还原几何体，然后计算表面积．本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体，计算相关的数据求表面积．11.答案：D解析：解：|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，如右图OM垂直平分PF2，则PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为20a2=4c2，则e==．故选：D．根据直角三角形的性质，结合双曲线的定义，建立方程关系进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边长关系结合双曲线的定义建立方程关系是解决本题的关键．12.答案：A解析：解：作出f（x）的图象如图：设f（x1）=f（x2）=f（x3）=t，则由图象知0＜t≤1，由f（x1）=x1+1=t得x1=t-1，则x1•f（x2）•f（x3）=（t-1）t•t=t3-t2，设g（t）=t3-t2，0＜t≤1，则g′（t）=3t2-2t，由g′（t）＞0得t＞或t＜0（舍），由g′（t）＜0得0＜t＜，即当t=时，函数g（t）取得极小值，同时也是最小值，最小值g（）=（）3-（）2=-，当t=1时，g（1）=1-1=0，则-≤g（t）≤0，即x1•f（x2）•f（x3）的取值范围为[-，0]故选：A．作出f（x）的图象，设f（x1）=f（x2）=f（x3）=t，将x1•f（x2）•f（x3）表示t的函数，构造函数，求函数的导数，研究函数的最值即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为关于t的函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，求出函数的值域是解决本题的关键．13.答案：0解析：解：已知，则：（sinα-cosα）2=1-sin2α=2，整理得：sin2α=-1，故：（sinα+cosα）=±|sinα+cosα|==0故答案为：0．直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14.答案：3解析：解：，，若向量=（4，2λ+1）与共线，可得8（2λ+1）=24，解得λ=1，所以，，则=1×2+1×1=3．故答案为：3．由已知向量共线，求出λ的值，然后求解向量的数量积即可．此题考查了平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量数量积运算法则是解本题的关键．15.答案：-5解析：解：变量x，y满足约束条件表示的平面区域如图所示：目标函数z=2x+3y+1，即y=-x+-，则直线过点A时，纵截距最小，此时，由，可得x=0，y=-2，∴目标函数z=2x+3y+1的最小值为2×0+3×（-2）+1=-5，故答案为：-5．确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值．本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．16.答案：[-3，]解析：【分析】本题考查了利用导数的应用求三角函数的最值，属中档题．【解答】解：f（x）=cos3x-cos2x+cos x=cos3x-2cos2x+cos x+1，令t=cos x，则-1≤t≤1，则g（t）=t3-2t2+t+1，（-1≤t≤1），则g′（t）=3t2-4t+1=3（t）（t-1），当-1时，g′（t）＞0，当＜t＜1时，g′（t）＜0，即函数g（t）在（-1，）为增函数，在（，1）为减函数，由g（-1）=-3，g（1）=1，g（）=，故函数g（t）的值域为[-3，]，故答案为[-3，]．17.答案：解：（1）a1=2，a n=2n•a n-1（n≥2），即=2n，可得a n=a1••…=2•22•23…2n=21+2+3+…+n=2；（2）b n•（log2a n）=1，可得b n•n（n+1）=1，即b n==2（-），前n项和T n=2（1-+-+…+-）=2（1-）=．解析：（1）由条件和数列恒等式a n=a1••…，化简计算可得所求通项公式；（2）求得b n==2（-），运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．18.答案：（1）证明：设E，F在△ABD和△CBD内的投影分别为G，H，∴EG∥FH，EG=FH，则四边形EGHF为平行四边形，∴EF∥GH，由已知可得四边形ABCD为菱形，∴GH⊥BD，则EF⊥BD；（2）解：V EFABCD=2V B-ACEF．由已知求得AC=，EF=GH=，EG=．