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高考真题理科数学计数原理

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专题11 计数原理【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

专题11 计数原理【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题
18．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有 ，2女1男，有
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项式定理
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题
5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题) 的展开式中 的系数为()
A．12B．16C．20D．24
【答案】【答案】A
【解析】因为 ，所以 的系数为 ，故选A．
【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题11计数原理
一、选择题
1．(2020年新高考I卷(山东卷)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同 安排方法共有()
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种

高考数学经典试题与解析 专题九 计数原理与概率统计

高考数学经典试题与解析 专题九 计数原理与概率统计

专题九计数原理与概率统计——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2023年全国高考真题]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.231．答案：D解析：依题意，用1A ，2A 表示高一的2名学生，1B ，2B 表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2名学生的选法有()12,A A ，()12,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共6种，其中2名学生来自不同年级的选法有()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共4种，所以所求概率4263P ==，故选D.2．将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有()A.120种 B.150种 C.180种 D.240种2．答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①先将甲、乙等5名同学分成3组：若分成1，2，2的3组，则有12254222C C C15 A =（种）方法；若分成1，1，3的3组，则有11354322C C C 10 A =（种）方法，故将5人分成3组，每组至少有1人，有151025+=（种）分组方法.②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有3325A 150=（种）.3．[2023春·高二·四川内江·期中校考]在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数是()A.454B.358-C.358D.73．答案：C解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以8n =，二项式展开项的通项公式为842218811C C 22rrr rr r r r T x x x -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令462r +=，得4r =，所以6x 的系数为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选C.4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =∣()A.112B.29C.13D.234．答案：B解析：易知()()()n AB P BA n A =∣，其中AB 表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之和为8”，共有两种情况，即(3,5)，(5,3)，故()2n AB =.而1133()C C 9n A =⋅=，所以()2()()9n AB P B A n A ==∣.故选B.5．[2023春·高二·江苏盐城·月考联考]已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量在区间(],μσμσ-+，(]2,2μσμσ-+和(]3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布()290,15N ，则此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有()A.477人B.136人C.341人D.131人5．答案：B 解析：根据题意，()()()60120751050.95440.68261051200.135922P X P X P X <≤-<≤-<≤===，则10000.1359135.9136⨯=≈，故此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有136人.故选：B.6．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）99.29.49.69.810销量y （件）1009493908578预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为()参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据：615116iii x y==∑，622160.7i i x x =-=∑.A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元6．答案：B解析：由题意，得1(99.29.49.69.810)9.56x =⨯+++++=，1(1009493908578)906y =⨯+++++=，6162216511669.590ˆ200.76i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===--∑∑，ˆ909.520280a=+⨯=，则ˆ20280y x =-+.设工厂获得利润L 元，则2(5)(20280)20(9.5)405L x x x =--+=--+，当9.5x =时，L 取得最大值.所以当单价定为9.5元时，工厂获得最大利润，故选B.7．[2024春·高一·河南三门峡·期末校考]某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3000名学生每周平均体育运动时长的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是()A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为6007．答案：C解析：对于A,估计该校学生每周平均体育运动时长为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）,故选项A 正确;对于B,该校高一年级的总人数为430001200433⨯=++,由题中频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为()0.0250.120.25+⨯=,所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为12000.25300⨯=,故选项B 正确;对于C,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为()0.0750.0252100%20%+⨯⨯=,故选项C 错误;对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为300020%600⨯=,故选项D 正确.故选：C.8．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为()A.14B.724C.1124D.17248．答案：D解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是()12P A =，()23P B =，()34P C =，则不获一等奖的概率分别是()11122P A =-=，()21133P B =-=，()31144P C =-=，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++1231131211123423423424=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，这三人都获得一等奖的概率为()()()()12312344P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率1111724424P =+=.故选：D.二、多项选择题9．[2020年全国高考真题]我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.根据该折线图，()A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量9．答案：CD解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A 错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B 错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过80%，故C 正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D 正确.10．已知()*nx n ⎛+∈ ⎝N 的展开式中共有7项，则该二项展开式中()A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共有4项10．答案：ACD解析：由题意知6n =，则6x ⎛⎝的展开式的通项为3666216C C (0,1,2,,6)2rr rr r r r T x x r --+===⋅ .对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，故A 正确；对于B ，令1x =，得6613122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所有项的系数和为632⎛⎫⎪⎝⎭，不为1，故B 错误；对于C，由二项式系数的性质，可知6x ⎛⎝的展开式中第4项的二项式系数最大，为36C 20=，故C 正确；对于D ，当362r-∈Z ，即0,2,4,6r =时，对应的项为有理项，共有4项，故D 正确.故选ACD.11．[2023春·高二·江苏·期中联考]红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲同学调配出红色”，B 表示事件“甲同学调配出绿色”，C 表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是()A.1()15P A =B.1()4P C A =∣C.4()45P BC =D.事件B 与事件C 相互独立11．答案：AC解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为26C .对于A ，A 表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有22C 种方法，则2226C 1()C 15P A ==，故A 正确；对于B ，事件A 发生需要2瓶颜料均为红色，事件C 发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，在事件A 发生的条件下，事件C 不可能发生，所以()0P CA =∣，故B 错误；对于C ，若事件B 发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则112226C C 4()C 15P B ==，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则1224C 1()C 3P C B ==∣，故414()()()15345P BC P B P C B =⨯=⨯=∣，故C 正确；对于D ，若事件C 发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则21111111222242222264C C C C C C C C 4()C C 15P C ++==，444()()()151545P B P C P BC ⋅=⨯≠=，事件B 与事件C 不相互独立，故D 错误.故选AC.三、填空题12．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）.若,,{1,2,3,4}a b c ∈，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_________.12．答案：12解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所以这个三位数为“有缘数”的概率121242P ==.13．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，则随机变量X 方差的最小值为__________.13．答案：18解析：由1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，得1()2P X x ==，所以随机变量X 的数学期望21()4x E X +=，则方差222221123121111()42444442162x x x D X x ⎡⎤+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当12x =时，()D X 取到最小值18，故答案为18.14．[2023届·西北工业大学附中·模拟考试]将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、乙两个家庭不能连排在一起（甲、乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有_________种.14．答案：72解析：设8张门票的编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8.若甲选123，则乙可以是56，67，78共3种，此时共有333A 18=种；若甲选234，则乙可以是67，78共2种，此时共有332A 12=种；若甲选345，则乙可以是78共1种，此时共有33A 6=种；若甲选456，则乙可以是12共1种，此时共有33A 6=种；若甲选567，则乙可以是12，23共2种，此时共有332A 12=种；若甲选678，则乙可以是12，23，34共3种，此时共有333A 18=种.综上所述，不同的分配方法有181266121872+++++=种.四、解答题15．[2024春·高一·青海西宁·期末]为了解学生的周末学习时间（单位：小时）,高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查,将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.根据直方图所提供的信息：(1)用分层抽样的方法在[)20,25和[]25,30中共抽取6人成立学习小组,再从该小组派3人接受检测,求检测的3人来自同一区间的概率;(2)估计这40名同学周末学习时间的25%分位数.15．答案：(1)1 5 ;(2)8.75小时.解析：(1)由图可知,40名学生中周末的学习时间在[)20,25的人数为0.035406⨯⨯=人,周末的学习时间在[]25,30的人数为0.0155403⨯⨯=人,从中用分层抽样抽取6人,则周末的学习时间在[)20,25的有4人,记为A,B,C,D;周末的学习时间在[]25,30的有2人,记为a,b;则再从中选派3人接受检测的基本事件有ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb, ADa,ADb,Aab,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,Bab,CDa,CDb,Cab,Dab共有20个,其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC,ABD,ACD,BCD共有4个,所以检测的3人来自同一区间的概率41205 P==;(2)学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<,学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>,所以25%分位数在区间[)5,10内,则0.250.1 558.750.30.1-+⨯=-,所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.16．[2024春·高二·宁夏石嘴山·月考校考]2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G ，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G 的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G 、中国5G 的底气来自哪里.现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT 公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该IT 公司在1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x 123456收入y （百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，y ax b =+与e dx y c =⋅(a ，b ，c ，d 均为常数)哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7月份的5G 经济收入.(结果保留小数点后两位)（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：x yu 621()i i x x =-∑61()()iii x x y y =--∑61()()iii x x uu =--∑ 1.52e 2.66e 3.5021.15 2.8517.70125.35 6.734.5714.30其中，设ln u y =，ln i i u y =(1,2,3,4,5,6i =).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(21,2,3,,)i i x v n = ，其回归直线ˆˆˆvx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii Ri i x x v v x x β==--=-∑∑，ˆˆv x αβ=-16．答案：（1）e dx y c =⋅更适宜（2） 1.520.38e ˆx y +=，65.35百万元（3）分布列见解析，1解析：（1）根据散点图判断，e dx y c =更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型；（2）因为e dx y c =，所以两边同时取常用对数，得ln ln y c dx =+，设ln u y =，所以ln u c dx =+，因为 3.50x =， 2.85u =，所以61621()( 6.73ˆ0.380,17.70(iii ii x x u u dx x ==--==≈-∑∑所以ˆln 2.850.380 3.50 1.52c u dx=-≈-⨯=.所以ˆ 1.520.38u x =+，即ˆln 1.520.38y x =+，所以 1.520.38e ˆx y +=.令7x =，得 1.520.387 1.52 2.66ˆe e e 4.5714.3065.35y +⨯==⨯≈⨯≈，故预测该公司7月份的5G 经济收入大约为65.35百万元.（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X 的取值为0，1，2，2326C 1(0)C 5P X ===，113326C C 3(1)C 5P X ===，2326C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为：X 012P153515所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.17．[2024春·高三·内蒙古赤峰·开学考试校考]卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：合格品优等品甲生产线250250乙生产线300200（1）判断能否有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关；（2）用频率近似为概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7069.8415.0246.63510.82817．答案：（1）没有；（2）分布列见解析，95解析：（1）补充列联表如下：合格品优等品总计甲生产线250250500乙生产线300200500总计5504501000根据列联表中的数据，经计算得到221000(250200250300)10.10110.828550450500500K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.（2）由题意，甲生产线生产的产品中抽取优等品的频率为25015002=，乙生产线生产的产品中抽取优等品的频率为20025005=，所以估计从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取优等品的概率分别为12，25，由题意随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，()22139025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22211221312331C C 2525510P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2222211221313212372C C 2525525100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22211221212313C C 252555P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2212142525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X 01234P91003103710015125所以X 的期望()933711901234100101003255E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18．[2024春·高二·福建宁德·期末]毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75145～分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，13.σ=现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y ，求随机变量Y 的期望.(结果精确到0.01)；（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为12；若前一关通过，则本关通过的概率为13，已知甲同学第一关通过的概率为13，记甲同学通过第n 关的概率为n P ，请写出n P 的表达式，并求出n P 的最大值.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.18．答案：（1）0.012；（2）0.23；（3）13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n P 的最大值为49.解析：（1）由频率分布直方图，得()100.0050.0190.030.020.0021a a ⨯++++++=，解得0.012a =.（2）由题意得：800.05900.121000.191100.3μ=⨯+⨯+⨯+⨯1200.21300.121400.02109.2+⨯+⨯+⨯=，()2109.2,13X N ～，()()()122135.220.022752P X P X P X μσμσμσ--<≤+>=>+=≈，()10,0.02275Y B ～，()0.22750.23E Y np ==≈.（3）记甲同学第()*n n ∈N 关通过为事件n A ，依题意，113P =，当2n ≥时，()113n n P A A -=，()112n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为113P =，则1320721P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为221-，公比为16-的等比数列，所以13217216n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，113213213721672167n n n P --⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n P 随着n 的增大而减小，所以，249n P P ≤=，又4397>，所以n P 的最大值为49.19．[2024春·高二·江苏南通·月考校考]篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的.起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负.在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日.甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每人、每次进球与否都互不影响.（1）若23p =，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；（2）若1223p ≤≤，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：①设事件C 表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求()P C ；（结果用含p 的式子表示）②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？19．答案：（1）124；（2）①321388p p +；②15解析：（1）设事件i A 表示甲在一轮比赛中投进i 个球，i B 表示乙在一轮比赛中投进i 个球，()0123i =,,,，D 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球所以2031D A B A B =+()()()2031P D P A B P A B =+2332203133331111211C C C C 22323324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⨯⨯⨯⨯⎭⎝⎭⎝⎭（2）①()()()()203031P C P B A P B A P B A =++()3332231323311113C 1C 22288p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦⎝；②设随机变量X 表示n 轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，则有3213,88X B n p p ⎛⎫~+ ⎪⎝⎭，故()321388E X n p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要满足题意，则()3E X ≥，即3213388n p p ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，又12,23p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3231388n p p ≥+，令()321388f x x x =+，12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()3208f x x x '=+>在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()f x 的最大值为211354f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即321388p p +的最大值为1154，于是，3231388p p +的最小值为16211，因162141511<<，故理论上至少要进行15轮比赛.。

