直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的公式大全总结
直线与圆的公式大全总结1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为：Ax+By+C=0，其中A、B和C都是常数，并且A和B不同时为零。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y=mx+b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为：y−y1=m(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的已知点，m是直线的斜率。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为：$\\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$，其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个已知点。
5. 圆的标准方程圆的标准方程可以表示为：(x−ℎ)2+(y−k)2=r2，其中(ℎ,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
6. 圆的一般方程圆的一般方程可以表示为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D、E和F都是常数。
7. 圆的参数方程圆的参数方程可以表示为：$x = h + r\\cos(t)$ 和 $y = k + r\\sin(t)$，其中(ℎ,k)是圆心的坐标，r是圆的半径，t是参数。
8. 直线与圆的相交关系直线与圆的相交关系根据直线和圆的方程可以进行判断。
•若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交。
•若直线与圆相切于一个交点，则直线与圆相切。
•若直线不与圆相交且不相切，则直线与圆相离。
9. 直线与圆的求交点要求直线和圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，从而得到一个关于x的二次方程。
解这个二次方程可以得到交点的x坐标，然后再代入直线的方程可以得到交点的y坐标。
10. 圆的切线方程若直线与圆相切于一个点，该直线称为圆的切线。
圆的切线方程可以通过求解直线与圆的交点，然后利用该点的斜率和切点的坐标，使用直线的点斜式方程求得。
以上是直线与圆的公式大全总结，通过不同的方程可以描述直线和圆之间的关系、位置和属性。
对于解题和几何推导有重要的作用。
直线与圆方程知识总结
直线与圆方程知识总结一、坐标法 1．点和坐标成立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)成立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，那么两点间的距离特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当x 1=x 2时(两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴)，那么 |P 1P 2|=|y 2－y 1|(2)当y 1=y 2时(两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴)，那么 |P 1P 2|=|x 2－x 1|3．线段的定比分点(2)公式：分P 1(x 1，y 2)和P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ的分点坐标是公式二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x 轴相交时，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．当直线和x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0． 因此直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜∴当k ≥0时，α=arctank ．(锐角) 当k ＜0时，α=π－arctank ．(钝角)(3)斜率公式：通过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为2．直线的方程(1)点斜式 已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，那么其方程为：y －y 0=k(x －x 0) (2)斜截式 已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，那么其方程为：y=kx ＋b (3)两点式 已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，那么其方程为：(4)截距式 已知直线在x ，y 轴上截距别离为a 、b ，那么其方程为：(5)参数式 已知直线过点P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，v(cos α，sin α)(α为倾斜角)时，那么其参数式方程为|P P |=12()()x x y y 212212-+-(1)P P P P P PP P P PP P P P =P P P P 12121212112定义：设点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是点分所成的比，通常用λ表示，即λ，点叫做分线段为定比λ的定比分点．PPP 2当点内分时，λ＞；当点外分时，λ＜．P P P 0P P P 01212x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-1212111λλλλλ≠()特殊情况，当是的中点时，λ，得线段的中点坐标P P P =1P P 1212x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222率，直线的斜率常用表示，即αα≠π．k k =tan ()2k =y (x x )212--y x x 121≠y y y y x x x ----121121=x (x x )12≠x a yb +=1则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为x x at y y bt =+=+⎧⎨⎩00(t )x x t y y t =+=+⎧⎨⎩00cos sin αα为参数(t )这时，的几何意义是，→→t tv =p p |t|=|p p|=|p p|000(6)一样式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)． (7)特殊的直线方程①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a ，y 轴的方程是x=0． ②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b ，x 轴的方程是y=0．3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1≠b 2．(2)重合：当l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1=b 2，当l 1和l 2是(3)相交：当l 1，l 2是斜截式方程时，k 1≠k 24．点P(x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C=0的位置关系：5．两条平行直线l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0间6．直线系方程具有某一一起属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x ，y 之外，还含有特定的系数(也称参变量)．确信一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的进程中往往先依照一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再依照另一个条件来确信其中的参变量．(1)共点直线系方程：通过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0，其中λ是待定的系数．在那个方程中，不管λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，因此它不表示l 2．当λ=0时，即得A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，现在表示l 1．(2)平行直线系方程：直线y=kx ＋b 中当斜率k 必然而b 变更时，表示平行直线系方程．与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C=0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ=0．若是在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待按时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性计划(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C=0某一侧所有点组成的平面区域． 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部份．(2)线性计划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性计划问题，例如，z=ax ＋by ，其中x ，y 知足以下条件：求z 的最大值和最小值，这确实是线性计划问题，不等式组(*)是一组对变量x 、y 的线性约束条件，z=ax ＋by 叫做线性目标函数．