模糊控制的本质_殷业
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n n
中运动时，就生成了一条曲线，当一条曲线运动时，就生成了一个曲面，如果在空间 R 中 建立坐标系，那么曲线或曲面就和函数建立了映射关系，所以函数概念可以从动点的轨迹角 度直观地理解，尽管一般函数比连续函数概念更广，但如果允许点的运动是不连续的（像量 子力学中粒子的运动） ，那么点运动轨迹就和一般函数建立了一一对应。 粒是点的集合，点运动形成点函数，所以可以定义粒运动形成粒函数，即：粒曲线和粒 函数形成一一对应，下面给出一般粒函数的定义。 粒函数定义：设 [ X ] , [Y ] 是粒的集合， X [ X ] 是 [ X ] 中的一个粒，对 [ X ] 中的每一 个粒 X 通过 F 都能找到 [Y ] 中的一个粒 Y 与之对应，则称 F : [ X ] [Y ] 为从 [ X ] 到 [Y ] 的 映射或函数，其中 [ X ] 称为粒函数的定义域， [Y ] 称为粒函数的值域，粒函数可记为：
来自百度文库
基金项目：上海市联盟计划项目（No. LM201352） ，上海师范大学重点学科建设项目（A7001-12-002006） 作者简介：殷 业（1961-） ， 男，江苏省无锡市人，上海师范大学信息与机电工程学院，副教授，博士.研究方向：粒计算、语音信号处理、信息论 与编码、模糊控制、RFID 技术等. E-mail: yinye@188.com
F ( X ) y f ( x) , y f ( x)
[1-4]
。这一争论的影响甚至到今天还存在，如：市场上
不含任何模糊逻辑的控制器是否是模糊控制器？模糊化和去模糊化是模糊控制的必要步骤 吗？这些问题没有完全解决。回顾历史，二十多年来模糊数学研究取得了很大的进步
[5,6,9-16]
，
彻底解决那场争论的时机已经成熟。本文通过引入粒函数，分析了模糊控制的本质，证明了 所有传统控制器从实现层面上都可等价为模糊控制器；反之，所有规则预定的模糊控制器， 都可以通过设计和实现的分离简化为不包含模糊逻辑的二值逻辑控制器。这样就使传统控制 和模糊控制在质上找到了共同的基础：粒响应函数。文中在新理论的基础上提出了新的模糊 控制算法，新算法没有模糊化和去模糊化步骤，可以用来简化现有的模糊控制芯片和模糊控 制器。
4
模糊控制的本质
的，引入粒函数后，数字信号处理就可作为粒函数分析的一部分，并从粒函数角度研究，例 如， （1） 可以研究非等周期粒化的数字信号 （如采样频率的自适应） ； （2） 采样频率小于 Nyquist 频率（ f f nyquist 2 f s max ）的有损粒化数字信号或数据压缩； （3）非等间隔量化数字信号； （4）模糊粒化数字信号等[25]。这些新的研究将会进一步拓展作为粒函数的数字信号的应用 领域。 例 9：语言变量函数是典型的模糊粒函数，人类在遇到自然客体的数量性质时，为了能 用语言表达，通常将连续变量粒化为由少数词语组成的语言变量，一般有不超过 7 级的粒化 规律，如表示年龄，有{襁褓，幼儿，少年，青年，中年，老年，寿星}，又如表示人的美丽， 有{丑陋，难看，一般，五官端正，好看，漂亮，倾国倾城}，建立在这些语言变量上的函数， 自然是粒函数；又如中国人各年龄段的平均身高，如果年龄用语言变量或区间值表示，则平 均身高自然也是粒变量。这种语言变量函数是有实际应用意义的，如判断小孩身高发育是否 正常，就需要用到年龄～身高粒函数标准，即：一定年龄区间对应的正常身高区间。 例 10：一条公路可以表示成一种参变量粒函数，地图为粒层空间，公路是一条粒曲线， 其两边可看成是下确界函数和上确界函数，用下确界函数和上确界函数就可以完整地表示公 路这条粒曲线：
模糊控制的本质