又∵O为AC与BD的交点，则BO=1，∴．∴．解析：（1）设E，F在△ABD和△CBD内的投影分别为G，H，可得EG∥FH，EG=FH，得到则四边形EGHF为平行四边形，即EF∥GH，再由已知得到四边形ABCD为菱形，则GH⊥BD，可得EF⊥BD；（2）由图可得V EFABCD=2V B-ACEF．然后求出三棱锥B-ACEF的体积得答案．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：（1）焦点在x轴上的椭圆C过点（2，0），则a=2，由得a=2c，则c=1∴，所求椭圆方程为．（2）由题意可知直线m的斜率存在，设直线m方程为y=k（x-1），联立方程得，消去y得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，因为m过焦点，所以△＞0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由，可得λ=，μ=，∴λ+μ=+==-为定值．解析：（1）根据题意离心率与顶点坐标列方程得出a，b的值即可得出椭圆方程；（2）联立方程组得出A，B的坐标的关系，根据向量共线求出λ，μ的值，根据根与系数的关系化简即可得出结论．本题考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线方程，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．20.答案：解（1）a=0.030 平均成绩=74数学地理优秀非优秀合计优秀204060非优秀152540合计3565100K2==0.183＜2.706没有90%的把握认为地理成绩与数学成绩有关．（3）由题意知[40，50]抽取2人记为a，b[90，100]抽取4人记为B C D F∴抽取2人总的结果为ab aB aC aD aF bB bC bD bF BC BD BF CD CF DF共15种结果．其中来自同一组的有ab BC BD BF CD CF DF共7种结果．记事件A：抽取2人来自同一组∴P（A）=．解析：（1）根据直方图可得列联表（2）计算观测值，根据临界值表可得；（3）用列举法和古典概型概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中挡题．21.答案：解：（1），当a＞1时，f（x）在（a，+∞）和（0，1）上递增，在（1，a）上递减；当a=1时，f（x）在（0，+∞）上递增，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）和（0，a）上递增，在（a，1）上递减；当a≤0时，f（x）在（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减．（2）证明：由（1）知当a＞1时，两个极值点x1=1，x2=a，∴（a＞1）．=．令∴g′（a）=-a+ln a＜0（a＞1），∴g（x）在（1，+∞）上递减，∴g（a）＜g（1）．即．解析：（1）先求出函数f（x）的导数f′（x），然后对a讨论，从而求出单调区间；（2）根据（1）确定两个极值点x1、x2，求出f（x2）的表达式，再通过导数研究其最值来证明．本题考查用导数研究单调性、极值、最值等要点知识，属于中档题目．22.答案：（1）线C1的参数方程为（φ为参数），得到：x2+y2=4．把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．（φ为参数）转换为直角坐标方程为：．（2）把直线l的参数方程（t为参数），转换为标准的参数方程为：（t为参数）代入，得到：（t1和t2为A和B对应的参数），故：，故：．解析：（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用．主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.答案：解：（1）∵|x-a|≤3，∴-3≤x-a≤3，∴a-3≤x≤a+3，∵1≤x≤3，∴，∴0≤a≤4…5’（2）∵f（x-a）+f（x+a）≥1-a恒成立，∴|x-2a|+|x|≥1-a恒成立∵|x-2a|+|x|≥|x-2a-x|=|2a|∴|2a|≥1-a，∴2a≥1-a或2a≤a-1，∴或a≤-1（10分）解析：（1）由|x-a|≤3，可求解x的范围，然后结合1≤x≤3，f（x）≤3恒成立，结合集合的包含关系可求a的范围（2）由f（x-a）+f（x+a）≥1-a恒成立，代入结合绝对值不等式的性质可求本题主要考查了绝对值不等式性质的应用，解题的关键是不等式性质的灵活应用．。