计数原理_2012~2018高考真题

计数原理_2012~2018高考真题

计数原理高考真题汇总2017~2018年一. 排列与组合1. (2018·新课标2·理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果, 哥德巴赫猜想是 “每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”, 如30=7+23, 在不超过30的素数中, 随机选取两个不同的数, 其和等于30的概率是( ) A.121 B. 141 C. 151 D. 181 [答案与解析].符合题意的素数有: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29共10个, 故不同的取法有210C =45种其中和为30的组合有: {7, 23}, {11, 19}, {13, 17}三种, 故P=453=151, 选C. 2. (2018·上海9)有编号互不相同的五个砝码， 共中5克， 3克， 1克砝码各一个， 2克砝码两个， 从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_____（结果用最简分数表示） [答案与解析].砝码有5个, 故不同的取法有35C =10种, 总质量为9克的仅{9, 3, 1}, {9, 2, 2}两种, 故P=102=51, 3. (2018·浙江)从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字, 从0, 2, 4, 6中任取2个数字, 一共可以组成____个没有重复数字的四位数.(用数学作答)[答案与解析].先从两组中各任取2个数作全排列, 减去0为首位的情况.即331325442425A C C A C C -=1260个4. (2018·新课标1·理) 从2位女生, 4位男生中选3人参加科技比赛, 且至少有1位女生入选, 则不同的选法共有______种. (用数字填写答案)[答案与解析].方法一: 先从两女生中选出1人, 余下2个名额在4男1女中任意选取.故2512C C =20, 但这里包括了2名女生入选的情况, 若2名女生入选再乘12C 就重复了, 所以, 即不同的选法共有20–1422C C =16.方法二: 在六人中任取三人, 减去作是男生的情况 3436C C -=16 方法三: 分女生有1人, 2人入选两种情况讨论2412C C +1422C C =165.（2017•新课标Ⅱ,6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A.12种B.18种C.24种D.36种 [答案与解析].D 4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选D ．6.（2017·天津,14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答） [答案与解析].1 080 根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A 54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C 53•C 41=40种取法， 将取出的4个数字全排列，有A 44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．7.（2017•浙江,16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有____种不同的选法．（用数字作答) [答案与解析]. 660第一类，先选1女3男，有C 63C 21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种， 故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C 62C 22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种， 故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660二. 二项式定理1. (2018·全国3·理)522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 4的系数为( )A. 10B. 20C. 40D. 80[答案与解析].T r+1=r r r r x x C --2)5(25, 由10–2r –r=4, 解得r=2, 于是所求系数为2252⨯C =40, 故选C.2. (2018·天津·理10)在521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中x 2的系数为_______[答案与解析]. T r+1=2552r rrrxxC ---,由25r r --=2, 解得r=2, 于是所求系数为2252-⨯C =25 3 (2018·上海3)在(1+x )7的二项展开式中, x 2项的系数为________ (结果用数值表示)[答案与解析].4. (2018·浙江)二项式8321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的常数项是______ .[答案与解析].5.（2017•新课标Ⅰ,6）（1+）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（ ）A.15B.20C.30D.35[答案与解析].C （2x ﹣y ）5的展开式的通项公式： T r+1=（2x ）5﹣r （﹣y ）r =25﹣r （﹣1）rx 5﹣r y r ．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2． ∴（x+y ）（2x ﹣y ）5的展开式中的x 3y 3系数=+23×=40．故选C ．6.（2017•新课标Ⅲ,4）（x+y ）（2x ﹣y ）5的展开式中的x 3y 3系数为 （ ） A.﹣80 B.﹣40 C.40 D.80[答案与解析].C （1+ ）（1+x）6展开式中：若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C．7.（2017•浙江,13）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=________，a5=________．[答案与解析].16；4 多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4．故答案为：16；4．8.（2017•山东,11）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．[答案与解析]. （1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1= （3x）r=3r x r．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．2015~2016年一. 排列与组合1.(2016·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9[答案与解析].B [从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E 点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.]2.(2016·全国Ⅲ，12)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A.18个 B.16个 C.14个 D.12个[答案与解析].C [第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A24种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C34种，共2＋8＋4＝14.]3.(2016·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72[答案与解析].D [由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13·A44＝72.选D.]4.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多[答案与解析].B [取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]5.(2015·四川，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个[答案与解析].B [由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A 34＝72个；若万位是4，则有2×A 34个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.]6.(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).[答案与解析].1 560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言.]二. 二项式定理1.(2016·四川，2)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.-15x 4 B.15x 4 C.-20i x 4 D.20i x 4[答案与解析]. A [由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.选A.]2.(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60[答案与解析].C [T k ＋1＝C k 5(x 2＋x )5－k y k ，∴k ＝2.∴C 25(x 2＋x )3y 2的第r ＋1项为C 25C r 3x 2(3－r )x r y 2，∴2(3－r )＋r ＝5，解得r ＝1，∴x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.]3.(2015·湖南，6)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a ＝( )A. 3B.－ 3C.6D.－6[答案与解析].D [⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5x 5－r 2(－1)r a r ·x －r 2＝(－1)r a r C r 5x 52－r ， 令52－r ＝32，则r ＝1，∴T 2＝－a C 15x 32，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.]4.(2015·陕西，4)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7[答案与解析].C [由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n ＝15，即n （n －1）2＝15，解得n ＝6.]5.(2016·全国Ⅰ，14)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______________(用数字填写答案).[答案与解析].10 [(2x ＋x )5展开式的通项公式T k ＋1＝C k 5(2x )5－k (x )k＝C k 525－k x 5－k2，k ∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k 2＝3解得k ＝4，得T 5＝C 4525－4x 5－42＝10x 3，∴x 3的系数是10.] 6.(2016·北京，10)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________.[答案与解析]. 60 [展开式的通项T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝C r 6(－2x )r .令r ＝2得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.]7.(2015·北京，9)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答).[答案与解析].40 [展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r ，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3＝40.]8.(2015·天津，12)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________. [答案与解析].1516 [⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－14x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ；当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516.]2014年一. 计数原理1.(2014·大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种[答案与解析].C[从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.]2.(2014·辽宁，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24[答案与解析].D[3人中每两人之间恰有一个空座位，有A33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A33×A22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法.]3.(2014·四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种[答案与解析].B[当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种.故不同的排法共有A55＋C14A44＝9×24＝216种.]4 (2014·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168[答案与解析].B[依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.]5.(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对[答案与解析].C[法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.法二间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48对.]6.(2014·福建，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)[答案与解析].A[分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.]7.(2014·广东，8)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130[答案与解析].D[易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C15C12＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C25＋C25C12＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C35＋C35C13＋C35C23＝80种情况.由于10＋40＋80＝130，故答案为D.]8.(2014·北京，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.[答案与解析].36[将A、B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有48－12＝36种.]9 (2014·浙江，14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).[答案与解析].60 [分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C 23C 11A 24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).]二. 二项式定理1.(2014·湖北，2)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A.2 B.54 C.1 D.24[答案与解析].C [T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r＝27－r C r 7a r ·1x2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.]2.(2014·浙江，5)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A.45B.60C.120D.210[答案与解析].C [在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60,f (1，2)＝C 16·C 24＝36,f (0，3)＝C 34＝4，故选C.]3.(2014·四川，2)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10[答案与解析].C [只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可,而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.]4.(2014·湖南，4)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A.－20 B.－5 C.5 D.20[答案与解析].A [展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(12x )5－k ·(－2y )k ＝(－1)k ·22k －5C k 5x 5－k ·y k ，令5－k ＝2，得k ＝3.则展开式中x 2y 3的系数为(－1)3·22×3－5C 35＝－20，故选A.]5.(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字填写答案).[答案与解析].－20 [由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20.]6.(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________(用数字作答). [答案与解析].12 [T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ,令10－r ＝7,得r ＝3,∴C 310a 3＝15，即10×9×83×2×1a 3＝15,∴a 3＝18，∴a ＝12.]7.(2014·安徽，13)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋xa n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________. [答案与解析].3 [根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4， 结合二项式定理得⎩⎨⎧C 1n ·1a＝3，C 2n·1a 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝83a ，n ＝3a ，解得a ＝3.]8.(2014·山东，14)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________. [答案与解析].2[T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝⎛⎭⎫b x r＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，则r ＝3. ∴C 36a 3b 3＝20，即ab ＝1.∴a 2＋b 2≥2ab ＝2，即a 2＋b 2的最小值为2.]9.(2014·大纲全国，13)⎝⎛⎭⎫ x y －yx 8的展开式中x 2y 2的系数为________(用数字作答). [答案与解析].70[T r ＋1＝C r 8·⎝⎛⎭⎫x y 8－r ·⎝⎛⎭⎫－y x r＝(－1)r ·C r 8·x 16－3r 2·y 3r －82，令⎩⎨⎧16－3r2＝2，3r －82＝2，得r ＝4.所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4·C 48＝70.]2013年一. 计数原理1. (2013·四川8). 从1, 3, 5, 7, 9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ,b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20答案C解析：lg lg a b -=lg ,=有4×5−2 =18种，2为情况所以选C2. (2013·福建5).满足a , b ∈{–1, 0, 1, 2}，且关于的方程ax 2+2x +b =0有实数解的有序数对的个数为（ ）A. 14B. 13C. 12D. 10[答案与解析]. B 方程ax 2+2x +b =0有实数解. 分类讨论.① 当a =0时, 2x +b =0有实数解, 此时b 可以取4个值, 故有4个有序数对. ② 当a ≠0时, 方程ax 2+2x +b =0有实数解. 则△=4–4ab ≥0, 即ab ≤1, 此时(2. 1), (1, 2), (2, 2)三个不符合题意, 故有3×4–3=9个 综上, 有9+4=13个.3. (2013·山东10). 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279[答案与解析]. B 有重复数字的三位数有9×10×10=900. 没有重复数字的三位数有2919A C =648. 所以有重复数字的三位数的个数为900–648=252.4. (2013·新课标II 14）). 从n 个正整数1, 2, 3, 4, 5, ... , n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是141，则n ＝_________。

2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版)

2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版)

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（ ）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（ ）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（ ）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考理科数学专题练习十四《计数原理》

高考理科数学专题练习十四《计数原理》

专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、考点45 中难某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( )A.715B.815C.115D.4152、考点45 中难某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( )A. 11 26B. 9 26C. 11 52D. 9 523、考点45 中难某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.7204、考点45 中难一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6B.12C.36D.725、考点45 中难某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )A.360种B.432种C.456种D.480种 6、考点45 难2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( )A.5040B.4800C.3720D.4920 7、考点46 易24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．248、考点46 易 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则=8a （ ）A.-180B.180C.45D.-45 9、考点46 易9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）A ．-1B ．1C ．-512D ．51210、考点46 中难已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-111、考点46 中难在二项式1121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,系数最大的项为( )A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项或第七项 12、考点46 中难332除以9的余数是( )A.1B.2C.4D.8第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学试题分类汇编 计数原理.pdf