殷 业 上海师范大学 信息与机电工程学院 上海 200234 E-mail: yinye@188.com 摘 要：二十世纪 90 年代初曾发生过一场关于模糊控制是否是“是似而非的成功”问题 的争论，当时几乎所有的国际模糊控制相关的权威学者都参与了，但争辩的双方并没有一方 能完全说服另一方。回顾历史，二十多年来模糊数学取得了很大的进步，特别是粒计算理论 的出现，为彻底解决这个问题提供了必要的基础。本文通过引入粒函数，分析了模糊控制的 本质，论证了所有传统控制器从实现层面上都可等价为模糊控制器；反之，所有规则预定的 模糊控制器，都可以通过设计和实现的分离简化为不包含模糊逻辑的二值逻辑控制器。这样 就使传统控制和模糊控制在粒响应函数上实现了统一。文中在新理论的基础上提出了新的模 糊控制算法，新算法没有模糊化和去模糊化步骤，可以用来简化现有的模糊控制芯片和模糊 控制器。 关键词：模糊控制；粒计算；粒函数；实现函数；粒响应函数；智能控制 中图分类号：TP13 文献标识码：A
2
模糊控制的本质
论域 U { ker( A), bnd ( A), out ( A) } ，所以核、边界、外界构成了对论域的一个划分。 若 A 为确定边界集，则 bnd ( A) ；若 A 为不确定边界集，则 bnd ( A) ；这时如果核的 大小远远大于边界的宽度， 则粒的大小由核的大小决定， 如果边界的宽度远远大于核的大小， 则粒的大小由边界的宽度决定。 在边界非空集合中，模糊集是规定了边界中每个元素隶属度的集合，粗糙集是仅规定了 边界的上确界和下确界的集合，云模型集是约定了边界中元素的确定度由三参数（期望，方 差，超方差）随机计算得到的集合。由于边界的实际情况有无数种，所以对边界的刻画可以 有许多种，各种不同的刻画各有优缺点
模糊控制的本质
2. 粒和粒曲线
粒是一个基本概念，通俗地讲是一个作为整体的研究对象，尽管它可能有复杂的结构， 但在研究问题时不去考虑它的内部细节仍将其看成一个整体，这个整体就称为粒
[17-20]
。
例 1：研究宇宙膨胀时，星系作为一个整体考虑，所以星系是一个粒。哈勃定律给出了 星系间相互远离的规律，星系是个庞然大物，如我们的银河系，有复杂的结构，但在哈勃定 律中它只是一个粒，不考虑它的内部结构。 例 2：人口学研究中我们总是将一个人作为一个整体考虑，而不关心它由哪些部分组成， 这时“人”就是人口学中的一个粒。 粒的定义：点的集合或点集的集合，在研究中作为一个整体看待称为粒。 粒 用 大 写 字 母 表 示 ， 如 A, B, C, X , Y , Z ， 粒 中 的 组 成 部 分 用 小 写 字 母 表 示 ， 如
图 4 分明粒曲线
图 5 模糊粒曲线
图 6：形态变化粒曲线
例 7：每个个体中某抽象知识的集合构成抽象粒，其在抽象粒空间中运动形成的轨迹称 为抽象粒曲线。如：对同性恋的看法，所有美国人的看法的集合组成一个抽象粒，所有中国
3
模糊控制的本质
人的看法组成一个抽象粒，中国人的看法和美国人的看法都会变化，这种变化在抽象粒空间 中形成的曲线就是抽象粒曲线，文明的进步使人们对同性恋的容忍度越来越高。抽象粒和抽 象粒曲线可以在人文科学中找到应用。
图 1 确定边界粒 A
图 2 不确定边界粒 A
图 3 模糊集的交运算 C A B
“粒”和“粒的边界”是两个不同的概念。定义粒的“核”为： A 中隶属度为 1 的元素 组成的集合，记为 ker( A) ；定义粒的“边界”为：隶属度为： 0 A( x) 1 的元素组成的集 合，记为 bnd ( A) ；定义粒的“外界”为： A 中隶属度为 0 的元素组成的集合，记为 out ( A) 。
Y F ( X ) ，当从 [ X ] 到 [Y ] 和从 [Y ] 到 [ X ] 均为单值映射时，称为一一映射或一一映射粒函
数。 无限小的粒是数学点，所以点函数可以看成粒函数当变量粒度趋于无穷小时的极限函 数，约定小写字母表示点函数，大写字母表示粒函数，有：
f lim F
G 0
（2）
其中 f 为点函数， F 为粒函数， G 为粒变量的粒度。 例 8：数字信号可看成是对连续信号进行等间隔粒化获得的粒函数[26,28]，所以电脑、手 机中处理的数字信号均为粒函数。以前数字信号处理是作为一门独立的数学分支进行研究
[12]
~ ~ ~
： （1）确定边界粒的边界用实线表示； （2）不确定边界粒的边界用虚线表示，并