2020届安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)高三联考数学(理)试题

2020届安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中）高三联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则AB 不可能．．．是（） A ．{}1,1,4- B ．{}1,0,4 C ．{}1,2,4D ．{}2,1,4-【答案】A 【解析】由题选择A B 不可能．．．的选项，依次检验找出矛盾即可. 【详解】依次检验：如果是A 选项，则只能考虑1a =-，集合B 不满足元素互异性；当0a =，B 选项正确；当2a =，C 选项正确；当2a =-，D 选项正确；故选：A 【点睛】此题考查集合并集运算和元素互异性，对分析问题能力要求较高. 2．复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为（） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数实部为1，设出复数，求出模长，便可解得. 【详解】设复数1,1(1)1z bi z i b i =+-=+-=1=，解得1,1b z i ==+ 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，容易出现概念混淆不清，把虚部弄错.3．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【解析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B 【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.4．数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k =（） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25【答案】A【解析】通过数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-计算出n a ，再根据k a 求出k . 【详解】由题：()1n S n n =-，()11(2),2,n S n n n n N -+=--≥∈, 所以22n a n =-，2,n n N +≥∈ 当=1n 时，110212a S ===⨯-，所以22n a n =-，n ∈+N510k a a -=，即22810k --=，解得：10k =. 故选：A 【点睛】此题考查数列前n 项和与通项n a 的关系，依据n S 求n a 还应注意考虑n 的取值范围.5．已知向量(),1a λ=-，若()1,3b =-r，3232a b a b -=+，则λ的值为（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】两个向量模长相等，平方处理，即可转化成通过求a b ⋅的值解得未知数. 【详解】由题：3232a b a b -=+，所以223232a b a b -=+，化简得：0a b ⋅=，即30λ--= 所以3λ=-. 故选：A 【点睛】此题考查向量的基本运算，对运算能力要求较高，在具体问题中适当处理坐标利于简化运算，如果此题先代入坐标运算，计算量很大，先处理模长大大降低计算量.6．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（）A ．1B ．3C ．6D ．8【答案】D【解析】根据微积分基本定理，求出积分即是封闭图形面积【详解】由题：2222220((4))428x x x dx xdx x--===⎰⎰，所以，封闭图形面积为8. 故选：D 【点睛】此题考查用微积分基本定理进行简单计算，用来解决曲线围成封闭图形的面积. 7．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题1012112+>S S S ，变形得1211a a >即可选出选项【详解】由题：1012112+>S S S ，12111110S S S S ->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >. 故选：C 【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用1012112+>S S S . 8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据奇偶性排除A ，D ，根据()0,f π=(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负可选出选项. 【详解】由题可得2211()sin f x x x x π=+-是偶函数，排除A,D 两个选项， ()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,x x x π>>，()0f x >，当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,x x x π<<，()0f x <，所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负便可得出选项.9．已知平面,,αβγ有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系（） A ．两两平行 B ．两两异面C ．两两垂直D ．两两相交【答案】A【解析】三个平面一有个公共点说明三个平面两两相交，且三条交线交于一点，可以考虑在长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，发现可以满足两两异面，两两垂直，两两相交的情况，不能满足两两平行. 【详解】取长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，三条交线就可以满足两两垂直，两两相交，也易作出两两异面，如图：平面1ADD ，平面11C DD ，平面111C A D ，取11C D 中点E ，111,,AD AC DE 两两异面，11111,,DD AD D C 两两相交，两两垂直，对于两两平行，考虑反证法：假设符合题意的三个平面内直线,,a b c 两两平行，则任意两条直线形成的平面共三个，这三个平面要么相交于同一条直线，要么三条交线两两平行，均与题目矛盾. 