2009年全国高中数学联赛试题及答案

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2009年全国高中数学联赛吉林省预赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛吉林省预赛2009年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨吉林省高中数学竞赛于2008年5月17日在吉林省各地区举行，有将近10000名来自全省各地区的选手参加了本次竞赛活动.本次吉林省高中数学竞赛试题所涉及的知识范围不超出现行的《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《高中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿）》中所规定的教学内容和基本要求，贴近高考但又高于高考，高考和竞赛兼顾，在内容和方法的要求上有所提高. 主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用基础知识的解决实际问题的能力. 试卷包括6道选择题，6道填空题和5道解答题. 全卷满分160分.竞赛活动时间是2009年5月17日（星期日）上午8：30—11：00，从竞赛成绩上，还是比较理想，全省最高分是145分，通过这次预赛，选出2000名选手参加决赛.试题一、选择题（每小题5分，共30分）1．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ).(A) 10项 (B) 11项 (C) 12项 (D) 13项2．若函数1(),4,()2(1),4,xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩ 则2(log 3)f =( ).(A) 238-(B) 111 (C) 119 (D) 1243．称横坐标为整数的点为“次整点”，过曲线y =倾斜角大于30的直线条数为（）.(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 154．现有一个正四面体与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，将它们重叠一个侧面后，所得的几何体是（）.(A) 四面体 (B) 五面体 (C) 六面体 (D) 七面体5．已知I 是ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===，若AI xAB yAC =+，则x y +的值为( ).(A) 13 (B) 23 (C) 49 (D) 596．数列{}n a 满足11a =11n a +=，记21nn i i S a ==∑，若2130n n t S S +-≤对任意的*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值为( ).(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 二、填空题（每小题5分，共30分）7．设1≥，则22x y += ．8．等式243x px x p +>+-对于一切04p ≤≤均成立，则实数x 的取值范围是． 9．将3个相同的白球、4个相同的红球、5个相同的黄球放入3个不同盒子中，允许有的盒子中球的颜色不全的不同放法共有种（要求用数字做答）．10．若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x =，22sin x c x=，则,,a b c 的大小关系为．11．2010的小数点后一位数字是．12．对空间中有6个点两两连线，用红、黄两种颜色对这些边染色，则同色三角形至少有个．三、解答题（每题２０分，共１００分）13.若,,(0,)a b c ∈+∞，求证：222222b c c a a b a b ca b c b c c a a b+++++≥+++++．14.定义在集合A上的函数()f x 满足：对任意的12,x x A ∈都有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称函数()f x 是A 上的凹函数. （1）试判断2()3f x x x =+是否是R 上的凹函数？（2）若函数2()f x mx x =+是R 上的凹函数，求实数m 的取值范围. 15.已知数列}{n a 中，01>a ，且231nn a a +=+．（1）试求1a 的取值范围，使得n n a a >+1对任何正整数n 都成立；（2）若41=a ，设)3,2,1(||1 =-=+n a a b n n n ，并以n S 表示数列}{n b 的前n 项的和，证明：25<n S ．１６.如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，有一个圆内切于ABC ∆的外接圆，且与AB 、AC分别相切于P 、Q ，求证：线段PQ 的中点O 是ABC ∆的内心.（第16题）１７.一个由空间中的点组成的集合S 满足性质：S 中任意两点之间的距离互不相同.假设S 中的点的坐标(,,)x y z 都是整数，并且1,,x y z n ≤≤，证明：集合S 的元素个数小于}6,3)2min{(n nn +.解答1． C 2． D 3． C 4．B5．B 提示：在ABC ∆中，I 为内心，连AI 并延长交BC 于D 点，则D 分BC 的比42.2AB AC λ=== 故12.33AD AB AC =+ 又3BC =，故2,1.B D D C ==又在ABD ∆中，I 分AD 的比 42,2AB BD λ'===即224,399AI AD AB AC ==+所以2.3x y +=6．A 提示：由已知221114n na a +-=，可求得21.43n a n =- 令21()n n g n S S +=-，得 22212223(1)()1110,418589n n n g n g n a a a n n n ++++-=--=-->+++ 即()g n 为减函数，得2114(1)4530n n t S S g +-≤=≤，所以283t ≥，则t 的最小值为10． 7． 1 提示：三角代换即可。