约定：虚线上元素的隶属度 A ( x) 0.5 ，虚线内元素的隶属度 A( x) 0.5 ,虚线外元素的隶 属度 A( x) 0.5 ，这样实际上给出了一种表示模糊集合的新的图示方法。下图 1 和图 2 分别 表示一个边界分明粒和一个边界不分明粒，图 3 表示模糊集交运算的韦氏图。
3. 粒函数
众所周知微积分的发明使数学从静态分析进入了动态分析，要实现从“静态粒计算”到 “动态粒计算”的转变，研究粒变量和粒函数是关键。本文的目的不是详细建立粒函数理论， 而是要用粒函数来解释模糊控制的本质，所以在这里我们仅限于引入粒函数概念及讨论它在 模糊控制中的应用。 传统数学中的函数通常是指点函数， 点是一个没有大小的几何抽象概念， 当点在空间 R
a, b, c, x, y, z ，通常用 U , [ X ] 表示粒的论域，即所讨论粒的全体。粒在数学中用集合表
示，点可看成是一个特殊的粒。粒可以根据不同的分类标准进行分类，常用的分类有： （1） 根据边界是否分明进行分类； （2）根据粒的形态是否随时间变化分类； （3）根据粒是否封闭 分类。根据（1）粒可分成边界分明粒（确定边界）和边界不分明粒（不确定边界） ；根据（2） 粒可分成形态不变粒和形态变化粒；根据（3）粒可分成封闭粒和不封闭粒。 例 3：一只乒乓球可以看成是一个边界分明、形态不变、封闭的粒；一只上升的气球， 在没有破裂前，可看成是一个边界分明、形态变化、封闭的粒；一颗彗星可看成是一个边界 不分明、形态变化、不封闭的粒。 边界不分明粒可用 A, B , C 表示，在不产生异议时也可去掉模糊标记。因为在数学上粒 就是一个集合，所以粒的图示方法和集合的图示方法一样。在今后的图示中统一按 Zadeh 模 糊图约定
n
（1）
[ X 1 ] ,[ X 2 ], ,[ X n ] 其中 X 表示最小粒论域， 当 X R 时， 最小粒层空间为几何空间，
为不同粒度的粒层空间。粒在粒空间或粒层空间中运动得到的轨迹，称为粒曲线。 例 4：一个乒乓球在空中运动走过的轨迹就是边界分明粒产生的分明粒曲线，上下边界 为实线，如图 4 所示。 例 5：一颗彗星在空间运动，走过的轨迹就是一个模糊粒产生的模糊粒曲线，上下边界 为虚线，如图 5 所示。 例 6：一个粒形态变化的粒在空间运动产生的轨迹为形态变化粒曲线，如：龙卷风走过 的轨迹，因为龙卷风运动过程中形态是变化的，所以它产生的粒曲线是形态变化粒曲线；一 条公路也可看成是一个形态变化的粒运动产生的曲线；还有如堕地的陨石、上升的氢气球、 发射的多级火箭、运动的毛笔笔尖等都是形态变化粒，它们运动产生的轨迹都是形态变化粒 曲线。图 6 为毛笔运动产生的形态变化粒曲线。
[1,21-24]
。
粒层空间定义：粒的全体 [ X ] 和粒结构 [T ] 构成了粒层空间 ( [ X ] , [T ] ) 。 粒结构是指粒与粒之间的关系。粒空间为各层粒空间的集合，记为：
{ ( X , T ) , ( [ X 1 ] , [T1 ] ) , , ( [ X n ] , [Tn ] ) }
x x(t ) x x(t ) F ( X ) , y y (t ) y y (t )
粒函数的表示方法有多种，下面列举几种：
（3）
（1）粒运动轨迹法，定义粒及粒的运动规律，粒函数为粒运动产生的轨迹，即粒曲线， 这种方法适用于连续粒函数。 （2）对边界分明连续粒函数可用下确界函数和上确界函数表示，即：
1.引言
自从 1974 年 Mamdani 实现了模糊控制的第一个实例
[7,8]
，人们看到了模糊控制的效果，
但对模糊控制的本质一直存在疑问。到二十世纪 90 年代初，发生过一场关于模糊控制是否 是“是似而非的成功”问题的争论，当时几乎所有的国际模糊控制相关的权威学者都参与了， 争辩的双方没有一方能完全说服另一方