【点睛】此题考查线面位置关系，对空间图形的直观认识能力要求较高，解决这类问题可以作图处理，更可以考虑利用好身边的墙壁，桌面，笔模拟线面位置关系，更能直观地判定. 10．安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151x y =-C ．tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =-【答案】D【解析】根据奖励规则，函数必须满足：(6,100]x ∈，增函数，3,0.2y y x ≤≤ 【详解】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>不合题意；对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>不合题意；对于函数：tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不满足递增，不合题意；对于函数：()11log 310y x =-，满足：(6,100]x ∈，增函数，且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象：符合题意．故选：D 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.11．设函数()()21ln xf x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数），则函数()f x 的零点个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】利用导函数，得出函数单调性，分析函数极值与0的大小关系即可求解. 【详解】由题()()222,0x x e ef x e f x e x x'''=-=+>，所以()f x ¢在(0,)x ∈+∞单调递增， ()10f e '=-<，()220f e e '=->，所以()f x ¢的零点0(1,2)x ∈，且002xe e x =，且当0(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，即()f x 在0(0,)x x ∈单调递减，在0(,)x x ∈+∞单调递增，()f x 的极小值()()000002221ln 2(1ln )xx e e f x e e x e x e=-+=-+= 0000112((1ln 2))2(2ln 2)e e x e x x x -+-=+--，00015(1,2),2x x x ∈+<， ()0512ln 2ln 2ln 2022f x <--=-=<，当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞；所以共两个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数单调性与极值和函数零点问题，其中重点考查隐零点问题的处理，和极限思想的应用.12．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b Aa+=，22BA BC AB AC ⋅+⋅=．则ABC ∆面积的取值范围是（）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．C ．()1,2D ．3⎫⎪⎪⎭【答案】D【解析】根据三角关系求出角B ，根据向量数量积求出边c ，作出三角形，数形结合求解. 【详解】由题sin sin5A C b Aa+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-，结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5BB π-=，B 为锐角，所以5B B π-=，=6B π， 22BA BC AB AC⋅+⋅=，即cos cos ac B bcA +=，由射影定理：c = 作图：在1Rt ABC ∆中，12cos6BC π==在2Rt ABC ∆中，22cos6BC ==当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，11223ABCSBC =⨯⨯∈⎭，所以面积取值范围⎭故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形三内角和关系，正余弦定理，边角互化综合应用，重在数形结合思想.二、填空题13．已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR 的最大值是____________．【答案】90【解析】平面直角坐标系中作出可行域，观察图象,PR QR 即,RP RQ 的最大值，由图便知. 【详解】作出可行域如图所示：解出(0,3),(3,0)A B ，结合图象观察可得,RP RQ 的最大值即0,90RA RB =. 故答案为：90 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，向量夹角，数形结合思想，属于简单题目，如果不结合图象分析，计算量会很大.14．cos102cos20cos10-⋅=____________．【答案】【解析】三角恒等变换，处理角度cos10cos(2010)=-即可. 【详解】由题：cos102cos20cos10cos(2010)2cos20cos10-⋅=--⋅cos20cos10sin 20sin10cos20cos10(cos20cos10sin 20sin10)=⋅+⋅-=-⋅-⋅cos30=-=-故答案为：【点睛】此题考查三角恒等变换，关键在于合理处理两个角度，便于运算，此题陷阱在于两个角度有很多特殊关系，不易找准方向.15．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.【答案】1或1e【解析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案。

