三角形角平分线定理的应用

浅谈三角型形的角平分线在高考题中的应用

贵州省毕节市第二中学谢跃进 551700三角形角平分线定理已经在初中教材中销声匿迹很长时间了。但是近年高考题中均有体现，考题一般都是以选择或填空的形式出现，知道定理的同学可以很快得出答案，不知道的同学则一筹莫展。因此不得不让广泛师生引起重视。

定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两条边对应成比比例。

现在，我们来证明定理成立。定理的证明方法很多，现在笔者用自己想出来的方法证明如下：

已知中，的角平分线交对边于点。证明：。

证明：如图所示：作的外接圆，并延长交圆周于。

_

D

_

E

_

C

_

B

_

A

易得，所以，

同理 ,所以,

又因为,所以，

所以,所以。

定理应用：

例1（2010全国II卷理8）中，点在上，平分．若，，，，则

（A）（B）（C）（D）

解析：由定理得,即,

所以,又因为,

_

D

_

A

_

B

_

C

且,所以,

即

即。故而选B.

评注：本题以向量的基本运算为载体，主要考察对角平分线的理解与应用。

例2（2011全国II卷理15）已知分别为双曲线的左右焦点，点在曲线上，点的坐标为，为的角平分线，则= ；

_

A

_

M

_

O

_

F

2

_

F

1

_

x

_

y

解析：由角平分线定理有，即.又因为，，

所以，，所以，所以，又因为

所以；答案：6.

评注：本题以圆锥曲线为载体，考察对角平分线定理的理解与应用。本题中的曲线也可以是椭圆。