2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试一、填空题（本题满分56分，每小题8分）1. 已知数列{}n a 的前n项和234n S n n =++()*n ∈N ，则13521a a a a ++++=．2. 若集合{}31,A xx ax x =-=+∈R为空集，则实数a 的取值范围是．3. 设x 、y 为实数，21x y +≥，则二元函数2242u x x y y =++-的最小值是．4. 设1F 、2F 分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点，以12F F 为直径的圆交双曲线左支于A 、B 两点，且1120AF B ∠=︒. 双曲线的离心率的值介于整数k 与1k +之间，则k = ．5. 已知长方体1111A B C D A B C D -的体积为216，则四面体11AB CD 与四面体11A BC D的重叠部分的体积等于．6. 设[]x 表示不大于x的最大整数，则3333[log 1][log 2][log 3][log 258]++++=．7. 设方程21221221100n n n n n x a xax a x a +--------= 的根都是正数，且1a =()21n -+，则0a 的最大值是．8. 20091911⨯的方格棋盘的一条对角线穿过个棋盘格．二、解答题（本题满分14分）求函数()44sin tan cos cot f x x x x x =⋅+⋅的值域．三、解答题（本题满分15分）如图，抛物线22y x =及点()1,1P ，过点P 的不重合的直线1l 、2l 与此抛物线分别交于点A ，B，C ，D ．证明：A ，B ，C ，D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补．xy OPAC B D四、解答题（本题满分15分）设a ，b 是正数，且1a ≠，1b ≠，求证：()()55441125111164a b a b a b --⋅>++--．2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试题一、（本题满分50分）如图，在△ABC 中，D E ∥B C ，△A D E 的内切圆与D E 切于点M ，△ABC 的B C 边上的旁切圆切B C 于点N ，点P 是B E 与C D 的交点，求证M 、N 、P 三点共线.ABCDP E NM二、（本题满分50分）设k，n为给定的整数，2>≥. 对任意n元的数集P，作P的所有k元n k子集的元素和，记这些和组成的集合为Q，集合Q中元素个数是C，求Q C的最Q大值.三、（本题满分50分）设12222sn n n M =+++ ，12,,,s n n n 是互不相同的正整数，求证：()1222222212sn n n M M=+++<+.四、（本题满分50分）求满足下列条件的所有正整数x ，y ：（1）x 与1y -互素；（2）231x x y -+=.。

2009高联试题及答案

2009高联试题及答案2009年高中数学联赛试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 下列哪个选项是最小的正整数，使得对于任意的正整数n，都有2^n - 1能被这个数整除？A. 3B. 5C. 7D. 9E. 11答案：D2. 设a、b、c为实数，若a + b + c = 1，求证：(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≥ 8abc。

答案：根据均值不等式，我们有：1 - a = b + c ≥ 2√(bc)，同理，1 - b ≥ 2√(ac)，1 - c ≥ 2√(ab)。

因此，(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≥ 8abc。

3. 解答以下方程组：\[\begin{cases}x^2 - y^2 = 36 \\x^2 + y^2 = 100\end{cases}\]答案：将两个方程相加和相减，得到：\[\begin{cases}2x^2 = 136 \\2y^2 = 64\end{cases}\]解得x = ±√34, y = ±√32。

4. 一个圆的周长是20π，求这个圆的半径。

答案：周长公式为C = 2πr，所以r = C / (2π) = 20π /(2π) = 10。

5. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，求这个长方体的对角线长度。

答案：使用勾股定理，对角线长度 d = √(l² + w² + h²) =√(8² + 6² + 5²) = √149。

6. 一个数列的前三项为1, 2, 4，且每一项都是前三项的算术平均数，求这个数列的第四项。

答案：第四项 a_n = (a_(n-1) + a_(n-2) + a_(n-3)) / 3 = (2+ 4 + 1) / 3 = 3。

7. 一个等差数列的前三项和为24，且第二项与第三项的和为20，求这个数列的首项。

答案：设首项为 a，公差为 d，则有：3a + 3d = 24，a + d + (a + 2d) = 20。

2009年全国高中数学联赛试题及答案

全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 .一试一、填空（每小题 7 分，共 56 分）1．若函数 f x x x 2 且 f( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．1 n2．已知直线 L : x y9 0 和圆M : 2 x 2 2 y 2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为圆 M 上两点，在 ABC 中， BAC 45 ， AB 过圆心 M ，则点 A 横坐标范围为．y≥ 0．在坐标平面上有两个区域 M 和 N ， M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由3y≤ 2 x不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数f t ．4．使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 1 3a 的值为．2 25．椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最a 2 b2小值为．6．若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是．第一行是前则最后一行的数是（可以用指数表示） 8．某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50 9∶10 9∶30 9∶50 概率 1 1 1 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题 1．（ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x 2 y 2 16 1交于不同两 x 2 y 2 12 点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量 4 12AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 162．（ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根，，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ，(Ⅰ )求数列a n的通项公式（用，表示）；(Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 a n的前 n 项和．43．（ 15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．加试一、填空（共 4 小题，每小题50 分，共 200 分）9．如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （AB ）的外接圆中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆于 P 点， I 为ABC 的内心，连接PI⑴求证： MP MT NP NT ；⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ，T ， B ），记上弧BC 、AC 的并延长交圆于 T ．AQC ，△QCB 的内心分别为 I1， I 2，P CN MI BAT Q1610．求证不等式：nk ln n ≤1，n1 ，2，⋯12k 1 k 1 211．设 k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥ k ，使得 C k m与 l 互素．16\-16。

2009年全国高中数学联赛试题及解答

x1 + x1 x2
x2 = k − =1 0
2

0
所以 x1 ， x2 同为正根，且 x1 x2 ，不合题意，舍去．
综上可得 k 0 或 k = 4 为所求．
11
7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）．
条．………14 分
11
2. （本小题 15 分）已知 p ， q (q 0) 是实数，方程 x2 − px + q = 0 有两个实根，，数列an 满足 a1 = p ， a2 = p2 − q ， an = pan−1 − qan−2 (n = 3，4 ， ) (Ⅰ)求数列an 的通项公式（用，表示）；
比为的等比数列．
数列bn 的首项为： b1 = a2 − a1 = p2 − q − p = ( + )2 − − ( + ) = 2 ． ( 所以 bn = 2 n−1 = n+1 ，即 an+1 − an = n+1 n = 1，2 ， ) ．所以 an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) ． ① 当 = p2 − 4q = 0 时， = 0 ， a1 = p = + = 2 ， an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) 变为
(Ⅱ)若
p
=1
，
q
=
1 4
，求 an
的前
n
项和．

