创新设计数学文江苏专用一轮复习 课时作业31导数的概念及其运算 含答案

第1讲 导数的概念及其运算

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(2014·苏北四市模拟)曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为________． 解析 根据导数运算法则可得y ′＝e x ＋x e x ＋2＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线斜率为y ′|x ＝0＝1＋2＝3.故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即3x －y －1＝0. 答案 3x －y －1＝0

2．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)直线y ＝kx 与曲线y ＝2e x 相切，则实数k ＝________. 解析 设直线y ＝kx 与曲线y ＝2e x 相切的切点坐标为(x 0,2e x 0)，且y ′＝2e x ，则切线方程为y －2e x 0＝2e x 0(x －x 0)，切线经过坐标原点，代入点(0,0)，解得x 0＝1，则实数k ＝2e x 0＝2e. 答案 2e

3．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4的值为________．

解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪

⎫

π4＝2－1，

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 1

4．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－1

2，则切点横坐标为________． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0)，∵y ′＝12x －3

x ， ∴y ′|x ＝x 0＝12x 0－3x 0

＝－1

2，即x 20＋x 0－6＝0，

解得x 0＝2或－3(舍)． 答案 2

5．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．

解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题

意得⎩⎪⎨⎪⎧

4a ＋b

2＝－5，

4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－1，

b ＝－2，

则a ＋b ＝－3.

答案 －3

6.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.

解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2. 答案 2

7．(2015·扬州调研)若函数f (x )＝1

2x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．

解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .

∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，∴x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1

x ≥2(x ＞0)． 答案 [2，＋∞)

8．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )＝________.

解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.

答案 －sin x －cos x 二、解答题

9．已知曲线y ＝13x 3＋4

3.

(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．

解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋4

3上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.

(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝

⎛

⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.

∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 2

0(x －x 0)，

即y ＝x 2

0·x －23x 30＋43. ∵点

P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43

，

即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，

∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，

∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.

10．设抛物线C: y ＝－x 2＋9

2x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；

(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋9

2x 1－4，② ①代入②得

x 21＋⎝

⎛

⎭⎪⎫

k －

92x 1

＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

k －922－16＝0得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1

＝－17.

当k ＝1

2时，x 1＝2，y 1＝1.

∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝1

2.

(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2－13

2x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫92，－4.

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

1．已知点P 在曲线y ＝4

e x ＋1

上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．

解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x

e 2x ＋2e x

＋1

.设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′