数学文化(11)

概括地说，“变”，是对整个集合而言的，是指集合上的（在考虑 范围内的）所有可逆变换，都改变了集合中的元素和子集；“不变”， 是对考察的子集而言的，是指上述可逆变换中使所考察子集在整体上 保持不变的那些可逆变换，即子集的对称变换。下边我们结合前面讲 过的内容详加解释。
“变中有不变”的“变”，在“平面图形的对称”那段，就是我 们所说的“保距变换”（包括反射、旋转、平移以及它们的相继作用）；
1. 集合上的可逆变换，子集的对称变换 设 M 是一个集合，则 M 到自身的一个映射称为“M 上的一个
变换”；M 到自身的一个 可逆映射称为“M 上的一个可逆变换”。
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集合 M 上的可逆变换ϕ ，使 M 中每一个元素都发生了“变化”（“不 变”也看作是一种“变化”），但在整体上又保持 M 不变（即 M “整 个地”还变为 M ：ϕ(M ) = M ）。但对于 M 的某个子集 N ，情况就不一 样了，可能ϕ 在整体上保持 N 不变：ϕ(N) = N; ；也可能ϕ 不能在整体 上保持 N 不变：ϕ(N ) ≠ N 。
这样，就给我们描述“子集 N 的对称性”提供了基础。在 M 上的 可逆变换中，称满足ϕ(N) = N 的可逆变换为“ N 的对称变换”。要注 意的是， N 的对称变换ϕ ，并不是保持 N 中的每个元素都不变，而只 是把 N 看作一个子集合时，ϕ 从整体上保持 N 不变，“ϕ(N) = N ”表达 的就是这个意思。
实际上，我们可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类，分 别称为：反射（关于一直线的反射）；旋转（绕一定点旋转θ 角）；平 移（沿一固定方向平移长度 a ）。
2. 从不变性看“对称” 平面中的对称图形，都是在反射、旋转或平移下 “又回到自身” 的图形。“回到自身”就是“不变”，这启发我们从不变性看“对称”。 它们有一个共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。 所以，我们把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，统称为“保 距变换”。于是，我们就是要研究平面图形在保距变换下的不变性，
2. 子集的对称 现在，我们希望“数学地”描述任一客观事物的对称性，我们用 “子集的对称”的语言来做到这一点。
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首先，任一客观事物都可以看作一个更大的客观事物中的一部 分，用数学术语说，就是：任一客观事物都可以看作某一个集合 M 的 子集 N 。特别，N 可以看作 N 自身的子集。当然， 为了比较多个 事物 N1，…， Nk 的对称性，我们需要找一个合适的大集合 M，把 N1，…，Nk 都看作这个 M 的子集。例如讨论圆、正方形、正六边形、 正三角形、等腰三角形、一般三角形的对称性时，我们取 M＝R2 为 整个平面上全体点的集合，平面图形 K 可以看作是平面 R2 的一个子 集。
（十一）
第四章 若干数学观点中的数学文化 第一节 “对称”的观点
在日常生活中，我们会看到各种各样的“对称”，下面，我们把 这些关于“对称”的感性认识，上升为理性认识。也就是说，我们要 考虑如何把它们当中共同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述 “对称”。
那么，什么是对称的共性？什么是对称的本质？这需要对“对称” 进行分析。下面我们先对“平面图形的对称”进行分析，再对“ n 元 多项式的对称”进行分析，继而把它们综合起来，得到关于“对称” 的统一的本质。
先分别求出与它们相应的“对称集”
S(K1 ) , S(K2 ) , S(K3 ) , S(K4 ) , S(K5 ) , S(K6 ) ，再求出这些“对称集”中元
素的个数，以“量化”其对称性。
先看圆 K1 。在平面关于 K1 的任何一条直径的反射下， K1 不变； 在平面绕圆心旋转θ 角（ 0ο ≤ θ < 360ο）的旋转下 K1 不变；而这样的反
S(K1) > S(K2 ) ，我们就说 K1 的对称性好于（或强于） K2 的对称性， 也说 K1 比 K2 更对称些。这样，我们就把对“对称”的感性认识，抽 象上升为一种理性认识了。
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那么，这种抽象与直观相符程度如何呢？让我们再回到具体例 子中，通过实践来考察。
3． 抽象观点与具体例子的对照 我们用这样的抽象观点来看看上段所说的圆（记为 K1 ），正方形 （记为 K2 ），正六边形（记为 K3 ），正三角形（记为 K4 ），等腰三角 形（记为 K5 ）和一般三角形（记为 K6 ），看谁的对称性较强，谁的 对称性最弱。
S(K2 )就是包含上边 8 个运动的集合，所以 S(K2 ) = 8 。
旋转 0ο与平移 a = 0 ，都是“不动”的保距变换，只能算一个保 距变换，不能算两个。如果每次都要说这番话，太麻烦了。我们不 如把这种“不动”的保距变换单列一类，叫“恒等变换”；对任意平
面图形 K ，恒等变换总在 S(K )中。
之成为ϕ(N )。
“变中有不变”的“不变”，在“平面图形的对称”那段，是指 “运动”在变化平面 R2 的同时，一般也变化了所考察的平面图形 K ， 但有些“运动”却使 K 整体上保持不变，我们把所有这样的“运动” 放到一起，记作 S(K) ，称为“ K 的对称集”。