2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ．【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==， ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =故()()991110f =．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．【答案】 2009【解析】设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】 22222a ba b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）【答案】 27 【解析】旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-．所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数y=【解析】函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9．如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=．由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =．又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10．求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >．事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+．则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．11．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o dk p ≡．即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由 11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．12．在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合 {}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表 ***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝． 4．已知3x＋19x －1＝13－31－x ，则实数x ＝．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．EBCD A BCD APQ R(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝．填0．解：由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1，∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋π⇒α＋β＝2(k ＋l )π＋π2(k ，l ∈Z )．∴ cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝．填11．解：设公差为d ，则得55＝－5×11＋12×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2．a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11． 3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝．填－1＋52．解：由(2b )2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52． 4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x ，则实数x ＝．填1．解：即13x －1＝3x3(3x －1)⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x ＝1．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为．填14．解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝118V ABCD ；又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝418V ABCD ．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点．BCDAPQ R M NR Q PA DCB由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CP PB ＝12，故BMMD ＝4．在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点．由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝14．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，4]．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则 xy ＝300，V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy ) ≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．∴ 至少可以存水78000cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝．填－252．解：设|→AO |＝|→BO |＝|→OC |＝R ．则→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC )·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→AO ＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝12(2R sin B )2－12(2R sin C )2＝12(122－132)＝－252．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为．填2008＋2．解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2＝－2，a 2006＝2＋2，a 2005＝2．一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－2a n ＋1，则a n －1＝a n ＋1－2a n ＋1－1，a n －2＝22－a n ＋1，a n －3＝an＋1，故a n －4＝a n ．于是，Σk ＝12009a n＝502(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a2009＝502(a 2005＋a 2006＋a 2007＋a 2008)＋a 2009＝2008＋2．B10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝．填0，3－12，3－1．解：若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不可能，故a ≥0．于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)⇒a 2－2a －2＜0⇒0≤a ＜1＋3⇒a ＝0，1，2． a ＝0时，b ＝0；a ＝1时，2b 2＋2b －1＝0⇒b ＝3－12； a ＝2时，b 2＋2b －2＝0⇒b ＝3－1．说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[x ]2＝2{x }x ．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．解：取方程组⎩⎨⎧4x 2＋9y 2＝36，x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0．此方程的解为y ＝2，y ＝1425．即得B (0，2)，A (－7225，1425)，又左焦点F 1(－5，0)．连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形．得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C (－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75)．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．解：AD AC ＝ACAB⇒△ACD ∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．∴ CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．∴ cos A ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC ·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116．∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9⇒BC ＝21．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：显然k ＞0．(x ＋y )2≤k 2(2x ＋y )⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞EBCDA0恒成立．令t ＝xy＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立．当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．此时当t ＝12k 2－1时，f (t )取得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2－1＝2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1．当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立． ∴ k ∈[62，＋∞)．解法二：显然k ＞0，故k 2≥(x ＋y )22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y2x ＋y ．令t ＝x y ＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2＋1＝12(1＋4t ＋12t 2＋1)．令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s (u )＝8uu 2－2u ＋9的最大值．s (u )＝8u ＋9u－2≤82u ·9u －2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝32．∴k 2≥32，即k ≥62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．又：令s (t )＝4t ＋12t 2＋1，则s '(t )＝8t 2＋4－4t (4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2，t ＞0时有驻点t ＝12．且在0＜t ＜12时，s '(t )＞0，在t ＞12时，s '(t )＜0，即s (t )在t ＝12时取得最大值2，此时有k 2≥12(1＋s (12))＝32．解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y )2≤(12＋1)(2x ＋y )．即(x ＋y )≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立．当k ＜62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立．而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤622x ＋y ≤k 2x ＋y ，故不等式恒成立．∴ k ∈[62，＋∞)． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．解：对于任意n ∈N *，n 2≡0，1(mod 4)．设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此时，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数；②若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是a≡/b(mod 4)且a与b均不能被4整除．⑴由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．。

2009全国高中数学联赛浙江省预赛试卷及参考答案

2009年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分） 1. 已知集合{1,2}M =，{21}N a M a =-∈，则M N ⋂＝（）。

A ．{}1 B ．{}2,1 C ．{}3,2,1 D ．空集2. 已知椭圆192522=+y x 上一点P 到点（4, 0）距离等于4，则P 点到直线425-=x 的距离为（）。

A ．4B ． 6C ．152 D ．543. 等差数列{}n a 中，01>a ，13853a a =，则部分和n S 中最大的是（） A ． 10S B ． 11S C ． 20S D ． 21S4. 已知平面上单位向量51243(,),(,)131355a b ==，则下列关系式正确的是（）A ． a b ⊥ B. ()()a b a b +⊥- C. ()//()a b a b +- D.()a a b ⊥+ 5. 方程3120x x a -+=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（）A. ()16,16-B. []16,16-C. (),8-∞-D. ()8,+∞6. 设,,x y r R ∈lg()x y +有意义的动点(,)x y 形成的图形（）A. 关于x 轴对称，B. 关于y 轴对称，C. 关于直线y x =对称 D. 关于直线y x =-对称。

