4.2常系数线性微分方程的解法
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常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
第四章__§4.2_常系数线性微分方程的解法.
§4.2 常系数线性微分方程的解法
一 复值函数与复值解
二 常系数齐次方程与欧拉方程 三 非齐线性方程与比较系数法 四 质点振动（了解）
一、复值函数与复值解
1、复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍 求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）. 说明： 一阶常系数齐线性方程
x ax 0 有通解 x ce ; t 有通解 x x 0 x ce .
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：
其中，是待定常数, 可实也可复.
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
若 (t )与 (t )在a t b上可微, 则称z (t )在 a t b上可微, 且z (t )的导数为
z ' (t ) ' (t ) i ' (t )
复值函数的求导法则与实函数求导法则相同
e 2 t e n t
易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：
e 1t
W [e , e ,, e ]
1t 2t nt
1e
1t
2 e
2 t
n e
n t
n 1 1t 1 e
1 2t n 1 n t n e 2 n e
1
把它代入方程(4.19)得
xe ,
t
(4.20)
L[e ] ( a1
n
t
n1
an1 an )e 0
一 复值函数与复值解
二 常系数齐次方程与欧拉方程 三 非齐线性方程与比较系数法 四 质点振动（了解）
一、复值函数与复值解
1、复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍 求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）. 说明： 一阶常系数齐线性方程
x ax 0 有通解 x ce ; t 有通解 x x 0 x ce .
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：
其中，是待定常数, 可实也可复.
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
若 (t )与 (t )在a t b上可微, 则称z (t )在 a t b上可微, 且z (t )的导数为
z ' (t ) ' (t ) i ' (t )
复值函数的求导法则与实函数求导法则相同
e 2 t e n t
易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：
e 1t
W [e , e ,, e ]
1t 2t nt
1e
1t
2 e
2 t
n e
n t
n 1 1t 1 e
1 2t n 1 n t n e 2 n e
1
把它代入方程(4.19)得
xe ,
t
(4.20)
L[e ] ( a1
n
t
n1
an1 an )e 0
常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法
█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)
常微分方程4.2
（4.23） 其中仍为常数，而相应的特征方程为
（4.24） 直接计算易得 因此 从而 ，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就 化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程 （4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19） 有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解 特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解 特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32） 的求解问题，这里是常数，而为连续函数。 （一）比较系数法 类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时， 取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 （1）如果，则此时 现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程 （4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：
（4.24） 直接计算易得 因此 从而 ，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就 化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程 （4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19） 有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解 特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解 特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32） 的求解问题，这里是常数，而为连续函数。 （一）比较系数法 类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时， 取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 （1）如果，则此时 现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程 （4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：
4.2常系数线性微分方程的解法
4.2 常系数线性微分方程的解法
回忆
齐次线性微分方程
d nx d n 1 x a1 ( x) n 1 an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt
非齐次线性微分方程
d nx d n1x a1( x) n1 n dt dt
an (t ) x 0
因此，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解
决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一
般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方 程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求
解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化
为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方 程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特
z (t ) z (t 0 ) 如果 lim 极限存在，就称z(t)在 t 0 点有导数（可微）, t t0 t t0
dz(t 0 ) 且记此极限为 或者 z(t0 ) 。 dt
显然 z (t )在 t 0 处有导数相当于 (t ) ,(t ) 在 t 0 处有导数，且