中运动时，就生成了一条曲线，当一条曲线运动时，就生成了一个曲面，如果在空间 R 中 建立坐标系，那么曲线或曲面就和函数建立了映射关系，所以函数概念可以从动点的轨迹角 度直观地理解，尽管一般函数比连续函数概念更广，但如果允许点的运动是不连续的（像量 子力学中粒子的运动） ，那么点运动轨迹就和一般函数建立了一一对应。 粒是点的集合，点运动形成点函数，所以可以定义粒运动形成粒函数，即：粒曲线和粒 函数形成一一对应，下面给出一般粒函数的定义。 粒函数定义：设 [ X ] , [Y ] 是粒的集合， X [ X ] 是 [ X ] 中的一个粒，对 [ X ] 中的每一 个粒 X 通过 F 都能找到 [Y ] 中的一个粒 Y 与之对应，则称 F : [ X ] [Y ] 为从 [ X ] 到 [Y ] 的 映射或函数，其中 [ X ] 称为粒函数的定义域， [Y ] 称为粒函数的值域，粒函数可记为：
来自百度文库
基金项目：上海市联盟计划项目（No. LM201352） ，上海师范大学重点学科建设项目（A7001-12-002006） 作者简介：殷 业（1961-） ， 男，江苏省无锡市人，上海师范大学信息与机电工程学院，副教授，博士.研究方向：粒计算、语音信号处理、信息论 与编码、模糊控制、RFID 技术等. E-mail: yinye@188.com
F ( X ) y f ( x) , y f ( x)
[1-4]
。这一争论的影响甚至到今天还存在，如：市场上
不含任何模糊逻辑的控制器是否是模糊控制器？模糊化和去模糊化是模糊控制的必要步骤 吗？这些问题没有完全解决。回顾历史，二十多年来模糊数学研究取得了很大的进步
[5,6,9-16]
，
彻底解决那场争论的时机已经成熟。本文通过引入粒函数，分析了模糊控制的本质，证明了 所有传统控制器从实现层面上都可等价为模糊控制器；反之，所有规则预定的模糊控制器， 都可以通过设计和实现的分离简化为不包含模糊逻辑的二值逻辑控制器。这样就使传统控制 和模糊控制在质上找到了共同的基础：粒响应函数。文中在新理论的基础上提出了新的模糊 控制算法，新算法没有模糊化和去模糊化步骤，可以用来简化现有的模糊控制芯片和模糊控 制器。
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模糊控制的本质
的，引入粒函数后，数字信号处理就可作为粒函数分析的一部分，并从粒函数角度研究，例 如， （1） 可以研究非等周期粒化的数字信号 （如采样频率的自适应） ； （2） 采样频率小于 Nyquist 频率（ f f nyquist 2 f s max ）的有损粒化数字信号或数据压缩； （3）非等间隔量化数字信号； （4）模糊粒化数字信号等[25]。这些新的研究将会进一步拓展作为粒函数的数字信号的应用 领域。 例 9：语言变量函数是典型的模糊粒函数，人类在遇到自然客体的数量性质时，为了能 用语言表达，通常将连续变量粒化为由少数词语组成的语言变量，一般有不超过 7 级的粒化 规律，如表示年龄，有{襁褓，幼儿，少年，青年，中年，老年，寿星}，又如表示人的美丽， 有{丑陋，难看，一般，五官端正，好看，漂亮，倾国倾城}，建立在这些语言变量上的函数， 自然是粒函数；又如中国人各年龄段的平均身高，如果年龄用语言变量或区间值表示，则平 均身高自然也是粒变量。这种语言变量函数是有实际应用意义的，如判断小孩身高发育是否 正常，就需要用到年龄～身高粒函数标准，即：一定年龄区间对应的正常身高区间。 例 10：一条公路可以表示成一种参变量粒函数，地图为粒层空间，公路是一条粒曲线， 其两边可看成是下确界函数和上确界函数，用下确界函数和上确界函数就可以完整地表示公 路这条粒曲线：
模糊控制的本质
殷 业 上海师范大学 信息与机电工程学院 上海 200234 E-mail: yinye@188.com 摘 要：二十世纪 90 年代初曾发生过一场关于模糊控制是否是“是似而非的成功”问题 的争论，当时几乎所有的国际模糊控制相关的权威学者都参与了，但争辩的双方并没有一方 能完全说服另一方。回顾历史，二十多年来模糊数学取得了很大的进步，特别是粒计算理论 的出现，为彻底解决这个问题提供了必要的基础。本文通过引入粒函数，分析了模糊控制的 本质，论证了所有传统控制器从实现层面上都可等价为模糊控制器；反之，所有规则预定的 模糊控制器，都可以通过设计和实现的分离简化为不包含模糊逻辑的二值逻辑控制器。这样 就使传统控制和模糊控制在粒响应函数上实现了统一。文中在新理论的基础上提出了新的模 糊控制算法，新算法没有模糊化和去模糊化步骤，可以用来简化现有的模糊控制芯片和模糊 控制器。 关键词：模糊控制；粒计算；粒函数；实现函数；粒响应函数；智能控制 中图分类号：TP13 文献标识码：A