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十四、计数原理 1.（重庆理4）的展开式中的系数相等，则n=A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 2.（天津理5）在的二项展开式中，的系数为 A． B． C． D． 【答案】C 3.（四川理12）在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则 A． B． C． D． 【答案】D 基本事件：其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数为其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数；其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数 4.（陕西理4）（x∈R）展开式中的常数项是 A．-20 B．－15C．15 D．20 【答案】C 5.（全国新课标理8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A）—40 （B）—20 （C）20 （D）40 【答案】D 6.（全国大纲理7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 【答案】B 7.（福建理6）（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于 A．80 B．40 C．20 D．10 【答案】B 8.（安徽理8）设集合则满足且的集合为 （A）57 （B）56 （C）49 （D）8 【答案】B 9.（安徽理12）设，则 . 【答案】0 10.（北京理12）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。

（用数字作答） 【答案】14 11.（浙江理13）设二项式（x-）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B， 若B=4A，则a的值是 。

【答案】2 12.（山东理14）若展开式的常数项为60，则常数的值为 . 【答案】4 13.（广东理10）的展开式中，的系数是 （用数字作答） 【答案】84 14.（湖北理11）的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示） 【答案】17 15.（湖北理15）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。

计数原理(理科专用)(解析版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)

计数原理(理科专用)(解析版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题19计数原理（理科专用）1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，故选：B2．【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据C⨯=种不同的分配方案，乘法原理，完成这件事，共有254!240故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.3．【2020年新课标1卷理科】25()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r r r C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r r r r T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r r r r r r r xT xC xy C x y --+==和22542155r r r r r r r T C x y x C y y y x x --++==在615r r r r xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+=故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.4．【2020年新课标2卷文科】如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称ai ，aj ，ak 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称ai ，aj ，ak 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A ．5B ．8C ．10D ．15【答案】C【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i -=-=，原位小三和弦满足4,3k j j i -=-=从1i =开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i -=-=．∴1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===．原位小三和弦满足：4,3k j j i -=-=．∴1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===．故个数之和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．5．【2020年新高考1卷（山东卷）】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.6．【2020年新高考2卷（海南卷）】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【解析】【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7．【2019年新课标3卷理科】（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．8．【2018年新课标3卷理科】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】【详解】分析：写出103152r r r r T C x -+=⋅⋅，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C ⋅⋅==点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．9．【2022年新高考1卷】1−(+p 8的展开式中26的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】1−+8可化为+8−+8，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为1+8=+8+8，所以1+8的展开式中含26的项为C 8626−8535=−2826，1−+8的展开式中26的系数为-28故答案为：-2810．【2020年新课标2卷理科】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11．【2020年新课标3卷理科】262(x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】 622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rr r r C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r rx C x --⋅=⋅1236(2)r r rC x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()n a b +的展开通项公式1C r n r r r n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.12．【2018年新课标1卷理科】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.。

高考数学《计数原理》综合复习练习题(含答案)

高考数学《计数原理》综合复习练习题(含答案)

高考数学《计数原理》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．62．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有（ ）种 A ．6B ．4C ．3D ．23．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有 A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种5．若2228n n n A C --=，则n =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ） A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种7．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．－5B ．5C ．－10D ．108．我国拥有包括民俗、医药、文学、音乐等国家级非物质文化遗产3000多项，下图为民俗非遗数进前10名省份排名，现从这10个省份中任取2个，则这2个省份民俗非遗数量相差不超过1个的概率为（ ）A ．215B ．15C ．415 D ．259．()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．0B ．20C ．10D ．3010．某旅行社有A 、B 、C 、D 、E 共五条旅游线路可供旅客选择，其中A 线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ） A ．720种B ．360种C ．320种D ．288种11．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ） A ．18个 B ．15个 C ．10个D ．9个12．设100210001210032)x a a x a x a x -=++++（， 若02410012a a a a m k +++++=()k ∈Z ，则实数m 可能是（ ） A ．3B ．9C ．10D ．11二、填空题13．若2110n P =，则n =______．14．6432⎭的展开式中系数为有理数的各项系数之和为________. 15．412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是___________．16．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有__________种.三、解答题17．（1）求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94．求常数a 的值．18．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式1nx ⎫⎪⎭，若______，求：(1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项．19．已知()2nn N x *⎫∈⎪⎭的展开式中前三项的二项式系数之和为46，(1)求n ；(2)求展开式中系数最大的项．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项；(3)展开式中所有有理项.21．在二项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．(1)求展开式中各项的系数和； (2)求展开式中的有理项．22．求()2123x -的展开式中： (1)各项系数之和； (2)各项系数的绝对值之和； (3)系数最小的项.23．已知二项式()23nx x +．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项； （2）若3,2020x n ==，求二项式的值被7除的余数．24．已知函数()()20121nn n n f x x a a x a x a x λ=+=++++，其中R λ∈．（1）若2,2020n λ=-=，求0242020a a a a ++++的值；（2）若78,1024n a ==，求()0,1,2,3,,8i a i =的最大值；（3）若1λ=-，求证：()0nkknn k k k Cx f x x n -==∑参考答案1．B2．A3．D4．D5．C6．C7．D8．A9．B10．D11．C12．D 13．11 14．117 15．70 16．3617．（1）由题意，二项式9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()9218319911C C 22r rrrr r r T x xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1830r -=，可得6r =， 6679121C 216T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式的常数项为2116． （2）由二项式9a x ⎛ ⎝展开式为93992199C C rrrr r r r r a T a x x ---+⎛⎛⎛⎫==⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎝， 令3932r -=，解得8r =，因为9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94，可得88994(C a ⋅=⋅，解得4a =. 18．(1)解：选①，由012C C C 22n n n ++=，得6n =（负值舍去）．选②，令1x =，可得展开式中所有项的系数之和为0．由010264n n n n n C C C +++-==，得6n =．选③，设第1r +项为常数项，()321C 1n r r r r nT x-+=-，由2302r n r =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得6n =．由6n =得展开式的二项式系数最大为36C ，则展开式中二项式系数最大的项为()33332246C 120T xx --=-=-．(2)解：设第1r +项为有理项，()63216C 1r rr r T x-+=-，因为06r ≤≤，r ∈N ，632rZ -∈，所以0,2,4,6r =，则有理项为03316C T x x ==，2036C 15T x ==，43356C 15T x x --==，66676C T x x --==．19．(1)由题意得：()01211462n n n n n C C C n -++=++=，解得：9n =或10-，因为n N *∈，所以10n =-（舍去），从而9n = (2)二项式的展开式通项为：()9192rrr r T C x x -+⎛⎫==⎪⎝⎭，则系数为92r rC ⋅，要求其最大值，则只要满足119911992222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即，解得：172033r ≤≤，因为r N ∈，所以6r =，所以系数最大项为693627925376T C x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭ 20．（1）32nx x 展开式的通项公式为13C 2kn kkk n T x x -+=⋅3561C 2n kk n k x -=， 依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以832x x 的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x .（3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．(1)恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ 8n =，∴ 二项式812x ⎫⎪⎭中，令1x = ，展开式中各项的系数和为81112256⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)通项为 848318811()()22r r rr r r r T C C x x --+=-=- ，r=0，1，2，…，8. 当843r-为整数，即2,5,8r =时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即22038172T C x ⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭；5544681724T C x x --⎛⎫=-⋅⋅=- ⎪⎝⎭；888898112256T C x x --⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭.22．（1）解：设()21201901212122...3a x a x a x a x =++++-， 令1x =，得()2122110.213..1a a a a ++++⨯-==-； 所以()2123x -的展开式各项系数之和为-1； （2）令=1x -，得()210122211...5213a a a a --+-++==-⨯-， 两式相减得：()0220211 (152)a a a +++=-+， 两式相加得：()1321211 (152)a a a +++=--， 所以()2123x -的展开式各项系数的绝对值之和为()()012102201321.........a a a a a a a a a +++=+++-+++，()()221112111515522=-+---=； （3）()2123x -的展开式的通项公式为：()()()212121212112233rrrr rr r r x T x C C ---+=-=-，系数的绝对值为212123rr r C -，设第r +1项的系数绝对值最大，则2112012121211221212123232323r r r r r r r r r r r r C C C C -+-+----⎧≥⎨≥⎩，解得616655r ≤≤， 则13r =，即系数的绝对值的最大值为131321823C ， 因为13为奇数，所以()131313132181822323C C -=-，即第14项的系数最小， 所以系数最小的项为1313821823x C -23．（1）二项式2(3)n x x +的二项式系数之和为512，2512n ∴=，9n ∴=．由1999119133,1,2,,933r r r r r r r r C C r C C --++⎧⋅⋅=⎨⋅⋅⎩，解得：7r =，展开式中系数最大的项为第8项，为6777789922161(3)787323T C x x C x x ⋅===．（2）若3x =，2020n =， 220202020(3)30(282)n x x +==+202012019201920192020202020202020282822822282C C K =+⋅++⋅+⋅+⋅=问题转化为20202被7除的余数，202067367306731672267167267367367367367236732282(71)2[77771]C C C C C ⋅⋅⋅=⋅=+=⋅++⋯++⋅⋅+272k =⨯+，即余数为2．24．（1）2λ=-，2020n =时，()()2020220202020012202012f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+， 令1x =，得()2020012320192020121a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++=，令=1x -，得()20202020012320192020123a a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅-+=，两式相加可得202002420182020312a a a a a ++++⋅⋅⋅++=． （2）()()828801281f x x a a x a x a x λ=+=+++⋅⋅⋅+，777810242a C λλ==⇒=，不妨设t a 为i a (0,1,2,3,,8)i =⋅⋅⋅中的最大值，则11t t t t a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，118811882222t t t t t t t t C C C C --++⎧≥∴⎨≥⎩，解得：65t t ≤⎧⎨≥⎩，5t ∴=或6， i a 中最大值为55665688221792a a C C ====．（3）若1λ=-，()()1nn f x x =-，()()()()()12000112200121111nn n n kk n n nn k n n n n k k n Cx f x C x x C x x C x x C x x n n n n n---==-+-+-+⋅⋅⋅+-∑， 因为()()()()()()()()111!1!!!!1!!1!11!kk nn n n k n k C C n k n k n k n k k n k ----=⋅===--⋅-----⎡⎤⎣⎦所以()()()()1200122111100111nn n kk n nnn k n n n k k C x f x C x x C x x C x x n-------==+-+-+⋅⋅⋅+-∑． ()()()120001111111111n n n n n n n x C x x C x x C x x -------⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦()11n x x x x -=+-=⎡⎤⎣⎦．。

高考数学 计数原理、排列与组合 高考真题

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专题十 计数原理10.1 计数原理、排列与组合考点 计数原理、排列、组合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种 答案 C 解题思路:第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C 61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C 52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C 33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C (易错:注意分配到每个场馆的志愿者是不分顺序的,所以不用全排列).2.(2022新高考Ⅱ,5,5分,应用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )A.12种B.24种C.36种D.48种 答案 B 丙和丁相邻共有A 22·A 44种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有C 21·A 22·A 33种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有A 22·A 44−C 21·A 22·A 33=24种站法,故选B .3.(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种 答案 C 先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有C 52=10种分法,然后将4个项目全排列,共有A 44=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有C 52·A 44=240种,故选C .易错警示 本题容易出现将5人分为4组,共有分法C 52·C 31·C 21=60种的错误结果.4.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72答案 D 奇数的个数为C 31A 44=72.5.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案B数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2A43=48个;同理,以5开头的有3A43=72个.于是共有48+72=120个,故选B.评析本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.6.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有C62·C51=75种.故选C.7.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有A43=24种放法,故选D.8.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A44=24种排法,所以共有120+4×24=216种排法.9.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A43=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有A33·A22·A22=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.10.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.评析本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.11.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种答案A2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有C42种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A22种方案,故不同的安排方案共有C42A22=12种,选A.评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.12.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.评析本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.13.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由题意及C62=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A3 2人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D.14.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.思路分析小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分步乘法计数原理即可得结果.15.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C当m=4时,数列{a n}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有C41=4种情况;②若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有C31=3种情况;③若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:①若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有C31=3种情况;②若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.思路分析根据题意可知a1=0,a8=1,进而对a2,a3,a4取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不漏),从而利用分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.16.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 260解析本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想.含有数字0的没有重复数字的四位数共有C52C31A31A33=540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共有C52C32A44=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.易错警示数字排成数时,容易出错的地方:(1)数字是否可以重复;(2)数字0不能排首位.17.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560解析∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1 560条毕业留言.18.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4A44=96.19.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)答案480解析先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有A44=24种排法,再将甲、乙插入有A52=20种,所以6人排成一行,甲、乙不相邻的排法共有24×20=480种.20.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案480解析从左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120种;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法A22·A33+A32·A33=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种.21.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)答案14解析解法一:数字2只出现一次的四位数有C41=4个;数字2出现两次的四位数有C42C22=6个;数字2出现三次的四位数有C43=4个.故总共有4+6+4=14个.解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.评析本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.。