8. “函数f(x)在[0, 1]上单调”是“函数f(x)在[0, 1]上有最大值”的（）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件9.已知立体的三视图如下，问该立体的体积为（）A ． 1B ．21 C ． 31 D ． 61 二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共计49分）12．直线y b =与函数2|43|y x x =-+的图像至少有三个公共点，则实数b 的取值范围为。

13．对任意正整数n ，数列{}n a 满足13ni i a n ==∑，则2009211i i a ==-∑ 。

2009年全国高中数学联赛试题参考答案及评分标准

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1．若函数()f x =且()()()n nfx f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f=．【答案】 110【解析】 ()()()1fx fx ==，()()()2fx f fx ==⎡⎤⎣⎦……()()99fx =．故()()991110f=．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在A B C ∆中，45B A C ∠=︒，A B 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线A C 的距离sin 45dA M =︒，由直线A C 与圆M 相交，得2d ≤解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y xy x⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212tt -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积A OB OCD BE FS S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为．【答案】 2009 【解析】设()1111221fn n n n =++++++ ．显然()fn 单调递减，则由()fn 的最大值()1120073f a <-，可得2009a=．5．椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OPOQ⊥，则乘积O PO Q⋅的最小值为．【答案】22222a ba b+【解析】设()c o s s in P O P O P θθ，，ππc o s s in22Q O Q O Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221c o s s in abO P θθ=+① 222221s in c o s abO Qθθ=+②①+②得22221111abO PO Q+=+．于是当O PO Q ==时，O PO Q达到最小值22222a ba b+．6．若方程()lg 2lg 1k x x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】 0k<或4k= 【解析】 ()20101k x x k x x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+= ③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-±⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k<时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ． (ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112k x =-=．(ⅲ)当4k>时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k<或4k=为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n nn n n a a a a-----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】 27 【解析】旅候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l ykx m=+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612xy+=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412xy-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0A CB D +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y k x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkm x m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834km x x k+=-+()()()222184344480km km∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y k x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkm x m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223km x x k+=-()()()2222243120km km∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为A CB D +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km km kk-=+-．所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k=或0m=．当0k=时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当m =，由①和②得k <<k 是整数，所以1k=-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q≠是实数，方程20x p x q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p=，22a p q=-，()1234n n n a p a q a n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p=，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以()1212n n n n n a p x q x a a αβαβ------=+-，()345n=，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1nn nb a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a pq p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n=，，．所以11n n n a a βα++=+()12n=，，．①当240p q ∆=-=时，αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n=，，变为11n n n a a αα++=+()12n=，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………………………………………………………5分 ②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n=，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n=，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n na αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn nn a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n nn n s -+=+++++ 234112341222222n n nn s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n nn s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212nna A A n nα=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得121A A ==．故()1nn a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212nnn a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数y =的最大和最小值．【解析】函数的定义域为[]013，.因为y =≥ =当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y=()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x=．故当9x=时等号成立．因此y的最大值为11． (15)分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9．如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 B C 、 A C 的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ∆的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：M P M T N P N T ⋅=⋅；⑵在弧 A B （不含点C ）上任取一点Q （Q A≠，T ，B ），记A Q C ∆，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连N I ，M I ．由于P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故P C M N 是等腰梯形．因此N P M C =，P M N C =．ABCMNPTI连A M ，C I ，则A M 与C I 交于I ，因为M IC M A C A C I M C B B C I M C I∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M CM I=．同理N C N I=．于是N P M I=，P M N I =．故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M TP N TS S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N PP M T ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2P M T S P M M T P M T=⋅∠△1s i n 2P N TS P N N T P NT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是P M M T P N N T⋅=⋅．⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1N CN I =，同理2M C M I =．由M P M T N P N T⋅=⋅得N T M T M PN P=．由⑴所证M PN C=，N PM C=，故12N T M T N I M I =．又因12I N T Q N T Q M T I M T∠=∠=∠=∠，有12I N T I M T∆∆∽．故12N T I M T I ∠=∠，从而1212I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10．求证不等式：2111ln 12nk k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…【解析】证明：首先证明一个不等式：⑴ln (1)1x x xx<+<+，0x>．事实上，令()ln (1)h x x x =-+，()ln (1)1x g x x x =+-+．则对0x>，1()101h x x'=->+，2211()1(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nnk k x nk==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x nn -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln (1))(ln (1)ln (2))(ln 2ln 1)ln 1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x kk -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k kk -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k kk-==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n=-+>-．11．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)mk t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡．及|!p k α，且1!pk α+Œ，知|!C kmpk α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)mk t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C kmp Œ．若|!pk ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)pk α+．故由11!C ()k km i k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C kmp k α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．12．在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x xx x x x xxx P xx x x xxxx x x xxxx x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k kkx x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得 ⑶{}123m in ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k=，则存在某个{}123i ∈，，使得02iix u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112m in x x ，，{}2122m in x x ，，{}3132m in x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222m in x x x =，，{}313232m in x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|m in 13ik i i I k Mx x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22m a x |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:m in m in i i i i i ik u x x xxx '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211m in k xx x u >，≥，{}*313233m in kx x x u >，≥．又由S满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k xu ≤，于是{}**2212222m in k k u x x x x'==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i iku x '≥．假若不然，则{}12m in ik i i x x x >，，1i =，3且*22kk x x>．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k kkx x x S x x x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，，⑷{}221222322m in u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x x x ==，，3231x x<．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111m in k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m in k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()m in k kb u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸ {}22122222m in k u x x x x ==，，，{}3313233m i n kku x x xx==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*iik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111kx x u >=， *3323kx x u >=．于是只能有*222kk xu x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222kk x u x '=≤．从而*k k=．。