dz(t 0 ) d(t 0 ) d(t 0 ) i dt dt dt
e1 t , e2 t ,
, en t (4.22)
可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程 （4.19）的基本解组。于是有
如果 i (i 1,2,, n) 均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个 线性无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为
x c1e c2e cn e
讨论 1 0 把这种情况通过变换 x ye1t 化为第一种情况。
回忆
齐次线性微分方程
d nx d n 1 x a1 ( x) n 1 an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt
非齐次线性微分方程
d nx d n1x a1( x) n1 n dt dt
an (t ) x 0
因此，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解
决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一
般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方 程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求
解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化
为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方 程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特
z (t ) z (t 0 ) 如果 lim 极限存在，就称z(t)在 t 0 点有导数（可微）, t t0 t t0
dz(t 0 ) 且记此极限为 或者 z(t0 ) 。 dt
显然 z (t )在 t 0 处有导数相当于 (t ) ,(t ) 在 t 0 处有导数，且
dz(t 0 ) d(t 0 ) d(t 0 ) i dt dt dt
e1 t , e2 t ,
, en t (4.22)
可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程 （4.19）的基本解组。于是有
如果 i (i 1,2,, n) 均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个 线性无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为
x c1e c2e cn e
讨论 1 0 把这种情况通过变换 x ye1t 化为第一种情况。
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
常系数非齐次方程特解--比较系数、算子法
2t 2t
m
km
是（4.3）的线性无关的n个解。
15
1 i 方程的一个 k 重特征根 2 i 也是一个 k 重特征根
它们对应 2k 个线性无关的实解是
e
t
cos t , te
t
cos t , , t
k 1 t
e
cos t ,
e
t
中所有系数 ai ( t )( i 1, 2, , n) 都是实值函数，
而 x z( t ) ( t ) i ( t ) 是方程的复值解， 则 z( t ) 的实部 ( t )，虚部 ( t ) 和共轭复数函数
z ( t ) 也是方程（4.2）的解。
7
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) iv( t ) n dt dt dt 有复值解 x U ( t ) iV ( t ) ,这里 ai ( t )( i 1, 2, ..., n)
x z( t ) 满足方程
d x d x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ) n dt dt dt
n n1
(4.1)
则称 x z( t )
为方程的一个复值解。
6
定理8
如果方程
(4.2)
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt
4
F ( ) 1 0
4
1,2 1,
3,4 i
第二步：求出基本解组
m
km
是（4.3）的线性无关的n个解。
15
1 i 方程的一个 k 重特征根 2 i 也是一个 k 重特征根
它们对应 2k 个线性无关的实解是
e
t
cos t , te
t
cos t , , t
k 1 t
e
cos t ,
e
t
中所有系数 ai ( t )( i 1, 2, , n) 都是实值函数，
而 x z( t ) ( t ) i ( t ) 是方程的复值解， 则 z( t ) 的实部 ( t )，虚部 ( t ) 和共轭复数函数
z ( t ) 也是方程（4.2）的解。
7
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) iv( t ) n dt dt dt 有复值解 x U ( t ) iV ( t ) ,这里 ai ( t )( i 1, 2, ..., n)
x z( t ) 满足方程
d x d x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ) n dt dt dt
n n1
(4.1)
则称 x z( t )
为方程的一个复值解。
6
定理8
如果方程
(4.2)
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt
4
F ( ) 1 0
4
1,2 1,
3,4 i
第二步：求出基本解组
同济大学高等数学§4.2(续)二阶常系数线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程特解的解法
自由项 f (x)
方程 aybycy f ( x) 的特解 y
ex pm ( x)
(1) 不是特征方程的根 (2) 是特征方程的单根
y Qm ( x)ex
y x Qm ( x)ex
(3) 是特征方程的重根 y x2 Qm ( x)ex
ex[Pm ( x)cosx Pn( x)sinx]
解：由方程的特解可知齐次方程对应的特征方程 的特征根为 r1,2 1 ，r3 1 ， 于是特征方程为(r1)2(r1)0 ，
即 r 3 r 2 r 10 ，
故三阶常系数齐次微分方程为 y y y y0 。
故应选（B）。
（三）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
设二阶常系数线性齐次方程为ay by cy 0
即 r2(r2 2r5)0 ， 特征根为 r1,2 0 （2 重）；r3,4 12i 。
故方程的通解为 yC1C2 xe x (C3cos2xC4sin2x) 。
例 6．具有特解形式 y1e x ， y2 2xe x ， y3 3e x 的 三阶常系数齐次微分方程是（ ）
（A） y y y y0 ； （B） y y y y0 ； （C） y6 y11y6 y0 ； （D） y2 y y2 y0 。
方程②是一个一元 n 次方程，有 n 个根 。类似二阶常系 数线性齐次方程，相应地可得到方程①的 n 个线性无关 的解，把这 n 个 线 性 无 关的解分别乘以任意常数后相加， 即得方程①的通解。
特征方程的根 方程①通解中的对应项
单实根 r
给出一项 Cerx
k 重实根r
给出k 项 erx (C1 C2xCk xk1)
把 Qm ( x) 代入 ④ 式，比较等式两端x 同次幂 的系数， 就得到以 A , A1,,Am1, Am 作为未知数的m 1 个方程
4.2常系数线性微分方程的解法
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解 ekt ; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ekt , tekt , t 2ekt ,, t m1ekt ;