现在，我们用“集合上的可逆变换与子集的对称”的语言，把这 一段的内容统一地叙述为：集合 M 上的（被考虑范围内的）可逆变换 ϕ ，在变化集合 M 的同时，一般也变化了 M 中我们所考察的子集 N ,
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在“ n 元多项式的对称”那段，就是我们所说的“ n 元置换”。每一个 “保距变换”是平面 R2 到平面 R2 的一个有特点（保距）的映射，它 在变化平面 R2 的同时，一般也变化了其中任一平面图形 K 。现在， 我们把“保距变换”和“ n 元置换”统一表述为“集合 M 上的可逆变 换”ϕ ，它在变化集合 M 的同时，一般也变化了其中任一子集 N ，使
下图就是一个“带饰”，它可以作为腰带的装饰。
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关于“对称”，我们希望从原来静止的观点，发展为运动的观点， 让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用运动的观点去考察事物， 研究事物，能够更好地把握事物的本质，是常用的方法。
“平移对称”，用运动的观点也可以叙述成：如果一个平面图形， 沿着一个方向移动长度 a 后与原图形重合，这样的图形叫作是“平移 对称”的。
射和旋转都有无穷多种。 S(K1 )就是包含上边所有这些保距变换的集
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合。于是，S(K1 )中有无穷多个元素。这就是在上述所有平面图形中，
圆被人们认为是“对称性最强”的图形的原因，可见我们的抽象观 点是符合直观感觉的。
再看正方形 K2 。在平面分别关于 K2 的两条对角线，两组对边中 点连线的反射下， K2 不变，这里有 4 种保距变换；在平面绕正方形 的中心旋转 0ο, 90ο, 180ο或270ο下, K2 不变，这里又有 4 种保距变换。
下边再看正六边形 K3 。首先，在“恒等变换”下 K3 不变；其次， 在平面分别关于 K3 的三条对角线，三组对边中点连线的反射下， K3
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不变；再其次，在平面绕正六边形中心旋转 60ο, 120ο, 180ο, 240ο或 300ο 下， K3 不变。所以， S(K3 ) = 12 。
再看正三角形 K4 。在“恒等变换”下 K4 不变；在对平面分别关 于 K4 的三个内角的角平分线的反射下，K4 不变；在平面绕正三角形 中心旋转120ο或240ο下 K4 不变。所以， S(K4 ) = 6 。
再看等腰三角形 K5 。在“恒等变换”下 K5 不变；在平面关于 K5 的顶角的角平分线的反射下， K5 不变。所以， S(K5 ) = 2 。
再看一般三角形 K6 。只有在“恒等变换”下 K6 才不变。所以， S(K6) = 1。
从而，以上六个图形按对称性强弱排序，从强到弱的顺序应为： 圆 K1 ，正六边形 K3 ，正方形 K2 ，正三角形 K4 ，等腰三角形 K5 ， 一般三角形 K6 。 并有对称性强弱的量化的描述分别为：
一 、平面图形的对称 1. 在运动中看 “对称” 人们一般会说，大圆与小圆有相同的对称性，大正方形与小正 方形有相同的对称性；也会说，圆比正方形更对称些，正六边形比 正三角形更对称些，正三角形比等腰三角形更对称些，等腰三角形 比一般三角形更对称些。
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K1
K2
K3
K4
K5
K6
如果再向：正三角形与正方形谁更对称一些？该怎么回答？ 这就需要把“平面图形的对称”这个直观概念搞得更确切一些。 许多人可能知道，平面图形的对称分三类：轴对称、中心对称、 n 次中心对称。其实，这里还忽略了一类——“平移对称”，即一个 平面图形，沿着一个方向，每间隔长度 a 重复一次得到的新图形。这 样构成的新的平面图形也具有某种对称性，称之为“平移对称”。例 如很多“带饰”就是具有“平移对称”的。
S(K1 ) = ∞ ， S(K3 ) = 12 ， S(K 2 ) = 8 ， S(K 4 ) = 6 ， S(K5 ) = 2 ， S(K6) = 1。
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现在，再回过头来对照我们关于这些例子的“对称性”的感性 认识，发现它们与我们直观中感觉到的对称性的强弱，是非常吻合 的。不过，我们头脑中原来的“直观”是含糊的，现在抽象为数学 方式的叙述后，“平面图形对称”的概念就变得确切了，并且从定性 的描述上升为定量的描述了。我们原先觉得不太好回答的问题“正 三角形与正方形谁更对称一些？”，现在有了明确的答案：由于 S(K2 ) = 8 ，S(K4 ) = 6 ，8 大于 6，所以正方形比正三角形更对称一些。
4．小结 对“平面图形的对称”的抽象过程： 首先是从由静到动的观点考察平面图形的“对称”，发现了“对 称”具有某种“变中有不变”的性质，我们抓住了这种不变性，认 定它是对称的本质；然后，把平面上的反射、旋转和平移及其相继 实施，统一简称为“保距变换”；接下去，对于某个平面图形 K ，我
们把保持 K 不变的保距变换放到一起，构成一个集合，记为 S(K )， 称之为“ K 的对称集”，用它来描述 K 的对称性；最后，我们把 S(K )