2009年全国高中数学联合竞赛湖北省

2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分56分，每小题7分。

）1．已知复数m 满足11=+m m ，则=+200920081m m 0 ． 2．设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为3[2,2]4．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是88S a ． 4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且5102=+y x ，则=∠BAC cos 13． 5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则四面体1MNB O -的体积为748． 6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ⊆}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 1600 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y的最小值为1． 8．设p 是给定的正偶数，集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p p p 的所有元素的和是21122p p ---．二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。

）9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ．（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ；（2）证明：1111200921<+++a a a ．证明（1）在已知关系式)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+中，令n m =，可得00=a ；令0=n ，可得 m a a m m 242-= ①令2+=n m ，可得)(212242222n n n a a a a +=-+++ ② 由①得)1(24122+-=++n a a n n ，62412=-=a a ，)2(24242+-=++n a a n n ，n a a n n 242-=，代入②，化简得2212+-=++n n n a a a ． ------------------------------------------7分（2）由2212+-=++n n n a a a ，得2)()(112+-=-+++n n n n a a a a ，故数列}{1n n a a -+是首项为201=-a a ，公差为2的等差数列，因此221+=-+n a a n n ．于是∑∑==-+=+=+-=nk n k k k n n n k a a aa 1101)1(0)2()(．因为)1(111)1(11≥+-=+=n n n n n a n ，所以 1201011)2010120091()3121()211(111200921<-=-++-+-=+++ a a a ． ------------------------------------------14分10．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．解令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x ．先考虑不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解．1,2,3≥≥≥z y x ，123215≤--=∴y x z ，21≤≤∴z ．----------------------------------5分当1=z 时，有163=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)4,4(),3,7(),2,10(),(=y x ．当2=z 时，有113=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)2,5(),(=y x ．所以不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解为)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(=z y x ． ------------------------------------------10分又方程)3,(321≥∈=++x N x x x x x 的正整数解的组数为21x C -，方程y x x =+54)2,(≥∈x N y的正整数解的组数为11C -y ，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为81693036C C C C C C C C 1124132312261129=+++=+++． ------------------------------------------15分11．已知抛物线C ：221x y =与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点．(1)证明：直线AB 恒过定点Q ；(2)若点P 与（1）中的定点Q 的连线交抛物线C 于M ，N 两点，证明：QN QMPN PM=．证明 (1)设11(,)A x y ，则21121x y =．由221x y =得x y ='，所以11|x y x x ='=．于是抛物线C 在A 点处的切线方程为)(111x x x y y -=-，即11y x x y -=．设)1,(00-kx x P ，则有11001y x x kx -=-．设22(,)B x y ，同理有22001y x x kx -=-．所以AB 的方程为y x x kx -=-001，即0)1()(0=---y k x x ，所以直线AB 恒过定点)1,(k Q ． ------------------------------------------7分(2)PQ 的方程为002()1kx y x k x k-=-+-，与抛物线方程221x y =联立，消去y ，得 02)22(42002002=---+---k x k x k x k x kx x ．设),(33y x M ，),(44y x N ，则kx k x k x x k x kx x x ---=--=+0024300432)22(,42 ① 要证QN QMPN PM=，只需证明kx x k x x x x --=--430403，即 02))((2043043=+++-kx x x x k x x ②由①知，②式左边=0000002242)(4)22(2kx kx kx x k k x k x k +--+---- 0)(2)42)((4)22(20000002=--+-+---=kx k x kx kx x k k x k ．故②式成立，从而结论成立． ------------------------------------------15分12．设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：22222)(4b a ad d c c b b a -+≥+++．证明因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明dc b a b ad c b a a d d c c b b a +++-++++≥+++22222)(4 ① ----------------5分事实上，)(2222d c b a ad d c c b b a +++-+++ )2()2()2()2(2222d a ad c d d c b c c b a b b a -++-++-++-+= 2222)(1)(1)(1)(1a d ad c d c b c b a b -+-+-+-=②----------------10分由柯西不等式知 2222()()()()[]()a b b c c d d a a b c d b c d a----++++++ 2|)||||||(|a d d c c b b a -+-+-+-≥ ③----------------15分又由||||||||a b a d d c c b -≥-+-+-知22)(4|)||||||(|b a a d d c c b b a -≥-+-+-+- ④由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立． ------------------------------------20分。

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

(2)
若
p = 1, q
=
1 ，求 4
{an}
的前
n
项和.
解答
(1) 由于 α + β = p, αβ = q，则 an = (α + β)an−1 − αβan−2
⇒ an − αan−1 = β(an−1 − αan−2) ⇒ {an+1 − αan} 是公比为 β 的等比数列.
且 a2 − αa1 = (α + β)2 − αβ − α(ßα +™β) = β2 ⇒ an+1 − αan = βn+1.
β
β −
α
⇒
ß an
−
βn+1 ™ β−α
是公比为
α
的等比数列.
α 1−
β
β n+1
此时
a1
=
α
+
β
=
β2 β
− −
α2 α
⇒
a1
−
β
β2 −α
=
α2 −
β−α
⇒
an
β n+1 −
β − α
=
αn+1 −
β−α
⇒
an
=
β n+1 β
− −
αn+1 α
=
αn+1 α
− −
βn+1 . β
(2)
由
α + β αβ =
为等腰直角三角形，且 |OB| = t, |CF | = 2 − (t + 1)
=
1
− t，于是
S△OAB
+
S△DCF

