圆的切线的两种证明方法

■JIETI JIQIAO YU FANGFA

解题技巧与方法.］；］）圆的切线的两种'明/法

◎姜'军（甘肃省武威市凉川区黄羊镇九年制学校，甘肃武威733006）

!摘要】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线.

!关键词】切线；切线判定;证明；分析；点评

在初中九年级数学上册“圆”这一章中，学生们学习了圆的切线，但如何证明一条直线是不是圆的切线，困扰着许多学生，下面笔者就结合自己的教学实践，谈谈圆的切线的两种证明方法.

一、用“圆的切线判定定理”证明

在人教版九年级数学上册第二十四章“圆”中，在“直线与圆的位置关系”这一节，给出了圆的切线判定定理:“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”.我们可以用这条定理来证明一条直线是圆的切线•

例1如图所示/B是＜8的直径,BC是

©8的切线，切点为B,8C平行于2AD,求证：

MC是＜8的切线.

分析此类证明切线的问题，在已知条件

中告诉了直线与圆的交点M如果证明了MC是©8的切线，那么M点就是切点.因此，只需连接8M,因为8M是©8的半径，所以只需证明8M丄MC,就可得出MC是©8的切.

证明连接8M.

z AII0C，

X4A=4C8B,4AM8=4M8C.

又z8A=8M，

X4A=4AM8，

X4M8C=4C8B.

又z8M=8B，8C=8C，

x△8MC=,8BC（SAS），

X48MC=48BC.

又z BC是©8的切线，

X48BC=90°，

X48MC=90°,

X MC是©8的切线•

二、用“圆的切线定义”证明

直线与圆的位置关系中，我们很容易得到“如果直线到圆心的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线”，这个我们可以作为圆的切线的定义，用来证明一条直线是不是圆的切线.

例2如图所示，在Rt,ABC中，4B=

90°,4A的平分线交BC于点M,以M为圆

心，MB的长为半径画圆.

求证:AC是©M的切线.

分析要证AC是©M的切线，题目中没有告诉AC与©M的交点，因此，不能用圆的切线判定定理来证.我们可以用圆的切线定义来证明，作点M到AC的垂线段MF，垂足为/然后证明与圆的半径BM相等，即可说明AC是©M的切线•

证明过点M作MF-AC，垂足为/

z AM平分4BAM，

X4BAM=4MAC,

又z4A BC=4AFM=90°，AM=AM，

x,ABM=,AFM（AAS），

X MF=BM，

X AC是©M的切线•

点评比较圆的切线的两种证法，当题目已知条件中告诉了“切线”与圆的交点（例1中告诉了交点M），用圆的切判定定理（经半的端且垂于这半的是圆的切），连点圆，连的半垂于这条直线，就可说明这条直线是圆的切线，口诀是“连半径，证垂直”；当直线与圆的公共点不明确时（例2中不知AC与圆的交点），用切线定义（如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线）去证，过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，这条直线就是圆的切线,口诀是“作垂直，证相等”•

数学学习与研究2019.

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