层次分析法例题

专题：层次分析法

一般情况下，物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价。如 果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价系统 方案的优劣，显然是十分困难的。尤其是物流系统的社会经济评价很难作 出精确的定量分析。

层次分析法(Analytical Hierarchy Process)由美国著名运筹学家萨 蒂(T.

L. Saaty )于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、 实用的定性分析与

定量分析相结合的系统分析与评价的方法。目前，该方 法在国内已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评 匕地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择 及评比等方面。它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、 实用的决策方法。

♦层次分析法的基本原理

人们在日常生活中经常

要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的

物品。 这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。假设有 量用w, W 2, 它们的重量， 比矩阵A 。

由上式可知，n 是A 的特征值，

阵A 的唯一非零解，也是最大的特征值。这就提示我们，可以利用求物品重 量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量 W 从而确定最 重的物品。

将上述n 个物品代表n 个指标(要素)，物品的重量向量就表示各指标(要

Z Wj …iVj /

7门勺

AW^

1忙2 / "i HS / US …

啊

2 /

・■* ・・■ ■■・

I ■-

叫

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/ US …Hl/W"

■ ■

如果用物品重量向量W[W|,

n 个物品，其真实

重 …W n 表示。要想知道W|, W,…Wn 的值，最简单的就是用秤称出 但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量 /叭

…Wn ]T

右乘矩阵A,则有:

w , V 是A 的特征向量。根据矩阵理论，n 是矩

素)的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判 断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。依此类推，如果

n 个

物品代表n 个方案，按照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。

♦应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：

(1) 将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结 构模型(目标层、判断层、方案层)。

(2) 标度及描述。同一层次任意两因素进行重要性比较时，对它们的 重要性之比做出判断，给予量化。

(3) 对同属一层次的各要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根 据评价尺度确定其相对重要度，据此构建判断矩阵A 。

(4) 计算判断矩阵的特征向量，以此确定各层要素的相对重要度(权 重)。 (5) 最后通过综合重要度(权重)的计算，按照最大权重原则，确定 最优方案。

★例题:

某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可

维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对

3个不同品牌的设备进

行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其 层次结构如下图所示。以A 表示系统的总目标，判断层中B i 表示功能，B 2表 示价格，B 3表示可维护性。C i ， 解题步骤:

1、标度及描述

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，

要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，

可以取两个相 邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1〜9比率标度方法，规定用1、3、5、

即同样重要、稍微重

C 2 , C 3表示备选的 3种品牌的设备。

目标层

判断层

方案层

图设备采购层次结构图

7、9分别表示根据经验判断，要素i 与要素j 相比：同样重要、稍微重要、 较强重要、

强烈重要、绝对重要，而 2、4、6、8表示上述两判断级之间的 折衷值。

注：a ij 表示要素i 与要素j 相对重要度之比，且有下述关系:

a ij =1/a ji ；a ii =1; i , j=1 , 2,…，n 显然，比值越大，则要素i 的重要度就越高。

2、构建判断矩阵A

判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模

型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：

B （即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要

C （相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示； C （相对

价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示； C （相对可维护性，各方案的相对重要性比较）如表4所

表1判断矩阵A B

表2判断矩阵B C

表3判断矩阵B 2-C

•判断矩阵A 性比较）如表1所示; •判断矩阵B i •判断矩阵B 2 •判断矩阵B 3

示。

表4判断矩阵

B

3

C

3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标

一般来讲，在AH 法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需 要较高的精

度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。

•求和法

1）将判断矩阵A 按列归一化（即列元素之和为1）： b ij = a ij 3 ….n ）

T

,W=c

•求根法

2,…,n )

——

W i

2)将 W i 归一化，得到 w

i

二;W (W, W 2,…W n

w i

i 1

向量的近似值；

3）求特征向量W 寸应的最大特征值:

兄^二丄y （沁）

（1）判断矩阵A B 的特征根、特征向量与一致性检验 ①计算矩阵A B 的特征向

量。

计算判断矩阵A B 各行元素的乘积M i ,并求其n 次方根，如

0.874 ,类似地有，W 2

V M 7 2.466 ,

[画，W , W n ]T 规范化，有

n

W

i 1

类似地有W 2 0.684 , W 3

0.122。所求得的特征向量即为:

ij

2） 将归一化的矩阵按行求和：C i = 2 b j （i=1 , 2,

3） 将C i 归一化：得到特征向量 W （W, W,…W n ） W 即为A 的特征向量的近似值；

4） 求特征向量W 寸应的最大特征值：

兄丄y （沁）

/ Ec i ,

1）计算判断矩阵A 每行元素乘积的n 次方根；W i

a

ij

1

(i =1,

）T 即为A 的特征

M 1 1 1

2

- 3

3

W 3

V M 7 0.464。对向量 W

W 0.874 W 1

0.874 2.466 0.464

0.230