(
A(2) 0
A1(2)t
A t )e (2) k2 1 2t k2 1
(
A(m) 0
A1(m)t
A t )e (m) km 1 mt km 1
0
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
(4.27)
假定多项式 Pm (t) 至少有一个系数不为零，则 Pm (t)
不恒为零，
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
显然 1, t, t 2 ,, t k11 是方程的 k1 个线性无关的解，
方程(4.19)有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
II. 设 1 0 是 k1 重特征根
L[e(1)t ] L[e te1t ]
e1t L1[e t ] e(1)tG( )
F( 1) G()
F ( j) (1) 0, j 1,2,, k1 1 F (k1) (1) 0,
dF
j ( d
j
1 )
dG j () d j
,
j 1,2,, k1
(4.19)的 k1重特征根 1
k1, k2 ,, km 重数 k1 k2 km n, ki 1
I. 设 1 0 是 k1 重特征根
4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程
x
(n)
a1 x
( n 1)
an1 x an x 0
1、复值函数 定义
z (t ) (t ) i (t ) t [a, b]，
(t )， (t )是定义在 [ a , b ] 上的实函数。
极限
lim z (t ) lim (t ) i lim (t ) t0 [a, b]，
z (t ) z (t0 ) dz d lim z (t0 ) t t0 t t0 dt t t0 dt
t t0
d i dt
t t0
易验证
d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) dt dt dt d dz1 (t ) [cz1 (t )] c dt dt d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
()
F ( ) n a1n1 an1 an 0
① 特征根为实根 I. 设 1 0 是 k 重特征根 方程 ( ) 有 k 个线性无关的解 II. 设
1, t , t 2 ,
, t k 1
1 0 是 k 重特征根
e1t , te1t , t 2e1t , , t k 1e1t
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解 定义 如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程
常系数线性微分方程的一般解法
初始条件法
根据微分方程和初始条件 ，确定通解中的任意常数 ，从而得到满足初始条件 的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变 换，使其成为易于积分的 形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有 与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方 程不同的形式，但满足原方程的约束条件 。特解通常用于求解微分方程时，通过将 特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分 析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规 律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统 对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格 随时间的变化规律，以及供需关 系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来 描述投资回报随时间的变化规律， 以及风险因素对投资回报的影响。
常微分方程4.2n阶常系数线性齐次方程解法
Y
C1e1xT1
C2e2xT2
Cne
n
Tx 3n
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)
c2 e 2 x
c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7 y 0 的通解。
解 第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件 满足 P() 0
9
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
复习内 容
一阶常系数线性齐次方程组的解法 高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
y e x
常系数线性微分方程组的解法举例
数学表达
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常微分方程(王高雄)第三版-4.2
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t e k 1 t cos t;
et sin t, tet sin t, , t k 1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
d n1 y dxn1
an1x
dy dx
an y
0,
(4.29)
的方程,称为欧拉方程. 这里a1, a2 ,, an为常数,
(1) 引进变换 x et (t ln x)
dy dx
dy dt dt dx
et
dy dt
1 x
dy , dt
d2y dx2
d
dy
d
dy dx
dt
dx dx dt dx
an an1 ank1 0, ank 0;
从而特征方程有如下形式
n a1n1 ank k 0,
而对应方程(4.19)变为
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
ank
dkx dt k
0
显然它有 k个解1,t,t 2,,t k1,且它们是线性无关的 ;
从而可得 : 特征方程(4.21)的k重零根对应着
F () n a1n1 an1 an 0, (4.21)
的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为 方程(4.19)的特征根.
(1) 特征根是单根的情形
设1, 2,, n是特征方程(4.21)的n个彼此不相
等的特征根,则相应方程(4.19)有如下n个解
e1t , e2t ,, ent
例6
et cos t, tet cos t, , t e k 1 t cos t;
et sin t, tet sin t, , t k 1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
d n1 y dxn1
an1x
dy dx
an y
0,
(4.29)
的方程,称为欧拉方程. 这里a1, a2 ,, an为常数,
(1) 引进变换 x et (t ln x)
dy dx
dy dt dt dx
et
dy dt
1 x
dy , dt
d2y dx2
d
dy
d
dy dx
dt
dx dx dt dx
an an1 ank1 0, ank 0;
从而特征方程有如下形式
n a1n1 ank k 0,
而对应方程(4.19)变为
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
ank
dkx dt k
0
显然它有 k个解1,t,t 2,,t k1,且它们是线性无关的 ;
从而可得 : 特征方程(4.21)的k重零根对应着
F () n a1n1 an1 an 0, (4.21)
的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为 方程(4.19)的特征根.