知足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程 1．概念当和是一般式方程时，≠l l 12A A B B CC 121212=一般方程时，A A B B CC 121212==当，是一般式方程时，≠l l 12A A B B 2212①斜交交点：的解到角：到的角θ≠夹角公式：和夹角θ≠A x B y C A x B y C k k k k k k k k k k k k 11122222112121221121200110110++=++=⎧⎨⎩=-++=-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪l l l l 1tan ()tan ||()②垂直当和有叙截式方程时，－当和是一般式方程时，＋l l l l 1212121212k k =1A AB B =0⎧⎨⎩Ax By C =0P ()Ax By C 0P 0000＋＋在直线上点的坐标满足直线方程＋＋≠在直线外．⇔⇔l l 点，到直线的距离为：P(x y )d =|Ax +By +C|0000l A B 22+的距离为：．d =|C C |12-+A B22A xB yC 0(0)A x B y C 0(0)A x B x C 0(0)111222nn n ＋＋≥或≤＋＋≥或≤……＋＋≥或≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪(*)在选定的直角坐标系下，若是某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解成立了如下关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解(一点不杂)； (2)以方程f(x ，y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点(一点不漏)．这时称方程f(x ，y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，假设设点M 的坐标为(x 0，y 0)，那么用集合的观点，上述概念中的两条能够表述为：以上两条还能够转化为它们的等价命题(逆否命题)：为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)． 2．曲线方程的两个大体问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：成立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标； ②立式：写出适合条件p 的点M 的集合p={M|p(M)}； ③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)=0； ④化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式； ⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方式简称“五步法”，在步骤④中假设化简进程是同解变形进程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，那么步骤⑤可省略不写，因为现在所求得的最简方程确实是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)； ②求截距：③讨论曲线的范围； ④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点，确实是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线f 1(x ，y)=0和f 2(x ，y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)=0(λ∈R)．四、圆 1．圆的概念平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2．圆的方程(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2．(a ，b)为圆心，r 为半径． 专门地：当圆心为(0，0)时，方程为x 2＋y 2=r 2(2)一样方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程 以(a ，b)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为专门地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为3．点与圆的位置关系(1)M P (x y )Q P Q (2)(x y )Q M P Q P 0000∈，∈，即；，∈∈，即．⇒⊆⇒⊆(1)(x y )Q M P (2)M P (x y )Q 0000，；，．∉⇒∉∉⇒∉显然，当且仅当且，即时，才能称方程，P Q Q P P =Q f(x y)=0⊆⊆方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y y ()==⎧⎨⎩00x 方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y x ()==⎧⎨⎩00y 配方()()x D y E D E F+++=+-22442222当＋－＞时，方程表示以－，－为圆心，以为半径的圆；D E 4F 0()22D ED E F 2212422+-当＋－时，方程表示点－，－D E 4F =0()22D E 22x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()x r y r ==⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．4．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C=0和圆C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，那么5．求圆的切线方式(1)已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．①假设已知切点(x 0，y 0)在圆上，那么切线只有一条，其方程是过两个切点的切点弦方程．②假设已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，那么设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③假设已知切线斜率为k ，那么设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线．(2)已知圆x 2＋y 2=r 2．①假设已知切点P 0(x 0，y 0)在圆上，那么该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．6．圆与圆的位置关系已知两圆圆心别离为O 1、O 2，半径别离为r 1、r 2，那么(1)d r (2)d =r (3)d r 点在圆外＞；点在圆上；点在圆内＜．⇔⇔⇔d Aa Bb C A B=+++||22．(1)0d r (2)=0d =r (3)0d r 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞或＜；相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△或；相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜或＞．⇔⇔⇔x x y y D x x E y y F 0000220=+++++=()()．当，在圆外时，＋＋＋＋表示(x y )x x y y D(x )E(y )F =0000000++x y22②已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为±．k y =kx r k 2+1(1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切＋；两圆内切－；两圆相交－＜＜＋．⇔⇔⇔。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：
直线方程知识点总结：
1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。
2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。
3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和
(x2, y2) 为直线上的两点。
4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距。
5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和
B 不为 0。
圆的方程知识点总结：
1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径。
2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数。
3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。
4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。
5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。
理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。
第2章 直线和圆的方程基础知识点汇总
Ax0 By0 C A2 B2
.