安徽省五校2020届高三数学上学期联考试题理

安徽省怀远第一中学等2020届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）命题单位：安徽省怀远第一中学审题单位：安徽省怀远第一中学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，共150分，共4页。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则A B 不可能．．．是 A.{}1,1,4- B.{}1,0,4 C.{}1,2,4 D.{}2,1,4-2.复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为A.iB. i -C.1D.1-3.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为1.732≈≈）A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945 米4.数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k =A.10B.15C.20D.255.已知向量(),1λ=-a ，()1,3=-b ，若，则λ的值为（） A.3- B.2- C.0 D.16.曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为A.1B.3C.6D.87.已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1>q ”是“1012112+>S S S ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.函数2211()sin 4f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为9.已知平面,,αβγ仅有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系A.两两平行B.两两异面C.两两垂直D.两两相交10.安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A.0.04y x =B. 1.0151x y =-C.tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D.()11log 310y x =-11.设函数()()21ln x f x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．则函数()f x 的零点个数为（）A.0B.1C.2D.312.锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b A a +=，BA BC AB AC ⋅+⋅= ．则ABC ∆面积的取值范围是A.14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C.()1,2D.⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR 的最大值是．14.cos102cos 20cos10-⋅= ．15.若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则b = ．16.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的表面积为平方分米.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知221a b +=. （1）求证：1a b ab -≤-；（2）若0a b ⋅>，求()()33a b a b +⋅+的最小值.18.（12分）把正弦函数函数图象沿x 轴向左平移6π个单位，向上平移12个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来1ω()0ω>，所得曲线是()f x .点,,P Q R 是直线()0y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且123PQ QR π==. （1）求()f x 解析式；（2）求m 的值.19.（12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1a b ==-，131144n n n a a b +-=+ ，111443n n n b b a +-=-. （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；（2）若22n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .20.（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，,E F 分别为AB 的三等分点FG ED BC ∥∥，BC AB ⊥， BC CD ⊥， 3 ,2AB BC ==，若沿着,FG ED 折叠使得点,A B 重合，如图2所示，连结,GC BD .（1）求证：平面GBD ⊥平面BCE ；（2）求二面角C GB D --的余弦值.21.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+- 2sin sin A B =.（1）求C ；（2）若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠. 求AM ．22.（12分）已知函数()1()cos 1()x f x e x ax a R +=++-∈.（1）若()f x 在()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当 1a =-时，若实数1212,()x x x x <满足12()()2f x f x +=，求证：120x x +<.。

安徽省怀远一中、等“五校”2020届高三上学期联考数学(理)答案

得 a b2 c2 2ab ，即 a2 b2 c2
∴ C 90 ； …………………………4 分（2）令 CAB MBD DMB ，则
在 AMB 中， MBA 90 2 , BMA 180
AM
AB
由正弦定理得：

，
sin 90 2 sin 180
故平面 GBD 平面 BCE …………………………6 分
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则 B 0,1, 0 ，
31
C 0,1, 2 ， D 0, 0, 2 ， G

2
,
2
,1
，

故 BC 0, 0, 2 ， BG

3 2
只需证： a2 1 1 b2 0 ，
∵ a2 b2 1， ∴ a2 1,b2 1
∴ a2 1 1 b2 0 ，故原不等式成立. …………………………5 分
（2） a b a3 b3 a4 ab3 a3b b4
1 OM DE ，
2 1
又∵ GF∥ED ，且 GF ED 2
∴ GF∥OM 且 GF OM
∴四边形 OMFG 是平行四边形，故 GO∥FM
∵ M 是 EB 的中点，三角形 BEF 为等边三角形，
故 FM EB
∵平面 EFM 平面 BCDE
∴ FM 平面 BCDE ，因此 GO 平面 BCDE
,

1 2
,1

，
BD

0,
1,
2
设平面 CBG 的法向量为 m x, y, z ，则

安徽省淮南第一中学2020届高三年级第一学期数学(理科)周练(一)(答案)