(1) 特征根是单根的情形
设1, 2,, n是特征方程(4.21)的n个彼此不相
等的特征根,则相应方程(4.19)有如下n个解
e1t , e2t ,, ent
例6
常系数线性常微分方程
微分方程转化为可分离变量的形式。
03 线性微分方程组的解法
矩阵表示法
矩阵表示法是一种将线性微分方程组 转换为矩阵形式的方法，通过矩阵运 算来求解微分方程组。
矩阵表示法可以简化计算过程，提高 求解效率，尤其适用于高阶线性微分 方程组。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性微分方程组解的重要性质，它们描述了微分方程 组的解的特性。
投资回报
在金融领域，常系数线性常微分方程可以用来描述投资回报率随时 间的变化，为投资者提供决策依据。
经济增长模型
通过建立常系数线性常微分方程，可以分析一个国家或地区的经济 增长趋势，预测未来的经济状况。
在生物中的应用
1 2 3
生态模型
常系数线性常微分方程在生态学中广泛应用于描 述种群数量的变化规律，如种群增长、竞争等。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 积分方程，从而求解。
详细描述
积分因子法是一种求解常系数线性常微分方 程的方法。通过寻找一个积分因子，可以将 微分方程转化为积分方程，然后通过求解积 分方程得到原微分方程的解。这种方法在求 解某些特定类型的微分方程时非常有效，例 如通过寻找适当的积分因子可以将一阶线性
热传导问题
在热传导过程中，常系数线性常 微分方程可以用来描述温度随时 间的变化，从而分析热量传递的 规律。
波动方程
在声学和电磁学中，常系数线性 常微分方程可以用来描述波动现 象，如声波和电磁波的传播。
在经济中的应用
供需模型
常系数线性常微分方程可以用来描述市场的供需关系，分析价格 随时间的变化，预测市场趋势。
02
线性微分方程组的解还具有唯 一性和存在性，即对于给定的 初始条件和边界条件，存在唯 一的解。
03 线性微分方程组的解法
矩阵表示法
矩阵表示法是一种将线性微分方程组 转换为矩阵形式的方法，通过矩阵运 算来求解微分方程组。
矩阵表示法可以简化计算过程，提高 求解效率，尤其适用于高阶线性微分 方程组。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性微分方程组解的重要性质，它们描述了微分方程 组的解的特性。
投资回报
在金融领域，常系数线性常微分方程可以用来描述投资回报率随时 间的变化，为投资者提供决策依据。
经济增长模型
通过建立常系数线性常微分方程，可以分析一个国家或地区的经济 增长趋势，预测未来的经济状况。
在生物中的应用
1 2 3
生态模型
常系数线性常微分方程在生态学中广泛应用于描 述种群数量的变化规律，如种群增长、竞争等。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 积分方程，从而求解。
详细描述
积分因子法是一种求解常系数线性常微分方 程的方法。通过寻找一个积分因子，可以将 微分方程转化为积分方程，然后通过求解积 分方程得到原微分方程的解。这种方法在求 解某些特定类型的微分方程时非常有效，例 如通过寻找适当的积分因子可以将一阶线性
热传导问题
在热传导过程中，常系数线性常 微分方程可以用来描述温度随时 间的变化，从而分析热量传递的 规律。
波动方程
在声学和电磁学中，常系数线性 常微分方程可以用来描述波动现 象，如声波和电磁波的传播。
在经济中的应用
供需模型
常系数线性常微分方程可以用来描述市场的供需关系，分析价格 随时间的变化，预测市场趋势。
02
线性微分方程组的解还具有唯 一性和存在性，即对于给定的 初始条件和边界条件，存在唯 一的解。
常系数线性微分方程组的解法
结论 微分方程组(5.33)有非零解如)=e〃的充要条件 人是是矩阵4的特征根,c是与4对应的特征向量.