高考数学理科计数原理.pdf

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数，则这样的偶数的个数是 ________．
10． (2016
·连云港一模
)设 (5x－
1
n
)
的展开式的各项系数和为
x
－N＝ 240，则展开式中 x 的系数为 ________．
M ，二项式系数和为 N，若 M
11．用字母 A， Y，数字 1,8,9 构成一个字符不重复的五位号牌，要求字母
A， Y 不相邻，数
5 种选择， 最后两项实验的顺序
16． 解 甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法可以分为两类：
甲、乙所选的课程中 2 门均不相同， 甲先从 4 门中任选 2 门，乙选取剩下的 2 门，有 C24C22＝
6(种 )；甲、乙所选的课程中有且只有 1 门相同，分为 2 步： ① 从 4 门中先任选 一门作为相
3． 480
解析
不同的排法种数为
2(A
55＋
A
2
4A
33＋
A
2
3A
33＋
A
2 2
A
3
3)
＝
480.
4． 84
解析
依题意，二项式
(x2－
1 x)
9
的展开式的通项是
Tr
＋
1＝
Cr9·(x2)
9－
r
·(－
1 x)
r
＝
C
r
9·(－
1)
r
18－
·x
3r
.
令 18－ 3r＝ 0，得 r ＝ 6，因此 (x2－ 1x)9 的展开式中的常数项是
＋
C
1 1
000000x1
000
＝
(1
＋

高考数学计数原理大题解析

高考数学计数原理大题解析

高考数学计数原理大题解析计数原理是高考数学中的一个重要概念，考查学生对于排列组合和概率等知识的理解和运用能力。

本文将通过对高考数学计数原理大题的解析，帮助同学们更好地掌握该知识点。

一、排列组合（Permutation and Combination）排列组合是计数原理的基础，主要讲解不同元素之间的排列和组合方式。

在高考中经常涉及到求解不同条件下的排列组合问题，具体题型包括：从n个元素中取出r个元素进行排列、组合的情况。

例如：某班有8个男生和5个女生，要从中选出3个代表参加演讲比赛，请问有多少种不同的选择方式？解析：这是一个典型的组合问题，从13个学生中选择3个参加演讲比赛。

根据组合的定义，可以利用组合公式C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)进行计算。

代入n=13，r=3，得到C(13,3) = 13! / (3! * (13-3)!) = 286。

因此，共有286种不同的选择方式。

二、排列（Permutation）排列是指从n个元素中取r个元素进行排列，不同的排列顺序被视为不同的结果。

在高考数学中，经常涉及到排列的题目，需要理解并掌握排列的计算方法。

例如：有5个人参加马拉松比赛，其中前三名将获得奖牌，请问共有多少种不同的获奖排名方式？解析：这是一个排列问题，从5个人中选择3个进行排列。

根据排列的定义，可以利用排列公式A(n,r) = n! / (n-r)!进行计算。

代入n=5，r=3，得到A(5,3) = 5! / (5-3)! = 60。

因此，共有60种不同的获奖排名方式。

三、多重计数原理（Multinomial Principle）多重计数原理是计数原理的扩展，适用于一次抓取多个元素的排列组合问题。

在高考数学中，多重计数原理常常应用于计算拆分和分组问题。

例如：某班有8个男生和5个女生，要从中选出5人组成一个小组进行活动，请问有多少种不同的组合方式？解析：这是一个组合问题，从13个学生中选择5个组成一个小组。

2023年全国乙卷理科数学高考真题(含参考答案)