2020届高三理科数学周练（一）姓名班级一、选择题1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x 3 4 5 6 y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( A ) A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5解：样本中心点是(x －，y －)，即(4.5，11＋t 4)．因为回归直线过该点，所以11＋t 4＝0.7×4.5＋0.35，解得t ＝3.2．两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．则下列说法中不正确的是( B )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心(x －，y －)B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为r ＝－0.9362，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 3．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系．则在H 0成立的情况下，估算概率P (K 2≥6.635)≈0.01表示的意义是( B )A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%B ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%D ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%4．下表是某厂1—4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1 2 3 4 用水量y4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程式y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于( D )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25 5．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果K 2＝6.23，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( C )P (K 2>k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.7081.3232.072 2.7063.84 5.024 6.635 7.879 10.83A.90% B ．95.5% C ．97.5% D ．99%6．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般合计课外阅读量较大22 10 32 课外阅读量一般8 20 28 合计30 30 60 由以上数据，计算得出K 2＝9.643.根据临界值表，以下说法正确的是( C ) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关二、填空题7．在求两个变量x 和y 的线性回归方程过程中，计算得∑i ＝15x i ＝25，∑i ＝15y i ＝250，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1 380，则该回归方程是__________________________．解：y ^＝132x ＋352 解析：x ＝15∑i ＝15x i ＝5，y ＝15∑i ＝15y i ＝50，又b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y ∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝132，回归方程为y －50＝132(x －5)，即y ^＝132x ＋352.8．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：晚上白天雄性20 10 雌性9 21 从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_99%___．参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k 0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6359.某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x (℃)17 13 8 2 月销售量y (件)24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为___46______件．10．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下ξ0 12 P15p45－p 由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.三、解答题11．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：甲厂分组[29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10，30．14) 频数12 63 86 182 92 61 4 乙厂分组[29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10，30．14) 频数29 71 85 159 76 62 18 (1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋d )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%.乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)甲厂乙厂合计优质品360 320 680 非优质品140 180 320 合计 500 500 1 000 因为K 2＝1 000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.35>6.635.所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．12．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1月 10日 2月 10日 3月 10日 4月 10日 5月 10日 6月 10日昼夜温差x(℃) 1011131286就诊人数y (人)22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b ＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2，a ＝y －－b x －.)解：将6组数据按月份顺序编号为1,2,3,4,5,6，从中任取两组数据，基本事件构成的集合为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}中共15个基本事件，设抽到相邻两个月的事件为A ，则A ＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}中共5个基本事件，∴P (A )＝515＝13.(2)由表中数据求得x －＝11，y －＝24，由参考公式可得b ＝187，再由a ＝y －－b x －求得a ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，|1507－22|＝47<2；同样，当x ＝6时，y ^＝787，|787－12|＝67<2.所以，该小组所得线性回归方程是理想的．附加题（20分）：假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解：本题考查正态分布、简单的线性规划等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．(1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2.(2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是原问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．。