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的简介
常系数线性微分方程是微分方程的一种形式，其特点是方程中的未知函数和其导数都是一次的，且系 数是常数。
这种类型的微分方程在解决实际问题中非常有用，因为它们能够描述许多自然现象和系统的动态行为 。
解法的历史背景和发展
早期解法
在17世纪，数学家开始研究常系数线性微分方程的解法，如牛顿 和莱布尼茨等。
经济学问题
根据经济学原理和经济数据，建立微分方程 描述经济系统的变化趋势。
几何问题
通过几何图形和空间关系，建立微分方程描 述物体的运动轨迹。
生物学问题
根据生物学原理和实验数据，建立微分方程 描述生物种群的增长规律。
常系数线性微分方程的一般形式
y'' + p*y' + q*y = f(x)
其中，y''表示y的二阶导数，p和q是常数，f(x)是x的函数。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更容易求解的形式。
详细描述
首先，选择一个新的变量代换，将微分方程 中的未知函数表示为这个新变量的函数。然 后，将这个新变量的函数代入微分方程，得 到一个更容易求解的方程。最后，对方程进 行求解，得到未知函数的通解。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 一个更简单的方程，从而求解。
数值解法
对于难以解析求解的方程，可以采 用数值方法进行近似求解，如欧拉
法、龙格-库塔法等。
A
B
C
D
人工智能算法
结合人工智能技术，如神经网络、遗传算 法等，可以提供新的求解思路和方法。
自适应算法
根据问题的具体情况，采用自适应算法可 以更好地控制求解精度和计算量。
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对共轭的出现.设1 i是一特征根,则2 i也是特征根,
因 而 与 这 对 共 轭 复 数 对应 的, 方 程 （4.19） 有 两 个 复 值 解,
e(it) eat cos t i sin t e(it) eat cos t i sin t
再由定理8知方程（4.19）的两个实值解eat cos t, eat sin t.
少有一个系数不等于零, Pm (t) 0, 将恒等式（4.27）除以e1t ,然
m1 y (m1)
m(m 2!
1)
1
2
y
(m2)
1m y,
L[ ye1t ] ( d n y
dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1
y e1t
于是方程（4.19）化为
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
其 中b1, b2 , , bn仍 为 常 数,而 相 应 的 特 征 方 程 为
L(x)
d net dt n
a1
d n1et dt n1
an1
de t dt
anet
(n a1n1 a n1 an )et F ()et
其中F () (n a1n1 an1 an )是的n次多项式
易知x et为方程（4.19）的解的充要条件是是代数方程
F () (n a1n1 an1 an ) 0
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
一阶常系数齐次线性微分方程 dx ax 0,它有形如x eat
dt
的解，且它的通解就是x ceat ,则对于方程（4.19）也去试求
指数函数形式的解x et .
其中是待定常数, 可以是实的, 也可以是复的.注意到
当z(t)在 区 间a t b上 每 一 点 都 连 续 时,就 称z(t)在 区 间
a t b上 连 续.
z(t)在t0可导可微
如果极限lim z(t) z(t0 )
记
为dz(t dt
0
)
或z
t t0
(t0 )
,
t dz(t)
dt
t
t
0 t0
.
存在, 就称z(t )在t 0 有导数（可微）
如果i (i 1,2, , n)均为实数,则（4.22）是方程（4.19）的n个
线性无关的实值解,而方程（4.19）的通解可表示为 x c1e1t c2e2t , ,cnent ,
其中c1, c2 , , cn为任意常数. 如 果 特 征 方 程 有 复 根, 则 因 方 程 的 系 数 是 实 常数, 复 根 也 将 成
相同，这样问题就化为前面已经讨论过的情形了.
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
显 然z(t)在t0有 导 数 相 当 于(t)和 (t)在t0有 导 数, 且
dz(t0 ) d(t0 ) i d (t0)
dt
dt
dt
如果z(t)在区间a t b上每点都有导数,就称z(t)在区间 a t b上有导数, 对于高阶导数可以类似的定义.
设z1(t), z2 (t)是定义在a t b上的可微函数, c是复值常数, 容易验证和差、常数倍、乘积的导数与实函相同.
（4.21）
的根，因此方程(4.21)将起着预示方程(4.19)的解的特性的作用.
称(4.21)为方程(4.19)的特征方程，它的根就称为特征根.
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论
（1）特征根是单根的情形 L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0 (4.19)
G() n b1 n1 bn1 bn 0
(4.23)
（4.24）
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
设1，2， ，n是特征方程（4.21）的n个彼此不相等的根,则
相应的方程（4.19）有如下n个解
e1t , e2t , , ent .
