5-2概率统计经典讲义

0.2
0.2
1 (2.5) 1 0.9930 0.0062
(2) P{ X 14} P{ X 14 14 14}
0.2
0.2
1 P{ X 14 0} 1 (0) 0.2
1 0.5 0.5
例２ 某单位有200部电话分机,每部电话约有5% 的时间要使用外线通话.设每部电话是否使用外线 通话是相互独立的.求该单位总机至少需要安装多 少条外线才能以90%以上的概率保证每部电话需 要使用外线时可以打通?
E(Xi)=14, D(Xi)=4, i=1,2, ,100.
每箱产品的平均强度为
1 n
n i 1
Xi
X
X =
X 14 =Leabharlann BaiduX 14
2
0.2
近似
~
N (0,1)
n
100
(1) P{ X 14.5} P{ X 14 14.5 14}
0.2
0.2
P{ X 14 2.5} 1 P{ X 14 2.5}
在概率论中，习惯于把和的分布收敛 于正态分布这一类定理都叫做中心极限定 理.
我们只讨论几种简单情形.
下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理，也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
定理1（独立同分布下的中心极限定理）
设X1,X2, …是独立同分布的r.v.序列， 且
E(Xi)= ，D(Xi)= 2，i=1,2,…
观察表明，如果一个量是由大量相互独 立的随机因素的影响所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一 般都服从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是 什么呢？
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑 它的标准化的随机变量
定理2（Liapunov中心极限定理）
设X1,X2, …是相互独立的r.v.序列，且
E(Xi)=μi ，D(Xi)= σi2，i=1,2,…
记
n
Bn2
2 i
i 1
若存在δ >0，使得
1
Bn2
n
E{ Xi i 2 } 0 (n )
i 1
则
n
n
Xi i
x
lim P{ i1
i1 x}
它们的和就近似地服从正态分布.
定理3 (De Moive－ Laplace定理)
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的
二项分布，则对任意x，有
lim P{ Yn np
x
x}
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2
定理3表明，当n很大，0<p<1是一个定 值时（或者说，np(1-p)也不太小时），服从 二项分布的r.v.Yn近似服从正态分布:
N(np,np(1-p))
证： 因为Yn~b(n,p)，故有： Yn=X1+X2+…+Xn
其中Xi ~ b(1,p) (i=1,2, …,n)，且相互独立. 而E(Xi)=p, D(Xi) =p(1-p)(i=1,2, …,n).
于是由Levy－Lindberg定理有:
lim P{ Yn np x} n np(1 p)
n
Bn
-
1 e-t2 2dt
2
定理2表明，当n充分大时，
n
n
Xi i 近似
Zn i1
i 1
Bn
~ N (0,1)
n
n
近似
n
Xi BnZn i ~ N ( i , Bn2 )
i 1
i 1
i 1
即，无论各个r.v.Xi (i=1,2, …)服从什么分 布，只要满足定理2的条件，当n很大时，
§2 中心极限定理
一、中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随
机因素所产生的总的影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就 受着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差， 空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见.
lim
P
n
n k 1
Xk
np
x
x
np(1 p)
1
t2
e 2 dt
2
例1 设一批产品的强度服从期望为14,方差为4 的分布.每箱中装有这种产品100件.求: (1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率; (2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率.
解: n=100,设Xi是第i件产品的强度.
解:令
Xi
1, 0,
第i部电话使用外线通话; 第i部电话未使用外线通话.
则 Xi ∼ b(1, 5%)，且X1,X2 , ,X200相互独立.
设该单位总机安装k条外线,则:
P{每部电话需要使用外线时可以打通} =P{使用外线的电话数目≤k} =P{X1+X2++X200 ≤k}
200
P{0 X i k } i 1
( k 10 ) ( 10 ) 0.9
9.5
9.5
Q ( 10 ) 0 求解( k 10 ) 0.9
9.5
9.5
查附表二 k 10 1.282 k 13.95 9.5
∴该单位总机至少需要安装14条外线.
例３ 某市保险公司开办一年人身保险业务.被保
n
n
Xk E( Xk )
Zn k1
k 1 n
D( Xk )
k 1
的分布函数的极限.
n
n
Xk E( Xk )
考虑 Zn k1
k 1 n
的分布函数的极限.
D( Xk )
k 1
可以证明，若满足一定的条件，则上述极 限分布是标准正态分布.
这就是下面要介绍的
中心极限定理
二、三个常用的中心极限定理
则
n
Xi n
lim P{ i1
x}
x
n
n
-
1 e-t2 2dt ( x)
2
定理1表明，当n充分大时，n个具有期望和方 差的独立同分布r.v.之和近似服从正态分布.
n
Xi n 近似
i 1
~ N (0,1)
n
1
n
n i 1
Xi
X
近似
~
/ n / n
N (0,1)
近似
X ~ N(, 2 / n)
P{
n
0 np
X i np
i 1
np(1 p)
np(1 p)
k np }
np(1 p)
n
P{ 10
i 1
Xi
10
k
10 }
9.5
9.5
9.5
( k 10 ) ( 10 )
9.5
9.5
求最小的k,使
P{每部电话需要使用外线时可以打通}≥90%
求最小的k,使P{X1+X2++X200 ≤k}≥90% 求最小的k,使