（3）两平行线间的距离公式：
l1 ： Ax By C1 0 与 l2 ： Ax By C2 0 间的距离 d 为：Βιβλιοθήκη d C1 C2 . A2 B2
2.4 圆与方程
1.圆的方程：
⑴标准方程： x a2 y b2 r 2 (其中圆心为 (a, b) ，半径为 r .)
（一）对于直线 l1 : y k1x b1, l2 : y k2 x b2 有：
⑴ l1
// l2
bk11
k2 b2
；
⑵ l1 和 l2 相交 k1 k2 ；
⑶ l1
和 l2
重合
bk11
k2 b2
；
⑷ l1 l2 k1k2 1.
（二）对于直线 l : Ax By C 0 ：
2.直线和圆相交弦长公式： l 2 r 2 d 2 （ d 表示圆心到直线的距离）
3.两圆位置关系： d O1O2
（1）外离： d R r ； （2）外切： d R r ； （3）相交： R r d R r ； （4）内切： d R r （ R r ）； （5）内含： d R r （ R r .
斜率分别为 k1，k2 的两条不重合的直线l1, l2 ，有l1 / /l2 k1 k2 .
斜率分别为 k1，k2 的两条直线 l1, l2 ，有 l1 l2 k1k2 1 .
2.2 直线的方程
1.直线方程：
⑴点斜式： y y0 kx x0 （不能表示斜率不存在的直线）
⑵斜截式： y kx b（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与 y 轴的交点纵坐标（即 y
l1 l2 A1 A2 B1B2 0 .
2.3直线的交点坐标与距离公式
第一讲求直线和圆的方程方法总结
第一讲求直线和圆的方程方法总结求直线和圆的方程是解决几何问题的基本方法之一，本文将对求直线和圆的方程的方法进行总结和介绍。
主要包括直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程，以及圆的一般方程和截距式方程。
一、直线的一般方程直线的一般方程是形如Ax+By+C=0的方程，其中A、B、C均为实数，A和B不能同时为零。
直线的一般方程是直线的最一般形式，适用于所有直线。
它的推导过程为：首先，根据直线的斜率k和截距b，可以得到直线的斜截式方程为y = kx + b；然后，将直线的斜截式方程中的y换成Ax+By+C，化简得到直线的一般方程Ax+By+C=0。
二、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是形如y-y₁=k(x-x₁)的方程，其中x₁和y₁是此直线上的一点，k是直线的斜率。
直线的点斜式方程通过给定一点和斜率来确定直线方程。
推导方法为：已知直线上有一点(x₁，y₁)和斜率k，根据斜率的定义可得到k=(y-y₁)/(x-x₁)；通过变形，化简得到点斜式方程y-y₁=k(x-x₁)。
三、直线的两点式方程直线的两点式方程是形如(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)的方程，其中(x₁，y₁)和(x₂，y₂)是直线上的两个点。
直线的两点式方程通过给定两个点来确定直线方程。
推导方法为：已知直线上有两个点(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，根据点斜式方程的推导过程，可将其化简为两点式方程。
四、圆的一般方程圆的一般方程是形如(x-a)²+(y-b)²=r²的方程，其中(a，b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的一般方程给出了圆与坐标轴的关系。
推导方法为：已知圆心为(a，b)，圆的半径为r，利用圆的定义可以得到距离公式：r²=(x-a)²+(y-b)²；通过展开和整理得到圆的一般方程(x-a)²+(y-b)²=r²。
五、圆的截距式方程圆的截距式方程是形如[x-a]²/α²+[y-b]²/β²=1的方程，其中a、b、α、β均为实数，α和β分别为x轴和y轴的截距。
圆的直线方程公式总结
圆的直线方程公式总结圆是几何中非常重要的一个概念，它与其他几何图形有着密切的联系。
在数学中，我们经常需要研究圆与直线的关系，特别是求解圆与直线的交点。
为了方便计算和表达，数学家们总结出了一些圆的直线方程公式，本文将对这些公式进行总结和探讨。
首先，我们来看看最基本的圆的方程：如果圆的圆心为点$(h, k)$，半径为$r$，那么圆的方程可以表示为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$。
这个方程通过将圆心作为坐标系原点，圆的半径平方作为一个常数，来表示圆上所有点的集合。
这是我们研究圆的其他方程公式的基础。
接下来，我们将探讨圆与直线的关系。
当圆与直线相交时，我们关心的是交点的坐标。
为了找出圆与直线的交点，我们需要联立圆的方程和直线的方程，从而求解交点坐标。
先来看一种常见的情况，即直线与圆相切。
当直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点，此时我们可以利用切线的性质来求解交点坐标。
设直线的方程为$y = mx + c$，其中$m$为直线的斜率，$c$为直线在$y$轴上的截距。
通过求解方程组$(x - h)^2 + (mx + c - k)^2 = r^2$，我们可以得到交点的坐标。
具体的求解方法可以通过化简方程并利用一元二次方程求根公式来完成。
接下来，我们来讨论另一种常见情况，即直线与圆相交于两个不同的交点。
这种情况下，我们需要使用联立方程的方法来求解交点坐标。
设直线的方程为$y = mx + c$，圆的方程为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$。
将直线的方程代入圆的方程中，得到$(x - h)^2 + (mx + c - k)^2 = r^2$，整理后可得到一个关于$x$的二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到两个不同的$x$值，将这两个$x$值代入直线的方程中，就可以求得两个交点的坐标。
此外，还存在一种特殊情况，即直线与圆不相交，而是与圆相切于圆的外部。
这种情况下，直线与圆的距离等于圆的半径。
直线方程和圆的方程概念和知识点总结
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°3．过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝1212x x y y --.两条直线(不重合)平行的判定两条直线垂直的判定l∥l(两直线的斜率都存在)⇔l的斜率不存在，l的斜率为0直线的方程直线的点斜式方程和斜截式方程y－y＝k(x－x)y＝kx＋b直线的两点式方程和截距式方程直线的一般式方程关于x 和y 的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化直线的五种形式的方程比较两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A(a ，b)． (1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0 .(2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有⎩⎨⎧=++=++00222111C b B a A C b B a A2．两直线的位置关系两点间的距离公式公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式21P P =212212)()(y y x x -+-.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P (x ，y )的距离22y x OP +=.点到直线的距离、两条平行线间的距离点P (x ，y )到直线两条平行直线圆的标准方程(1)条件：圆心为C (a ，b )，半径长为r . (2)方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r 的圆的方程是x 2＋y 2＝r 2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断方法圆的一般方程1．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．＝0表示的图形2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F直线与圆的位置关系：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断直线与圆相切1.圆的切线方程的几个重要结论：（1）经过圆222r y x =+上一点P （x 0 , y 0）的圆的切线方程为200r y y x x =+。