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怀远一中蒙城一中淮南一中涡阳一中2020届高三上学期“五校”联考数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A.....................所以，所以，故选A.2. 已知命题；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，命题，所以是真命题；命题：若，则是真命题，所以是真命题，故选A.3. 已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，根据等差数列的性质，可得，又数列的公差为，所以，故选C．4. 已知下列四个条件：①；②；③；④，能推出成立的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】①中，因为，所以，因此①能推出成立；②中，因为，所以，所以，所以，因此②正确的；③中，因为，所以，所以③不正确的；④中，因为，所以，所以③正确的；故选C.5. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 是奇函数B. 是增函数C. 是周期函数D. 的值域为【答案】D所以；当，所以，所以，所以函数的值域，故选D.6. 在中，,则边上的高等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由于余弦定理得，又因为，代入可得，整理得，所以，又由正弦定理得，作，所以，故选A.7. 已知非零向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为在方向上的投影与在方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为，则，又由且，所以，故选B.8. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. 是奇函数B. 的周期为C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点的对称【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数，结合余弦函数的图象，可得此时函数的图象关于直线对称，故选C.9. 已知非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以与的夹角为，故选B．10. 已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为正项等比数列满足，所以，即，解得，因为存在两项使得，所以，整理，得，所以，所以，当且仅当时，即等号成立，故选B.11. 在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为关于的不等式可化为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，要使得解集中至多包含个整数，则且，所以实数的取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.12. 定义在上的函数是它的导函数，则恒有成立，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，设，则，又由当时，恒有成立，则，则函数在上为增函数，又因为，所以，即，即，故选B.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到导数的公式的逆用，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小等知识点的运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据题意构造新函数，利用新函数的单调性比较大小是解答的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知变量满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】【解析】由，得，作出不等式组对应的平面区域，如图所示，平移直线，由图象可知，当直线经过原点时，函数取得最小值，此时14. 对于数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，则数列的前项和__________．【答案】【解析】由题意得，可得，且，则，所以数列表示首项为，公差的等差数列，所以，所以，则，两式相减可得，解得.15. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，可得，若在递增，则在恒成立，则在恒成立，令，，则，令，解得，令，解得，所以在递增，在递增，故，故，所以实数的取值范围是.点睛：本题主要考查了恒成立的求解问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值的综合应用，同时考查了利用分离参数求解恒成立问题的方法，着重考查了转化与化归思想，以及学生的推理与运算能力.16. 在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合），若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，因为，点在线段上，所以，因为，所以.点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，试题比较基础，属于基础题，这种题目可以出现在解答题中，也可单独出现，主要表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到达终点，正确作出表示是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数 .（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值.【答案】（1），.（2）.解析】（1），所以最小正周期，由，得，故函数的单调递增区间是.（2）因为，所以，所以，因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以.【解析】试题分析：（1）化简，从而可求的最小正周期及单调递减区间.（2）由，得出，从而可求在区间上的值域，即可求解实数的值.试题解析：（1），所以最小正周期，由，得，故函数的单调递增区间是.（2）因为，所以，所以，因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以.18. 的内角的对边分别为向量与平行.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）利用向量平行，列出方程，利用正弦定理，化简求解即可；（2）利用余弦定理求出,然后利用三角形的面积公式求解即可.试题解析：（1）因为，所以，由正弦定理，得，又，从而，由于，所以.（2）由余弦定理，得，而，得，即，因为，所以，故的面积为.19. 是等差数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和，求.【答案】(1).（2）.【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由，利用等差数列的通项公式及其前项和公式，即可求得通项公式；（2）利用“裂项求和”，即可求出数列的和.试题解析：设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，得，所以数列的通项公式为.（2）因为，，所以，所以，所以.20. 已知二次函数与的图象有唯一的公共点.（1）求的值；（2）设，若在上是单调函数，求的范围，并指出是单调递增函数还是单调递减函数.【答案】（1）.（2）时，在上为减函数.【解析】试题分析：（1）由已知，列出方程组化简得，再由且，根据，得的值，进而得出的值；（2）由题意得转化为在上恒有或成立，再根据二次函数的性质，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）由已知得，化简得，且，即有唯一解，所以，得，所以.（2），则，若在上为单调函数，则在上恒有或成立，因为的图象是开口向下的抛物线，所以，解得，即时，在上为减函数.21. 已知等比数列的所有项均为正数，首项，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和，若，求实数的值.【答案】（1） .（2）.【解析】试题分析：（1）设数列的公比为，解得，即可求解数列的通项公式. （2）由（1）知，，又因为，所以，进求解的值.试题解析：（1）设数列的公比为，由条件可知成等差数列，所以，解得或，因为，所以，所以数列的通项公式为 .（2）由（1）知，，因为，所以，所以，所以.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式和数列中和的关系的应用，其中解答中涉及到等比数列中基本量的运算，以及数列和的关系求解数列的通项等知识点综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中注意数列和的关系的应用是解答的关键.22. 定义在上的函数同时满足以下条件：①在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③在处的切线与直线垂直.（1）取函数的解析式；（2）设，若存在实数，使，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）根据在上是减函数，在上增函数，得，根据是偶数可求出，最后根据在处的切线与直线垂直，建立关系式即可求解函数的解析式；（2）分类参数，令，则，再设，得到，进而得到函数的单调性和最值，即可求解实数的取值范围. 因为，所以，即在上递减，试题解析：（1），因为在上是减函数，在上增函数，所以，由是偶函数得，又在处的切线与直线垂直，所以 .解得，即.（2）由已知的存在实数，使，即存在，使，设，则，设，则，因为，所以，即在上递减，于是，即，即，所以在上递减，所以，故的取值范围为.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用到导数求解函数的极值与最值，同时考查了不等式的恒成立问题的求解，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中利用分离参数，构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键.。