2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。

2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2）（1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3）对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。

2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答[1]

2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题一、填空题（每小题6分，共60分）1．已知向量(2cos()1)2OP x π=+-，，(sin()cos 2)2OQ x x π=--，，()f x OP OQ =⋅. 若a 、b 、c 分别是锐角ABC △中角A 、B 、C 的对边，且满足()1f A =，5b c +=+a =则ABC △的面积S = .2．设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a =__ _____.3．已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和数为48和51，则这5个数中最大的数等于 .4．一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使AS AB =，C 为半圆上一个动点，M N 、分别为A 在SB SC 、上的射影. 当三棱锥S AMN -的体积最大时，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是 .5．若定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，且当01x <≤时，3()log f x x =，则方程1()(0)3f x f =-+在区间(010，内的所有实根之和为 .6．平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：4520x y +=与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，直线2l 与线段A B O A 、分别交于点C D 、，且平分△AOB 的面积，则2CD 的最小值为 .7．若对于任意的实数x ，函数2()2124f x x x x a x =------+的值都是非负实数，则实数a 的最大值为 .8．集合{}1232009，，，，的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 9．方程[]92xx =的实数解是 . （其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 10．满足020i k ≤≤，1234i =，，，，且1324k k k k +=+的有序整数组1234()k k k k ，，，的个数为 .二、解答题（每小题20分，满分100分） 11．已知1()31ax f x x +=-，方程()48f x x =-+有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍. 等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，且()nnS f n T =（1n =，2，3，…）. （1）设()nna g nb =（1n =，2，3，…），求()g n 的最大值；（2）若152a =，数列{}n b 的公差为3，探究在数列{}n a 与{}n b 中是否存在相等的项. 若有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列{}n c 的通项公式；若没有，请说明理由.12．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点坐标为(20)F ，，点P 的坐标为(0)m ，（0m ≠）. （1）设过点P 斜率为1的直线1l 交抛物线C 于A 、B 两点，若0m <，P 关于原点的对称点为Q . 求QAB △面积的最大值.（2）设过点P 斜率为k （0k ≠）的直线2l 交抛物线C 于M 、N 两点，在x 轴上是否存在一点T ，使得TM 、TN 与x 轴所成的锐角相等？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.13．如图，O ⊙与线段AB 相切于点M ，与以AB 为直径的半圆相切于点E . CD AB ⊥于点D ，CD 与以AB 为直径的半圆交于点C ，且与O ⊙相切于点F ，连接AC 、CM . 求证：（1）A 、F 、E 三点共线；（2）AC AM =；（3）22MC MD MA =⨯.（第13题） 14．设{}11122010i x i ∈=，，，，. 令123420092010S x x x x x x =+++.（1）S 能否等于2010？证明你的结论；（2）S 能取到多少个不同的整数值？15．已知正实数a 、b 、c 满足3a b c ++≤. 求证：（1）111331112a b c >++≥+++；（2）1112(2)(2)(2)a b c a a b b c c +++++≥+++.BA解答1. 由条件知()2cos()sin()cos 2222sin cos cos 2),4f x OP OQx x xx x x x πππ=⋅=-+--=-=-所以)14A π-=，sin(2)4A π-=.又因为A 为锐角，32444A πππ-<-<，因此244A ππ-=，4A π=. 因为5b c +=+a =222132cos ()22cos b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即1343(2bc =+.所以bc =ABC △的面积1115sin 2222S bc A ==⨯=.2. 由1a <-及2x ax x +≤-，得0(1)x a ≤≤-+. 设222()()24a a f x x ax x =+=+-.若(1)2aa ->-+，即21a -<<-，则()f x 在(1)x a =-+处取最小值(1)1f a a --=+，因此112a +=-，32a =-.若(1)2a a -≤-+，即2a ≤-，则()f x 在2a x =-处取最小值24a -，因此2142a -=-，a =（舍去）.综上可知32a =-.3. 设这5个数为a b c d e <<<<，则32364851a b a c c e d e +=+=+=+=，，，，下面说明37b c +=.因为437c b d c d b -=-=-=，，，所以()()39a d a b d b +=++-=，故 37b c +=. 所以2()()()31a a b a c b c =+++-+=，故 15.516.520.527.523.5a b c e d =====，，，，，即最大的数为27.5. 4. 易知BC SAC ⊥面，所以BC AN ⊥，从而AN SBC ⊥面.所以AN SM ⊥，因此SM AMN ⊥面，13S AMN ANM V SM S -=⋅⋅△.由2SA AB ==，得AM SM ==，而AN NM ⊥，AMN △为斜边长为形，面积最大在1AN MN ==时取到.所以，当三棱锥S AMN -的体积最大时，1AN MN ==，此时，60SCA ∠=︒，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是. 5. 函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，以及(f x ）奇函数知， (2)()()f x f x f x +=-=-，因此(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，4是它的一个周期.由()f x 是定义在R 上的奇函数，知(0)0f =，方程1()(0)3f x f =-+化为1()3f x =-.