高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程（1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1x ya b+= （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：22122121()()PP x x y y =-+- （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：0022||Ax By C d A B++=+（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：1222||C C d A B-=+4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ⋅=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >）（2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B++=+与半径R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系 当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线； 当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线； 当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线； 当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线； 4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减 5．弦长公式：222l R d =-例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3. 答案：(－3， 3)例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝0例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±33例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3.答案：2 3例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或177例7圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：1例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝2例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.[答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0例10 (1)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5. 答案：(1)322(2)5＋ 5 5－ 5例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1.故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 2例13平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6 （1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解： ⑴因为O 点到直线10x y -+=的距离为12，所以圆O 的半径为2216()()222+=， 故圆O 的方程为222x y +=．⑵设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，即0bx ay ab +-=，由直线l 与圆O 相切，得222aba b =+，即221112a b +=，2222222112()()8DE a b a b a b =+=++≥，当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．⑶设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-， 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+，222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y-+----====-+--，故mn 为定值2．例14圆x 2+y 2=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=43π时,求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.解:（1）当α=43π时，k AB =－1， 直线AB 的方程为y －2=－（x+1），即x ＋y －1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2100-+=22， 从而弦长|AB|=2218-=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=－2，y 1+y 2=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 1+x 2）（x 1－x 2）+（y 1+y 2）（y 1－y 2）=0， 即－2（x 1－x 2）+4（y 1－y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y . ∴直线l 的方程为y －2=21（x ＋1），即x －2y ＋5=0.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上. (1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x －a)2+(y －b)2=25,其中圆心(a,b)满足a －b+10=0.又∵动圆过点(－5,0),∴(－5－a)2+(0－b)2=25. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a ,可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a , 故所求圆C 的方程为(x+10)2+y 2=25或(x+5)2+(y －5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d=1110+=52.当r 满足r+5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切的圆；当r 满足r+5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切； 当r 满足r+5=d,即r=52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切.题目1．自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则切线l 的方程为 ．2．求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.3．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则PM 的最小值 ．4．设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP·OQ=0. （1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.5．已知圆C：x2+y2－2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.6. 已知曲线C：x2+y2－4ax＋2ay－20＋20a=0.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.。