2023年全国乙卷理科数学高考真题(含参考答案)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学（含参考答案）一、选择题1.设252i1i i z +=++，则z =（）A.12i- B.12i+ C.2i- D.2i+2.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（）A.∁∪B.∪∁C.∁∩D.∪∁3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.304.已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A.2- B.1- C.1 D.25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18 B.16C.14D.126.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.27.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C.120种D.240种8.已知圆锥PO的底面半径为O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB的面积等于4，则该圆锥的体积为（）A.πB.C.3πD.9.已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D --为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.15B.25C.35D.2510.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A.－1B.12-C.0D.1211.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--12.已知O 的半径为1，直线P A 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A.12B.12+C.1+D.2二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.14.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.15.已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =______.16.设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是______.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率ix 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18.在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明：//EF 平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的正弦值.20.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是3，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．21.已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围.四、选做题【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-.（1）求不等式()6f x x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积.参考答案（2023·全国乙卷·理·1·★）设252i1i i z +=++，则z =（）（A ）12i -（B ）12i+（C ）2i -（D ）2i+答案：B解析：由题意，2252222i 2i 2i (2i)i i 2i 12i 1i i 11(i )i i iz ++++=====--=-++-+，所以12i z =+.（2023·全国乙卷·理·2·★）设全集U =R ，集合{|1}M x x =<，{|12}N x x =-<<，则{|2}x x ≥=（）（A ）∁∪（B ）∪∁（C ）∁∩（D ）∪∁答案：A解析：正面求解不易，直接验证选项，A 项，由题意，{|2}M N x x =< ，所以(){|2}U M N x x =≥ ð，故选A.（2023·全国乙卷·理·3·★）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）（A ）24（B ）26（C ）28（D ）30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.（2023·全国乙卷·理·4·★★）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则a =（）（A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）2答案：D解法1：要求a ，可结合偶函数的性质取特值建立方程，由()f x 为偶函数得(1)(1)f f -=，故1e ee 1e 1a a ---=--①，又111e e e e 11e e 1a a a a ------==---，代入①得1e ee 1e 1a a a -=--，所以1e e a -=，从而11a -=，故2a =，经检验，满足()f x 为偶函数.解法2：也可直接用偶函数的定义来分析，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=恒成立，从而e e e 1e 1x x ax ax x x ---=--，故e e e 1e 1x x ax ax ---=--，所以e e e 1e e 1x ax x axax --⋅=--，从而e e e 1e 1ax x xax ax -=--，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，故(2)0a x -=，此式要对定义域内任意的x 都成立，只能20a -=，所以2a =.（2023·全国乙卷·理·5·★）设O 为平面坐标系的原点，在区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4的概率为（）（）（A ）18（B ）16（C ）14（D ）12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·理·6·★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2(,)63ππ单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图象的两条对称轴，则5()12f π-=（）（A ）（B ）12-（C ）12（D 答案：D解析：条件中有两条对称轴，以及它们之间的单调性，据此可画出草图来分析，如图，2362T T πππ-=⇒=，所以22Tπω==，故2ω=±，不妨取2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+，再求ϕ，代一个最值点即可，由图可知，()sin(2)sin()1663f πππϕϕ=⨯+=+=-，所以232k ππϕπ+=-，从而52()6k k πϕπ=-∈Z ，故55()sin(22)sin(2)66f x x k x πππ=+-=-，所以5555(sin[2()]sin()sin 12126332f πππππ-=⨯--=-==.（2023·全国乙卷·理·7·★★）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）（A ）30种（B ）60种（C ）120种（D ）240种答案：C解析：恰有1种课外读物相同，可先把相同的课外读物选出来，再选不同的，由题意，先从6种课外读物中选1种，作为甲乙两人相同的课外读物，有16C 种选法，再从余下5种课外读物中选2种，分别安排给甲乙两人，有25A 种选法，由分步乘法计数原理，满足题意的选法共1265C A 120=种.（2023·全国乙卷·理·8·★★★）已知圆锥PO ，O 为底面圆心，P A ，PB 为圆锥的母线，o 120AOB ∠=，若PAB ∆的面积等于，则该圆锥的体积为（）（A ）π（B （C ）3π（D ）答案：B解析：求圆锥的体积只差高，我们先翻译条件中的PAB S ∆，由于P A ，PB 和APB ∠都未知，所以不易通过1sin 2PAB S PA PB APB ∆=⋅⋅∠求P A ，再求PO ，故选择AB 为底边来算PAB S ∆，需作高PQ ，而AB 可在AOB ∆中求得，在AOB ∆中，由余弦定理，222AB OA OB =+-2cos 9OA OB AOB ⋅⋅∠=，所以3AB =，取AB 中点Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ AB ⊥，PQ AB ⊥，所以1133222PAB S AB PQ PQ PQ ∆=⋅=⨯⨯=，又4PAB S ∆=，所以324PQ =，故2PQ =，在AOQ ∆中，o 1602AOQ AOB ∠=∠=，所以cos OQ OA AOQ =⋅∠=OP =所以圆柱PO 的体积213V π=⨯=.（2023·全国乙卷·理·9·★★★）已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角C ABD --为o 150，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）（A ）15（B ）25（C （D ）25答案：C解析：两个等腰三角形有公共的底边，这种情况常取底边中点构造线面垂直，如图，取AB 中点E ，连接DE ，CE ，由题意，DA DB =，AC BC =，所以AB DE ⊥，AB CE ⊥，故DEC ∠即为二面角C AB D --的平面角，且AB ⊥平面CDE ，所以o 150DEC ∠=，作DO CE ⊥的延长线于O ，则DO ⊂平面CDE ，所以DO AB ⊥，故DO ⊥平面ABC ，所以DCO ∠即为直线CD 与平面ABC 所成的角，不妨设2AB =，则1CE =，DE =，因为o 150DEC ∠=，所以o 30DEO ∠=，故3cos 2OE DE DEO =⋅∠=，sin OD DE DEO =⋅∠=52OC OE CE =+=，所以tan OD DCO OC ∠==.【反思】两个等腰三角形有公共底边这类图形，常取底边中点，构造两个线线垂直，进而得出线面垂直.（2023·全国乙卷·理·10·★★★★）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合*{cos |}n S a n =∈N ，若{,}S a b =，则ab =（）（A ）1-（B ）12-（C ）0（D ）12答案：B解析：由题意，S 中的元素为1cos a ，2cos a ，3cos a ，…，由于cos y x =周期为2π，恰为公差的3倍，所以cos n a 必以3为周期重复出现，故只需考虑前三个值.但题干却说{,}S a b =，只有两个元素，为什么呢？这说明前三个值中恰有两个相等，若讨论是哪两个相等来求1a ，则较繁琐，我们直接画单位圆，用余弦函数的定义来看，如图，由三角函数定义可知，在终边不重合的前提下，余弦值相等的两个角终边关于x 轴对称，所以要使1cos a ，2cos a ，3cos a 中有两个相等，则1a ，2a ，3a 的终边只能是如图所示的两种情况，至于三个终边哪个是1a ，不影响答案，只要它们逆时针排列即可，若为图1，则131cos cos 2a a ==，2cos 1a =-，所以S 中的元素是12和1-，故12ab =-；若为图2，则1cos 1a =，231cos cos 2a a ==-，所以S 中的元素是1和12-，故12ab =-.（2023·全国乙卷·理·11·★★★）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可能为线段AB 中点的是（）（A ）(1,1)（B ）(1,2)-（C ）(1,3)（D ）(1,4)--答案：D解析：涉及弦中点，考虑中点弦斜率积结论，A 项，记(1,1)M ，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，因为1OM k =，所以9AB k =，又直线AB 过点M ，所以AB 的方程为19(1)y x -=-，即98y x =-①，只要该直线与双曲线有2个交点，那么A 项就正确，可将直线的方程代入双曲线方程，算判别式，将①代入2219y x -=整理得：272144730x x -+=，21(144)47273144(144273)2880∆=--⨯⨯=⨯-⨯=-<，所以该直线与双曲线没有两个交点，故A 项错误，同理可判断B 、C 也错误，此处不再赘述；D 项，记(1,4)N --，则4ON k =，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，所以94AB k =，又直线AB 过点N ，所以AB 的方程为91(1)4y x -=-，整理得：9544y x =-②，将②代入2219y x -=整理得：263901690x x +-=，判别式2290463(169)0∆=-⨯⨯->，所以该直线与双曲线有两个交点，故D 项正确.（2023·全国乙卷·理·12·★★★★）已知⊙O 半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）（A ）122（B ）1222+（C ）1+（D ）2+答案：A解析：1OA =，1PO PA =⇒==，所以cos cos PA PD PA PD APD PD APD ⋅=⋅∠=∠ ①，且PAO ∆是等腰直角三角形，所以4APO π∠=，因为D 是BC 的中点，所以OD BC ⊥，求PA PD ⋅要用APD ∠，故可设角为变量，引入CPO ∠为变量，可与直角PDO ∆联系起来，更便于分析，设CPO θ∠=，则04πθ≤<，有图1和图2两种情况，要讨论吗？观察发现图2的每一种PD ，在图1中都有一个对称的位置，二者PD相同，但图2的夹角APD ∠更大，所以cos APD ∠更小，数量积也就更小，从而PA PD ⋅的最大值不会在图2取得，故可只考虑图1，如图1，4APD APO CPO πθ∠=∠-∠=-，代入①得cos()4PA PD PD πθ⋅=- ①，注意到PD与θ有关，故将它也用θ表示，统一变量，由图可知，cos PD PO DPC θ=∠=，代入①得：cos()4PA PD πθθ⋅=-222sin)cos sin cos22θθθθθθ=+=+1)1cos214sin2222πθθθ+++=+=，故当8πθ=时，sin(214πθ+=，PA PD⋅取得最大值12+.（2023·全国乙卷·理·13·★）已知点A在抛物线2:2C y px=上，则点A到C的准线的距离为_____.答案：94解析：点A在抛物线上25212p p⇒=⋅⇒=，所以抛物线的准线为54x=-，故A到该准线的距离591()44d=--=.（2023·全国乙卷·理·14·★）若x，y满足约束条件312937x yx yx y-≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y=-的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：=2−，移项得=2−，联立有3129x yx y-=-⎧⎨+=⎩，解得52xy=⎧⎨=⎩，设()5,2A，显然平移直线2y x=使其经过点A，此时截距−最小，则最大，代入得=8（2023·全国乙卷·理·15·★★）已知{}na为等比数列，24536a a a a a=，9108a a=-，则7a=_____.答案：2-解析：已知和要求的都容易用通项公式翻译，故直接翻译它们，34252453611111a a a a a a qa q a q a q a q=⇒=，化简得：11a q=①，8921791011188a a a q a q a q=-⇒==-②，由①可得11aq=，代入②得：158q=-，所以52q=-③，结合①③可得6557112a a q a q q q==⋅==-.（2023·全国乙卷·理·16·★★★★）设(0,1)a ∈若函数()(1)x x f x a a =++在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____.答案：51[,1)2解析：直接分析()f x 的单调性不易，可求导来看，由题意，()ln (1)ln(1)x x f x a a a a '=+++，因为()f x 在(0,)+∞上，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即ln (1)ln(1)0x x a a a a +++≥，参数a 较多，没法集中，但x 只有两处，且观察发现可同除以x a 把含x 的部分集中起来，所以(1)ln ln(1)0x xa a a a +++≥，故1ln (1)ln(1)0x a a a+++≥①，想让式①恒成立，只需左侧最小值0≥，故分析其单调性，因为111a+>，11a +>，所以ln(1)0a +>，从而1ln (1)ln(1)x y a a a =+++在(0,)+∞上，故011ln (1ln(1)ln (1ln(1)ln ln(1)x a a a a a a a a+++>+++=++，所以①恒成立ln ln(1)0a a ⇔++≥，从而ln[(1)]0a a +≥，故(1)1a a +≥，结合01a <<解得：112a ≤<.（2023·全国乙卷·理·17·★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验，选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，(1,2,,10)i y i =⋅⋅⋅，试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记(1,2,,10)i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s .（1）求z ，2s ，（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）解：（1）由题意，i z 的数据依次为9，6，8，8-，15，11，19，18，20，12，所以10111()(9688151119182012)111010i i i z x y ==-=++-++++++=∑，10222222222111()[(911)(611)(811)(811)(1511)(1111)(1911)1010i i s z z ==-=-+-+-+--+-+-+-+∑222(1811)(2011)(1211)]61-+-+-=.（2）由（1）可得z =，所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·理·18·★★★）在ABC ∆中，已知o 120BAC ∠=，2AB =，1AC =.（1）求sinABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且o 90BAD ∠=，求ADC ∆的面积.解：（1）（已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边，再用正弦定理求角）由余弦定理，22222o 2cos 21221cos1207BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯==，由正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，所以o sin sin 14AC BAC ABC BC ⋅∠∠===.（2）如图，因为o 120BAC ∠=，o 90BAD ∠=，所以o 30CAD ∠=，（求ADC S ∆还差AD ，只要求出ABC ∠，就能在ABD ∆中求AD ，ABC ∠可放到ABC ∆中来求）由余弦定理推论，222cos2AB BC AC ABC AB BC +-∠===⋅，所以cos AB BD ABC ==∠，AD ==故o 11sin 1sin 3022ADCS AC AD CAD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=.（2023·全国乙卷·理·19·★★★★）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD ，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的大小.解：（1）证法1：（由图可猜想DEFO 是平行四边形，故尝试证DE 平行且等于OF .注意到D ，E ，O 都是所在棱的中点，故若能证出F 是中点，则DE ，OF 都平行且等于AB 的一半，问题就解决了.那F 的位置由哪个条件决定呢？显然是BF AO ⊥，我们可以设AF AC λ=，利用向量来翻译BF AO ⊥，求出λ）设AF AC λ= ，则()(1)BF BA AF BA AC BA BC BA BA BC λλλλ=+=+=+-=-+ ，12AO AB BO BA BC =+=-+ ，因为BF AO ⊥，所以1((1))()2BF AO BA BC BA BC λλ⋅=-+⋅-+ 22(1)4(1)402BA BC λλλλ=-+=-+= ，解得：12λ=，所以F 是AC 的中点，又D ，E ，O 分别是BP ，AP ，BC 的中点，所以DE 和OF 都平行且等于AB 的一半，故DE 平行且等于OF ，所以四边形DOFE 是平行四边形，故EF ∥OD ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO .证法2：（分析方法同解法1，证明F 为AC 中点的过程，也可用平面几何的方法）如图1，在ABC ∆中，因为BF AO ⊥，所以o 21AOB AOB ∠+∠=∠+∠=12∠=∠又2AB =，BC =O 为BC 中点，所以BO =tan 1BO AB ∠==tan 3AB BC ∠==，所以tan 1tan 3∠=∠，故13∠=∠，结合①可得23∠=∠，所以BF CF =，连接OF ，因为O 是BC 中点，所以OF BC ⊥，又AB BC ⊥，所以OF ∥AB ，结合O 为BC 中点可得F 为AC 的中点，接下来同证法1.（2）（要证面面垂直，先找线面垂直，条件中有AO BF ⊥，于是不外乎考虑证AO ⊥面BEF 或证BF ⊥面AOD ，怎样选择呢？此时我们再看其他条件，还没用过的条件就是一些长度，长度类条件用于证垂直，想到勾股定理，我们先分析有关线段的长度）由题意，1622DO PC ==，302AD ==，AO ==所以222152AO DO AD +==，故AO OD ⊥，（此时结合OD ∥EF 我们发现可以证明AO ⊥面BEF ）由（1）可得EF ∥OD ，所以AO EF ⊥，又AO BF ⊥，且BF ，EF 是平面BEF 内的相交直线，所以AO ⊥平面BEF ，因为AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .（3）解法1：（此图让我们感觉面PBC ⊥面ABC ，若这一感觉正确，那建系处理就很方便.我们先分析看是不是这样的.假设面PBC ⊥面ABC ，由于AB BC ⊥，于是AB ⊥面PBC ，故AB BD ⊥，但我们只要稍加计算，就会发现222AB BD AD +≠，矛盾，所以我们的感觉是不对的，也就不方便建系.怎么办呢？那就在两个半平面内找与棱垂直的射线，它们的夹角等于二面角的大小.事实上，这样的射线已经有了）由题意，AO BF ⊥，由前面的过程可知AO OD ⊥，所以射线OD 与BF 的夹角与所求二面角相等，（OD 与BF 异面，直接求射线OD 和BF 的夹角不易，故考虑通过平移使其共面，到三角形中分析）因为OD ∥EF ，所以EFB ∠的补角等于射线OD 和BF 的夹角，由题意，AC ==，12BF AC =，12EF PC ==（只要求出BE ，问题就解决了，BE 是ABP ∆的中线，可用向量来算，先到ABD ∆中求cos ABP ∠）在ABD ∆中，2226cos 26AB BD AD ABP AB BD +-∠==-⋅，因为1()2BE BA BP =+ ，所以2221163(2)[4622()]4462BE BA BP BA BP =++⋅=⨯++⨯⨯-= ，故62BE =，在BEF ∆中，2222cos 22BF EF BE BFE BF EF +-∠==⋅，所以o 45BFE ∠=，故二面角D AO C --的大小为o 135.解法2：（得出所求二面角等于射线OD 与BF 夹角的过程同解法1.要计算此夹角，也可用向量法.观察图形可发现OA ，OB ，OD 的长度都已知或易求，两两夹角也好求，故选它们为基底，用基底法算OD 和BF的夹角）1113122()2()22222BF BCCF OB CA OB CBBA OB OB OA OB OB OA =+=-+=-++=-++-=-+，所以31313()cos 22222OD BF OD OD OB OD OA DOB BOD ⋅=⋅-+=-⋅+⋅=-⨯∠=-∠，又222cos 2OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅，所以32OD BF ⋅=- ，从而32cos ,ODBF OD BF OD BF-⋅<>==-⋅，故o ,135OD BF <>=，所以二面角D AO C --为o 135.解法3：（本题之所以不便建系，是因为点P 在面ABC的射影不好找，不易写坐标.那有没有办法突破这一难点呢？有的，我们可以设P 的坐标，用已知条件来建立方程组，直接求解P 的坐标）以B 为原点建立如图2所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，C ，O ，设(,,)(0)P x y z z >，则(,,222x y z D，由PB PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得2222226(6x y z x y z ⎧++=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得：y =，代回两方程中的任意一个可得224x z +=②，（此时发现还有AD =这个条件没用，故翻译它）又AD =，所以222222(2)5[(]244424x y z x y z -++=+-+，将y =代入整理得：22220x z x ++-=③，联立②③结合0z >解得：1x =-，z =，（到此本题的主要难点就攻克了，接下来是流程化的计算）所以123()222D -，故123()222DO =-，(AO =- ，设平面AOD 的法向量为(,,)xy z =m，则10220DO x y AO x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩m m ，令1x =，则y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以=m 是平面AOD 的一个法向量，由图可知(0,0,1)=n 是平面AOC 的一个法向量，所以2cos ,2⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角D AO C --为钝角，故其大小为o 135.【反思】当建系后有点的坐标不好找时，直接设其坐标，结合已知条件建立方程组，求解坐标，这也是一种好的处理思路.（2023·全国乙卷·理·20·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x +=（2）证明见详解解析：（1）由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得325a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.（2023·全国乙卷·理·21·★★★★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1(y f x=关于直线x b =对称？若存在，求a ，b 的值；弱不存在，说明理由；（3）若()f x 在(0,)+∞上存在极值，求a 的取值范围.解：（1）当1a =-时，1()(1)ln(1)f x x x =-+，2111()ln(1)(1)1f x x x x x'=-++-⋅+，所以(1)0f =，(1)ln 2f '=-，故所求切线方程为0ln 2(1)y x -=--，整理得：(ln 2)ln 20x y +-=.（2）由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数的定义域满足1110x x x ++=>，即函数的定义域为()(),10,-∞-⋃+∞，定义域关于直线12x =-对称，由题意可得12b =-，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =-，即()()11ln 22ln 2a a +=-，则12a a +=-，解得12a =，经检验11,22a b ==-满足题意，故11,22a b ==-.即存在11,22a b ==-满足题意.（3）由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点;令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++=，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=-+-+当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意;当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()''0,g x g x >'在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意；当102a <<时，由()''1201g x a x =-=+可得1=12x a -，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭'，令()()1ln 01m x x x x =-+<<，则()10x m x x-+'=>，函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=，据此可得1ln 0x x -+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+<⎪'⎝⎭，令()()2ln 0h x x x x x =-+>，则()221x x h x x-++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤-(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x .当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()000g x g <=.令()11ln 2n x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()22211111022x n x x x x--⎛⎫=-+=≤ ⎪⎝⎭'，则()n x 单调递减，注意到()10n =，故当()1,x ∈+∞时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，从而有11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+-+⨯+-⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令211022a x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得2x =0g >，所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．答案：（1）[2,2]-；（2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-（2）作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--=.。