结合图象可知，1()3f x =-在(01)，、(12)，内各有一个实根，且这两根之和为2；1()3f x =-在(45)，、(56)，内各有一个实根，且这两根之和为10；1()3f x =-在(89)，、(910)，内各有一个实根，且这两根之和为18.所以，方程1()(0)3f x f =-+在区间(010)，内有6个不同的实根，这6个实根之和为30.6. 由条件知，5OA =，4OB =，AB =设BAO θ∠=，则cosθ=. 由2AOB ACD S S =△△，得122AC AD AB AO ⋅=⋅=. 由余弦定理，得2222cos 22cos 25CD AD AC AD AC AD AC AD AC θθ=+-⋅⋅⋅≥⋅-⋅⋅=.当AD AC =时等号成立. 所以，2CD的最小值为25.7. 由条件知(0)120(1)20f a f a ⎧=-++≥⎪⎨=-+≥⎪⎩，解得21a -≤≤.当2a =-时，2()2124f x x x x x =--+--+，即2223,1,()21,12,45, 2.x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎩，易知对于任意的实数x ，()f x 的值都是非负实数，因此，2a =-符合要求.所以，实数a 的最小值为2-. 8. 方法一令232009()(1)(1)(1)(1)f x x x x x =++++，则问题中要求的答案为()f x 的展开式中，x 的奇次项的系数和. 故所求的答案为20092008(1)(1)20222f f ---==.方法二对集合{}1232009，，，，的不含2009的子集A 讨论，若A 的各数之和为偶数则补入2009，否则不补，故共有20082个元素和为奇数的非空子集.9. 显然0x >. 若3x ≥，则[]3x ≥，从而[]393272xx ≥=>. 若02x <<，则[]02x ≤<，从而[]29242xx <=<. 所以23x ≤<，于是[]2x =，故292x =，所以x = 10. 当020m ≤≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()0x y j m j j m =-≤≤，，，，共1m +组. 当2040m <≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()x y j m j =-，，，2020m j -≤≤，共401m -+组.所以，满足1324k k k k +=+的解共有20402220211(1)(401)22021412161816m m m m ==++-+=⨯⨯⨯⨯+=∑∑. 11. （1）由()48f x x =-+得，14831ax x x +=-+-，整理得212(28)90x a x --+=①设1x 、2x 是方程①的两根，且213x x =，则1212121284,1293.12a x x x x x x -⎧+==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩ 所以 112x =，4a =，41()31x f x x +=-. 因为41()31n n S n f n T n +==-，所以 21214(21)18347()3(21)16433(64)n n n n S a n n g n b T n n n ---+-=====+----. 所以 1n =时，()g n 取最大值52. （2）由（1）知，1152a b =，22138a b =，结合152a =，数列{}n b 的公差为3，知11b =，24b =，2132a =，所以 5834(1)22n n a n -=+-=， 13(1)32n b n n =+-=-.若在数列{}n a 与{}n b 中存在相等的项，设m k a b =（m 、k 为正整数），则83322m k -=-. 整理得681k m -=. 由于68k m -为偶数，而1为奇数，故上述方程无正整数解.所以，在数列{}n a 与{}n b 中不存在相等的项.13.（1）由条件知，抛物线C 的方程为28y x =，直线1l 的方程为y x m =-，点Q 的坐标为(0)m -，. 由28y x m y x=-⎧⎨=⎩，得222(4)0x m x m -++=. ①由①0>△，得2m >-. 设11()A x y ，、22()B x y ，，则122(4)x x m +=+，212x x m =，12AB x x =-==又因为点(0)Q m -，到直线1l的距离d m =，所以QAB △的面积12S m=⋅其中20m-<<.记32()2f m m m=+，则2()34f m m m'=+. 所以，当423m-<<-时，()0f m'>；当43m-<<时，()0f m'<.所以，()f m在区间423⎛⎤--⎥⎝⎦，上为增函数，在区间43⎡⎫⎪⎢⎣⎭－，上为减函数. 所以43m=-时，()f m取最大值3227.因此，QAB△面积的最大值为9.（2）2l方程为()y k x m=-. 由2()8y k x my x=-⎧⎨=⎩，得222222(4)0k x mk x k m-++=. ②设33()M x y，、44()N x y，，则234228mkx xk++=，234x x m=.设点T存在，其坐标为(0)t，. 由TM、TN与x轴所成的锐角相等知，0T M T Nk k+=，即3434y yx t x t+=--，即3434()()k x m k x mx t x t--+=--，34342()()20x x m t x x mt-+++=.所以222282()20mkm m t mtk+-+⋅+=，t m=-.因此，符合条件的点T存在，其坐标为(0)m-，.13.（1）如图，设AB中点为P，由条件知P⊙与O⊙内切于E，故P，O，E三点共线.连接FO，由CD AB⊥，CD切O⊙于点F，知CD OF⊥，FO AP∥，EOF EPA∠=∠. 因为OE OF=，PE PA=，所以OEF PEA∠=∠，A、F、E三点共线.（2）在O⊙中，由切割线定理知，2AM AF AE=⨯. 连接EB，由于AE EB⊥，因此E，F、D、B四点共圆，AD AB AF AE⨯⨯＝. 连接BC，则AC CB⊥，因此，22AC AD AB AF AE AM =⨯=⨯=.所以 AC AM =.（3）延长MA 至点R ，使得AR AM =. 连接CR ，由（2）中AC AM =知，RC CM ⊥. 所以22MC MD MR MD MA =⨯=⨯.14.（1）因为221)31)311)1=-=+=，所以{}212331i i x x -∈-+.设和式S 中有a个3+b个3-，c 个1，则a ，b ，c 是非负整数，且1005a b c ++=.10052121(3(333)i ii S xx a b c a b c a b -===++-+=+++-∑，若2010S =，则a b =，此时66(1005)41005S a c a a a a =+=+--=+是一个奇数. 所以S 不可能等于2010.（2）由（1）可知，若S 是整数，则a b =，41005S a =+. 由于21005a b c a c ++=+=，0502a ≤≤，所以，S 可以取到503个不同的整数值.15.（1）由a 、b 、c 为正数知，111a <+，111b <+，111c <+，1113111a b c ++<+++. 由平均不等式得，[]111()(1)(1)(1)9111a b c a b c +++++++≥+++. 所以 03a b c <++≤，111993111(1)(1)(1)332a b c a b c ++≥≥=+++++++++.B（2）由（1）以及平均不等式得111(2)(2)(2)9(2)(2)(2)111a b c a a b b c c a a b b c c a b c ++++++++≥++++++++ 9111(1)(1)(1)111a b c a b c =⎛⎫+++++-++ ⎪+++⎝⎭91116111a b c ≥⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭92362≥=-.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

