2015年3月份大工《复变函数与积分变换》模拟试卷A

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大连理工大学网络教育学院
2015年3月份《复变函数与积分变换》课程考试
模 拟 试 卷
考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）
☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1、设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（ B ） A 、),(),(y x iu y x v +
B 、),(),(y x iu y x v -
C 、),(),(y x iv y x u -
D 、
x
v
i x u ∂∂-∂∂ 2、设),2,1(4
)1( =++-=
n n i
n n n α，则n n α∞→lim （ C ） A 、等于0
B 、等于1
C 、等于i
D 、不存在
3、下列级数中，条件收敛的级数为（ C ）
A 、∑∞
=+1
)231(n n
i B 、∑∞=+1
!)43(n n
n i
C 、∑∞=2ln n n
n
i
D 、∑∞
=++-1
1)1(n n n i
4、2
1
)(-=
z z f 在1-=z 处的泰勒展开式为（ D ） A 、3|1|)1(312101<++=-∑∞
=+z z z n n n
B 、3|1|)1(31210<++-=-∑∞
=z z z n n n
C 、3|1|)1(3
1210<++=-∑∞
=z z z n n n
D 、3|1|)1(3
12101<++-=-∑∞
=+z z z n n n
5、设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的（ B ） A 、可去奇点
B 、本性奇点
C 、m 级极点
D 、小于m 级的极点
6、设幂级数
1
,-∞
=∞
=∑∑n n n n
n n z
nc z c 和
1
01
+∞
=∑+n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是
（ D ） A 、321R R R <<
B 、321R R R >>
C 、321R R R <=
D 、321R R R ==
7、把z 平面上的点1,,1321-===z i z z 分别映射为w 平面上的点i w w w ===321,1,0的分式线性映射得（ B ） A 、z
z
i w -+⋅
=11 B 、z
z
i w +-⋅
=11 C 、z
z
i w -+⋅
=111
D 、z
z
i w +-⋅
=111
8、设)0(0
,0
,0)(>⎩⎨
⎧≥<=-ββt e t t f t
，则F =)]([t f （ A ） A 、
22ωβω
β+-i
B 、
2
2ωβω
β++i
C 、
2
2ωβω
β--i
D 、
2
2ωβω
β-+i
9、函数)2(t -δ的拉氏变换L =-)]2([t δ（ C ） A 、1
B 、s
e 2
C 、s
e
2-
D 、不存在
10、幂级数∑∞
=0
!n n
z
n 的收敛半径是（ A ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1、将幂函数i
+15
表示成三角形式为)]5sin(ln )5[cos(ln 5ln i e +
2、将幂函数i
i 表示成指数形式为k e
k (22
π
π
--
为整数)
3、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C
3
)
(1+i 。

4、)2(-Ln 的主值为2ln
5、函数2
1)(z e z f iz +=在极点处的留数为e i
2-
和e i 2
6、
=++⎰
=dz z e z z z )cos 2(5
||2____0____ 7、函数)(1t u *在区间],0[+∞上的卷积为t
8、当∞→n 时，n
n z z z ⎪⎭
⎫
⎝⎛=的极限是 不存在 。

9、区域4
arg 0π
<
<z 在映射3
z w =下的像为π4
3arg 0<
<z 10、假设C 是圆周1|1|=+z 的下半圆周，z 从-2到0，则积分=⎰
dz C cosz _____ sin2_______
三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）
1、计算10
3131⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+i i 的值
先把括号中的两个复数化成三角式：)3
sin 3(cos
231π
π
i i +=+（1分）
))3
sin()3(cos(231π
π
-+-
=-i i （1分）
再由复数的除法和求乘幂的方法，得10
10
))3sin()3(cos(2)3sin 3(cos 23131⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+ππππi i i i （2分）
10
)33sin()33cos(⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+++=ππππi （2分）ππ320sin 320cos i +=i 2321+
-=（2分） 2、解方程组⎩⎨
⎧
-=++=-i
iz z i i z z 34)1(22121
解：令222111,iy x z iy x z +=+=，所给方程组可写为⎩⎨
⎧
-=++++=--+i
iy x i iy x i i y i x y i x 34)())(1(2222112211
即⎩⎨⎧
-=+++--=-+-i y x x i y y x i y y i x x 34)()2(2121211
2121（1分）
利用复数相等的概念可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=--=-=-3
4120
21212112
121y x x y y x y y x x （1分）
解得531-=x ，（1分）561-=y ，（1分）562-=x ，（1分）517
2-=y ，（1分）
故i z 56531--=，（1分）i z 5
17
562--=。

（1分）
3、计算⎰-+=
C z z zdz
I )2)(12(，其中C 是（1）2
1|1|=-z ；（2）3||=z 。

解：（1）被积函数在2
1
|1|≤
-z 内处处解析，故0=I 。

（4分）
（2）被积函数在3||≤z 内有两个奇点2,2
1
=-
=z z ，由复合闭路原理，知 2
2
1
)1
2(
2)2(212212)
2
1(222121=-
=+⋅+-⋅=-+++-=+=⎰⎰⎰⎰z z C C C C z z i z z i dz z z z dz z z z I ππ（2分）
i i i πππ=+=5
45（2分） 4、求函数
)
2)(1(1
--z z 分别在圆环2||1<<z 及+∞<<||2z 内的洛朗级数展式
解：因为
++++++=-n z z z z
32z 111
1||<z （1）由2||1<<z ，有1|1
|,1|2|<<z
z （2分）
所以
∑∑+∞
=++∞=+--=----=---=--01011
2)11(1)21(211121)2)(1(1n n n n n z
z z
z z z z z z （2分） （2）由+∞<<||2z ，有1|1
|,1|2|
<<z
z （2分） 所以
∑∑+∞
=++∞=+-=---=---=--01011
2)11(1)21(11121)2)(1(1n n n n n z
z z
z z z z z z z （2分） 5、计算函数1111)(--+=s s s F
的拉普拉斯逆变换L )]([1
s F - 解：由拉普拉斯变换性质
L =-)]([1s F L ]1
111[
1--+-s s （5分）t
t e e -=-（3分）
四、证明题（本大题1小题，共10分）
证明：若F )(][)
(ωϕF e
t i =，其中)(t ϕ为一实函数，则F ])()([2
1
)]([cos
ωωϕ-+=F F t 。

证明：dt e e F t i t i ωϕω-+∞
-∞
⋅=
⎰
)()(（2分）
dt e e dt e e F t i t i t i t i ωϕωϕω-+∞-∞
-+∞
-∞
⋅==-⎰⎰)()()(（2分）
dt e e e F F t
i t i t i ⎰+∞-∞--+=-+ωϕϕωω2
])()([21)()(（2分）
dt e t t i ωϕ-+∞
∞
-⎰=)(cos （2分）F =)]([cos t ϕ（2分）。