专题13 计数原理(原卷版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)

专题13 计数原理(原卷版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)

专题13计数原理（理）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：利用二项式定理求项的系数2024年北京高考数学真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考天津数学高考真题2023年天津高考数学真题2024年天津高考数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年上海夏季高考数学真题今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．考点2：利用二项式定理求系数和问题2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考北京数学高考真题考点3：排列组合综合运用2024年上海夏季高考数学真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题考点1：利用二项式定理求项的系数1．（2024年北京高考数学真题）在(4x x 的展开式中，3x 的系数为（）A ．6B ．6-C ．12D ．12-2．（2022年新高考全国I 卷数学真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．3．（2022年新高考天津数学高考真题）523x x ⎫+⎪⎭的展开式中的常数项为.4．（2023年天津高考数学真题）在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为．5．（2024年天津高考数学真题）在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为．6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数中的最大值为．7．（2024年上海夏季高考数学真题）在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．考点2：利用二项式定理求系数和问题8．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．9．（2022年新高考北京数学高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-考点3：排列组合综合运用10．（2024年上海夏季高考数学真题）设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．11．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种13．（2022年新高考全国II 卷数学真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种14．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A ．120B ．60C ．30D ．2015．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种。

专题08 计数原理——2020年高考数学(理)母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)

专题08 计数原理——2020年高考数学(理)母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)

专题08 计数原理【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷理数】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r ∈N 且5r ≤），所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==，在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5，所以33x y 的系数为10515+=. 故选：C【名师点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 求得5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数为6264=，该重卦恰有3个阳爻的基本事件的个数为3363C C 20=，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为2064=516. 故选A ．【名师点睛】对利用排列、组合计算古典概型的问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题，再根据古典概型的概率计算公式可求解．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案） 【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有34C 4=种选法， 从6名学生中任意选3人有36C 20=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种. 故答案为：16．【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有2名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解．【命题意图】1.考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能力．2.考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力．【命题规律】1.排列、组合问题一般以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类和分步计数原理，也可能与古典概型相结合进行考查.2.高考对二项式定理的考查主要是利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型一般为选择题、填空题.【答题模板】1.求解排列、组合问题，一般步骤如下：第一步：分清分类和分步；第二步：分清排列与组合，确定解题方向，根据问题有序和无序，确定是排列问题还是组合问题；第三步：正确应用公式运算求解.2.求解二项式问题，一般步骤如下：第一步：首先求出二项展开式的通项；第二步：根据已知求r；第三步：得出结论.【方法总结】1.解排列、组合综合应用问题的思路：解排列、组合综合应用问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手，“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决.2.排列问题与组合问题的识别方法：若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关；若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关.3.解排列、组合题的“24字方针，12个技巧”：（1）“24字方针”是解排列、组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．（2）“12个技巧”是速解排列、组合题的捷径．即：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少(多)问题间接法；⑩选排问题先取后排法；⑪局部与整体问题排除法；⑫复杂问题转化法．4.熟记二项式定理及通项：011*()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+∈N 叫做二项式定理，1C k n k kk n T ab -+=为展开式的第1+k 项． 5.活用二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C C m n mn n -=.（2）增减性与最大值：二项式系数为C kn ，当21+<n k 时，二项式系数是递增的；当21+≥n k 时，二项式系数是递减的，当n 是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． （3）各二项式系数的和：n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2，即012C C C C 2n nn n n n +++⋅⋅⋅+=.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02131C C C C 2n n n n n -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=. 6.求展开式系数的最大项：如求()(,)na bx ab +∈R 的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项的系数分别为121,,,+⋅⋅⋅n A A A ，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k A A A A 从而解出k 来，即得．7.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nb ax +、2()(,,)nax bx c a b c ++∈R 的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令1=x 即可；对形如()nby ax +的式子，求其展开式各项系数之和，只需令1==y x 即可．8.若nn x a x a x a a x f +⋅⋅⋅+++=2210)(，则)(x f 展开式中各项系数之和为)1(f ，奇数项系数之和为2)1()1(420-+=⋅⋅⋅+++f f a a a ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=⋅⋅⋅+++f f a a a .注意：某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与b a ,的取值有关，而二项式系数与b a ,的取值无关．1．【河南省洛阳市2020届高三第三次统一考试数学（理)试题】5(21)(x x++的展开式中3x 系数为 A ．180 B ．90 C ．20 D ．10【答案】A【解析】5(x展开式通项公式352153r r r r T C x -+=， 其各项次数依次为7155,,2,,1,222--, 所以3x 的系数是21x +的一次项系数2乘以5(x+展开式的2x 的系数. 由5(x展开式通项公式352153r r r r T C x -+=知3522r-= 解得2r，所以3x 系数为22523=180C ⨯. 故选A .【名师点睛】本题考查二项式定理，考查分类讨论的数学思想以及赋值法的应用.利用5(x+展开式通项公式352153rr rr TC x-+=即可得解.求解形如()()++n ma b c d 的展开式问题的思路：(1)若n m ，中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222+++()()()(2)++m m a b c d a ab b c d ＝，然后展开分别求解．(2)观察()(++)a b c d 是否可以合并，如5752252()()[()()1+1]()111()()11x x x x x x x ---=--=+； (3)分别得到((+))+n m a b c d ，的通项公式，综合考虑．2．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（二)数学试题】已知82a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为112，则实数a 的值为 A ．±1 B ．1 C ．2 D ．2±【答案】A【解析】由于82a x ⎫-⎪⎭展开式中的通项公式为： ()88318822rrrr r rr r a a x x T CC --+-⎛⎫⋅-= -⎪⎝⎭=，令803rr --=，求得2r ，可得它的展开式的常数项是()2282C a -，再根据展开式中的常数项是112 ，可得()2282112a C =-，求得1a =±， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据展开式中的常数项是112 求得a 的值．3．【2019届福建省福州市第一中学高三5月质检（模拟）数学(理）试题】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20【答案】A【解析】由二项式定理可知：5151()(2)2rrr r T C x y -+=-；要求5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数，所以令3r =，则32323234511()(2)=10(8)2024T C x y x y x y =-⨯⨯-=-；所以5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是是-20.故答案选A.【名师点睛】本题考查二项式定理的通项公式的应用，属于基础题.利用二项式展开式的通项公式，求解所求项的系数即可.4．【2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第六次月考数学(理)试题】甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为A ．56B ．12 C ．13D ．23【答案】A【解析】∵甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n 4424A ==，甲､乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m 422422A A A =-=20，∴甲,乙两人中至少有一人站在两端的概率为： P 205246m n ===. 故选A.【名师点睛】本题考查古典概型的概率计算，涉及排列组合，属综合基础题.利用排列组合求出所有基本事件的个数，以及满足题意的事件个数，用古典概型的概率计算公式即可求得.5．【江西省红色七校2019-2020学年高三第二次联考理科数学试题】把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有 A ．18种 B ．9种 C ．6种 D ．3种【答案】A【解析】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有C 31⋅C 31⋅C 21⋅1=18种.故答案选A.【名师点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题.先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解.6．【四川省泸县第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题】给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选C ．【名师点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．7．【2020届福建省厦门双十中学高三上学期第二次月考数学试题】安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种【答案】C【解析】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法 其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种 B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C .【名师点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.8．【2020届山西省大同市高三模拟（3月）数学（理）试题】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有A．30种B．50种C．60种D．90种【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1121020C C⋅=若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有11 31030C C⋅=所以共有203050+=种故选B.【名师点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.先分情况甲选牛共有1121020C C⋅=，甲选马有1131030C C⋅=，得出结果.9．【2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模)数学（理)试题】羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A，2A，3A和3名女生1B，2B，3B中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A和1B两人组成一队参加比赛的概率为A．19B．29C．13D．49【答案】B【解析】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122 C C A将选中2名男生平均分为两组：112122 C C A则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C =所以所求的概率为42189= 故选B .【名师点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以mm A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果.10．【2020届神州智达高三诊断性大联考（一）理科数学质检卷】()5221x x --的展开式中2x 的系数为A ．400B ．120C ．80D ．0【答案】D【解析】∵()525521(1)(21)x x x x --=-+，二项展开式5(1)x -的通项为55(1)r r r C x --，二项展开式5(21)x +的通项式为5555C (2)(1)(21)kk x x x --+，的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，所以8k r +=，所以展开式中2x 的系数为5253444355555553(1)2(1)2(1)0C C C C C C -+-+-=.【名师点睛】本题主要考查了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题. 变形已知为()525521(1)(21)xx x x --=-+，分别写出两个二项式展开式的通项55(1)r r r C x --，55C (2)kk x -，可知()525521(1)(21)x x x x --=-+的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，即可求解.11．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学（理）试题】若(1)x +7280128(12)x a a x a x a x -=++++，则127a a a +++的值是A ．-2B ．-3C ．125D ．-131【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．12．【黑龙江省大庆第一中学2020届高三第三次模拟数学（理)试题】已知()512345601234567121x x a x a a x a x a x a x a x a x x -⎛⎫+--=++-++++ ⎪⎝⎭，则4a = A ．21 B ．42 C ．35- D ．210-【答案】C【解析】()()751121x x x x x -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，4a 即为()71x -展开式中4x 的系数37C 35-=-， 所以435a =-， 故选C.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．把等式左端的式子化简为()()751121x x x xx-⎛⎫+--=⎪⎝⎭，即求()71x -展开式中4x 的系数.13．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学（理）试题】已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80【答案】D【解析】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +，12a ∴+=1a551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r rr T C x --+=-，令521r -=得2r;令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选D.【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题.51(1)(2)a x x x+-中，给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．【安徽省合肥市肥东县高级中学2020届高三下学期6月调研考试数学(理)试题】5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为__________.（用数字作答） 【答案】80【解析】由二项式展开式的通项公式可得()52510315512(1)2rrrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1034r -=可得2r，则4x 的系数为22325(1)2(1)10880C -⋅⋅=-⋅⋅=.故答案为：80．【名师点睛】由二项式展开式的通项公式可得510315(1)2r r r rr T C x --+=-⋅⋅⋅，据此即可确定4x 的系数.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．15．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考（三诊）数学（理）试题】251(2)(1)x x--展开式的常数项是__________． 【答案】-8【解析】因为511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()1511n rrr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以展开式的常数项为()()()23523555111+21=10+2=8x C C x x ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【名师点睛】本题考查的是二项式定理的相关性质，主要考查二项式的通项的相关性质，考查对二项式的通项的灵活使用，考查计算能力与推理能力，是简单题.本题首先可以找出511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项，然后根据511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的每一项的x 的系数并将511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的每一项与22x -相乘即可找出展开式中的常数项.16．【陕西省西安中学2020届高三下学期仿真考试(一)数学(理)试题】若二项式621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213=mx dx ⎰______.【答案】124【解析】因为6621231661rrrrrr r T C C x x ---+⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以由1230r -=得2464,53r m C ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭, 因此1122335533|51=1241mx dx x dx x ⎰=⎰==-.【名师点睛】先根据二项展开式求得常数项项数，即得常数项，再根据定积分得结果. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.17．【海南省海口市第一中学2020届高三9月月考数学试题（B 卷）】在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为__________． 【答案】67【解析】从7个球里取3个球，共有 3735C =种可能的情况，全是红球的情况有344C =，全是白球的情况有331C =，将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，所以概率为33374337306357C C C C --== 【名师点睛】本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题.从7个球里取3个球，共有3735C =种可能的情况，要求既有红球又有白球，可以从反面考虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合要求的，然后再由古典概型公式，得到概率.18．【重庆市云阳江口中学校2019-2020学年高三下学期第一次月考数学（理）试题】在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 【答案】60【解析】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C =⨯=.故答案为60．【名师点睛】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．19．【2020届陕西省西安交大附中学南校区高三上学期期中数学(理)试题】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260【解析】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.【名师点睛】按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.。