直线和圆的方程知识点
直线和圆的方程知识点在数学中，直线和圆分别是几何图形中的基本要素。
它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。
本文将介绍直线和圆的方程知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些基础概念。
一、直线的方程直线的方程可以通过点斜式、截距式和一般式表示。
下面将分别介绍这三种表示直线的方法。
1. 点斜式点斜式适用于已知直线上一点和斜率的情况。
假设直线上已知一点A(x₁，y₁)和斜率k，那么直线的点斜式方程可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)。
例如，给定一点A(2, 3)和斜率k = 2，那么直线的点斜式方程为：y - 3 = 2(x - 2)。
2. 截距式截距式适用于已知直线与x轴和y轴的交点情况。
假设直线与x轴和y轴的交点分别为A(0, b)和B(a, 0)，那么直线的截距式方程可以表示为：x/a + y/b = 1。
例如，给定直线与x轴和y轴的交点分别为A(0, 2)和B(3, 0)，那么直线的截距式方程为：x/3 + y/2 = 1。
3. 一般式一般式是直线表示的常见形式，即Ax + By + C = 0，其中A、B和C分别是系数。
一般式可以通过点斜式或截距式转换得到。
例如，将点斜式方程y - 3 = 2(x - 2)转换成一般式方程，将得到2x - y + 1 = 0。
二、圆的方程圆的方程可以通过圆心和半径、直径、两点坐标等不同条件表示。
下面将分别介绍几种表示圆的方法。
1. 圆心和半径如果已知圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，那么圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²。
例如，已知圆心坐标为(2, -1)，半径为3，那么圆的方程为：(x - 2)²+ (y + 1)² = 9。
2. 直径如果已知圆的两个端点坐标为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么圆的方程可以表示为：(x - (x₁ + x₂)/2)² + (y - (y₁ + y₂)/2)² = [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]/4。
高二数学知识点汇总-直线与圆
直线与圆知识点1直线的方程1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是π2的直线没有斜率．（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0)与x 轴不垂直的直线斜截式纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线截距式横截距a ，纵截距bx a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0（A 2＋B 2≠0）平面直角坐标系内所有直线【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．知识点2两条直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.（2）两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2、两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 21x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3、三种距离公式（1）平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.（2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4、直线系方程的常见类型（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；（2）平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；（3）垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；（4）过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2)．知识点3圆的方程1、圆的定义及方程2点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内3、二元二次方程与圆的关系不要把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D 2＋E 2－4F 的符号，只有大于0时才表示圆．若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：（1）当F ＝0时，圆过原点．（2）当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上．（3）当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点．（4）当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切．知识点4直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系及判断（1）三种位置关系：相交、相切、相离．（2）两种判断方法：①代数法――――――――――――――――联立方程得方程组消去x 或y得一元二次方程，Δ＝b 2－4ac ＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离②几何法――――――――――――圆心到直线的距离为d半径为r＜r ⇔相交＝r ⇔相切＞r ⇔相离2、圆的切线与切线长（1）过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.（2）过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.（3）切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ar d.【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3、圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：（1）几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.（2）代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．