(4.22)
注意：这n个解在区间a t b上线性无关, 从而组成方程的
基本解组,这 时
e 1t
1e 1t
e n1 1t 1
e 2t
e nt
2 e 2t
n ent
§4.2 常系数线性微分方程的解法
4.2.1 复值函数与复值解
如果对于区间a t b中的每一实数t，有复数
z(t) (t) i (t)
与它对应,其中(t)和 (t)是在区间a b上给定了一个复值函数z(t).
如
果
实
函
数
(t
方程（4.24）的k1重根1 0对应于方程(4.23)的k1个解y 1,t,t 2 ,
,t k11,因而对应于特征方程的k1重根1,方程（4.19）有k1个解.
x ye1t
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t
(4.25)
同样, 假设特征方程(4.21)的其它根2，3， ，m的重数依次为 k2，k3， ，km ; ki （1 单根i 相当于ki 1）, 且k1 k2 km n, i （j 当i j）则方程(4.19)对应的有解
例1 求方程 d 2 x 2 dx 3x 0的通解. dt 2 dt
例2 求方程 d 2 x x 0的通解. dt 2
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
(2)特征根有重根的情形
设特征方程有k重根 1,则有 F (1 ) F (1 ) F (k1) (1 ) 0, F (k) (1 ) 0
)和
(t
)当t趋t
时
0
有
极
限,
则
称
复
值
函
数z(t
)当
t趋t 0时 有 极 限, 并 且 定 义
lim z(t) lim (t) i lim (t)
t t0
t t0
t t0
如果
lim
t t0
z(t0 ) ,则 称z(t)在t0连 续
显 然, z(t)在t0连 续 相 当 于(t)和 (t)在t0连 续.
实函数，那么这个解的实部U (t)和虚部V (t)分别是方程
的解.
dnx
d n1 x
dx
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)x u(t)
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
v(t)
4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
实值函数，而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t)的实
部(t)、虚部 (t)和共轭复值函数z(t)也都是方程（4.2）的解.
定理9 若方程
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
u(t) iv(t)
有复值解x U (t) iV (t)，其中ai (t)(i 1,2 n)及u(t), v(t)都是
d[KeKt ] K deKt
dt
dt
下面引进线性微分方程复值解的定义.
定义于区间a t b上的实变量复值函数x z(t), 如果满足
d n z(t)
d n1 z(t)
dz(t)
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)z(t) f (t) (4.1)
10 先设1 0,即特征方程有因子k ,于是
an an1 ank1 0
也就是特征方程的形状为n a1n1 ank k 0
而对应的方程(4.19)变
dnx
d n1 x
dkx
dt n a1 dt n1 ank dt k 0
易见它有k个解 1,t,t 2 , ,t k1 ,而且它们是线性无关的,则特征
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t
e
mt
,
t
e
mt
,
t
2
e
mt
,
, t km 1e mt
(4.26)
下面我们证明（4.25）和（4.26）全体n个解构成方程的基
本解组.
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t (4.25)
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t
因 而 与 这 对 共 轭 复 数 对应 的, 方 程 （4.19） 有 两 个 复 值 解,
e(it) eat cos t i sin t e(it) eat cos t i sin t
再由定理8知方程（4.19）的两个实值解eat cos t, eat sin t.
少有一个系数不等于零, Pm (t) 0, 将恒等式（4.27）除以e1t ,然
m1 y (m1)
m(m 2!
1)
1
2
y
(m2)
1m y,
L[ ye1t ] ( d n y
dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1
y e1t
于是方程（4.19）化为
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
其 中b1, b2 , , bn仍 为 常 数,而 相 应 的 特 征 方 程 为
L(x)
d net dt n
a1
d n1et dt n1
an1
de t dt
anet
(n a1n1 a n1 an )et F ()et
其中F () (n a1n1 an1 an )是的n次多项式
易知x et为方程（4.19）的解的充要条件是是代数方程
F () (n a1n1 an1 an ) 0
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
一阶常系数齐次线性微分方程 dx ax 0,它有形如x eat
dt
的解，且它的通解就是x ceat ,则对于方程（4.19）也去试求
指数函数形式的解x et .
其中是待定常数, 可以是实的, 也可以是复的.注意到
当z(t)在 区 间a t b上 每 一 点 都 连 续 时,就 称z(t)在 区 间
a t b上 连 续.
z(t)在t0可导可微
如果极限lim z(t) z(t0 )
记
为dz(t dt
0
)
或z
t t0
(t0 )
,
t dz(t)
dt
t
t
0 t0
.