高考数学复习总结专题18 计数原理 (解析版)

高考数学复习总结专题18 计数原理 (解析版)

计数原理y2 1. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】(x )(x y)5 的展开式中 x 3y3 的系数为（）xA. 5B. 10 D. 20C. 15 【答案】C 【解析】 【分析】y 2求得 (x y) 5展开式的通项公式为 TC 5r x 5r y r（ r N 且 r 5），即可求得 x 与 (x y) 展开式5r 1x的乘积为C r 5 x 6r y r 或C r 5x 4r y r 2形式，对 分别赋值为 3，1 即可求得 r x 3 y 3的系数，问题得解. 5展开式的通项公式为【详解】 (x y) TC r 1r 5x 5r y r （ rN 且 r 5）y 2x 5所以 的各项与 (x y) 展开式的通项的乘积可表示为：xy 2y 2 xTxC r 5x 5r y rC 5r x 6r yrT C 5 r x 5r y r C 5 r x 4r y r 2 和 r 1r 1xxxTC r 5 x 6r y r r 3，可得： xT C x 3 5 3 y 3 x 3 y 的系数为10， 3在 在 中，令 ，该项中 r 14 y 2y 2T C r x 4r yr 2中，令 r 1，可得： T C 1 5 x y 3 ，该项中 33x y 3 的系数为5 r 152xx3x y 3 的系数为10 5 15所以 故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属 于中档题.2. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4 的展开式中 x 3 的系数为 A ．12 B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得 x 3 的系数为 C 3 42C 4 1 4 8 12 ，故选 A ． 【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．3. 【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 7 23．在不超过 30 的素数中，随机选 取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 11 1 1 A ．B ．C ．D ．12141518【答案】C【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数， 45种方法，其和等于 30 的有 3 种方法，分别是 7 和 23，11 和 19，13 和 17，所以随机选取 C 2 10 共有 3 1两个不同的数，其和等于 30 的概率为= ，选 C ． 45 152 5x 2 的展开式中 x 4 的系数为 C ．40 4. 【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】x A ．10 B ．20 D ．80【答案】C2 52 r 5r【解析】由题可得x 2 的展开式的通式为TC r 1r5x2Cr 5 2 x 103r ，令103r 4 ，rx x得 r 2，所以展开式中 x 4的系数为 C 5 2 2 40．故选 C ．2 5. 【2017 年高考全国Ⅱ卷理数】安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有 A ．12 种 B ．18 种 C ．24 种 D ．36 种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三C 2 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有 C 42 4A 3336种．故选 D ． 份：有 【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生 的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再 考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均 匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．16. 【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】(1 )(1 x)6 展开式中 x 2 的系数为 x2 A ．15 B ．20C ．30D ．35【答案】C 1 1 (1 x)6 展开式中含 x 2 的项为 (1)(1 x) 6 1(1 x) 6(1 x)6 ，而 2 【解析】因为 x 2 x1 11C 62 x 215x 2 ， (1 x)6 展开式中含 x 2 的项为 C 6 4 4 x 15x 2 ，故所求展开式中 x 2 的系数为x 2 1515 30，选 C ．x 2 【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的 每项乘以第二个二项式的每项，分析含x 2的项共有几项，进行相加即可．这类问题的易 错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的 r 不同． 53 37. 【2017 年高考全国Ⅲ卷理数】 x y 2x y 的展开式中 x y 的系数为A ． 80B ． 40C ．40D ．80【答案】C 5 5 5 5【解析】x y2x y x 2x y y 2x y ，由2x y 展开式的通项公式5rr53 33TC r 1r5 2x y 可得：当 r 3时， x 2x y 展开式中 x y 的系数为 C 3 5 2 1 40；253 3 23 3当 r 2时，y 2x y 展开式中 x y 的系数为 C 2 52 1 80，则 x y 的系数为8040 40 ．故3选 C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的 条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所 求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．8. 【2020 年高考全国 I I 卷理数】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每 个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意，有且只有 2 名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解. 【详解】 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学24 先取 2 名同学看作一组，选法有：C 6现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： A633根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 66 36种 故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分 析能力和计算能力，属于中档题.2 2 6 9. 【2020 年高考全国Ⅲ理数】 (x ) 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．x【答案】 240 【解析】 【分析】62写出 x 2 二项式展开通项，即可求得常数项.x 2 6【详解】 2xx 其二项式展开通项：r26rTCr 1r6x2 xC 6 rx 122r (2) x r r C 6r(2) x 123rr 当123r 0 ，解得 r 46x2 2 的展开式中常数项是：C 6 42 4 C 616 1516 240.2 x 故答案为： 240 .【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握a b 的展开n通项公式 Tr 1C r na n rb r ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）【答案】16C34 4种选法，从6名学生中任意选3人有C 3620种选法，【解析】根据题意，没有女生入选有故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416种，故答案为：16．【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有2名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解．。

高考数学专题《两个计数原理》习题含答案解析

高考数学专题《两个计数原理》习题含答案解析

专题11.1 两个计数原理1．（2021·全国·高二单元测试）青铜神树是四川省广汉市三星堆遗址出土的文物，共有八棵，其中一号神树有三层枝叶，每层有三根树枝，树枝上分别有两条果枝，一条上翘、一条下垂，每层上翘的果枝上都站立着一只鸟，鸟共九只（即太阳神鸟）.现从中任选三只神鸟，则三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数为（ ）A ．6B ．18C ．27D ．36【答案】C【分析】按照分步乘法计数原理从每层枝叶各选一只神鸟即可得到答案.【详解】每只神鸟有3种选法，三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数有33327⨯⨯=（种）.故选：C.2．（2021·全国·高二课时练习）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（）A ．360种B ．50种C ．60种D ．90种【答案】B【分析】首先根据题意分成第一类甲同学选择牛和第二类甲同学选择马，分别计算各类的选法，再相练基础加即可.【详解】第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)，第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法．故选：B.3．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)【答案】750【分析】由分步计数原理即得.【详解】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法．故答案为：7504．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.【答案】40【分析】根据分类加法计数原理即可求解.【详解】满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8个；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32个，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个.故答案为：405．（2021·全国·高二课时练习）1.计算：（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，共有多少种不同的投法？（2）将2封信随意投入4个邮箱，共有多少种不同的投法？【答案】（1）12；（2）16【分析】（1）（2）用分步乘法原理求解.【详解】（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，第一封信有4种选择，第二封有3种⨯=（种）；选择，答案为4312⨯=（种）.（2）将2封信随意投入4个邮箱，则每封信都有4种选择，所以共有44166．（2021·全国·高二课时练习）如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面．拋一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0．现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，1,1,0,1,0，则可得不同的数组共有多少个？则结果可记为()【答案】32【分析】利用分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】依题意可知不同的数组共有5⨯⨯⨯⨯==个.222222327．（2021·全国·高二课时练习）有不同的红球8个，不同的白球7个.（1）从中取出一个球，共有多少种不同的取法？（2）从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？【答案】（1）15（2）56【分析】（1）分别计算出取出一个红球、取出一个白球的方法种数，利用分类加法计数原理可得结果；（2）利用分步乘法计数原理可求得结果.（1）解：从中取出一个红球，有8种取法，从中取出一个白球，有7种取法，+=种不同的取法.由分类加法计数原理可知，从中取出一个球，共有7815（2）解：从中取出一个红球，有8种取法，从中取出一个白球，有7种取法，由分布乘法计数原理可知，从中取出两个颜色不同的球，共有7856⨯=种不同的取法. 8．（2021·全国·高二课时练习）有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加．（1）若只需1人参加，则有多少种不同的选法？（2）若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？【答案】（1）16(种)；（2）120(种).【分析】（1）利用分类加法原理求解（1）利用分步乘法原理求解【详解】（1）选1人，可分三类：第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法．共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．（2）选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：第1步，选教师，有3种不同的选法；第2步，选男同学，有8种不同的选法；第3步，选女同学，有5种不同的选法．共有3×8×5＝120(种)不同的选法．9．（2021·全国·高二课时练习）若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？【答案】14条【分析】分类讨论A或B中有一个为0时和都不取0时的情况，根据计数原理即可求解．【详解】分两类完成：第一类：当A 或B 中有一个为0时，表示直线为x ＝0或y ＝0，共有2条；第二类：当A ，B 都不取0时，直线Ax ＋By ＝0被确定需分两步完成：第一步，确定A 的值，从1，2，3，5中选一个，共有4种不同的方法；第二步，确定B 的值，共有3种不同的方法．由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12(条)直线．由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条)．10.（2021·全国·高二课时练习）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．【答案】18种【分析】方法一：(直接法)分别考虑黄瓜种在第一块、第二块、第三块土地上的不同的种植方法，再运用加法原理可求得所有的不同种植方法．方法二：(间接法)先求得从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上的不同的种植方法，再减去不种黄瓜的不同的种植方法，由此可求得答案．【详解】解：方法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．方法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)．1．（2020·江苏扬州中学高一月考）已知集合，若A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ）A ．49B ．48C ．47D ．46【答案】A【解析】集合知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：的集合为，而有 种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：{}1,2,3,4,5P ={}1,2,3,4,5P =A {1}B 42115-=练提升的集合为，而B 有种，集合对(A ,B )的个数为；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：的集合为，而B 有种，集合对(A ,B )的个数为；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：的集合为，而B 有种，集合对(A ,B )的个数为；∴一共有个，故选：A2．（2021·全国·高二课时练习）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n (n ≥3，n ∈N *)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．（1）如图①，圆环分成3等份，分别为a 1，a 2，a 3，则有多少种不同的种植方法？（2）如图②，圆环分成4等份，分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则有多少种不同的种植方法？【答案】（1）6种；（2）18种.【分析】（1）利用分步计数原理求解即可.（2）首先根据题意分成两类：第一类a 1，a 3不同色和第二类a 1，a 3同色，分别计算各类的得数再相加即可.【详解】（1）先种植a 1部分，有3种不同的种植方法，再种植a 2，a 3部分．因为a 2，a 3与a 1的颜色不同，a 2，a 3的颜色也不同，所以由分步乘法计数原理，不同的种植方法有3×2×1＝6(种)．（2）当a 1，a 3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法，A {2},{1,2}3217-=2714⨯=A {3},{1,3},{2,3},{1,2,3}2213-=4312⨯=A {4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}1211-=818⨯=151412849+++=当a 1，a 3同色时，有3×2×1×2＝12(种)种植方法，由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法．3．（2021·全国·高二单元测试）已知集合{}3,2,1,0,1,2M =---，()(),,P a b a b M ∈表示平面上的点，问：（1）P 可表示平面上多少个第二象限的点？（2）P 可表示多少个不在直线y x =上的点？【答案】（1）6（个）；（2）30（个）．【分析】(1)由分步乘法原理求第二象限的点的个数，(2)依次确定横坐标和纵坐标的可能取法，由分步乘法原理求不在直线y x =上的点的个数.【详解】（1）因为P 表示平面上第二象限的点，故可分两步：第一步，确定a ，a 必须小于0，则有3种不同的情况；第二步，确定b ，b 必须大于0，则有2种不同的情况；根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有326⨯=（个）．（2）因为P 表示不在直线y x =上的点，故可分两步：第一步，确定a ，有6种不同的情况；第二步，确定b ，有5种不同的情况．根据分步乘法计数原理，不在直线y x =上的点共有6530⨯=（个）．4．（2021·全国·高二单元测试）某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本．已知笔的单价为4元，笔记本的单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至少要买2本，问不同的购买方案有多少种？【答案】7【分析】根据分类加法计数原理求解即可．【详解】设购买笔x 支，笔记本y 本，则453022x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，得305242y x y -⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩，将y 的取值分为三类：①当2y =时，25x ≤≤，因为x 为整数，所以x 可取2，3，4，5，共4种方案．②当3y =时，1524x ≤≤，因为x 为整数，所以x 可取2，3，共2种方案；③当4y =时，522x ≤≤，因为x 为整数，所以x 只能取2，只有1种方案．由分类加法计数原理得不同的购买方案有4217++=（种）．5．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，有些共享单车的密码锁是由4个数字组成的，你认为共享单车的密码锁能设置成由3个数字组成吗？5个数字呢？为什么？【答案】3个数字的不合适，5个数字的合适；【分析】根据分步乘法计数原理求出所有的密码组合数，再根据概率分析可行性；【详解】解：如设成3个数字，则一共有1010101000⨯⨯=种组合，组合数不是很大，随便尝试一次开锁，打开锁的概率11000P =，打开锁的概率比较大，不合适；如设成5个数字，则一共有1010101010100000⨯⨯⨯⨯=种组合，组合数比较大，随便尝试一次开锁，打开锁的概率1100000P =，打开锁的概率比较小，合适；6．（2021·全国·高二课时练习）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？【答案】36【分析】如图，分四类进行计数，求出对应的数目，加起来即可.【详解】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，分四类进行计数：与上底面111111A B A C B C ，，异面的直线有35=15⨯对；与下底面的AB AC BC ，，异面的直线有9对(除去与上底面的)；与侧棱111AA BB CC ，，异面的直线有6对(除去与下底面的)；侧面对角线之间成异面直线的有6对.由分类加法计数原理，知共有异面直线共有15966=36+++对.7．（2021·全国·高二课时练习）计算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字不重复的两位数？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字可以重复的两位数？【答案】（1）30（2）36【分析】（1）用数字1，2，3，4，5，6可组成没有重复数字的两位数，用两步完成，第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字在剩下的5个数字中选择有5种方法，运用乘法原理，即可得解，（2）按照分步乘法计数原理计算可得；（1）解：第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字在剩下的5个数字中选择有5种方法，运用乘法原理得6530⨯=．所以可以排成30个不重复的两位数；（2）解：第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字有6种选择，运用乘法原理得6636⨯=．所以可以排成36个可以重复的两位数；8．（2021·全国·高二课时练习）已知n 是一个小于10的正整数，且由集合{},A x x x n =∈≤N 中的元素可以排成数字不重复的两位数共25个，求n 的值．【答案】5【分析】用列举法表示集合A ，再按照分步乘法计数原理得到方程，解得即可；【详解】解：因为n 是一个小于10的正整数，且{},A x x x n =∈≤N ，所以{}0,1,2,,A n = ，所以从集合A 中的元素选出两个数组成两位数，则十位有n 种选法，个位有11n +-种选法，按照分步乘法计数原理可得一共有()11n n +-个，所以()1125n n +-=，解得5n =或5n =-（舍去）9．（2021·全国·高二课时练习）（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？【答案】（1）81(种)；（2）24(种)；（3）64(种).【分析】由分步乘法计数原理即得.【详解】（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此跑步项目有4种选法，跳高项目有3种选法，跳远项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有4×3×2＝24(种)．（3）要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有4×4×4＝64(种)可能的结果.10．（2021·全国·高二课时练习）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，343，94249等．显然，2位数的回文数有9个，即11，22，33，…，99；3位数的回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．求：（1）4位数的回文数个数；（2）21n +位数的回文数个数．【答案】（1）90（2）910n⨯【分析】（1）对于4位数的回文数，只需排好前2位即可确定回文数，首先列举出第一项为1的四位回文数的个数，即可知所有4位数的回文数个数；（2）根据题设，对于奇数个数的回文数，先排好中间的数字，再在两侧对其中一侧排数即可得所有回文数的个数.（1）由题设，四位数回文：1001,1111,1221,1331,1441,1551,1661,1771,1881,1991,...∴共有90个.（2）n+位数，则中间的数字有10种选法，而两侧的数字只需排好一侧，则另一侧确定，21n-都有10种选法，不妨排前n位数字，显然第一位数字有9种选法，其余1∴共有910n⨯个回文数.练真题1.（山东省2018年普通高校招生（春季））景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（）A． 6 B． 10 C． 12 D． 20【答案】C【解析】先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数是2×2×3 =12.因此选C.2.（2013·山东高考真题（理））用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252．3．（2012·北京高考真题（理））从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．6【答案】B【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．4.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）A.24B.18C.12D.9【答案】B 【解析】从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法.故选B ．5．（2012·四川高考真题（文））方程ay =b 2x 2+c 中的a,b,c ∈{−2,0,1,2,3}，且a,b,c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A ．28条B ．32条C ．36条D ．48条【答案】B【解析】方程ay =b 2x 2+c 变形得，若表示抛物线，则所以，分b=-2,1,2,3四种情况：（1）若b=-2，; （2）若b="2,"以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.综上，共有14+9+9=32种6．（2011·安徽高考真题（理））设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且S B ≠∅ 的集合S 的个数为（ ）A ．57B ．56C ．49D ．8【答案】B【解析】E FG E F →6F G →36318⨯=由题意可知集合S 可以表示为S M N = 的形式，其中M 为集合{}1,2,3的非空子集，N 为集合{}4,5,6的非空子集，由子集个数公式可得，集合M 的个数为7个，集合N 的个数为7个，则集合S 的个数为7856⨯=个.故选：B .。