一、直线的倾斜角与斜率范围的求法1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率k ＝tan α的取值范围．（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0l 1与l 2平行的充分条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)l 1与l 2相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)四、两条直线的交点与距离问题1、求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．五、对称问题的求解方法1、点关于点：点P (x ，y )关于点Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．3、点关于线：点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，六、求圆的方程的两种方法1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．七、解决有关弦长问题的常用方法及结论1、几何法：如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：|AB |＝2r 2－d 22、代数法：若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B )两点，则|AB |＝1＋k 2· x A ＋x B 2－4x A x B ＝1＋1k2y A －y B |(其中k ≠0)．特别地，当k ＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －y B |，八、求过一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的方法1、几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；2、代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证九、求与圆有关的轨迹问题的方法1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；3、几何法：利用圆的几何性质列方程；4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式。
九年级数学直线和圆的方程知识点精讲
直线和圆的方程一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0≤α＜180 注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：. 注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且） 推论：如果两条直线的倾斜角为则∥. ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时. ⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有. 5. 过两直线的交点的直线系方程x 90=α12x x =l x x ),0(),0,(b a x y )0,0(,≠≠b a b a 1=+by a x 232--=x y 232--=x y )0(232≥--=x x y b kx y +=b k ,b k ,b k b k b 1l 212k k l =⇔1l 2l 1l 2l 21,l l y 21,b b 1l 212k k l =⇔21b b ≠21,l l 2121A B B A =21C C ≠21,l l 21,αα1l 212αα=⇔l 1l 2l 1k 2k 12121-=⇔⊥k k l l 21,l l 0121=⇔⊥k l l 2l 02=k 1l 01221=+B A B A 1l 2l 1l 2l 1l 2l θ),0(π 90≠θ21121tan k k k k +-=θ1l 2l 1l 2l 1l 2l θ1l 2l ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π 90≠θ21121tan k k k k +-=θ⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A为参数，不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：. 特例：点P(x,y)到原点O 的距离：定比分点坐标分式。
直线与方程和圆与方程-知识点总结
第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α︒≤<︒（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时,0α=︒,tan 00k =︒=； 当直线l 与x 轴垂直时,90α=︒,k 不存在.当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0<k ；当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（11122212(,),(,),P x y P x y x x ≠） 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
注意：当直线的斜率为1当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但l x x x（5）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔；方程组有无数解⇔1l 与2l 重合（6设(,),A x y B x y ，（）（7一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l（8已知两条平行线直线1l 和2l01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l第四章圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
高中数学直线与圆的方程知识点总结
高中数学直线与圆的方程知识点总结公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1>0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121yy x x ++ 靠近A 的三分点坐标)32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
2023年职高数学二轮复习——直线与圆的方程