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模糊控制的本质
论域 U { ker( A), bnd ( A), out ( A) } ，所以核、边界、外界构成了对论域的一个划分。 若 A 为确定边界集，则 bnd ( A) ；若 A 为不确定边界集，则 bnd ( A) ；这时如果核的 大小远远大于边界的宽度， 则粒的大小由核的大小决定， 如果边界的宽度远远大于核的大小， 则粒的大小由边界的宽度决定。 在边界非空集合中，模糊集是规定了边界中每个元素隶属度的集合，粗糙集是仅规定了 边界的上确界和下确界的集合，云模型集是约定了边界中元素的确定度由三参数（期望，方 差，超方差）随机计算得到的集合。由于边界的实际情况有无数种，所以对边界的刻画可以 有许多种，各种不同的刻画各有优缺点
模糊控制的本质
2. 粒和粒曲线
粒是一个基本概念，通俗地讲是一个作为整体的研究对象，尽管它可能有复杂的结构， 但在研究问题时不去考虑它的内部细节仍将其看成一个整体，这个整体就称为粒
[17-20]
。
例 1：研究宇宙膨胀时，星系作为一个整体考虑，所以星系是一个粒。哈勃定律给出了 星系间相互远离的规律，星系是个庞然大物，如我们的银河系，有复杂的结构，但在哈勃定 律中它只是一个粒，不考虑它的内部结构。 例 2：人口学研究中我们总是将一个人作为一个整体考虑，而不关心它由哪些部分组成， 这时“人”就是人口学中的一个粒。 粒的定义：点的集合或点集的集合，在研究中作为一个整体看待称为粒。 粒 用 大 写 字 母 表 示 ， 如 A, B, C, X , Y , Z ， 粒 中 的 组 成 部 分 用 小 写 字 母 表 示 ， 如
图 4 分明粒曲线
图 5 模糊粒曲线
图 6：形态变化粒曲线
例 7：每个个体中某抽象知识的集合构成抽象粒，其在抽象粒空间中运动形成的轨迹称 为抽象粒曲线。如：对同性恋的看法，所有美国人的看法的集合组成一个抽象粒，所有中国
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模糊控制的本质
人的看法组成一个抽象粒，中国人的看法和美国人的看法都会变化，这种变化在抽象粒空间 中形成的曲线就是抽象粒曲线，文明的进步使人们对同性恋的容忍度越来越高。抽象粒和抽 象粒曲线可以在人文科学中找到应用。
图 1 确定边界粒 A
图 2 不确定边界粒 A
图 3 模糊集的交运算 C A B
“粒”和“粒的边界”是两个不同的概念。定义粒的“核”为： A 中隶属度为 1 的元素 组成的集合，记为 ker( A) ；定义粒的“边界”为：隶属度为： 0 A( x) 1 的元素组成的集 合，记为 bnd ( A) ；定义粒的“外界”为： A 中隶属度为 0 的元素组成的集合，记为 out ( A) 。
Y F ( X ) ，当从 [ X ] 到 [Y ] 和从 [Y ] 到 [ X ] 均为单值映射时，称为一一映射或一一映射粒函
数。 无限小的粒是数学点，所以点函数可以看成粒函数当变量粒度趋于无穷小时的极限函 数，约定小写字母表示点函数，大写字母表示粒函数，有：
f lim F
G 0
（2）
其中 f 为点函数， F 为粒函数， G 为粒变量的粒度。 例 8：数字信号可看成是对连续信号进行等间隔粒化获得的粒函数[26,28]，所以电脑、手 机中处理的数字信号均为粒函数。以前数字信号处理是作为一门独立的数学分支进行研究
[12]
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： （1）确定边界粒的边界用实线表示； （2）不确定边界粒的边界用虚线表示，并
