第八次作业(加权余数法)

第八次作业：伽辽金法求解边值问题

伽辽金（Galerkin ）法，即是在加权余数法中取权函数{}i w 与基函数{}i ϕ为同一组基底，这种做法通常情况下可以得到最好的效果。试利用伽辽金法求解二维Poisson 方程边值问题：

2222() 2 (, )0u u L u a x a b y b x y u Γ⎧∂∂=+=--<<-<<⎪∂∂⎨⎪=⎩ （1）

Γ为矩形区域的边界。

图1 矩形场域

选取基函数1234, , { },ϕϕϕϕ为

222212212312241(,)()()

(,)(,)

(,)(,)

(,)(,)

x y a x b y x y x x y x y y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕϕ=--===

分别以3级和4级近似，求解上述边值问题，并讨论结果。

【提示】采用前3个基函数或者4个基函数构造试探解：

331122331

i i i u αϕαϕαϕαϕ===++∑

或

44112233441

i i i u αϕαϕαϕαϕαϕ===+++∑ 令 ,(())d 0i i R L u f ϕϕΩ

<>=-Ω=⎰ 即 () d d j

i j i j L f αϕϕϕΩΩΩ=Ω∑⎰⎰ (1, 2, , )i n = （2）

上式中，Ω是求解的矩形区域，22

22L x y

∂∂=+∂∂是Laplace 算子，j ϕ是前面给出的基函数，2f =-是微分方程的右端项。积分() d ij i j K L ϕϕΩ=Ω⎰、d i i f f ϕΩ

=Ω⎰都可以解析地给出，因此（2）式实际上是一个方程组[][][]=K αF ，解之可以得到系数{}i α。

所有公式推导运算都可以借助Mathematica 实现；指定参数a 、b 的具体值可以画出解的图形。有余力的同学可以通过分离变量法求得边值问题的解析解，与上述加权余数法的近似解进行比较。 最后，大家注意一下，选取的基函数中都包含了因子2222()()a x b y --，因此都满足边界条件0i ϕΓ=，从而组合后的试探解u 也满足边界条件，所以在应用加权余数法时就无需再考虑边界条件了。