矢量分析与场论

• 矢量函数的面积分与体积分的互换。 • 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
0.5 矢量场的环量与旋度
一、矢量场环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
A dl
L
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。
图0.4.1 环量的计算
例：流速场
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动
四、斯托克斯(Stockes)定理
A· dSi 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环
量。因此，其面积分后，环量为
l A dl
i
i
( A) dSi
Stocke’s定理
l A dl ( A ) dS
S
•
矢量函数的线积分与面积分的互换。
• 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关 图 0.4.3 斯托克斯定理 系 在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。
0.6 亥姆霍茨定理
亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。 矢量A的通量源密度 电荷密度r 在电磁场中
已知
矢量A的旋度源密度 场域边界条件
电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
A B A B cosq
A B A B cosq 0
当A B时
矢量点积的坐标表达式：
A B ( Ax e x Ay e y Az e z ) ( Bx e x By e y Bz e z ) Ax Bx Ay By Az Bz
·A=
r0 (负源)
在矢量场中，若• A= r0，称之为有源场，r 称为(通量)源密度；若矢量场 中处处• A=0，称之为无源场。
四、高斯公式(散度定理)
1 divA lim A dS v0 v S
由于 A 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的
通量，对 A 体积分后，为穿
这种表达式是教材中经常要用到的。
叉乘（矢量积）：
C A B A B sin q
A B A B sin q 0
哈密顿算符： 直角坐标系中： 圆柱坐标系中
A // B
z z
ey ez x y 1 er e ez r r ex
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
二、矢量场的旋度 在直角坐标系中，设
A Axe x Aye y Az e z ,
则环量可写成： 由斯托克斯公式：
L x y z
Γ
A dl A dx A dy A dz
L L x y z
dl dxe x dye y dze z
A
dS dydz e x dxdz e y dxdy ez

x
e x y e y z e z Ax e x Ay e y Az e z

ex
x
ey
y
ez
z
Ax Az Ay Ay Ax Ax Az e e y y x x y e z z z x
A Axex Ay e y Az ez
其中ex、ey、ez分别是x、y、z 轴上的单位矢量，其长度为一，方向分别与x、y、
A Ar er r,, z A e r,, z Az ez
A Ar er r,q , Aq eq r,q , A e r,q ,
图0.2.1 三维高度场的梯度
图0.2.2 电位场的梯度
高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直；
• 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
0.4 矢量场的通量与散度
一、矢量场的通量 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分
E dS
S
若S 为闭合曲面
净通量的大小判断闭合面中源的性质:
f E ds ，可以根据
s
图0.3.1 矢量场的通量
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
图0.3.2 矢量场的通量
> 0 (有正源)
二、矢量场的散度 如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积 之比的极限存在，即
2、圆柱坐标 r f z • 单位向量： er，ef，ez • 元长度：dl = erdr + efrdf + ezdz • 元面积：dS = errdfdz + efdrdz + ezrdrdf • 元体积：dV = rdrdfdz
3、球坐标 r f q • 单位向量： er，eq，ef • 元长度：dl = erdr + eq rdq + ef r sinqdf • 元面积：dS = err2sinqdfdq + eq rsinqdrdf + ef rdrdq • 元体积：dV = r2sinqdqdfdr
球坐标系中
er
1 1 eq e r r q r sin q
矢量积的坐标表达式：
A B Axe x Aye y Aze z Bxe x Bye y Bz ez
ex Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
dΓ rot A en dS
三、旋度的物理意义 • 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 • 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 • 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
出闭合面S的通量
图0.3.3 散度定理

A dS lim
S
n Vn 0 n 1
AV
n
AdV
V
高斯公式
Ax Ay Az SA dS S ( Ax d y d z Ay d z d x Az d x d y ) V x y z dv V AdV
0.2、矢量运算 1、标量 仅用一个数值(变量)就可以描述的物理量，如电压、电荷、电流、 高度、距离等 V(x,y,z,t)、Q(x,y,z)、I(t)、H、L
2、矢量 需要用二个数值(变量)描述的物理量，如电场强度、速度、电流密度、位置等 直角坐标系中的矢量表达式 z 轴的方向相同。 在圆柱坐标系中 在球坐标系中 3、矢量运算 点乘（数量积）：
Ay Bz Az By ex Az Bx Ax Bz e y Ax By Ay Bx ez
这种表达式也是教材中经常要用到的。


其他运算公式
( A B) A B (A) A A
( A B) A B (A) A A ( A B) B A A B ( ) 0 A ( A) 2 A
Ay
Az
则环量可写成：
Γ
A dl
L

A dS
S
1. 旋度
定义矢量：
rot A A
L S
称为旋度(curl)
旋度与环量的关系： Γ 2. 环量密度
A dl A dS rotA dS
S
过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向 成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2 A 2 Ax ex 2 Ay e y 2 Az ez
0.2 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等.
电磁场
郑州大学电气工程学院
张泽全
电 磁 场
矢量与场论基础
正交坐标系与矢量运算
0.1 正交坐标系
1、直角坐标系：x y z • 单位向量： ex，ey，ez • 元长度：dl = exdx + eydy + ezdz • 元面积：dS = exdydz + eydzdx + ezdxdy • 元体积：dV = dxdydz
dΓ Γ 1 lim lim Α dl Αn rot n Α L dS S 0 S S 0 S
称为环量密度
其中rotnA表示rotA在S的法线方向en上的投影，取不同的路径时，其环量密度也不同。 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为使得环量密度 取最大值时曲面元ΔS的方向。 它与环量密度的关系为
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面). 其方程为
矢量场--矢量线 其方程为
A dl 0
h ( x, y, z ) const
图0.1.2 矢量线
在直角坐标下:
图0.1.1 等值线
二维场
Ax Ay dx dy
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？三维场
0.3 标量场的梯度
divA lim
由奥斯特罗格拉特斯基公式：
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v 0
1 v
A dS
S
称为通量源密度

S
A dS
A dydz A dzdx A dxdy
S x y z

Ay Ax Az V y z x
dV
Ax x
定义：
div A A

Ay y

Az z
散度(divergence)
所以通量可以看作是体积V内散度的体积分： （高斯散度定理）
A dS divAdV
S V
三、散度的物理意义 • 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
• 散度代表矢量场的通量源的分布特性

· A= 0 (无源）
· A=
r0 (正源)
一. 梯度 设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 l 的方向 导数为:
cos cos cos ( , , ) (cos , cos , cos ) l x y z x y z
g
式中
ex ey e z grad x y z
ex ey ez x y z
梯度(gradient)
称为哈密顿算子
二. 梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向. 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度
A dx A dy A dz
Az Ay S y z Ay Ax Az Ax dydz dzdx x x y z dxdy
空间中有向曲面的定义： 和直角坐标下矢量积的定义：
el ex cos e y cos ez cos )
，分别是P点方向l与x,y,z轴的夹角 ， 式中 ， 则有: g el | g | cos( g , el ) l
当 q ( g ,el ) 0 ,即 e l 与 g 方向一致时, l 为最大.