约定：虚线上元素的隶属度 A ( x) 0.5 ，虚线内元素的隶属度 A( x) 0.5 ,虚线外元素的隶 属度 A( x) 0.5 ，这样实际上给出了一种表示模糊集合的新的图示方法。下图 1 和图 2 分别 表示一个边界分明粒和一个边界不分明粒，图 3 表示模糊集交运算的韦氏图。
3. 粒函数
众所周知微积分的发明使数学从静态分析进入了动态分析，要实现从“静态粒计算”到 “动态粒计算”的转变，研究粒变量和粒函数是关键。本文的目的不是详细建立粒函数理论， 而是要用粒函数来解释模糊控制的本质，所以在这里我们仅限于引入粒函数概念及讨论它在 模糊控制中的应用。 传统数学中的函数通常是指点函数， 点是一个没有大小的几何抽象概念， 当点在空间 R
a, b, c, x, y, z ，通常用 U , [ X ] 表示粒的论域，即所讨论粒的全体。粒在数学中用集合表
示，点可看成是一个特殊的粒。粒可以根据不同的分类标准进行分类，常用的分类有： （1） 根据边界是否分明进行分类； （2）根据粒的形态是否随时间变化分类； （3）根据粒是否封闭 分类。根据（1）粒可分成边界分明粒（确定边界）和边界不分明粒（不确定边界） ；根据（2） 粒可分成形态不变粒和形态变化粒；根据（3）粒可分成封闭粒和不封闭粒。 例 3：一只乒乓球可以看成是一个边界分明、形态不变、封闭的粒；一只上升的气球， 在没有破裂前，可看成是一个边界分明、形态变化、封闭的粒；一颗彗星可看成是一个边界 不分明、形态变化、不封闭的粒。 边界不分明粒可用 A, B , C 表示，在不产生异议时也可去掉模糊标记。因为在数学上粒 就是一个集合，所以粒的图示方法和集合的图示方法一样。在今后的图示中统一按 Zadeh 模 糊图约定
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（1）
[ X 1 ] ,[ X 2 ], ,[ X n ] 其中 X 表示最小粒论域， 当 X R 时， 最小粒层空间为几何空间，
为不同粒度的粒层空间。粒在粒空间或粒层空间中运动得到的轨迹，称为粒曲线。 例 4：一个乒乓球在空中运动走过的轨迹就是边界分明粒产生的分明粒曲线，上下边界 为实线，如图 4 所示。 例 5：一颗彗星在空间运动，走过的轨迹就是一个模糊粒产生的模糊粒曲线，上下边界 为虚线，如图 5 所示。 例 6：一个粒形态变化的粒在空间运动产生的轨迹为形态变化粒曲线，如：龙卷风走过 的轨迹，因为龙卷风运动过程中形态是变化的，所以它产生的粒曲线是形态变化粒曲线；一 条公路也可看成是一个形态变化的粒运动产生的曲线；还有如堕地的陨石、上升的氢气球、 发射的多级火箭、运动的毛笔笔尖等都是形态变化粒，它们运动产生的轨迹都是形态变化粒 曲线。图 6 为毛笔运动产生的形态变化粒曲线。
[1,21-24]
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粒层空间定义：粒的全体 [ X ] 和粒结构 [T ] 构成了粒层空间 ( [ X ] , [T ] ) 。 粒结构是指粒与粒之间的关系。粒空间为各层粒空间的集合，记为：
{ ( X , T ) , ( [ X 1 ] , [T1 ] ) , , ( [ X n ] , [Tn ] ) }
x x(t ) x x(t ) F ( X ) , y y (t ) y y (t )
粒函数的表示方法有多种，下面列举几种：
（3）
（1）粒运动轨迹法，定义粒及粒的运动规律，粒函数为粒运动产生的轨迹，即粒曲线， 这种方法适用于连续粒函数。 （2）对边界分明连续粒函数可用下确界函数和上确界函数表示，即：
1.引言
自从 1974 年 Mamdani 实现了模糊控制的第一个实例
[7,8]
，人们看到了模糊控制的效果，
但对模糊控制的本质一直存在疑问。到二十世纪 90 年代初，发生过一场关于模糊控制是否 是“是似而非的成功”问题的争论，当时几乎所有的国际模糊控制相关的权威学者都参与了， 争辩的双方没有一方能完全说服另一方