存在, 就称z(t )在t 0 有导数（可微）
如果i (i 1,2, , n)均为实数,则（4.22）是方程（4.19）的n个
线性无关的实值解,而方程（4.19）的通解可表示为 x c1e1t c2e2t , ,cnent ,
其中c1, c2 , , cn为任意常数. 如 果 特 征 方 程 有 复 根, 则 因 方 程 的 系 数 是 实 常数, 复 根 也 将 成
相同，这样问题就化为前面已经讨论过的情形了.
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
显 然z(t)在t0有 导 数 相 当 于(t)和 (t)在t0有 导 数, 且
dz(t0 ) d(t0 ) i d (t0)
dt
dt
dt
如果z(t)在区间a t b上每点都有导数,就称z(t)在区间 a t b上有导数, 对于高阶导数可以类似的定义.
设z1(t), z2 (t)是定义在a t b上的可微函数, c是复值常数, 容易验证和差、常数倍、乘积的导数与实函相同.
（4.21）
的根，因此方程(4.21)将起着预示方程(4.19)的解的特性的作用.
称(4.21)为方程(4.19)的特征方程，它的根就称为特征根.
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论
（1）特征根是单根的情形 L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0 (4.19)
G() n b1 n1 bn1 bn 0
(4.23)
（4.24）
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
设1，2， ，n是特征方程（4.21）的n个彼此不相等的根,则
相应的方程（4.19）有如下n个解
e1t , e2t , , ent .
(4.22)
注意：这n个解在区间a t b上线性无关, 从而组成方程的
基本解组,这 时
e 1t
1e 1t
e n1 1t 1
e 2t
e nt
2 e 2t
n ent
§4.2 常系数线性微分方程的解法
4.2.1 复值函数与复值解
如果对于区间a t b中的每一实数t，有复数
z(t) (t) i (t)
与它对应,其中(t)和 (t)是在区间a b上给定了一个复值函数z(t).
如
果
实
函
数
(t
方程（4.24）的k1重根1 0对应于方程(4.23)的k1个解y 1,t,t 2 ,
,t k11,因而对应于特征方程的k1重根1,方程（4.19）有k1个解.
x ye1t
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t
(4.25)
同样, 假设特征方程(4.21)的其它根2，3， ，m的重数依次为 k2，k3， ，km ; ki （1 单根i 相当于ki 1）, 且k1 k2 km n, i （j 当i j）则方程(4.19)对应的有解
例1 求方程 d 2 x 2 dx 3x 0的通解. dt 2 dt
例2 求方程 d 2 x x 0的通解. dt 2
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
(2)特征根有重根的情形
设特征方程有k重根 1,则有 F (1 ) F (1 ) F (k1) (1 ) 0, F (k) (1 ) 0
)和
(t
)当t趋t
时
0
有
极
限,
则
称
复
值
函
数z(t
)当
t趋t 0时 有 极 限, 并 且 定 义
lim z(t) lim (t) i lim (t)
t t0
t t0
t t0
如果
lim
t t0
z(t0 ) ,则 称z(t)在t0连 续
显 然, z(t)在t0连 续 相 当 于(t)和 (t)在t0连 续.
实函数，那么这个解的实部U (t)和虚部V (t)分别是方程
的解.
dnx
d n1 x
dx
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)x u(t)
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
v(t)
4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
实值函数，而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t)的实
部(t)、虚部 (t)和共轭复值函数z(t)也都是方程（4.2）的解.
定理9 若方程
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
u(t) iv(t)
有复值解x U (t) iV (t)，其中ai (t)(i 1,2 n)及u(t), v(t)都是
d[KeKt ] K deKt
dt
dt
下面引进线性微分方程复值解的定义.
定义于区间a t b上的实变量复值函数x z(t), 如果满足
d n z(t)
d n1 z(t)
dz(t)
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)z(t) f (t) (4.1)
10 先设1 0,即特征方程有因子k ,于是
an an1 ank1 0
也就是特征方程的形状为n a1n1 ank k 0
而对应的方程(4.19)变
dnx
d n1 x
dkx
dt n a1 dt n1 ank dt k 0
易见它有k个解 1,t,t 2 , ,t k1 ,而且它们是线性无关的,则特征
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t
e
mt
,
t
e
mt
,
t
2
e
mt
,
, t km 1e mt
(4.26)
下面我们证明（4.25）和（4.26）全体n个解构成方程的基
本解组.
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t (4.25)
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t