第八章：直线与圆一、知识点汇总：1、两点间距离公式与中点坐标公式：①2122122211)()(),,(),,(y y x x AB y x B y x A -+-=则设 ②)2,2(2121y y x x ++中点坐标为 2、直线的斜率：⎪⎩⎪⎨⎧--==已知坐标时用）已知倾斜角时用()(tan 1212x x y y k k α 注意：直线倾斜角不存在轴时，直线斜率或者直线垂直k x 090=α 3、直线方程：①)(00x x k y y -=-点斜式：（已知点（ y x ,），斜率k ） ②b kx y +=斜截式： （b 叫直线在y 轴上的截距） ③ ）不同时为、一般式：0B A (0C By Ax =++，其中斜率BCb B A k -=-=截距, ④特殊直线的方程： 0y y = (1)垂直于x 轴或平行y 轴的直线方程：0x x =(2)垂直于y 轴或平行x 轴的直线方程：0y y = 0x x = 4、方向向量和法向量①方向向量：指与直线平行或重合的向量，其中一个方向向量),1(k a = ②法向量：指与直线垂直的向量，其中一个法向量),(B A n = 5、两直线的平行和垂直：① 212121b k k //b l l ≠=⇔， ② ⎩⎨⎧=+-=⇔⊥0121212121B B A A k k l l规律总结：①与直线0=++C By Ax 平行的直线是0=++D By Ax②与直线0=++C By Ax 垂直的直线是0=+-D Ay Bx1、点到直线的距离公式和平行线间的距离公式:22BA C By Ax d +++=2212BA C C d +-=平yxo2、圆的方程：①标准方程：222)()(r b y a x =-+- r b a 半径圆心),,( ②一般式方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x24),2,2(22FE D r ED -+=--半径圆心8、如图.圆半径为r ，圆心到直线距离为d.9、圆与直线的弦长：222||d r AB -=10、.,2222r y y x x y x r y x =+=+ ）的圆的切线方程为：上一点（经过圆二、题型训练1. 过两点C(-m,2),D(1,3m)的直线的斜率为21，则m=( ) A.1 B.75 C.53 D.21 2. 直线)2(31--=+x y 所过定点和倾斜角分别是（ ） A.（2,1），32π B.（2,-1），3π- C.（2,-1），32π D.（2,-1），65π 3.直线）象限时，此直线必不过第（当0,0,0a ,0>>>=++c b c by ax A. 一 B. 二 C. 三 D. 四4.过点（1，-1），且与直线,02=+-y x 平行的直线方程是（ ） A.02=+-y x B.02=++y x C.02y x =-+ D.02=--y x5.直线与02)1()1(:1=--++y a x a L 03)21()1(:2=+-+-y a x a L 垂直，则a=( ) A.0或1 B.1或-3 C.0 D.1位置d 与rdrd=rr d6. 已知A(0,2), B(-2,0),则线段AB 的垂直平分线方程为（ ） A.0=+y x B.01=-+y x C.02=+-y x D.02=-+y x7. 方程）的取值范围（表示圆的方程，则实数a 022=++-+a y x y x A.a<21 B. a>21 C. a<21- D. a>21- 8. 圆）的距离的最小值为（上的点到直线0254x 3122=-+=+y y x A.6 B.5 C.4 D.19. 以点A （-3,2）为圆心，且与y 轴相切的圆的标准方程为（ ）9)2()3(.22=-++y x A 4)2()3(.22=-++y x B 9)2()3(.22=++-y x C 4)2()3(.22=++-y x D10. 以两点A(5,5), B(-3,-1)为直径端点的圆的方程是（ ）25)2()1(.22=+++y x A 100)2()1(.22=-+-y x B 100)2()1(.22=++-y x C 25)2()1(.22=-+-y x D11在点Q （2,1）处与圆522=+y x 相切的直线方程为（ ）A. 2x+y -5=0B. 2x+y+5=0C. x -2y -5=0D. x -2y+5=0 12.过圆044222=---+y x y x 圆心，且在y 轴上的截距是该圆的半径的直线方程（ ）A. x -y+3=0B. x -y -3=0C. x+y+3=0D. x +y -3=0 13.x ²+y ²+(m-1)x+2my+m=0表示圆,则m 的取值范围是( )A. m ＞0B. 51≤m ≤1C. m ＞1或m ＜51D. R14.一条直线平行于3x+4y-6=0，且原点到直线的距离是9，则该直线方程是（ ）Ａ、3x+4y+45=0 Ｂ、3x+4y-45=0 Ｃ、3x+4y-45=0或3x+4y+45=0 Ｄ、4x-3y-45=015.直线01)1(:062:221=-+-+=++a y a x l y ax l 与直线垂直，则等于a ( )。
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直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。
5.直线的对称性问题已知点关于已知直线的对称:设这个点为P （x 0，y 0）,对称后的点坐标为P ’（x ，y ），则pp ’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp ’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）：①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果； ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。
2、动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： ①PB PA +的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ②PB PA -的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；③22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 => 必过点(-2,3)②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析：① 讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。
）③ 直线到两定点距离相等，有两种情况： <1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。
圆的方程1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.2. 圆的方程表示方法：第一种：圆的一般方程——022=++++F Ey Dx y x 其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=.当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D . 当0422 F E D -+时，方程无图形.第二种：圆的标准方程——222)()(r b y a x =-+-.其中点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）注：圆的直径方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A 3. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔ 4. 直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离22BA C Bb Aa d +++=.①r d =时，l 与C 相切；②r d 时，l 与C 相交；， ③r d 时，l 与C 相离.5、圆的切线方程：①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出⇒k 切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X 轴的直线。
） 6.圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ（x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2）=0过两圆的交点的直线方程：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1- x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）7.与圆有关的计算：弦长的计算：AB=2*√R 2-d 2其中R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离AB=（√1+k 2）*∣X 1-X 2∣ 其中k 是直线的斜率，X 1与X 2是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径③假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则（x-a ）/（y-b ）的最值可以转化为圆上的点与该点（a ，b ）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。