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高考真题理科数学计数原理-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题1 ．（2012年高考（天津理））在251(2)xx-的二项展开式中,x 的系数为 （） A ．10B ．10-C ．40D ．40-2 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种3 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （ ）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种4 ．（2012年高考（重庆理））8的展开式中常数项为（） A ．1635 B ．835 C ．435 D ．1055 ．（2012年高考（四川理））方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （）A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条6 ．（2012年高考（四川理））7(1)x +的展开式中2x 的系数是（） A ．42B ．35C ．28D ．217 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（） A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种8 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （） A ．232B ．252C ．472D ．4849 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （） A ．3×3!B ．3×(3!)3C ．(3!)4D ．9!10．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =（ ） A ．0B ．1C ．11D ．1211．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （）A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种12．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 （） A ．24B ．18C ．12D ．613．（2012年高考（安徽理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 （） A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或414．（2012年高考（安徽理））2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 （） A ．3-B ．2-C ．2D ．3二、填空题15．（2012年高考（浙江理））若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ,1a ,2a ,,5a 为实数,则3a =______________.16．（2012年高考（重庆理））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).17．（2012年高考（上海理））在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ .18．（2012年高考（上海春））若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.19．（2012年高考（陕西理））5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.20．（2012年高考（湖南理））(6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)21．（2012年高考（广东理））(二项式定理)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用数字作答)22．（2012年高考（福建理））4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_________.23．（2012年高考（大纲理））若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数为___________.2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理参考答案一、选择题 1. 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数.【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r r C x -,∴103=1r -,即=3r ,∴x 的系数为40-.2. 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种 3. 【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种.4. 【答案】B【解析】841881()2r r r r r r r T C C x --+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==.【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项.5. [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222b cy b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:(1)若b=-3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; (2)若b=3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. 综上,共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.6. [答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2273x C T 、= 21C x 272=∴的系数为[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.7. 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A 种情形;当比分为3:2时,共有225220C A 种情形;总共有282030种,选D.8. 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.9. 【答案】C【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同的坐法种数为4(3!),答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题.10.考点分析:本题考察二项展开式的系数.解析:由于51=52-1,152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C , 又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D.11.答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=.12. 【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B.【考点定位】 本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.13. 【解析】选D 261315132C -=-=①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人14. 【解析】选D第一个因式取2x ,第二个因式取21x得:1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2,第二个因式取5(1)-得:52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=二、填空题 15. 【答案】10【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.即:545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩. 法二:对等式:()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得:2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++,再运用赋值法,令1x =-得:3606a =,即310a =.16. 【答案】53 【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义.17. [解析] 展开式通项r r r r r r rr r r x C x xC T 2666612)1(2)1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为1602336-=⨯-C . 18. 1 19.解析:5()a x +展开式中第k 项为555k k k k T C a x ,令2k,2x 的系数为23510C a ,解得1a .20. 【答案】-160【解析】()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)rr r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-. [来源:数理化网]【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.21.解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.22. 【答案】2【解析】r 414,3r r T C a x r -+==∵∴时,34348,=2C a a -=∴ 【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力.23.答案56【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数.【解析】根据已知条件可知26268nn C C n =⇔=+=, 所以81()x x +的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔=所以所求系数为5856C =.2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题24 ．（2012年高考（天津理））在251(2)xx-的二项展开式中,x 的系数为 （） A ．10B ．10-C ．40D ．40-25 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （） A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种26 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （） A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种27 ．（2012年高考（重庆理））8的展开式中常数项为（） A ．1635B ．835 C ．435 D ．10528 ．（2012年高考（四川理））方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（） A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条29 ．（2012年高考（四川理））7(1)x +的展开式中2x 的系数是（） A ．42B ．35C ．28D ．2130 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （） A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种31 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（） A ．232B ．252C ．472D ．48432 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （） A ．3×3!B ．3×(3!)3C ．(3!)4D ．9!33．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =（ ） A ．0B ．1C ．11D ．1234．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （） A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种35．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 （） A ．24B ．18C ．12D ．636．（2012年高考（安徽理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 （） A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或437．（2012年高考（安徽理））2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 （） A ．3-B ．2-C ．2D ．3二、填空题38．（2012年高考（浙江理））若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ,1a ,2a ,,5a 为实数,则3a =______________.39．（2012年高考（重庆理））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).40．（2012年高考（上海理））在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ .41．（2012年高考（上海春））若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.42．（2012年高考（陕西理））5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.43．（2012年高考（湖南理））(6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)44．（2012年高考（广东理））(二项式定理)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用数字作答)45．（2012年高考（福建理））4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_________.46．（2012年高考（大纲理））若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x的系数为___________.2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理参考答案一、选择题 24. 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数.【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r r C x -,∴103=1r -,即=3r ,∴x 的系数为40-.25. 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种 26. 【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种.27. 【答案】B【解析】841881()2r r r r r r r T C C x --+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==.【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项.28. [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222b cy b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:(1)若b=-3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; (2)若b=3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. 综上,共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.29. [答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2273x C T 、= 21C x 272=∴的系数为[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.30. 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A 种情形;当比分为3:2时,共有225220C A 种情形;总共有282030种,选D.31. 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.32. 【答案】C【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同的坐法种数为4(3!),答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题.33.考点分析:本题考察二项展开式的系数.解析:由于51=52-1,152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C , 又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D.34.答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=.35. 【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B.【考点定位】 本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.36. 【解析】选D 261315132C -=-=①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人37. 【解析】选D第一个因式取2x ,第二个因式取21x得:1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2,第二个因式取5(1)-得:52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=二、填空题 38. 【答案】10【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.即:545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩. 法二:对等式:()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得:2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++,再运用赋值法,令1x =-得:3606a =,即310a =.39. 【答案】53 【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义.40. [解析] 展开式通项r r r r r r rr r r x C x xC T 2666612)1(2)1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为1602336-=⨯-C . 41. 1 42.解析:5()a x +展开式中第k 项为555k k k k T C a x ,令2k,2x 的系数为23510C a ,解得1a .43. 【答案】-160【解析】()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)rr r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-. [来源:数理化网]【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.44.解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.45. 【答案】2【解析】r 414,3r r T C a x r -+==∵∴时,34348,=2C a a -=∴ 【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力.46.答案56【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数.21 【解析】根据已知条件可知26268nn C C n =⇔=+=, 所以81()x x+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔= 所以所求系数为5856C =.。

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