09全国高中那个数学联赛二试试题答案

2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）1．如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 B C 、 A C 的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ∆的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：M P M T N P N T ⋅=⋅；⑵在弧 A B （不含点C ）上任取一点Q （Q A≠，T ，B ），记A Q C ∆，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连N I ，M I ．由于P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故P C M N 是等腰梯形．因此N P M C =，P M N C =．ABCMNPTI连A M ，C I ，则A M 与C I 交于I ，因为M IC M A C A C I M C B B C I M C I∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M CM I=．同理N C N I=．于是N P M I=，P M N I =．故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M TP N TS S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N PP M T ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2P M T S P M M T P M T=⋅∠△1s i n 2P N TS P N N T P NT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是P M M T P N N T⋅=⋅．⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1N CN I =，同理2M C M I =．由M P M T N P N T⋅=⋅得N T M T M PN P=．由⑴所证M PN C=，N PM C=，故12N T M T N I M I =．又因12I N T Q N T Q M T I M T∠=∠=∠=∠，有12I N T I M T∆∆∽．故12N T I M T I ∠=∠，从而1212I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 2．求证不等式：2111ln 12nk k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…【解析】证明：首先证明一个不等式：⑴ln (1)1x x xx<+<+，0x>．事实上，令()ln (1)h x x x =-+，()ln (1)1x g x x x =+-+．则对0x>，1()101h x x'=->+，2211()1(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1xn=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nnk k x nk==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x nn -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln (1))(ln (1)ln (2))(ln 2ln 1)ln 1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x kk -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n kk n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k kk-==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n=-+>-．3．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)mk t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡．及|!p k α，且1!pk α+Œ，知|!C kmpk α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)mk t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C kmp Œ．若|!pk ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)pk α+．故由11!C ()k km i k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C kmp k α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．4．在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x xx x x x xxx P xx x x xxxx x x xxxx x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x xx S xx x x xx ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k kkx x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得 ⑶{}123m in ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k=，则存在某个{}123i ∈，，使得02iix u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112m in x x ，，{}2122m in x x ，，{}3132m in x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222m in x x x =，，{}313232m in x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|m in 13ik i i I k Mx x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22m a x |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:m in m in i i i i i ik u x x xxx '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211m in k xx x u >，≥，{}*313233m in kx x x u >，≥．又由S满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k xu ≤，于是{}**2212222m in k k u x x x x'==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i iku x '≥．假若不然，则{}12m in ik i i x x x >，，1i =，3且*22kk x x>．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k kkx x x S x x x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，，⑷{}221222322m in u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x x x ==，，3231x x<．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111m in k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m in k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()m in k kb u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸ {}22122222m in k u x x x x ==，，，{}3313233m i n kku x x xx==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111k x x u >=， *3323kx x u >=．于是只能有*222kk xu x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222kk x u x '=≤．从而*k k=．。

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全国高中数学联赛
全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括4道大题，其中一道平面几何题.
一试
一、填空（每小题7分，共56分）
1．若函数(
)f x =且()()()n n
f x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦
，则()()99
1f = ． 2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．
3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪
⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由
不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．
4．使不等式
1111
200712
213
a n n n +++
<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．
5．椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最
小值为．
6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．
7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）
8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随
一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题
1．（14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆22
11612
x y +=交于不同两
点A ，B ，与双曲线22
1412
x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量
0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
2．（15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，
，
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，1
4
q =
，求{}n a 的前n 项和．
3．（15
分）求函数y =的最大和最小值．
加试
一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）
9．如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．
⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；
⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，
B
求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．
10．求证不等式：
2111ln 12n k k n k =⎛⎫
-<- ⎪+⎝⎭
∑≤，1n =，2，…
11．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．
\。

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