④假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则求x+y 或x-y 的最值可以转化为：设T=x+y 或T=x-y ，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T 或y=x-T 在Y 轴上的截距最值化。
9.圆的对称问题①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆 心坐标圆锥曲线椭圆椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合 1、定义：12122(2)PF PF a a F F +=> 第二定义：(01)PF ce e d a==<< 2、标准方程：22221(0)x y a b a b +=>> 或 22221(0)y x a b a b+=>>；3、参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）θ几何意义：离心角4、几何性质：（只给出焦点在x 轴上的的椭圆的几何性质） ①、顶点(,0),(0,)a b ±± ②、焦点(,0)c ± ③、离心率(01)ce e a=<< ④准线：2a x c=±（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）5、焦点三角形面积：122tan2PF F Sb θ=⋅（设12F PF θ∠=）(推导过程必须会)6、椭圆面积：S a b π=⋅⋅椭（了解即可）7、直线与椭圆位置关系：相离（0∆<）；相交（0∆>）；相切（0∆=） 判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数 8、椭圆切线的求法1）切点（00x y ）已知时，22221(0)x y a b a b +=>> 切线00221x x y ya b +=22221(0)y x a b a b +=>> 切线00221y y x xa b +=2）切线斜率k 已知时， 22221(0)x y a b a b +=>> 切线y kx =22221(0)y x a b a b+=>> 切线y kx =9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离22221(0)x y a b a b +=>> 0r a ex =±（左加右减）22221(0)y a a b a b+=>> 0r a ey =±（下加上减）双曲线1、定义：122PF PF a -=± 第二定义：(1)PF ce e d a==>2、标准方程：22221(0,0)x y a b a b-=>>（焦点在x 轴）22221(0,0)y x a b a b -=>>（焦点在y 轴） 参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎧⎨=⋅⎩（θ为参数） 用法：可设曲线上任一点P (sec ,tan )a b θθ3、几何性质 ① 顶点(,0)a ±② 焦点(,0)c ± 222c a b =+ ③ 离心率ce a=1e > ④ 准线2a x c±⑤ 渐近线 22221(0,0)x y a b a b -=>> by x a=±或22220x y a b -=22221(0,0)y x a b a b -=>> by x a=±或22220y x a b -= 4、特殊双曲线①、等轴双曲线22221x y a a -= e =渐近线y x =±②、双曲线22221x y a b -=的共轭双曲线22221x y a b-=-性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 ① 相离（0∆<）；② 相切（0∆=）； ③ 相交（0∆>） 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0∆=时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式22221(0,0)x y a b a b-=>> 点P 在右支上 0r ex a =±（左加右减） 点P 在左支上 0()r ex a =-±（左加右减）22221(0,0)y x a b a b -=>> 点P 在上支上 0r ey a =±（下加上减） 点P 在上支上 0()r ey a =-±（下加上减） 7、双曲线切线的求法① 切点P 00(,)x y 已知 22221(0,0)x y a b a b -=>> 切线00221x x y ya b -=22221(0,0)y x a b a b -=>> 切线00221y y x xa b -=② 切线斜率K 已知 22221x y a b -= 222()b y kx a k b k a =±->22221y x a b -= 222()b y kx a b k k a=±-<8、焦点三角形面积：122cot2PF F Sb θ=⋅（θ为12F PF ∠）抛物线1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）2、几何性质：P 几何意义：焦准距 焦点到准线的距离设为P 标准方程：22(0)y px p => 22(0)y px p =->图 像：范 围： 0x ≥ 0x ≤ 对 称 轴： x 轴 x 轴 顶 点： （0，0） （0，0）焦 点： （,02p ） （,02p-）离 心 率： 1e = 1e =准 线： 2p x =- 2px =标准方程：22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图 像：范 围： 0y ≥ 0y ≤ 对 称 轴： y 轴 y 轴定 点： （0，0） （0，0）焦 点： （0，2p ） (0,)2p - 离 心 率： 1e = 1e =准 线： 2p y =- 2py =3、参数方程222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数方程）⇔22(0)y px p =>4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦椭圆：双曲线通径长22b a抛物线通径长2P5、直线与抛物线的位置关系1）相交（有两个交点或一个交点） 2）相切（有一个交点）； 3）相离（没有交点） 6、抛物线切线的求法1）切点P 00(,)x y 已知：22(0)y px p =>的切线；00()y y p x x =+2）切线斜率K 已知：22(0):2p y px p y kx k =>=+22(0):2p y px p y kx k=->=-222(0):2pk x py p y kx =>=-222(0):2pk x py p y kx =->=+此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用附加：弦长公式：y kx b =+与曲线交与两点A 、B 则22d AB x x y y ==-=- 解题指导： 轨迹问题：(一)求轨迹的步骤1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p （x ，y ）2、立式：写出适条件的p 点的集合3、代换：用坐标表示集合列出方程式f （x ，y ）=04、化简：化成简单形式，并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上 （二）求轨迹的方法1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。